CC BY
30
№2
2008
После преобразований окончательно получаем
/'(0= -Н-У (1)+ (l -h j Vp(1) 1 + fi-A.
+ h [\|i1(l)+(l + j.i)\|/(l)]
+
./, (X)
Таким образом, нами получены в явном виде характеристические уравнения для определения критической нагрузки и закритического поведения пластины с дефектами типа круглых отслоений в элементах конструкций из слоистых материалов, при одновременно локальной и глобальной потере устойчивости.
I. Бохос ва 11.А. Устойчивость круглых отслоений в слоистых элементах конструкций с учетом поперечного сдвига// Межвуз сборник науч. трудов, Чита,- !994,- €.2 1-25.
СВЯЗАННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ БАЛКИ-ПЛАСТИНКИ ИЗ ПОРИСТОГО МАТЕРИАЛА
Д-р физ-мат. наук, проф. СМ. ШЛЯХОВ, cicn. A.B. ЕФРЕМОВ, канд. техн. наук Э.Ф. КРИВУЛИНА
В работе получено решение конструкционно-связанной задачи теплопроводности и термоупругости для тел пористой структуры. Учтено влияние зависимости коэффициента, теплопроводности от напряжений. В основу решения положены вариационные принципы, реализация которых осуществлена методом конечных элементов.
In article the solution of the constructional-connected problem of thermal conductivity and thermo elasticity for bodies of porous structure is receive. Influence of dependence of coefficient of thermal conductivity from voltages is considered. Jn a basis of a solution, the variation principles which implementation is realized by a finite element method are supposed.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
539.3
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ _29
№ 2 2008
Многие элементы конструкций теплоэнергетического оборудования выполнены из материалов, полученных методом порошкового спекания или порошковой металлургии. Речь идет о жаростойких и тугоплавких материалах как металлических, так и неметаллических - это карбиды различных металлов, графит, пенокерамика и т.д. Структура таких материалов изначально пористая, причем пористость может быть как кажущаяся (не сквозная), так и сквозная (капиллярная). Изделия из пористого материала выполняются методами прессования, при этом плотность материала и, следовательно, пористость распределяется по массиву самого материала неравномерно. Возникает изначальное нарушение гипотез сплошности и однородности материала, принимаемых в механике твердого деформируемого тела как основные. Поскольку все чаще требуется решение задач механики деформируемого твердого тела именно для таких материалов, приходится возвращаться к гипотезе сплошности, но учитывать пористость введением поправок в исходные зависимости состояния материала, т.е. подходить к решению задач механики деформируемого твердого тела с позиции механики неоднородных тел. При этом механические и теплофизические характеристики принимаются как некоторые функции порис тости и температуры, законы изменения которых определяются экспериментально.
Сформулируем коиструкционио-связаиную задачу теплопроводнос ти, т.е. учтем зависимость коэффициента теплопроводности от нормальных напряжений ЦР(а)/Г). Это стало необходимым, поскольку пористость, строго говоря, не остается неизменной при наложении на твердое тело тюля напряжений.
Так как коэффициен т теплопроводности зависит от порис тости то поле температур с тановиться зависящим от поля напряжений. В [1] имеются экспериментальные данные зависимости Л от напряжений сжатия близкой к линейной функции Х-а-Ъа.
Условимся в дальнейшем считать эту зависимость справедливой и для растяжения. При этом для пористых огнеупорных материалов увеличение сжимающих напряжений на каждые Асг^ЮО МП а приводит к увеличению коэффициента теплопроводности до 3% (Рис.1.)
№2
2008
сГГ
dz =
ToW
- О
Рис.1. Схема балки-пластинки в одномерном поле температур
Минимальная, технологически получаемая пористость для тугоплавких материалов равна Р~3 %. Рассмотрим тонкую пластинку (балку-стенку) постоянного прямоугольного сечения (рис.2), выполненную из пористого материала.
