CC BY
38
УДК 539.3
Свойства и электроупругие поля композита с взаимообратной поляризацией пьезоактивных фаз
A.A. Паньков
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия
Представлен численный расчет эффективных технических характеристик пьезокомпозита с взаимообратной поляризацией ориентированные эллипсоидальных включений и матрицы из пьезоэлектрика PVF. Дан анализ влияния содержания включений на осредненные (по фазам) напряженности электрического поля и напряжения во включениях и матрице композита в случае нагружения композита однородным электрическим полем с напряженностью по направлению поляризации матрицы: выгавлено увеличение эффективной пьезочувствительности композита, установлен немонотонный характер изменения напряженности электрического поля и напряжений во включениях и матрице композита.
Ключевые слова: пьезокомпозит, определяющие соотношения, взаимообратная поляризация фаз, связанная краевая задача электроупругости, эффективные свойства, электроупругие поля в элементах структуры
Properties and electroelastic fields of a composite with piezoactive phases of inverse polarization
A.A. Pan’kov
Perm State Technical University, Perm, 614600, Russia
Effective characteristics of a piezocomposite with the inverse polarization of ellipsoidal inclusions and a piezoelectric polyvinylidene fluoride matrix are numerically calculated in the paper. We have analyzed the influence of the inclusion density on averaged (over phases) electric field intensities and stresses in the composite inclusions and matrix under loading in the uniform electric field with intensity directed along the matrix polarization. An increase in the effective piezosensitivity of the composite is revealed and nonmonotonic variation in electric field intensity and stresses in the composite inclusions and matrix is established.
Keywords: piezocomposite, constitutive relations, inverse polarization of phases, boundary-value problem on elecroelasticity, effective properties, electroelastic fields in structural elements
1. Электроупругие свойства
Определяющие соотношения для пьезоэлектрика [1-4] в матричной форме без учета пироэффекта имеют вид:
= Су Еу' етЕп , = ХкпЕп + ек7Е ] , (1)
где ст, Е — напряжения и деформации; D, Е — индукция и напряженность электрического поля; с, е, X — матрицы упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических свойств; 1,7 = 1,6, к, п = 1,3; тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: 11 ^ 1, 22 ^ 2, 33 ^ 3, 23 и 32 ^ 4, 13 и 31 ^ 5, 12 и 21 ^ 6. Малые упругие деформации е и напряженности Е могут быть выражены через поля перемещений и(г) элект-
рического потенциала ф(г): = иі(і,Еі = -ф ■, где ин-
дексы в круглых скобках обозначают выделение симметричной части по соответствующей паре индексов.
Через электроупругие модули в определяющих соотношениях (1) могут быть рассчитаны различные технические характеристики пьезоэлектрика [2-5], например объемный пьезомодуль, или мера чувствительности поляризации,
<і у = dзз + 2 (2)
пьезочувствительность
=^Ъ (3)
А33
фактор качества
© Паньков A.A., 2008
Л — і V £у = ТкТ’
33
гидростатический коэффициент связи і
кУ =
(4)
(5)
л/Л33«у
продольный к33, поперечный к31 и сдвиговой к15 коэф фициенты электромеханической связи:
= і33 = і31 = і15
к33 = І , к31 = і , к15 ="
3 л33
л/^З 511 л/^1 ^44
(6)
в (5) гидростатическая податливость
«у = 2 «11 + 2^12 + 4^13 + ^зз,
где компоненты матрицы s упругих податливостей
«11 - *$1111 = VЕ1, «33 - *$3333 = VЕз,
«12 _ ^1122 = -У12/Е1, «13 _ *$1133 = -У1^Е3 ,
«44 _ 4 ^1313 = V ^13 рассчитываются через компоненты тензора упругих податливостей S; компоненты матрицы пьезоэлектрических модулей в (2)-(6)
л л = е33 - 2у13е31
^33 — “333 — ,
і31 - і311 =
е31(1 У12) р33У13
і15 - 2і113 = ^15 ^13
рассчитываются через компоненты тензора пьезоэлектрических модулей
ікіу — ркрд^рдіу ;
диэлектрические постоянные при постоянном напряжении в (3)-(6)
Л1 — Л11 = Л11 + е15і15,
— Л33 — Л33 + 2^31І31 + Є'33І'3'3
рассчитываются через компоненты тензора диэлектрических постоянных при постоянном напряжении
Л С _ Л _|_ 7
Лу — Лу + Єірдіірд ,
которые входят в соответствующие определяющие соотношения
Рі = ^у37 + ІпіЕп, Пк = ЛкпЕп + іку ку,
обратные выражениям (1).
Тензоры эффективных упругих свойств C , диэлектрической проницаемости Л , пьезомеханических свойств є композита в определяющих соотношениях на макроуровне
3* = Г* Р* - р* Е*
іу ^утп тп пу п’
П* = Л* Е* + р* Р*
]пЕп 1 р]тп тп
связывают между собой соответствующие макроуров-невые (или осредненные) поля (к* и Е* — макронапряжения и макродеформации; D и E — макроиндукция и макронапряженность электрического поля) и рассчитываются по формулам [6]:
Г* = У V (Г/ А/ - р/ р/ )
утп /У^уіЬ іЬтп р у ртп;’
/=1
Лкп = У ^ / (ЛкрНрп + ркрдВрдп )’
/=1
Є.. = У -и (р/Я/ - Гу Вї )
''пу ¿—і / V ру рп урд рдп!
