CC BY
35
УДК 535.14
«СВЕРХИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЙ» ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В УСЛОВИЯХ ОПТИЧЕСКИХ СТОЛКНОВЕНИЙ
И. Ю. Честнов, А. П. Алоджанц, С. М. Аракелян
Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых
[email protected], [email protected]
PACS 42.50.Nn, 05.30.Jp, 32.70.Jz
Рассмотрена проблема высокотемпературных фазовых переходов для связанных атомно-оптических (одетых) состояний и поляритонов. На примере атомов рубидия показано, что достижение термодинамического равновесия для таких состояний оказывается возможным при взаимодействии атомов с нерезонансным квантовым излучением в присутствии оптических столкновений (ОС) с атомами буферного газа сверхвысокого давления, а также находящихся при высоких температурах (до 530 К). Для увеличения эффективности атомно-оптического взаимодействия рассмотрены специальные металлические микроволноводы, осуществляющие удержание (trapping) фотонов. В этом случае теоретически предсказан фотонный фазовый переход в сверхизлучательное состояние, обусловленный равновесным состоянием среды и поля. Показано, что при относительно больших отрицательных значениях атомно-оптической отстройки, а также при определенных параметрах волновода фотоноподобные поляритоны нижней дисперсионной ветви (НДВ) претерпевают высокотемпературный фазовый переход в конденсированное (сверхтекучее) состояние. Ключевые слова: оптические столкновения, фазовые переходы, одетые состояния, поляритоны.
1. Введение
На сегодняшний день изучению фазовых переходов в атомных газах посвящено множество теоретических и экспериментальных работ, см. например, [1,2]. Несмотря на то что конденсат бозе-атомов был получен во многих передовых лабораториях мира, экстремально низкие температуры конденсации (вплоть до мкК) существенным образом ограничивают возможность применения этого эффекта в практических целях. Этим и объясняется интерес к изучению именно высокотемпературных фазовых переходов. Переходы подобного рода могут возникать в связанных системах среды и поля, для которых в ряде случаев целесообразно использовать представление поляритонов — бозонных квазичастиц, описывающих взаимодействие квантового поля и элементарных возмущений (поляризации) среды (см. [3,4]). К настоящему моменту, фазовый переход и сверхтекучие свойства поляритонов нижней дисперсионной ветви (НДВ), формирующихся в полупроводниковых микроструктурах, были экспериментально обнаружены сразу несколькими научными группами (см. [5-9]). В системах подобного рода поляритоны образуют двумерный газ бозонных частиц. Речь идет об экситон-поляритонах, формирующихся в полупроводниковом (CdTe/CdMgTe или GaAs) микрорезонаторе, допированном квантовыми ямами. Эффективная масса таких частиц на много порядков меньше массы свободного электрона в вакууме. Тем не менее, получение высокотемпературного (комнатного) фазового перехода в таких структурах затруднительно по целому ряду причин, см., например, [10]. К тому же, время термализации поляритонов в твердотельных структурах достаточно мало — порядка пико-секунд, см. [8,9]. В этой связи предпочтительнее выглядит получение высокотемпературного фазового перехода в атомной оптике для поляритонов, которые могут иметь существенно
большие времена когерентности, достигающие десятков наносекунд. Атомные поляритоны представляют собой суперпозицию фотона и поляризации двух- (или много-) уровневых атомов.
Необходимым условием осуществления фазового перехода для атомных поляри-тонов в эксперименте является существование термодинамически равновесной фазы для связанной атомно-оптической системы. Недавно с этой целью было предложено использовать так называемые оптические столкновения (ОС), представляющие собой процессы нерезонансного взаимодействия квантового поля и атома в присутствии частицы буферного газа (см. [11]). Не смотря на то что основные вопросы ОС изучались теоретически и экспериментально достаточно давно (см. работы [12-16]), внимание к термодинамическим свойствам связанных атомно-оптических систем в присутствии ОС было уделено относительно недавно [17-20]. В частности, было показано, что наличие ОС в системе паров рубидия, взаимодействующих с оптическим полем в присутствии буферного газа высокого (500 бар) давления при высоких температурах (530 К), приводит к термализации связанных (одетых) атомно-оптических состояний. В [18] нами были сформулированы подходы к описанию процесса термализации одетых состояний, учитывающие принципиальный характер процессов спонтанных переходов на формирование термодинамического равновесия.