Пластинка находится в одномерном поле температур, вызванном внутренним тепловым источником. Она может быть как закрепленной, так и свободной. На верхней и нижней ее границах поддерживаются постоянные различные температуры. Боковые поверхности теплоизолированы. Пористость материала переменна по высоте сечения. Теплофизические и механические характеристики зависят от температуры Тя пористости Р. Тепловой режим в пластине - нестационарный. Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию
нелинейного дифференциального уравнения [2],[3]:
А ¿2
+ W(T,P) = рС
~dt~
0)
при удовлетворении начальным и граничным условиям при / = 0,Т(Г) = 0,1¥ = }У0
при / > О, Т = ТХ при У = О, Г = Т2 при У = к (2)
Где Х(Р(о), Т) - коэффициент теплопроводности как функция температуры, пористости и напряжения, Р(У) - объемная пористость, рСр(ТгР) - объемная удельная теплоемкость, 1¥(Т,Р) - удельная объемная мощность теплового источника. В соответствии с [1],[4], [5] аппроксимируем \(Р((5),Т), 1¥(Т,Р) функциями
А¡я2
2008
х = (Х0ТГГр)3 ~~ЬоГ)(1 + В,Т л-В2Т + ...), где ¿,¡3^2...,у,у2... - экспериментальные коэффициенты.
Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (1) ищется методом последовательных приближений [6], [7] на основе метода конечных элементов (МКЭ) [8]. Краевую задачу (1)3(2) заменяем эквивалентной ей вариационной с поиском минимума
функционала в фиксированный момент времени /! для т приближения:
дТ .
•м
2 (///-1) ~ЭГИ~
2 1 Ф _
рО'чц/О"-0 + ^("Ор^ ("-'-О
р д(
с1У лг = 1,2...
(3)
Для реализации минимума функционала (3) используем метод конечных элементов (МКЭ) [8]. При т=1 принимаем
А.(0) (7) - А,и| ,/(1 -Р)\ И/(0) (Г) = 1¥т (1 - Р\
При т>1 имеем
Разбиваем пластину по высоте сечения Н на /? элементов (отрезков) / - /,2,..,п-у 1. Обозначая 77 - искомую температуру в / - ом узле, соответственно будем иметь Т Г1 при / /, Т-Т2 при / /7 * /. Рассматривая два смежных элемента I и 2. примыкающих к узлу / и представим функционал ,/ в виде суммы: . где - средние по элементам коэффициенты теплопроводности,. - средние по элементам мощности источников тепла. Другие элементы в сумме не учитываем, так как они не содержат узел /. Аппроксимируем функцию 'температур в каждом из элементов линейным сплайном . Здесь через N¡¡,...,N22 обозначены функции . Выполняя процедуру Ритца, приходим к системе линейных дифференциальных уравнений вида:
дТ дТ дТ
-г- А +-гЧ+ ллт, - л//;\, - - л7 = о (4)
о/ с/ о/
Ч 1 - 1 ~ 1 + 1 " /-! 7
с/ о/
Решение системы (4) ищем на основе разностной схемы Кранка-Николсона, сведя ее к линейной алгебраической системе уравнений и используя метод и тераций на каждом времен ном шаге.
Вводя разностный аналог согласно |8], получим окончательно алгебраическую систему уравнений относи тельно узловых температур:
Т.
(Я!)