/=1
І/ В/ Р/ и и/
через тензоры А1, В1, Г/ и Н/ — коэффициенты разложений
Р/ = а/ Р* + В/ Е*
у ■‘±утптп -^г/п^п’
Е/ = р/ Р* + Н/Е
1 тп^тп 1 11т^'п^
осредненных по области V/ деформаций є/ и напряженности Е/ электрического поля. Например, в сингулярном приближении метода периодических составляющих [7, 8] решения для тензоров эффективных свойств пьезокомпозита с квазипериодической структурой
С* = рС р* + (1 - р) с8*,
Л* = рЛр* + (1 - р)Л8*, (7)
е* = рер* + (1 - р) е8*, где коэффициент периодичности
р—^, р є (0; 1),
п у, (8)
^1(1- ^1)
рассчитывается через и11 — относительное объемное содержание областей пересечения квазипериодической и периодической структур при их мысленном наложении друг на друга, и1 — относительное объемное содержание включений, одинаковое для квазипериодической и периодической структур. Индексами р и s обозначены тензоры эффективных свойств композитов с периодической структурой [9, 10] и структурой типа «статистическая смесь» [11, 12] соответственно.
2. Модель структуры
Структуру композита представим совокупностью ячеек в форме параллелепипеда, в которые вписаны (с небольшими прослойками) эллиптические включения. Главные оси эллипсоидов ориентированы вдоль соответствующих ребер ячейки, центры включений и ячеек совпадают. Относительное число ячеек, в которых включения отсутствуют, рассчитывается через заданное значение и1 относительного объемного содержания включений в композите и, в общем, различные вдоль каждой координатной оси г заданные минимальные
а
Таблица 1
Коэффициент периодичности р
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
р 0.11 0.24 0.41 0.65 0.97
Рис. 1. Объемный пьезомодуль іV (а), пьезочувствительность gу (5), фактор качества /у (в) и гидростатический коэффициент связи ку (г), отнесенные к соответствующим характеристикам матрицы, в зависимости от доли и1 включений: □ — слои; А—диски (д = 0.2), о — диски (д = 0.5); * — шары (д = 1); + — иглы (д = 1.5); ж — иглы (д = 2); ♦ — волокна
гарантированные относительные 5г/аг- прослойки 8г-матрицы между эллипсоидальными включениями. Вероятность отсутствия в ячейке включения
Р = 1 - VРтах (9)
определяется заданной величиной vx е (0; Ртах) и максимально допустимым значением относительного объемного содержания включений в композите:
Ртах =П[6(1 + Ы(1 + g 2 )(1 + gз)], (10)
gi _ °-5 8,-/а 0' = 1,3)
при заданных значениях минимальных гарантированных относительных прослоек матрицы 5г /а(. Считаем, что Г1 = Т2, а1 = а2, относительные минимальные про-
Рис. 2. Коэффициенты электромеханической связи к3*3 (а), к3*1 (5) и к* (в), отнесенные к соответствующим характеристикам матрицы, в зависимости от доли гих включений: □ — слои; А—диски (д = = 0.2), о — диски (д = 0.5); * — шары (д = 1); + — иглы (д = 1.5); ж — иглы (д = 2); ♦ — волокна
слойки Ьі/аі = 0.02 для всех і = 1,3, ^тах ^ 0.508; варьируемые параметры: q = а3у/ а ц2) — параметр формы включений и — относительное объемное содержание включений. При д = 1 имеем шаровые, при д >1— вытянутые или «игольчатые», при q є (0;1) — сплюснутые или «дисковые» включения. Результаты расчета коэффициента периодичностир по формуле (8) представлены в табл. 1. Отметим для рассматриваемой квазипериодической структуры независимость значений р от параметра формы включения д. Размеры ар включений в периодической структуре связаны с размерами аі включений в квазипериодической структуре через детерминированный коэффициент подобия в = 3/1 - р или в = 3V]/^тах из условия равенства относительного объемного содержания включений и размеров ячеек в обеих структурах, в є (0; 1): ар = ваі. Таким образом, в квазипериодической структуре размер включений несколько больше (а прослойки между
включениями меньше), чем в соответствующей периодической структуре, в которой включения есть в каждой ячейке без исключений.
