CC BY
9
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-39-45
СВОЙСТВА АКУСТИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ПЛОСКИХ ДЕФЕКТОВ
© 2018 г. М.Ю. Ремизов1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
PROPERTIES OF THE ACOUSTIC FILTER IN THE PERIODIC SYSTEM OF PLANAR DEFECTS
M.Yu. Remizov1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Ремизов Михаил Юрьевич - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Во-ровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д 344090, Россия, e-mail: [email protected]
Mikhail Yu. Remizov - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Researcher, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Определены коэффициенты отражения и прохождения в задачах о нормальном падении плоской волны на систему бесконечных периодических массивов цилиндрических полостей в упругом теле. Рассмотрен метод, позволяющий решать скалярную задачу дифракции как для одиночной полости, так и для любого их конечного числа при произвольных размерах цилиндрической решетки. В условиях низкочастотного режима задачи сводились к дискретизации основного интегрального уравнения, определенного на границе рассеивателей, расположенных в одном горизонтальном волноводе с абсолютно жесткими стенками. Полуаналитический метод, разработанный для плоских и трехмерных задач дифракции на трещинах, получил свое развитие для скалярных задач дифракции на плоской решетке цилиндров, что впервые позволило численно построить решение граничных интегральных уравнений, получить явные аналитические представления для волнового поля на границе рассеивателя и описать свойства параметров рассеяния в зависимости от внешних параметров задачи.
Ключевые слова: двоякопериодический массив, одномодовый режим, граничное интегральное уравнение, полуаналитический метод, коэффициенты отражения и прохождения, частота запирания, акустический фильтр.
The reflection and transmission coefficients in the problems of the normal plane wave incidence on the system of infinite periodic arrays of cylindrical cavities in an elastic body are determined. A method for solving the scalar diffraction problem for both a single cavity and any finite number of cavities at arbitrary sizes of a cylindrical lattice is considered. Under low-frequency conditions, the problems were reduced to the discretization of the basic integral equation defined on the boundary of the scatterers located in a single horizontal waveguide with absolutely rigid walls. The semi-analytical method developed for plane and three-dimensional problems of diffraction on cracks was developed for scalar problems of diffraction on a flat lattice of cylinders, which for the first time allowed to construct numerically the solution of boundary integral equations and to obtain explicit analytical representations for the wave field on the boundary of the diffuser and to describe the properties of the scattering parameters depending on the external parameters of the problem.
Keywords: doubly-periodic array, single-mode operation, boundary integral equation, semi-analytical method, reflection and transmission coefficients, locking frequency, acoustic filter.
Исследуются новейшие свойства метаматериа-лов с применением в механической, электромагнитной и акустической областях [1—3]. Большинство теоретических подходов основывается на использовании численных методов, таких как методы
конечных или граничных элементов. В последние годы развивается и экспериментальная база, посвященная данной теме. Существуют также полуаналитические методы, применяемые для бесконечных или полубесконечных периодических струк-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
тур, которые основаны на некоторых асимптотических оценках (низкочастотных или высокочастотных) и справедливы только в дальней зоне волнового поля [4-7]. В [8-12] приведены аналитические формулы для коэффициентов отражения и прохождения в низкочастотном диапазоне скалярных акустических или электромагнитных и упругих волн, проникающих через периодические системы отверстий произвольной формы и объемных препятствий. По двумерным задачам о распространении волн через периодическую решетку экранов в упругих телах [13, 14] можно отнести к одноперио-дической системе трещин, [15, 16] - к двоякопери-одической. В [17-19] решены задачи дифракции на плоской решетке цилиндрических полостей. Следует отметить, что проводился анализ волновых свойств упругих сред, содержащих периодические структуры и более сложной физической природы - поры, включения [20-22].
Некоторые аспекты акустических метаматериа-лов, обладающих свойством запирания распространяющейся волны на определенных частотах за счет их наполнения отверстиями произвольной формы и объемными препятствиями в виде периодических структур, обсуждаются в [23-27].
Для изучения фильтрационных свойств метама-териалов рассматривается нормальное падение
*-» inc ikx-t
плоской волны p = e 1 в неограниченной среде на двоякопериодическую систему бесконечных по направлению x3 M(> 2) массивов, каждый из которых представляет собой однопериодическую систему отверстий, вертикально расположенных при x=0, d, 2d,...(M-1)d . Вследствие симметрии решения в каждом сечении Х3 = const будут одинаковыми. Поэтому вопрос сводится к рассмотрению плоского волновода шириной d , куда войдут M (> 2) отверстий (рис. 1).