Важно заметить, что в экспериментальных условиях, описанных в [18], среда являлась тонкой и время жизни фотоноподобных поляритонов мало по сравнению со временем термализации связанных атомно-оптических состояний. Возможным решением данной проблемы представляется использование волноводных или резонаторных структур для рассматриваемых атомно-оптических взаимодействий и обеспечивающих пленение и удержание (trapping) как фотонов, так и поляритонов в течение времени, определяемого добротностью резонатора, ср. с [20,21]. Физически такие волноводные микрорезонаторы могут быть выполнены на основе скручивания тонких (толщиной в несколько нанометров) полупроводниковых или металлических мембран [22].
В данной работе, во-первых, нами исследуются термодинамические свойства связанных (одетых) атомно-оптических состояний в условиях ОС. С этой целью в разделе 2 проанализировано поведение компонент излучательного триплета флуоресценции двухуровневых атомов при достижении системой термодинамического равновесия. В разделе 3 в рамках термодинамического подхода обосновывается возможность осуществления в подобной системе фазового перехода второго рода в упорядоченное (сверхизлучатель-ное) состояние. Далее, в разделе 4 обсуждается возможность наблюдения рассматриваемых фазовых переходов для фотоноподобных поляритонов в микроволноводе цилиндрической формы. В заключении обобщены результаты работы.
2. Термализация связанных атомно-оптических состояний в условиях ОС
Под ОС для атомов рубидия (Rb) будем понимать элементарный процесс,
Rb(a) + B + hwL^ Rb(b) + B,
в результате которого происходит поглощение (или излучение) кванта электромагнитного поля при одновременном возбуждении атома рубидия, сопровождающимся изменением кинетической энергии сталкивающихся частиц; здесь через B обозначена частица буферного газа, uL — частота лазерного излучения. При этом сам атом рубидия полагаем двухуровневым с верхним «Ь» и нижним «а» уровнями и энергетическим зазором hwat между ними. Подобное приближение, позволяющее пренебречь тонкой структурой 5S — 5P перехода,
обусловлено тем, что при максимально достижимой в рамках эксперимента мощности лазерного излучения столкновительно уширенные линии становятся существенно несимметричными и настолько широкими, что могут быть описаны одним контуром, см. [20].
Интенсивность процессов ОС характеризуется скоростью столкновений с частицами буферного газа (столкновительным уширением) y, играющим ключевую роль в процессе термализации. В общем случае параметр y характеризуется плотностью буферных атомов, квазимолекулярным потенциалом компаунд-системы и зависит от величины атомно-оптической отстройки 8 = — uat (см. [15,16]). Важную роль также играет параметр п — средний фазовый сдвиг, приобретаемый атомом в результате последовательности столкновений.
Как это показано в [11], процесс ОС может быть корректно описан на основе уравнения для матрицы плотности компаунд-системы. При этом элементы матрицы плотности берутся в базисе одетых состояний, определяемых как
|1(N)) = sin 0|a,N + 1) + cos 0|b,N), (1а)
|2(N)) = cos 0|a,N + 1) — sin 0|b,N), (1б)
где N — среднее число фотонов, |a, N + 1) и |b, N) представляют собой собственные состояния системы без учета атомно-оптического взаимодействия, т.е. в пределе малой интенсивности лазерного излучения. В (1) угол 0 = 0(8) задается выражением tg20 = — , 0 ^ 20 < п; — резонансная частота Раби. В общем случае параметры sin 0 и cos 0 могут быть в явном виде выражены через параметры атомно-оптической системы следующим образом:
sin0 = —^/1 + cos0 = —f\A — (2а, б)
v^V Mr v^V Пr
где nR = \J82 + ПО — частота расщепления Раби, определяющая «расстояние» между уровнями энергии одетых состояний при заданном значении отстройки 8.
