Связь алгебраических спектров собственных значений и сингулярных чисел в задаче обеспечения стабильности эллипсоидных показателей качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

5

УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

СВЯЗЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СТАБИЛЬНОСТИ ЭЛЛИПСОИДНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА Т.А. Акунов, А.В. Ушаков

В работе ставится задача установления связи алгебраических спектров собственных значений и сингулярных чисел матрицы состояния динамической системы и ее фундаментальной матрицы. Задача возникает на стыке методов синтеза систем с использованием обобщенного модального управления и оценки качества этих систем с помощью эллипсоидных показателей. Решение задачи сориентировано на проблему обеспечения стабильности эллипсоидных показателей качества посредством обеспечения стабильности собственных значений и собственных векторов матрицы состояния системы.

Введение. Постановка задачи

В настоящее время одним из конструктивных методов синтеза многомерных систем управления, инвариантных относительности размерности вектора входа, является метод модального управления. Его обобщенная версия [1,2], ставящая задачу обеспечения как желаемой структуры собственных значений, так собственных векторов, позволяет доставлять собственным значениям гарантированную стабильность в условиях вариаций или неопределенности параметров матричных компонентов модельного описания исходного объекта. Одновременно в теории многомерных систем типа многомерный вход-выход для оценки качества процессов в последнее время интенсивно разрабатывается аппарат эллипсоидных показателей. Эллипсоидные показатели (оценки) [3] качества представляют собой экстремальные элементы алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы исследуемой системы своей для каждой версии изучаемых процессов (матрицы состояния, грамины управляемости и наблюдаемости, кросс-грамины, фундаментальная и переходная матрицы, матрица ковариаций и т.д.). В этой связи, если ставится задача синтеза многомерных систем управления с эллисоидными показателями качества гарантированной стабильности, алгоритмически опирающаяся на возможности модального управления, возникает необходимость установления связи между алгебраических спектров собственных значений и сингулярных чисел критериальных матриц, банк которых в настоящей работе представлен матрицей состояния динамической системы, ее фундаментальной и переходной матрицами.

Конструирование матриц связей алгебраических спектров собственных значений

и сингулярных чисел

Решение поставленной задачи осуществим на примере непрерывной многомерной системы

*(() = ^х(г) + Gg(г); х(0), у(г) = Сх(г); (1)

полученной агрегированием исходного объекта управления

х(() = Ах(г) + Ви(г); х(0), у(г) = Сх( г); (2) и регулятора, реализованного в виде прямой связи по экзогенному воздействию и обратной связи по состоянию

и ( г) = Kgg (г) + Кх(г). (3)

В (1)-(3) х, u, y, g соответственно векторы состояния, управления (входа), выхода и экзогенного воздействия, х е Rn, y е Rm, u е Rr; F,G,C, A,B,Kg,K соответственно

матрицы состояния системы, входа, выхода, матрицы состояния ОУ, управления, прямой связи по экзогенному воздействию и обратной связи по состоянию, F, A е Rnxn, G, CT е Rnxm, B, KT е Rnxr, Kg е Rrxm .

Основные результаты изложены в виде системы утверждений. Утверждение 1. Векторы а = col{x¡ j = 1,n} и Я = col\A,i;i = 1,n} составленные из сингулярных чисел а и собственных значений Д. матрицы F состояния системы (1) связаны векторно-матричным соотношением

а = ПаЛЛ , (4)

где матрица связей задается соотношением

Пая = col{t/,.)TMdiag¡M-lVt; j = Щ}i = } , (5)

в котором U и V соответственно матрицы левого и правого сингулярного базисов сингулярного разложения матрицы F, (о),. - i -ый столбец, (o)! - i -ая строка

соответствующих матричных компонентов, M и Л - матрицы собственных векторов и собственных чисел матрицы F . □

Доказательство. Применим к матрице F процедуру ее сингулярного разложения и процедуру приведения к диагональному виду с помощью матрицы собственных векторов. Тогда для матрицы F получим два представления

F = ULVT , (6)