Считаем, что при нормальном падении волны i(kxi -rot)
e v 1 имеет место режим распространения одной моды при kd/2< л, где к - волновое число; d - период данной системы в вертикальном и горизонтальном направлениях. Полуаналитические результаты получены для случая, когда расстояние между соседними параллельными массивами d и длина падающей волны X = 2л / к являются такими, что выполняются условия ro < d /2; X / d >>1. В результате удается обнаружить ряд новых физических свойств, характерных для скалярного случая.
Предполагается, что общее волновое поле есть сумма падающих и отраженных волн
inc , sc sc
Р = P + P , где p - рассеянная составляющая;
гармонический временной множитель берется в
-¡Ш у,
виде е и далее опускается. В такой постановке волновое поле удовлетворяет уравнению Гельм-гольца
Ap + к 2 p = 0.
(1)
Рис. 1. Падение плоской волны на периодический массив бесконечных цилиндрических отверстий / Fig. 1. Incidence of the plane wave on a periodic array of infinite cylindrical holes
Наличие массива отверстий в среде учитывается при удовлетворении граничного условия. Предположение неподвижности (жесткости) границы отверстия соответствует условию типа Неймана vn h =0, где v - вектор скорости; n - вектор нормали, направленный наружу к границе; l - контур границы.
Это граничное условие непроницаемости может быть выражено в терминах давления ( v = 1/ipю-dp/dn ).
dp dn
= 0,
dp1'
dn
dps
dn
Согласно [27], в случае бесконечного массива отверстий вдоль Х2 сведение задачи к решению в слое возможно только для граничного контура, симметричного относительно х^ (поперечное сечение каждого цилиндрического отверстия должно иметь симметричную форму относительно ). При
i
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
этом сечения различных отверстий внутри выбранного горизонтального слоя могут отличаться друг от друга. Зададим количество вертикальных рядов отверстий в массиве (М ) и в одном ряду (N). Бесконечному вдоль Х2 массиву соответствует N = ж . Таким образом, для N = ж задача сводится к решению в слое и будут учитываться только отверстия, расположенные в этом слое. Поэтому I = ^М/./.
Для акустически жесткой границы метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) сводит задачу дифракции к интегральному уравнению Фред-гольма второго рода на границе дифракционного тела:
1 Р( x) -J
2 l
Р( 7)
5Ф( x)
dn
7
dly = e'^1, x e l,
(2)
Jk\yl - x1\ 2kd
Ф( 7, x) =-—-— +
+ +£ e"Pnl7i-xi|ccs[(2^n/d)(72 - X2)]
n=l ßnd '
где ограничение по частоте гарантирует, что Ри = ^(2пп/а)2 - к2 > 0. Формулы, полученные в [3, 27], позволяют выполнить численное решение опи-
санной проблемы методами граничных элементов и коллокации, для чего контур каждого отверстия делится на конечное число п малых контуров, что позволяет заменить интеграл в (2) суммой п интегралов. Для двоякопериодического массива отверстий интеграл заменяется двойной суммой, где первое суммирование будет происходить по контурам всех отверстий.
Р( 7)
дФ( 7; x)
dn,,
dl 7 =
M n j=1m=1l
i
jm
Р( y)
дФ( 7; x)
dn,,
(3)
dl
jm
где х = (хь Х2), 7 = (71,72). Функция Грина Ф(у; х) выражается в терминах функции Ханкеля Ф(7, х)= 7'/4Н(1)(к | х - 71), что приводит к соотношению
дФ( 7,х) = - кн (1)(кг)^Г,П7) дп7 4 1 г
где г =| х - 71 - расстояние между двумя точками на контуре. В такой постановке интегрирование проводится вдоль границы каждого отверстия, представленного в текущей среде. Очевидно, что при бесконечном количестве отверстий в одном из направлений такой расчет не может быть сделан «в лоб». Однако, как показано в [27], в случае нормального падения волн и симметричных дырок относительно х1 задачу можно свести к решению в одном слое. Фундаментальное решение волнового уравнения (1), действительного в одном слое, можно получить при дополнительных условиях периодичности
Р( 71,0) = р( 71, а), -¿^ (71,0) = (71, а) д72 д72
в одномодовом режиме распространении волны к < 2 тс / а, где а - толщина одного горизонтального слоя. Тогда функция Грина выражается формулой [3, 27]
Для бесконечной однопериодической системы, расположенной вдоль вертикальной оси, суммирование по у не ведется (М = 1). Рассматривается единственный контур.
