CC BY
49
Кудина Л.И.
Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ
На основе уравнений, учитывающих все компоненты напряженно-деформированного состояния и все инерционные составляющие поперечного сечения, решена задача об определении частот собственных колебаний пологой оболочки из ортотропного материала. Получена дополнительная частота свободных колебаний, связанная с учетом обжатия материала оболочки по толщине. Проведено количественное исследование влияния сжимаемости материала оболочки в трансверсальном направлении на величину низшей частоты собственных колебаний.
Ключевые слова: пологая ортотропная оболочка, собственные колебания, уточненная теория Тимошенко, гипотеза «нежесткой» нормали.
Непрерывно расширяющееся применение композиционных материалов в несущих элементах конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах, привело к тому, что в последние годы резко возросла актуальность разработки проблем деформирования и прочности оболочек из композитов.
Большое значение для разработки сложных проблем динамики имеет и решение задач о собственных колебаниях конструкционных элементов. При исследовании вынужденных и параметрических колебаний, флаттера, нестационарного деформирования, динамической потери устойчивости и других процессов прямо или косвенно используется информация о большом количестве частот и форм собственных колебаний.
Специфические особенности композиционных материалов, такие как существенная анизотропия механических свойств, низкая сдвиговая жесткость, повышенная податливость в поперечном направлении, делают неприемлемым использование положений классической теории оболочек и требуют более полного и точного описания напряженно-деформированного состояния конструкций, выполненных из таких материалов.
Одним из недостатков всех динамических теорий, основанных на гипотезе несжимаемой нормали, является неучет деформаций обжатия по толщине оболочки.
С целью изучения влияния сжимаемости материала по толщине на величину частот собственных колебаний была проведена серия расчетов пологих оболочек двоякой кривизны, выполненных из однонаправлено-армированно-го углепластика.
Для решения поставленной задачи использовались уравнения, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния и все инерционные составляющие поперечного сечения.
Физические компоненты вектора перемещения произвольной точки оболочки как функции ортогональных координат «смешанного» типа а1; а2,2 и времени Ь с учетом принятой кинематической гипотезы
и;(аь а2,гД) = и0 (а1; а2Д) +
+ ^0(а1, а2,0;0 = 1,2,3), (1)
где и; = и°( а1, а2Д) - компоненты вектора перемещения точки «нулевой» (2=0) координатной поверхности;
=у°(а1,а2Д) - функции поперечных сдвигов и обжатия элементарного слоя, выделенного в окрестности «нулевой» координатной поверхности оболочки.
Соотношения (1) определяют кинематически однородную модель оболочки с «нежесткой» нормалью для тела с шестью степенями свободы.
Исходя из выражений для компонентов тензора деформации объемного тела в ортогональных криволинейных координатах [1] , компоненты тензора деформации оболочек при «среднем» (по классификации Х.М. Муштари [2]) изгибе имеют вид:
£у = (е§ + 2X0 + 224)/Н;Н^ (1 = 1,2,3). (2)
Здесь
2еН(1 = 1)1 = д е0 + д е0 + р0р0 .
еу(; ф1)=+ еве£;
2%Н(1 = .¡Л =д к0 + д к0 + д , е0 + д , 0
Ху(1 ф ¡) | дК1 + д1К1е11 + ^ЛГЦ.
2^и(; 1)1 =д к к0 + дк £°-
1 ф ¡) 1=^4 + д1к1кц;
р0 =р0 -А е0 + е0. х0 =х0 =д К0 +Аке°- Р° = е0 ■ Ь31 = чз = д;ез; + Чз» Хэ1 =Х13 =д1 Ь13 +ЛiKieзi» ьзз = езз.
Хзз = ^зз = ^з; = ^з = 0; (Ау = 12 ; ф ¡)-
(3)
Параметры деформации еу и Ку для рассматриваемого класса оболочек определяются соотношениями
е° = Оу(и0). Ку = О°(у0); (; = 1; 1 = 1,2,3); е^ = у9. К01 = 0; (; = 3.1 = 1,2,3),
(4)
где D0 - линейный дифференциальный оператор вида
О0( ) = ^Т(---)9,;/+ §;к;(...)з. (i,j =1,2);
^(...)з,;/Л; - к; (•••);. (; = 1,2.9 = 3). (5)
Соотношения (2)-(5) получены в предположении, что параметры Ламе д; = Л;(а1,а2) и главные кривизны координатной поверхности к; = к;(а1,а2). (; = 1,2), являясь функциями ортогональных координат «смешанного» типа, при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Для вывода уравнений движения и соответствующих им граничных условий использовался принцип Гамильтона-Остроградского
51 =| (5К - 5П + = 0, (6)
10
где 5К - вариация кинетической энергии системы;
5П - вариация потенциальной энергии деформации оболочки;
5д - элементарная работа внешних сил, действующих на оболочку.