F = MAM- , (7)

где

Z = diag{xi, i = 1, n}, A = diag{li, i = 1, n}. (8)

Разрешим соотношение (6) относительно матрицы Z сингулярных чисел в

форме

2 = UTFV. (9)

В силу (8) и (9) для сингулярного числа ai как (ii) -го элемента матрицы 2 можно записать

X =(UT)FVi =(U)TFVt. (10)

Связь ai с элементами Я алгебраического спектра собственных значений матрицы F может быть получена, если в (10) подставить (7) и с учетом (8) воспользоваться справедливостью соотношения

diag{o\ ;i = 1, n\col{()1; i = 1, n}= diag^X; i = 1, npol^; i = 1, n}, (11)

которые позволяют записать

X = (Ut )TMdiag{MJ; j = }я . (12)

Формирование столбца а из элементов (12) дает (4) с матрицей (5). ■

Степень близости матрицы (5) к диагональной или сигнатурной матрице определяется степенью близости согласованных элементов левого сингулярного базиса и собственных векторов матрицы F . По мере роста отличия геометрического спектра матрицы F от левого сингулярного базиса увеличивается отличие матрицы ПаЯ от диагонального вида.

Для переноса полученных результатов на случай матричной функции f (f) от матрицы F напомним, что она порождается рядом [5] по степеням скалярной переменной 3

f ($) = a0 + ax3 + a232 +... + ap3p + •••, at ,e R в форме

f (F) = a01 + al F + a2 F2 + • + apFp + •■■. Матричная функция f (F) от матрицы F сохраняет отношение подобия в форме (7) f (F )M = Mf (л) и геометрический спектр собственных векторов, причем ее собственные значения {f (лД i = 1, n} определяются функцией вида f ($) на спектре

Л, i = 1, n} матрицы F. К сожалению, матричная функция f (F) от матрицы F не

сохраняет геометрические спектры сингулярных базисов и не обладает в общем случае указанной функциональной связью алгебраических спектров сингулярных чисел. Ниже рассматриваются параметризованные непрерывным временем t версии матричной функции f (F) = f (F,t), представленных фундаментальной матрицей f (F) = exp(Ft) и переходной матрицей f (F) = F-1 (exp(Ft)-1)G системы (1).

Утверждение 2. Векторы af = col\afi;i = 1,п}и Äf = col\xfi;i = 1,n} составленные из сингулярных чисел afi и собственных значений Afi матричной функции f (F) от

Fri nn^n п nxn

, j (f ): R ^ R связаны векторно-матричным соотношением

af =ПалЛ , (13)

где матрица связей задается соотношением

П f = col\pfi )rMdiag{M-Vfi ); j = 1n }i = In} (14)

в котором U f и V f соответственно матрицы левого и правого сингулярного базисов в сингулярном разложении матричной функции f (F) от матрицы F □

Доказательство. Применим к матричной функции f(F) от матрицы F процедуру сингулярного разложения и процедуру приведения к диагональному виду с помощью матрицы собственных векторов матрицы F , используя свойство матричной функции от матрицы сохранять отношение подобия в форме f (F )M = Mf (л), где матрицы F, Л,M удовлетворяют (7)

Тогда для матричной функции f (F) от матрицы F получим два представления f (F ) = Uf Z fVT, (15)

f (F ) = Mf(A)M-1, (16)

где

Zf = diag{afi,i = 1,n}, f (A) = diag,i = 1,n}. (17)

Разрешим соотношение (15) относительно матрицы Zf сингулярных чисел матричной функции f (F) от матрицы F в форме

Zf = Uff (F)Vf. (18)

В силу (17) и (18) для сингулярного числа afi как (ii) -го элемента матрицы Z f можно записать

afi =(Uj Jf (F)Vf. (19)

Связь afi с элементами Xf алгебраического спектра собственных значений матричной

функции f (F) от матрицы F может быть получена, если в (19) подставить (16) и с учетом (17) воспользоваться справедливостью соотношения (11), которые позволяют записать

а, = (у )Л ); 1 = 1 пк • (20)

Формирование столбца а у из элементов (20) дает (13) с матрицей (14). ■

Основные результаты.