Независимые упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические постоянные матриц трансверсально-изо-тропных электроупругих свойств пьезоэлектрика PVF с осью симметрии г3
С11 С12 С13 0 0 0
С12 С11 С13 0 0 0
С13 С13 С33 0 0 0
0 0 0 С44 0 0
0 0 0 0 С44 0
0 0 0 0 0 С Ъ6
0 0 0 0 е15 0
0 0 0 е15 0 0 ,
е3\ е31 3 3 е 0 0 0
0 ■ 0.2 0.4 \0.6 0.8 1.0 V-,
-1 ■
<7ц(2)/Ез, СІ22(2)/Ез, Н/М'В
4
азз(2)/Ез, Н/м-В
4
2
о
-2
-4
0.2 0.4 К \ 0.6 0.8 1.0 V1
Рис. 3. Осредненные напряженности Е3(^ (а), Е3(2) (б) электрического поля и напряжения ст11(1) = а22^ (в), аП(2) = а22(2) (г), а33(1 (д) и а33(2) (е) во включениях и матрице композита в зависимости от доли р1 включений
Xi 0 0
0 Xj 0
0 0 X3
приведены в [2, 4], где с11 = 0.86 • 1010 Па, с12 = 0.56 х х 1010 Па, с13 = 0.54 • 1010 Па, с33 = 0.71 • 1010 Па, с44 = 0.1 • 1010 Па, с66 = 1/2(с11 - с12) — упругие постоянные; А0 = 14.7, А3/ А0 = 12.4 — относительные диэлектрические постоянные; е31 = ± 1.1 Кл/м2, е33 = + 2.9 Кл/м2, е15 = + 2.3 Кл/м2 — пьезоэлектрические постоянные для двух случаев направления поляризации: против (для включений) и по (для матрицы) оси г3 соответственно [1]; А0 = 8.85 • 10-12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума.
3. Численный расчет
Проведем анализ влияния величины относительного объемного содержания и1 и параметра формы включений q на значения эффективных технических характеристик электроупругих свойств квазипериодического пьезокомпозита на основе PVF. Для периодической структуры эффективные электроупругие свойства пьезокомпозита рассчитываем в обобщенном сингулярном приближении со «средой сравнения» — матрица (PVF) при отсутствии включений, «зерно неоднородности» — эллипсоид [12].
Результаты расчета эффективных характеристик (2)-
(6): объемного пьезомодуля dv, пьезочувствительности gv, фактора качества /*, гидростатического коэффициента связи к¥ и коэффициентов электромеханической связи к33, к31 и к15 пьезоэлектрика с взаимообратной поляризацией ориентированных эллипсоидальных включений и матрицы Р"УР, отнесенных к соответствующим характеристикам матрицы, представлены на рис. 1, 2 в зависимости от относительной объемной доли V включений.
Рассмотрим случай нагружения пьезокомпозита однородным электрическим полем с напряженностью Е , направленной по оси поляризации г3: Е3 = 1 В/м, * * *
Е1 = Е2 = 0, при отсутствии макродеформаций Е = 0. Анализ влияния относительного объемного содержания включений и1 в композите на осредненные по фазам (включениям и матрице) напряженности электрического поля Е3(1), Е3(2) и напряжения ап(ц = а22(ц, а11(2) =а22(2) и 0-33(1) = ^33(2), отнесенные к заданной
напряженности E*, представлены на рис. 3. Отметим равенство нулю во включениях и матрице компонент осредненной напряженности электрического поля Ej = = E2 = 0 и осредненных сдвиговых напряжений ст12 =
= а13 = а23 = °-
4. Выводы
Выявлено увеличение эффективной пьезочувствительности gv композита с взаимообратной поляризацией ориентированных эллипсоидальных включений и матрицы, установлен немонотонный характер изменения напряженностей электрического поля Е3 и напряжений стп, ст22 и ст33 во включениях и матрице композита в зависимости от доли v1 включений в случае нагружения композита однородным электрическим полем с напряженностью E вдоль направления поляризации матрицы.
Литература
1. Афонин С.М. Упругие податливости, механические и регулировоч-
ные характеристики составных пьезопреобразователей // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 1. - С. 51-58.
2. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультра-
акустике. - М.: Изд-во иностр. литер., 1952. - 448 с.
3. ПартонВ.З., КудрявцевБ.А. Электромагнитоупругость пьезоэлект-
рических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
4. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А. - М.: Мир, 1966. - С. 204-326.
5. Белоконь А.В., БондаревП.М. Эффективные физико-механические
характеристики 1-3 пьезокомпозита для низкочастотных прикладных проблем // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2002. - Т. 8. - № 3. - C. 291-308.
6. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 208 с.
7. Соколкин Ю.В., Паньков A.A. Электроупругость пьезокомпозитов с нерегулярными структурами. - М.: Наука, 2003. - 180 с.
8. Паньков A.A., Соколкин Ю.В. Решение краевой задачи электроупругости для пьезоактивных композитов методом периодических составляющих // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2002. - Т. 8. - № 3. - C. 365-384.
9. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.
10. Каралюнас Р.И. Эффективные термопьезоэлектрические свойства слоистых композитов // Механика композитных материалов. -1990.- № 5. - С. 823-830.
11. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. - М.: Наука, 1970. - 175 с.
12. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1976. - 400 с.
Поступила в редакцию 27.11.2007 г.
Сведения об авторе
Паньков Андрей Анатольевич, д.ф.-м.н., профессор кафедры механики композиционных материалов и конструкций аэрокосмического факультета ПГТУ, [email protected]