В результате преобразования (7) получена система уравнений движения пологой оболочки в перемещениях, учитывающа я обжатие оболочки по толщине в процессе деформирования и все составляющие инерции поперечного сечения оболочки:
X К;(И?) + Ькр(¥“)|+]^^3‘Ьк;(и0) + Рк + РО, = 0. (к = 1,2). ;=1 ;=1
X {^3;(и0) + Ьзр(¥?)}+Хи^ {^;1(и0) + Ь;2(И0) + Ь;6(¥0)}+
;=1 ;=1 д;
+ Рз + РО3 = 0.
¿{ьи(и?) + Ькр(¥?)}+ Фк + ФОк = 0. (к = 4,5).
2 и°.
Х{"6;(и?) + Ь6р(¥?)}+Х и3^ ) + Ь85(У0)}+ Фз
;=1 ;=1
+ ФО3 = 0. (р = к + 3. б =; + 3).
Здесь Ьу - дифференциальные операторы,
определяемые в [3].
Сведение исходной многомерной задачи к одномерной относительно временной координате Ь осуществляется с помощью метода Власова при аппроксимации функций перемещения, сдвига и обжатия обобщенными рядами Фурье с неизвестными функциональными коэффициентами. В результате применения стандартной процедуры Бубнова-Галеркина исходная краевая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:
[оГ'^'Г } + [кт { }= 0.
(8)
где {и1^ }= ик1 ик1 укт ук1 у!1 };
[Э]; [Вкт] - симметричные матрицы с ненулевыми коэффициентами.
Уравнения (8) позволяют получить для каждой фиксированной пары гармоник к и т шесть собственных частот, соответствующих различным формам колебаний.
В качестве объекта исследования были рассмотрены пологие прямоугольные в плане оболочки с шарнирным опиранием сторон при различных параметрах ортотропии материала (отношениях модулей упругости Е1/Е3 и модулей сдвига G12 / Gi3■ (; = 1,2)) и различных значениях относительной толщины Ь/И. Результаты расчета сравнивались с аналогичными значениями, полученными в предположении бесконечной жесткости материала в трансверсаль-ном направлении ( Е3 = ^ ).
Не рассматривая специально вопроса об идентификации частот, т. е. о соответствии определенной форме колебаний, будем иметь в виду, что частота ю^т соответствует изгибным колебаниям, а частота ю^т связана с учетом сжимаемости материала оболочки в трансвер-сальном направлении.
Введем в рассмотрение относительную поправку
5кт
( ,,.изг,Т Юкт - 1
,.изг
Юкт
■ 100%,
(9)
(7)
где Ют - частота изгибных колебаний, получаемая из (8);
Ют Т - частота изгибных колебаний, получаемая из (8) в предположении бесконечной
жесткости материала в трансверсальном направлении ( Е3 = ^ ).
На рисунке 1 представлена зависимость поправки 8кт, вносимой в значение частоты изгибных колебаний с учетом трансверсальной податливости материала оболочки, от числа волн m при двух значениях k и фиксированных параметрах ортотропии материала El/E3 и G12 / Gi3 для пологих оболочек различной относительной толщины.
Из полученных результатов следует, что учет сжимаемости материала в трансверсаль-ном направлении вносит ощутимые поправки при длинах волн, сопоставимых с относительной толщиной оболочки.
Погрешность 8кт монотонно возрастает с увеличением отношения модулей упругости E1/E3, достигая 5-8% для оболочек с отношением E1/E3 = 20 + 50. Из проведенных расчетов также следует, что погрешность определения частоты изгибных колебаний Skm монотонно возрастает с увеличением отношения модулей поперечных сдвигов G12 /Gi3 и отношения R/h.
На рисунке 2 приведен график зависимости отношения œ^/ œkm от числа волн m при двух фиксированных значениях k для оболочек
Рисунок 1. Зависимость 5(ш) для пологой оболочки при k=10, k=20 и R/h=5(1); 10(2); 20(3)
Рисунок 2. Зависимость ак^* / ют от т при к=1 для пологих оболочек при И/Ь=5(1); 10(2); 20(3)
с различным значением отношения R/h и фиксированных параметрах ортотропии материала Е1 /Е3 и Gl2 /Giз.
Из приведенных на рисунке 2 результатов следует, что дополнительная частота свободных колебаний оболочки ю^, получаемая при учете динамического обжатия материала, располагается в средней части спектра и приближается к минимальной частоте по мере роста толщины оболочки, имея меньшее значение, чем частоты толщинно-сдвиговых и толщинно-крутильных колебаний оболочки.