Установленная связь алгебраических спектров собственных значений и сингулярных чисел матрицы состояния динамической систем, ее фундаментальной и переходной матриц используется в дальнейшем для решения поставленной задачи обеспечения стабильности эллипсоидных показателей качества. При этом предполагается, что параметрические вариации таковы, что применимы методы теории чувствительности в рамках функций чувствительности первого порядка. Существуют решения задачи анализа параметрической чувствительности собственных значений [1,4] и сингулярных чисел [3] в раздельном виде. В данной работе устанавливается связь функций чувствительности собственных значений и сингулярных чисел и показывается, что контролем чувствительности собственных значений, а также собственных векторов может быть обеспечена стабильность эллипсоидных показателей качества.

Пусть матрица ¥ состояния системы (1) и как следствие матричная функция У(¥) от матрицы ¥ зависят от вектора параметров q е Яр с номинальным значением q0 в форме ¥и /{¥При этом алгебраические спектры собственных значений и сингулярных чисел и геометрические спектры собственных векторов и сингулярных базисов также обнаруживают зависимость от q так, что для q ^ q0 оказываются справедливыми представления

¥ = и (,)шут (21)

¥ = М (^Л^)М "'ф, (22)

где

Е^) = diag{xiг = 1,п}, Л^) = diag{яi= 1,п}. (23)

а (q) = а + А а, ^0, Aq), Лг (q) = Л, + АЛ, ^0, Aq). (24)

Конечные приращения сингулярных чисел Ааг и собственных чисел АЛ, с использованием соответствующих функций чувствительности первого порядка а{ и Лгк вариациям к -го элемента qk вектора параметров q определяются с помощью соотношений

Аа, (, АЯк ) = аЩ1 АЯк, АЛ, (0, АЯк ) = Лк АЯк, (25)

позволяющих записать для вариаций сингулярных чисел Ааг^0, Aq) и собственных чисел АЛг(0, Aq) вызванных вариаций всех элементов Aqk, к = 1, р вектора

д

параметров ^, используя обозначения (о (д))|?=90 = (o), (о (У)ч1 = — (о (q))|?=90.

дqk

Аа (qo, Aq)=а Кк;к =1, р jAq, АЛ , Aq)=а {лЩ1 ;к =1 р К, (26)

Вычисление функций чувствительности аг. и Л^ осуществляется с помощью

положений следующих утверждений.

Утверждение 3. Функции чувствительности собственных значений Л и

сингулярных чисел а связаны соотношением

а9к = еа^ал,, Л + П'ЛЛ; г = Щ}, (27)

где матрица-строка П'аЛдк определяется с помощью соотношения

= (и \Mdwg {(); ] = 1, и}+(Ц ^^ {м ^ ); ] = 1, и}- (и )т Mdiag {( -Мдм ^ ); 7 = Щ}+ (и )тм^ {( -1 V,); 7 = }

а вектор из функций чувствительности собственных значений А к вариациям к -го элемента )к вектора параметров ) определяется [1] с помощью соотношения

А =сЫ -1 р*м );i=^}. п (29)

Доказательство основано на прямом дифференцировании (20) с учетом

справедливости соотношения (ит) = (и )т и способа дифференцировании обратной

матрицы в форме (м =-(м)м^М . ■

Аналогичным образом может быть доказано следующее утверждение относительно связи функции чувствительности собственных значений А, и

сингулярных чисел а, матричной функции )(¥) от матрицы ¥ .