Отличительной особенностью рассматриваемого подхода является тот факт, что акты ОС с частицами буферного газа вызывают переходы между уровнями одетых состояний, см. рис. 1. При этом состояние |1(N)) оказывается всегда энергетически выше состояния |2(N)). Важным моментом здесь является также влияние процессов спонтанной эмиссии, которые характеризуются полушириной линии естественного уширения Г. В базисе одетых состояний спонтанное излучение вызывает переходы между парами состояний, соответствующих разным средним числам фотонов N — волнистые стрелки на рис. 1.
Такой подход позволяет наглядно объяснить структуру излучательного триплета, состоящего из центральной компоненты на частоте (компонента I0 и соответствующие ей переходы Г^! и Г2^2) и двух боковых компонент c частотами ± nR (компоненты 1ц и I22), см. рис. 1. В частности, можно показать (см. [18]), что интенсивности излучательного триплета флуоресценции в процессе термализации атомно-оптических состояний определяются выражениями
г -Tí г г 4fl 0.57 sin2 (20) [1 — th (gp/2)] + Г sin4 0
Iu = I+ nR) = ai!ri^2 = rcos 0-. 2f00\, pf • --, (3а)
Y sin2(20) + 1 ^sm4 0 + cos4 0J
T _ Т( о ^ г г • 4 0.5y sin2 (20) [1 + fh (вп/2)] + Г cos4 0
I22 = 1 — nR) = а22Г2^1 = Г sin 0-. 2f00\, pf • --, (3б)
Y sin2 (20) + Г ^sm4 0 + cos4 0J
Io = I(wL) = Г sin2 0 cos2 0, (3в)
где введено обозначение £q = hQR T. В (3) величины a11 и а22 являются элементами матрицы плотности а в представлении одетых состояний (1), просуммированные по всем
Рис. 1. Схема переходов между уровнями одетых состояний, обусловленных столкновительными (толстые прямые стрелки) и спонтанными (волнистые стрелки) процессами. Интенсивности линий излучательного триплета /0, /ц и /22 обозначены тонкими прямыми стрелками. Через Г^- (i, j = 1, 2) обозначены скорости переходов между соответствующими уровнями одетых состояний, принадлежащими состояниям с разным средним числом фотонов N
значениям числа фотонов N, т.е. а^ = N (i(N)|a|j(N)), i, j = 1, 2, и описывают населенности уровней одетых состояний |1(N)) и |2(N)) соответственно. В условиях термали-зации связанных состояний, обусловленной частыми переходами между ними в результате ОС, величина th (—еп/2) будет представлять термодинамически равновесную разность на-селенностей уровней одетых состояний ац — а22, ср. с [18]. В результате это приводит к асимметрии линии флуоресценции, которая и наблюдается в эксперименте, см., например, [17, 18].
На рис. 2 представлена расчетная зависимость суммарной интенсивности / = /п + /22 + /0 излучения (поглощения) — величины, пропорциональной населенности верхнего атомного уровня аьь = (b,N|a|b, N), как функции от атомно-оптической отстройки 6. При околорезонансном (h |6| ^ »0 , kBT, и 6 < 0 ) атомно-оптическом взаимодействии получаем хорошо известный из теории ОС результат: /ц « 2/0y/Г ^ /0 — и переходы между одетыми состояниями стремятся выровнять их населенности, ср. с [11].
Однако далее нас будут интересовать только «крылья» зависимостей на рис. 2, соответствующие так называемому пертурбативному пределу »0 ^ |6|. Используя (1)—(3), для / получаем
1 = ^ " 2 (y»Y +2Г62) (4)
где е = h6 /kBT — нормированная отстройка.