ос;
(т)
ф; а, + Т 1 а3 + Ф а4+ Г _ а5 + Ф^ а6 + Щ)
,/' = 2 п,
(5)
№2
2008
\2 \ со А \
Л ЗА/ /
■I оз^+соА ЬА+Х^Х +со2/?2 \А+\гЪх
где а'=1=\ "Ii vT-' 1
+ а а6 = /— +
4 ЗА/ I э \/71 ЗА/ / 6 \/71 ЗА/
Решение системы (5) на каждом временном шаге ищем итерационным методом Гаусса-Зейделя до сходимости с заданной точностью. Далее уточняем теплофизические характеристики и повторяем решение на следующем временном шаге, итерации повторяем до сходимости двух приближений по
т:(Т{т) -Г(/''~1))/Г(тМ00% < £, . Для поиска нормальных температурных напряжений в балке-стенке исходим из посылки, что длина бруса велика и краевыми эффектами можно пренебречь. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемое™ от связей [9, 10]. При полном закреплении пластинки по краям в ней возникнут напряжения, обусловленные стесненным тепловым расширением [10]
¿Су) = -Е(у).а(ТУТ(у)9 (6)
где а(Т)- средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты у, E(Y) - переменный по высоте сечения модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры. На основании [4] представим модуль Юнга следующей функциональной зависимостью:
Е(у) = Е(Т).Е(Р1 (7)
где Е(Т) = Е0 (1 + ЪХТ + Ь2Т2), Е(Р) = \ + ахР + а2Р2.
Входящие в (7) коэффициенты определяются экспериментально. Заметим, что координатная ось х проходит по нейтральному слою сечения так, что y=Y-fy. Нормальные напряжения (6) вызывают в сечении продольную силу N и момент М, определяемые по абсолютному значению по формуле
МК> h-(l-Z)
N = -Ъ \ ъ:[у)с!у, М = ~Ь | сг(у)уОу9 (8)
-Ц* -С/7
где £ - определяет положение нейтральной оси [И]. Если освободить брус от связей, то для
№2
2008
расчета действительных напряжений необходимо к напряжениям (6) добавить напряжения (>0, обусловленные силой N и моментом М, согласно (8), а_ = а, н- о" (у) + о'" (у) . Для поиска напряжений а", обусловленных силой /V, используем следующий прием. Разбиваем брус по высоте на п слоев постоянного сечения А/ ~ЬхН, (рис. 2.) с постоянными
физико-механическими характеристиками по слою Е/==сош7.
0,35
0,3
с>
<5- 0,25
Л
С 0,2
о
£ 0,15
о* 0,1
р
0,05
: О. 00&\ ■ - О. 006
ю
20
40
50
60
Рис. 2. Закон изменения пористости
Распределим продольную силу Мпо слоям, то есть N1 +N2+.... — N.
Так как А/. - М{1 / Е1А1, то из уравнения равновесия и условий совместности деформаций получим , соответственно напряжения будут равны
Л . ,=1,2
^ у
п
Считая брус многослойным, с постоянными характеристиками по толщине слоя и следуя [И], положение нейтральной линии из условия равенства нулю продольной силы при чис-
том изгибе бруса получаем равным:
0,5 Е^+^ЕА
У=2
/Л ЕЛ
Соответственно по теории изгиба многослойного бруса [11] имеем
№2
2008
На основании полученных решений, используя принцип суперпозиции, получим расчетные
формулы для температурных напряжений в стержне при различных способах его закрепления
N Е(у)уМ
а:(у) = -Е(у)-а(Т)-Т(¥) +
АуЬЛ уЕ
ы, Е.А ^ '
Ыг;'
12
Г + ЬКуг»
(9)
При наличии подвижной заделки, разрешающей радиальное перемещение, но запрещающей поворот, в (9) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в (9) остается лишь первое слагаемое. После определения ноля напряжений на первом шаге, уточняем коэффициент теплопроводности как функцию напряжений Х(Р(а), Т) заново решаем задачу теплопроводности для второго шага по времени, а затем и термоупругости. Количество шагов по времени регламентируется достижением установившегося режима. Из решения (9) как частный случай вытекает решение для однородной задачи термоупругости для балки-пластинки [9]. Проведем практическое исследование полей температур и напряжений балки-пластинки, выполненной из пористого железа. Высота пластины /7=0,02 м, ширина - произвольная (Ъ«к). Температурное ноле вызвано внутренним тепловым источником с удельной объемной мощностью ¡¥0 - 275000 . На верхней границе сечения пластины поддерживается постоянная
м • К
температура Т=120°С, на нижней границе Т=20°С. Боковые поверхности теплоизолированы. Закон изменения пористости по высоте сечения имеет линейную зависимость Р=0,006у -0,006 (Рис.3.)