Узлы расчетной сетки располагаются в центре каждого малого контура 1ут. Следуя методу кол-
локации, как «внешние» (х), так и «внутренние» (7 ) точки в уравнении (3) будут пробегать одно и то же множество узлов. При условии, что введенные контуры достаточно малы, подынтегральную функцию можно заменить ее значением на узле, соответствующим текущему контуру. Поскольку интеграл постоянного значения известен, это приводит к дискретной форме основного интегрального уравнения задачи
1 Р( х™) -
NM n
- z z
j=1m=1 xuw e l
Р( 7jm)
dФ( 7jm; xuw) dn7m
1 ikx-t
tijm = e 1!
(4)
Заметим, что когда точки обеих переменных лежат на одном вычислительном узле хут = 7ут, в
ядре возникает сингулярность, которая может быть высчитана точно, если брать интеграл по малому контуру. Известно, что вклад этого значения мал по сравнению с вкладом 1/2 первого члена ГИУ (4), поэтому в численном расчете им можно пренебречь.
Зная распределение волнового поля на границе, можно получить поле отраженного и полного давления в произвольной точке текущей среды. Согласно методу ГИУ [19, 20], рассеянное волновое поле в произвольной точке имеет следующее интегральное представление:
PSC (z) = J
Р( 7)
dФ( 7; z)
dn,,
dl.
z € l.
l
l
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Далее общее волновое поле в заданной точке вычисляется как
_ SCs\, inc, \ z) = p (z) + p (z) .
Приближенные формулы дальней зоны, выраженные в терминах коэффициентов отражения R и прохождения T для бесконечного вдоль оси Х2 массива, получены в [3, 27]
psc (z) = Re~ikxi, p(z) = Teikxi , где коэффициенты записываются в виде интегралов
R = i p( y)eikyi ni( y)dly,
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
2d 1l
T = 1 + т-ji p( y)e 2d l
ni( y)dlv.
Отметим, что значения Я и Т могут быть получены только в бесконечном случае (рис. 2-4).
Рис. 3. Функция | R(ro) | для M = i5 : кривая 1 -kd /2 = 0,3л ; кривая 2 - kd/2 = 0,6л ; кривая 3 -kd/2 = 0,9л / Fig. 3. The function | R(r0) | for M = i5 : curve 1 - kd/2 = 0.3л, curve 2 - kd/2 = 0.6л , curve 3 -kd/2 = 0.9л
Рис. 2. Функции | R(kd/2) |: а - M = i5, кривая 1 -r0 = 0,0075 i, кривая 2 - r0 = 0,0i i; б - М=10; 20; 30 / Fig. 2. The function | R(kd/2) |: a - M = i5, curve 1 -0 = 0.0075 m, curve 2 - r0 = 0.0i m; b - M = i0, 20, 30
Рис. 4. Функции | R(d) | для M = i0, k = !5л i/ i : кривая 1 -r0 = 0,0075 i, кривая 2 - r0 = 0,0ii / Fig. 4. The function | R(d) | for M = i0, k = 15л i/m : curve 1 -r0 = 0.0075 m , curve 2 - r0 = 0.0im
Как и для системы трещин [7-9, 13-16], при численном анализе качественных свойств рассматриваемой геометрии неоднородностей в рамках предложенного здесь метода сделаем основной акцент на физических свойствах системы как акустического фильтра. Исследуем возможность использования рассматриваемой правильной решетки искусственных отверстий, изготовленных в упругом материале, для организации частотных интервалов запирания при прохождении плоской продольной волны. В численных экспериментах данного исследования для решения системы линей-
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
ных алгебраических уравнений были взяты минимум по n= 25 =32 узла. Рассмотрены круглые отверстия радиусом ro = 0,0075 i . Расстояние между двумя соседними отверстиями принято одинаковым в обоих направлениях и равным толщине слоя d = 0,02 i. В качестве моделируемой среды распространения волны использовалась сталь со скоростью продольной волны c = 6000 i/c. При этом ограничение к < 2л / d позволяет сравнивать оба метода до частоты, не превышающей значения f = 300 KHz.