Проанализируем выражение (4) в пределе термализации атомно-оптических состояний—см. [18], когда имеет место неравенство
Г/7<»0/62<1. (5)
Рассмотрим случай большой по величине и отрицательной атомно-оптической отстройки 6, когда sin2 (9) « 0, cos2(9) ~ 1 (см. (2)), так что нижнему одетому состоянию |2(N)) соответствует основное атомное состояние |а, N + 1) и |1(N)) ~ |b, N) (см. левую
5/2тг,ТГц
Рис. 2. Нормированная интенсивность лазерного излучения I и населенности верхнего уровня аъъ для атомов рубидия как функция от атомно-оптической отстройки 8/2п при значениях резонансной частоты Раби П0/2п = 0.1 ТГц (сплошная кривая) и при П0/2п = 1 ТГц (пунктирная кривая) в атмосфере аргона при давлении 500 бар и температуре Т = 530 К. При этом столкновительное уширение 7/2п = 3.6 ТГц, полуширина фазового сдвига п/2п = —3 ТГц, полуширина линии естественного уширения Г — 37 МГц. На вкладках показаны населенности одетых (слева), а также истинных (справа) атомных состояний в пертурбативном пределе
вкладку на рис. 2). В этом предельном случае интенсивность флуоресценции I может быть аппроксимирована функцией распределения Ферми—Дирака
Г
I - 1-. (6)
1 + е-£ к 7
При этом имеет место значительное увеличение компоненты интенсивности
т(Игвтт) л _£ „ Т гс\
111 ~ 1 е £ ^ 7ц в сравнении с неравновесным случаем, когда выражение (5) не справедливо. В то же время интенсивности двух других компонент: 122 и 10 остаются без изменения и равны 122 « Ш4/1684, 10 = Г^0/482 соответственно, см. (3).
Теперь обратимся к случаю больших положительных отстроек 8. В этом пределе вт2(#) « 1, еов2^) ~ 0, т.е. термодинамически выгодному состоянию |2(Ж)) соответствует возбужденное атомное состояние |Ь, N), и в двухуровневой атомной среде наступает инверсия населенностей —см. вкладку справа на рис. 2 и ср. с [19]. Можно показать, что выражение (6) для интенсивности флуоресценции I справедливо и в этом случае. Причем, для интенсивностей компонент из (3а, б) имеем
Т(Шетт) Г^4 —1£| Т(Шетт) Г\
1(1 ) ~ 77^77е |£|, 122 ) ~ Г. (7a,б)
Тогда как при нарушении условия (5), в неравновесном случае, имеем /ц « —-4 и 2 14 /22 ~ • Таким образом, наступление термодинамического равновесия в случае положительных отстроек характеризуется существенным ростом /22 компоненты и одновременным уменьшением интенсивности /ц. Этот феномен также может быть использован для экспериментального подтверждения наличия термализации связанных атомно-оптических состояний.
Следует, однако, иметь в виду, что при 5 > 0 связанная атомно-оптическая система является термодинамически не стабильной. Действительно, при достаточно больших 5 (дальнее «синее» крыло на рис. 2), таких что
П |5|>ЬТ, (8)
всегда наступает состояние, когда система полностью выходит их равновесия за счет спонтанных переходов в основное атомное состояние. Фактически, только в пределе (8), когда одновременно П0, 5 ^ то, но при выполнении условия (5), атомно-оптическую систему можно полагать полностью термализованной, что, разумеется, не осуществимо на практике. Физически, данный предельный случай, а также условие (8), могут быть рассмотрены как предел низких температур, являющийся стандартным в теории фазовых переходов, см., например, [23].
3. Высокотемпературный «сверхизлучательный» фазовый переход
В данном разделе мы покажем, что полная термализация одетых атомно-оптических состояний (см. (6)) в результате ОС непосредственно приводит к возможности осуществления в системе фазового перехода, известного в квантовой оптике как сверхизлучательный, см. [24-26].
Для дальнейшего изложения необходимо задать общую плотность атомно-оптичес-ких возбуждений (поляритонов) р, определяемую как
р = Л2 + аьь = Л2 + —. (9)
1 + е ь
Далее мы полагаем эту величину постоянной в условиях термодинамического равновесия. В выражении (9) Л = у/^/УТМа^ — нормированная на количество атомов амплитуда электромагнитного поля, / (/—оператор уничтожения (рождения) фотона, поглощенного (или испущенного) атомом в результате ОС; — среднее число атомов.
Термодинамические свойства связанной атомно-оптической системы зависят от вклада фотонной и атомной частей в выражение (9). В этой связи обычно рассматривают так называемый предел малой плотности р ^ 0.5, подразумевающий, что
Л2 < 1, аьь < (Гаа ^ 1. (10а,б)
Неравенство (10б) справедливо при отрицательных значениях отстройки 5 < 0, в пределе «низких температур» (8).