-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600
<т, МП а
Рис.3.1 рафик зависимости теплопроводности от напряжений
Количество разбиений п по толщине И принято равным /7=50. Поля температур и напряжений при связанной постановке задачи представлены для моментов времени 1 и 3 с. Для сравнения приведены значения в случае несвязанной задачи соответственно для 1 и 3 с. Поля
№ 2 2008
напряжений приведены для случая закрепления пластинки по схеме скользящей заделки рис.4. На графиках по оси абсцисс показан номер конечного элемента.
Рис.4. И о л с те м п е р ату р
Рис.4. Поле напряжений для пластины, шкреплешкж по схеме скользящей заделки
Выводы
Оценено влияние закона изменения пористости, температуры и способа закрепления пластинки на НДС. Установлено, что роль порис тости, термочувствительности и связанности при нестационарном режиме нагрева существенно и требует обязательного учета се при расчетах НДС и проектировании различных конструкций.
№2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литовский Е. Я. Тсплофизические свойства огнеупоров I Е. Я. Литовский, Н.А.Пучкелевич. М.: Металлургия. 1982. 152 с.
2. Коз до б а Л. А. Метод ы решения н е л и н ейн ых з а дач те п л о п роводн о сти / Л. А. Коз доб а. M. : H ау ка. 1975. 228 с.
3. li.ïi ï е й дер П. И н же мерные п ро б л е м ы те и j i о про вод н о сти / П. Ш и е й д ер M. : И зд- во И. Л. 1960.479 с.
4. Каи ггал я 11 К). А. X ара кте р и ст и к и у п ру го ст и м ате р и ал о в п р и в ы со ких те м и е р ату р ах /10. А. Каш та j г я н. Киев: 11 ау ко в а ду м -ка. 1970. 112 с.
5. Чиркин В. С. Тсплофизические свойства материалов / В. С. Чиркин. М.: Мир. 1970. 356 с.
6. 111 л яхо в С. M. 3 а дач а те рм оу п ру го ст и дл я бал к и - п л асти н ы из п о р и сто го м атер и ал а в од н о м е р 11 о м п о л е темпер ату р / С. M. IJ J л яхо в. Э. Ф. Кр и вул и и а //11 робл ем ы г \ роч н о сти элем с и го в ко ! i стру к ци й под де й стви е м н а грузо к и рабоч и х сред : M еж вуз. научи.сб. Саратов: CI ТУ. 2003. С. 58-63.
7. Ш л яхо в С. М. ' Герм оу пру гое со стоя н и е 6aj i ки - п л асти н ы из по ристо го м ате риала в и е стаци о н а р н ом п ол е те мне рату р / С. M. 1.11л яхо в, А. В. H ф ре м о в //.А в и а ко см и ч е с к и е тех н о j i о г и и « A КТ-2006» : Труд ы с е д ьм о й M е жду нар од и о й н ау чно-техпи ч е с ко й конференции-Воропеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2006, 604с. С. 355-360.
8. Сегерлинд Ларри Дж. Применение метода конечных элементов / Ларри Дж. Сегерлинд. Под ред. В. Е. Победри. М.: Мир. 1979.392 с.
9. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Под ред. Г. С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука. 1979. 560 с.
10. 1 е йтвуд В. Е. ' Гсм п е рату р и ые нап ряже н и я / Б. Е. Г е йтвуд. M. : Изд-во И. J1. 1959.349 с.
11. Королев В. И. Упруго-пластические деформации оболочек / В. И. Королев. М.: Машиностроение. 1971. 304 с.