Здесь не демонстрируются графики для коэффициента прохождения | T |, так как он связан с коэффициентом отражения | R | простым
энергетическим соотношением | R |2 +1T |2 = 1, которое постоянно контролировалось при выполнении расчетов.
Выводы
1. Поведение функции | R(kd/2)| для системы из конечного множества периодических систем при выборе размера неоднородности r0 характеризуется тем же свойством - интервалы запирания с ростом r0 смещаются влево и превращаются в один, который полностью охватывает весь одномодовый диапазон. В связи с этим управление волновым процессом с помощью выбора размера неоднородности оказывается весьма эффективным. Из рис. 2а следует, что полное запирание волнового канала достигается лишь для наибольшего размера отверстия 2r0 « d, когда диаметр становится близок к ширине волновода, что не противоречит физике процесса. В примере для 15 систем график функции | R(kd/2)| сразу выходит на постоянное поведение на всем интервале без частот пропускания где-нибудь в средней области (кривая 2). Для меньшего диаметра отверстия имеются две выделяющиеся полосы запирания на средних (1< kd /2 <2) и высоких частотах (kd /2 >2,6) (кривая 1). Необходимо отметить, что выбор более крупных отверстий в подобных частотных фильтрах является самым эффективным, так как это позволяет создать режимы фильтрации в произвольной точке одномодового частотного диапазона, отличного от предельно больших частот.
2. Анализ рис. 2б позволяет сделать вывод о том, что обнаруженные два запирающих интервала частот остаются неподвижными как для десяти, так и для большего числа периодических систем. Картины для 10, 20 и 30 систем зрительно не различимы между собой.
3. При управлении зависимостью | R(r0) | при фиксированой частоте наблюдается различный характер поведения (рис. 3). Чем больше частота (кривая 3), тем раньше функция | R(^)| превращается в постоянную со значением, равным единице на всем одномодовом интервале. Для малой и средней частоты диапазона (кривые 1, 2) имеются дискретные радиусы, при которых наблюдается пропускание.
4. Для заданных r0 и k у функции | R(d) |дости-гаются как локальные максимумы, так и минимумы, что соответствует росту и снижению отражения соответственно. При этом выделяется интервал, на котором создается полное отражение (рис. 4). Такие значения расположены в середине рассмотренного диапазона изменения величины d . Большему размеру отверстия соответствует более широкий интервал по d , на котором наступает полное отражение волны. Таким образом, при большем числе периодических систем имеющееся свойство акустических фильтров достигается не только для относительно крупных отверстий, что вполне естественно, а также при их среднем размере.
Автор выражает благодарность профессору ЮФУ М.А. Сумбатяну за внимание к работе и ценные замечания.
Литература
1. Guenneau S., Craster R. V. Acoustic Metamaterials Negative Refraction, Imaging, Lensing and Cloaking. Dordrecht; Heidelberg; New York; London: Springer, 2013. 324 р.
2. Deymier P.A. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2013. 378 p.
3. Popuzin V.V., Zotov V.M., Sumbatyan M.A. Theoretical and experimental study of an acoustically active material containing a doubly-periodic system of cylindrical holes // Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications / ed. by S.-H. C.R. B. Hamil, I.A. Parinov and M.A. Jani. Springer, Proceedings in Physics. Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer, 2017. P. 293-308.
4. Шендеров Е.Л. Прохождения звука через жесткий экран конечной толщины с отверстиями // Акуст. журн. 1970. Т. 16, № 2. С. 295-304.
5. Achenbach J.D., Li Z.L. Reflection and transmission of scalar waves by a periodic array of screens // Wave Motion. 1986. № 8. P. 225-234.
6. Miles J.W. On Rayleigh scattering by a grating // Wave Motion. 1982. № 4. P. 285-292.
7. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On the oblique wave penetration in elastic solids with a doubly periodic
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
array of cracks // Quarterly of Applied Mathematics. 2000. № 58. P. 239-250.
8. Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. On the theory of acoustic metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles // Advan. Struct. Materials. 2017. Vol. 41. P. 19-33.
9. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Wave Motion. 1997. № 25. P. 61-72.
10. Zarrillo G., Aguiar K. Closed-form low frequency solutions for electromagnetic waves through a frequency selective surface // IEEE Trans. Anten. Prop. 1988. № AP-35. P. 1406-1417.
11. Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A. 3-D one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks // Mathematics and Mechanics of Solids. 2018. Vol. 23 (4). P. 636-650.
12. Scarpetta E., Tibullo V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings // Int. J. Eng. Sci. 2008. № 46. P. 105-111.
13. Angel Y.C., Achenbach J.D. Harmonic waves in an elastic solid con-taining a doubly periodic array of cracks // Wave Motion. 1987. № 9. P. 377-385.
14. Scarpetta E. In-plane problem for wave propagation through elastic solids with a periodic array of cracks // Acta Mechanica. 2002. № 154. P. 179-187.
15.Angel Y.C., Bolshakov A. In-plane waves in an elastic solid containing a cracked slab region // Wave Motion. 2000. № 31. P. 297-315.
16.Mykhaskiv V.V., Zhbadynskyi I.Ya., Zhang Ch. Dynamic stresses due to time-harmonic elastic wave incidence on doubly periodic array of penny-shaped cracks // J. Math. Sci. 2014. № 203. P. 114-122.
17. Глазанов В.Е. Дифракция плоской продольной волны на решетке из цилиндрических полостей в упругой среде // Акуст. журн. 1967. Т. 13, № 3. С. 352-360.
18. Клюкин И.И., Чабанов В.Е. Дифракция звука на плоской решетке цилиндров // Акуст. журн. 1974. Т. 20, № 6. С. 848-856.
19. Сумбатян М.А., Чупахин А.А. Прохождение плоской волны через упругую среду, содержащую периодическую систему объемных дефектов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 37-38.
20. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Wave propagation through elastic solids with a periodic array of arbitrarily shaped defects // Math. and Comp. Modelling. 2003. Vol. 37, iss. 1, 2. P. 19-28.
21. Datta S.K. Diffraction of plane elastic waves by ellipsoidal inclusions // J. of the Acoustical Society of America. 1977. Vol. 61. P. 1432-1437.
22. Willis J.R. A polarization approach to the scattering of elastic waves - II. Multiple scattering from inclusions // J. of Mechanics and Physics of Solids. 1980. Vol. 28. P. 307-327.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
23. Liu Z., ZhangX., Mao Y., Zhu Y.Y., Yang Z., Chan C.T., Sheng P. Locally resonant sonic materials // Science. 2000. № 289 (5485). P. 1734-1736.
24. Craster R.V., Guenneau S. Acoustic Metamaterials. Springer Series in Materials Science. Dordrecht: Springer, 2013. № 166.
25. Huang H.H., Sun C.T., Huang G.L. On the negative effective mass density in acoustic metamaterials // Int. J. Eng. Sci. 2009. № 47. P. 610-617.
26. Yang Ch., Achenbach J.D. Time domain scattering of elastic waves by a cavity, represented by radiation from equivalent body forces // Int. J. Eng. Sci. 2017. № 115. P. 43-50.
27. Twersky V. Multiple scattering of sound by a periodic line of obstacles // The J. of the Acoustical Society of America. 1973. Vol. 53, iss. 1.
References
1. Guenneau S., Craster R.V. Acoustic Metamaterials Negative Refraction, Imaging, Lensing and Cloaking. Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2013, 324 p.
2. Deymier P.A. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013, 378 p.
3. Popuzin V.V., Zotov V.M., Sumbatyan M.A. Theoretical and experimental study of an acoustically active material containing a doubly-periodic system of cylindrical holes. Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications. Ed. by S.-H. C.R. B. Hamil, I.A. Parinov and M.A. Jani. Proceedings in Physics. Heidelberg, New York, Dordrecht, London: Springer, 2017, pp. 293-308.
4. Shenderov E.L. Prokhozhdeniya zvuka cherez zhestkii ekran konechnoi tolshchiny s otverstiyami [Propagation of sound through a screen of arbitrary wave thickness with gaps]. Akust. zhurn. 1970, vol. 16, No. 2, pp. 295-304.
5. Achenbach J.D., Li Z.L. Reflection and transmission of scalar waves by a periodic array of screens. Wave Motion. 1986, No. 8, pp. 225-234.