Рассмотрим (9) как уравнение относительно параметра порядка Л в условиях термодинамического равновесия с фиксированным значением р. Полагая в (9) Л = 0, для критического значения ес параметра е, определяющего границу между нормальным (Л = 0) и «сверхизлучательным» (Л = 0) состояниями, можно получить
ес = - 1п[(1 - р)/р]. (11)
Далее, при помощи выражений (9)—(11) найдем зависимость параметра порядка Л(е) от атомно-оптической отстройки 5 (или температуры Т):
А(е) = Ас
1
1 -
1 + (1 /р - 1)£/£c
1/2
(12)
где = ^/р — значение параметра порядка в пределе «низких температур» (8).
С другой стороны, уравнение на параметр порядка Л в условиях термодинамического равновесия может быть получено более строго на основе методов статистической физики, см., напр., [23-27]. В этой связи рассмотрим гамильтониан Дике, описывающий взаимодействие одномодового оптического поля с ансамблем двухуровневых атомов
Р, ^аЬ Nat
н = / + ^ J Szj + J (siа/ + /ts. Л , (13)
где S_ j — оператор атомного перехода (поляризации) j-го атома, Szj- — оператор разности населенностей атомных состояний; к представляет собой коллективный параметр атомно-оптической связи. В частности, для значения резонансной частоты Раби П0/2п = 0.1 ТГц величина к/2п ~ 0.624 ТГц, что значительно больше величины неоднородного (доплеров-ского) уширения. Это говорит о выполнении условия сильной связи, играющего важную роль в теории фазовых переходов с участием поляритонов (см. [5-9]).
Рассмотрим большой канонический ансамбль с химическим потенциалом отличным от нуля. Вычисляя статистическую сумму в приближении среднего поля, можно получить уравнение типа Бардина—Купера—Шрифера (БКШ) на параметр порядка А
¿DlZ = к2 th (HZ /2квT) , (14)
где введены обозначения: Z = (¿¿^ + 4к2А2)1/2, ¿DL = dl — ¿Dat = ¿at — Принципиальным отличием (14) от известного уравнения, описывающего «сверхизлучательный» фазовый переход в квантовой оптике (см. [24-27]), является зависимость от химического потенциала атомно-оптической системы. В этом отношении рассматриваемый фазовый переход при определенных условиях может быть также связан с поведением поляритонов, формирующихся в среде —см. ниже.
Для определения химического потенциала ^ необходимо воспользоваться плотностью возбуждений р для замкнутой атомно-оптической системы, которая также может быть определена как нормированное общее число поляритонов в атомной среде, ср. с [20]. В термодинамическом пределе имеем:
р = А2 + 0.5 [1 — ¿¿at th (HZ/2квT)/Z]. (15)
Решая совместно (14) и (15), для химического потенциала получим
М1,2 = 0.5 [¿at + ¿L ± ^R,eff] , (16)
где Пд е// = \/— 8к2 (р — А2 — 0.5) определяет эффективную частоту расщепления Раби. При малой плотности возбуждений р химический потенциал (16) определяет частоты верхней (^1) и нижней (^2) поляритонных ветвей в нормальном состоянии (А = 0). Подставляя (16) в (12), получаем
¿¿L1,2 (¿&1,2 + 4к2А2)1/2 = K2t^2kHT (^1,2 + 4к2А2)1/2) , (17)
р
Tc 1,2 = , А ' г ^-7ТГ. (18)
где шL1,2 = 2 [ö Т ^R,eff], ^«41,2 = 2> [-ö Т ^R,eff]- Выражение (17) представляет собой уравнение на параметр порядка для верхней (индекс «1») и нижней (индекс «2») поляритонных ветвей.
Критическая температура фазового перехода (при фиксированном значении отстройки) может быть определена из выражения (17) для случая А = 0
h |¿¿gtl,:
2kBArth [± (2р - 1)]'
Для очень больших и отрицательных значений атомно-оптической отстройки, таких, что |ö| ^к, критическая температура Tc задается выражением
T =_™__(19)
c 2квArth(2p - 1). У J
Выражение (19) напрямую следует из (9) при А = 0. Оно хорошо согласуются с существующими теориями фазовых переходов второго рода типа БКШ для поляритонных систем в полупроводниковых структурах, ср. с [28]. В частности, (19) определяет критическое значение параметра для фиксированного значения температуры T
«С = - - kB(20)
Выражение (20) полностью согласуется с (11) (в пренебрежении малым по величине последним слагаемым) и задает фазовую границу между «сверхизлучательным» (когерентным) и нормальным состоянием, определяемым при А = 0 и фиксированной температуре T атомного ансамбля.