Утверждение 4. Функции чувствительности собственных значений А, и

сингулярных чисел а, матричной функции ) (¥) от матрицы ¥ связаны

соотношением

) = со1

( А Л —

Пка+п> ;i="

^ 1 А ,=,0

(30)

где матрица-строка Попределяется с помощью соотношения

П = ) Mdiag(-1УГг );] = Щ}+(ц, )TMqkdiag((м"1К>1);7 = Щ}-

(31)

- (и, У Mdiag((M-1мЧкм-V );7 = Щ}+ (и, )мdiagfм-1 ));7 = Щ}

а вектор из функций чувствительности собственных значений А, матричной функции )(¥) от матрицы ¥ к вариациям к -го элемента )к вектора параметров ) определяется [1] с помощью соотношения

А)^ = со/[ ) (¥)м ], / = 1И}, (32)

где Д(¥) = мчЫ-*/(¥)-)(¥)мЧкм-1 + м^^А А)к,'' = Ш [м"1. □

[ ' |)=)0 [ В выражениях (28), (31) вычисления функций чувствительности собственных векторов и сингулярных базисов соответствующих матриц производится с помощью соотношений [1,3,4]

Утверждение 5. Функции чувствительности м, собственных векторов матрицы ¥ состояния системы (1), и, и V, сингулярных базисов и()) и V()) к вариациям к -го элемента )к вектора параметров ) могут быть вычислены с помощью соотношений

мЩк =Т*км, (33)

.>к

/=1

/ *

(м-1 )'¥)м1 — —

--i * /; / = 1, „; к = 1, Р

81 ; i * /; г',=1,"; к=1 р (34)

а - а/

ищ ; = ; к = 1,р; г = 1,у;

1=1

1=1

где

. (ит )п аУ1 + ак (ит) П V к — —

; ~ л ' Чк - у ' Чк ; г */; гк = 0; /,/ = 1,п; к = 1,р.

а.г

п =

2 2 а -а/

к а

вк =-г

(ит) Пу +ак(ит)1 Пу . . * /.

22 а2 -а/2

* /; вп = 0; г, / = 1, п; к = 1, р □

(35)

(36)

(37)

Доказательство утверждения 5 приведено в [3]. Пример. Требуется определить связь алгебраических спектров собственных значений и сингулярных чисел для фундаментальной матрицы /(р) = ехр(() системы (1) с матрицей состояния

" 0 1 0 "

р = 0 0 1

- 80 - 66 -15

имеющей спектр собственных значений (Д = -2; Я2 = -5; Л3 = -8}.

Матрица связи П/ для моментов времени 1=0; 0.13;1.49 сек. имеет вид

" 1 0 0 " " -8.2633 51.0437 - 42.6448" " 10.7081 - 48.8442 38.2399

П / = 0 1 0 , П / = 2.3167 -2.2109 0.8854 , П / = -0.0027 4.5574 -5.4229

0 0 1 0.0126 -0.1608 0.2919 0.0000 -0.0000 0.0234

Л г ()

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

а/г Ь)

, 1

3 '

0.5

1.5

0.5

а

б

Рис. 1. Кривые: а - собственных чисел, б - сингулярных чисел фундаментальной матрицы / (р) = ехр(р/)

На рис. 1 приведены кривые: а) 1 - Лгх(г) = ехр(-2?), 2 - Лг2(г) = ехр(-5?), 3 -Лг 3(г) = ехр(-8?) .На рис.1, б) приведены кривые сингулярных чисел

5

4

3

2

0

0

0

X

а^ ((), i = 1,3 фундаментальной матрицы )(¥) = ехр(¥г), вычисленные в силу (20).

Заключение

Установленные связи собственных значений и сингулярных чисел матрицы состояния системы (1) и матричной функции )(¥) от матрицы ¥, а также их функций чувствительности позволяют корректно сформулировать требования к допустимым вариациям собственных значений и собственных векторов, которые обеспечивают требуемую стабильность эллипсоидных показателей качества.

Литература

1. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах / Т. А. Акунов, С. Алишеров, Р. О. Оморов, А. В. Ушаков; Под ред. А. В. Ушакова. Бишкек: Илим, 1991.

2. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т.43, №3. С. 8-16.

3. Акунов Т. А., Ушаков А. В. Анализ чувствительности эллипсоидных оценок качества многомерных процессов управления // Изв. вузов. Приборостроение. 1991. Т.34, №8. С. 21-27.

4. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение. 1983.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.