6. Miles J.W. On Rayleigh scattering by a grating. Wave Motion. 1982, No. 4, pp. 285-292.
7. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On the oblique wave penetration in elastic solids with a doubly periodic array of cracks. Quarterly of Applied Mathematics. 2000, No. 58, pp. 239-250.
8. Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. On the theory of acoustic metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles. Advan. Struct. Materials. 2017, vol. 41, pp. 19-33.
9. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks. Wave Motion. 1997, No. 25, pp. 6172.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
10. Zarrillo G., Aguiar K. Closed-form low frequency solutions for electromagnetic waves through a frequency selective surface. IEEE Trans. Anten. Prop. 1988, No. AP-35, pp. 1406-1417.
11. Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A. 3-D one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks. Mathematics and Mechanics of Solids. 2018, vol. 23 (4), pp. 636-650.
12. Scarpetta E., Tibullo V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings. Int. J. Eng. Sci. 2008, No. 46, pp. 105-111.
13. Angel Y.C., Achenbach J.D. Harmonic waves in an elastic solid con-taining a doubly periodic array of cracks. Wave Motion. 1987, No. 9, pp. 377-385.
14. Scarpetta E. In-plane problem for wave propagation through elastic solids with a periodic array of cracks. Acta Mechanica. 2002, No. 154, pp. 179-187.
15. Angel Y.C., Bolshakov A. In-plane waves in an elastic solid containing a cracked slab region. Wave Motion. 2000, No. 31, pp. 297-315.
16. Mykhaskiv V.V., Zhbadynskyi I.Ya., Zhang Ch. Dynamic stresses due to time-harmonic elastic wave incidence on doubly periodic array of penny-shaped cracks. J. Math. Sci. 2014, No. 203, pp. 114-122.
17. Glazanov V.E. Difraktsiya ploskoi prodol'noi volny na reshetke iz tsilindricheskikh polostei v uprugoi srede [Plane longitudinal wave diffraction on a grating of cylindrical cavities in an elastic medium]. Akust. zhurn. 1967, vol. 13, No. 3, pp. 352-360.
18. Klyukin I.I., Chabanov V.E. Difraktsiya zvuka na ploskoi reshetke tsilindrov [Sound diffraction on a plane grating of cylinders]. Akust. zhurn. 1974, vol. 20, No. 6, pp. 848-856.
19. Sumbatyan M.A., Chupakhin A.A. Prokhozhdenie ploskoi volny cherez upruguyu sredu, soderzhashchuyu periodicheskuyu sistemu ob"emnykh defektov [Plane wave propagation through an elastic medium with a periodic system of volumetric defects]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 1999, No. 4, pp. 37-38.
20. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Wave propagation through elastic solids with a periodic array of arbitrarily shaped defects. Math. and Comp. Modelling. 2003, vol. 37, iss. 1, 2, pp. 19-28.
21. Datta S.K. Diffraction of plane elastic waves by ellipsoidal inclusions. J. of the Acoustical Society of America. 1977, vol. 61, pp. 1432-1437.
22. Willis J.R A polarization approach to the scattering of elastic waves - II. Multiple scattering from inclusions. J. of Mechanics and Physics of Solids. 1980, vol. 28, pp. 307-327.
23. Liu Z., Zhang X., Mao Y., Zhu Y.Y., Yang Z., Chan C.T., Sheng P. Locally resonant sonic materials. Science. 2000, No. 289 (5485), pp. 1734-1736.
24. Craster R.V., Guenneau S. Acoustic Metamaterials. Springer Series in Materials Science. Dordrecht: Springer, 2013, No. 166.
25. Huang H.H., Sun C.T., Huang G.L. On the negative effective mass density in acoustic metamaterials. Int. J. Eng. Sci. 2009, No. 47, pp. 610-617.
26. Yang Ch., Achenbach J.D. Time domain scattering of elastic waves by a cavity, represented by radiation from equivalent body forces. Int. J. Eng. Sci. 2017, No. 115, pp. 43-50.
27. Twersky V. Multiple scattering of sound by a periodic line of obstacles. The J. of the Acoustical Society of America. 1973, vol. 53, iss. 1.
Поступила в редакцию /Received
14 мая 2018 г. /May 14, 2018