Так для оболочек с отношением R/h < 20 дополнительная частота ю^ попадает в среднюю часть спектра (ю^ / ю£1 < 10) уже при относительно невысоких формах волнообразования, причем это отношение тем меньше, чем больше толщина оболочки.
Кривые, представленные на рисунке 3, позволяют судить об изменении отношения ю^ / ю^т для оболочек различной относительной толщины h/R при изменении параметра ортотропии материала Е1 / Е3. Цифры у кривых соответствуют значениям Е1/Е3 = 10(1); 20(2); 50(3); 100(4).
Кривые, представленные на рисунках 4 и 5, позволяют судить об изменении отношения
Рисунок 3. Зависимость ю^*/ от R/h
при k=1 и m=1
значениям E1 /Е3 = 10(1); 20(2); 50(3); 100(4).
<* / «кт для оболочек различной относительной толщины Ь/И при изменении параметров ортотропии материала Е1 /Е3 иG12/Giз(i = 1,2).
Вид полученных зависимостей качественно одинаков: все они имеют монотонный характер. Отношение ю^/ «е уменьшается с ростом Е1/Е3 и G12/Gi3. В рассматриваемом диапазоне волн (к,т = 1+5) отношение частот / «С не превышает 10 и с увеличением
относительной толщины Ь/И и значений гармоник к и т в продольном и поперечном направлении быстро приближается к почти постоянному значению.
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что погрешность расчета низшей частоты собственных колебаний ортотропных оболочек, возникающая при наделении материала бесконечной жесткостью в трансверсаль-ном направлении, существенно зависит от параметров ортотропии материала Е1/Е3 и
^2^3 .
Оценки пределов применимости гипотезы «несжимаемой» нормали, полученные на основе расчетов изотропных материалов и касающиеся только геометрических параметров и
Рисунок 5. Зависимость ю^/ «¡т от И/Ь.
Цифры у кривых соответствуют значениям 012/Ов = 1(1); 10(2)
форм волнообразования, непригодны для оболочек из анизотропных материалов.
Учет сжимаемости материала оболочки по толщине в процессе динамического деформирования ведет к расширению частотного спектра конструкции за счет появления дополнительных частот, располагающихся в средней части спектра, что необходимо учитывать при динамическом расчете оболочеч-ных конструкций из материалов с ярко выраженной анизотропией.
12.11.12
Список литературы:
1. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. - Л. : Судпромгиз, 1958. - 370 с.
2. Муштари, Х. М. Теория пологих ортотропных оболочек средней толщины / Х. М. Муштари, И. Г. Терегулов // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. - 1959. - № 6. - С. 60-67.
3. Кудина, Л. И. Нелинейная уточненная динамика пологих ортотропных оболочек средней толщины / Л. И. Кудина ; Лен. инж.-строит. ин-т. - Ленинград, 1990. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.90, № 2026-В90.
Сведения об авторе:
Кудина Лариса Ивановна, заведующий кафедрой теоретической механики Оренбургского государственного университета, кандидат технических наук, доцент 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 4505, тел. (3532) 372563, e-mail: [email protected]
UDC 624.074.4 Kudina L.I.
Orenburg state university, e-mail: [email protected]
FREE VIBRATIONS OF A SHALLOW ORTHOTROPIC SHELL OF MEDIUM THICKNESS
On the basis of the equations considering all components of the deflected mode and all inertial components of the cross section, the problem of the determination of frequencies of free vibrations of a shallow orthotropic shell is solved. The additional free frequency connected to the accounting of a thickness reduction of a material is received. The quantitative research of influence of compressibility of the material of the shell in the transversal direction on the value of the lowest frequency of free vibrations is carried out.
Key words: a shallow orthotropic shell, free vibrations, Tymoshenko’s specified theory, a hypothesis of a «nonrigid» normal.
Bibliography:
1. Novozhilov, V. V. The theory of elasticity / V. V. Novozhilov. - L. : Sudpromgiz, 1958. - 370 p.
2. Mushtari, Kh. M. A Theory of shallow orthotropic shells of medium thickness / Kh. M. Mushtari, I. G. Teregulov // Trans. USSR Acad Sci. Mechanics and mechanical engineering. - 1959. - № 6. - P. 60-67.
3. Kudina, L. I. A non-linear specified dinamics of shallow orthotropic shells of medium thickness / L. I. Kudina ; Leningr. Inst. of Civil Eng. - Leningrad, 1990. - 12 p. - Dep. at All-Union Inst. of Scien. and Techn. Inform. 11.04.90, № 2026-B90.