На рис. 3 показано поведение параметра порядка при фазовом переходе в рассматриваемой системе. С экспериментальной точки зрения значительно проще варьировать атомно-оптическую отстройку, чем температуру. Сплошная линия построена для плотности р = 0.27, соответствующей достижимой в эксперименте [17, 18] отстройке ö/2n = -11 ТГц. Пунктирная кривая построена в пределе возбуждений малой плотности. В этом случае выражение для параметра порядка (12) упрощается и принимает привычный вид
Г , ,11/2
А(е) - 1 - (р)£/£с-1 .
Для положительных отстроек (ö > 0) вопрос о рассматриваемом нами фазовом переходе требует отдельного обсуждения. Как было отмечено выше, при конечных значениях По увеличение атомно-оптической отстройки ö выводит систему из термодинамического равновесия, если даже изначально оно было достигнуто, см. рис. 2. В этом смысле выполнение условия (5) позволяет создать инверсию населенностей в двухуровневой среде и осуществить неравновесный (или квазиравновесный) фазовый переход к лазерной генерации (см. [19]).
4. Поляритоны в микроволноводе
Рассмотрим поляритонную модель для нашей задачи условия ее применимости. Формально, гамильтониан атомно-оптической системы (13) может быть диагонализирован с помощью операторов уничтожения поляритонов Ф12, которые могут быть введены следующим образом:
Ф1,2 = 02,1 ± ^1,2/> (21а,б)
0.6 г
Рис. 3. Зависимость параметра порядка Л от нормированной атомно-оптической отстройки (параметр е) при температуре атомного газа Т = 530 К. Значение р = 0, 27 (сплошная кривая) соответствует условиям эксперимента (см. [18]), р = 0,1 (штриховая кривая) определяет поведение атомно-оптической системы в пределе малой плотности (10)
где 2 = - ( 1 ± = ) — коэффициенты Хопфилда, Б- = ] - коллективный
' 2 \ \62 + 4к2/ 7
оператор атомной поляризации. Операторы уничтожения Ф12 соответствуют поляритонам верхней (Ф1) и нижней (Ф2) ветвей, соответственно. В пределе возбуждений малой плотности (10) поляритоны могут быть рассмотрены как бозонные частицы, когда выполняются
соотношения
Ф1, ф1
Ф2, Ф2
= 1. В условиях больших по величине (|6| ^ к) и
отрицательных отстроек 6 поляритоны НДВ становятся фотоноподобными, т.е. Ф2~ — f. В этом смысле рассматриваемый выше фазовый переход можно связать с когерентными (сверхтекучими) свойствами таких поляритонов при учете их слабого взаимодействия.
Однако имеющиеся эксперименты [17,18] по термализации атомно-оптических состояний были выполнены в однопроходном режиме, длина хода луча в области высокой интенсивности лазерного поля составляла всего порядка 70 мкм, что физически означало, что среда являлась тонкой и время жизни рассматриваемых поляритонов, было мало по сравнению со временем термализации связанных атомно-оптических состояний.
В этой связи важным шагом в направлении исследования поляритонов в присутствии ОС, является использование специальных микротрубок (ср. с [21,22]), которые при определенных условиях могут служить для увеличения времени атомно-оптического взаимодействия и, тем самым, существенного увеличения их времени жизни.
На рис. 4 приведен полый металлический цилиндрический волновод, использование которого предполагает погружение в камеру со смесью паров рубидия и буферного газа, параметры которых удовлетворяют условиям эксперимента [21]. Система связанных атомно-оптических состояний, формирующихся внутри волновода, находится, таким образом, в состоянии термодинамического равновесия при высоком давлении. Эффективность процесса термализации может быть увеличена, в первую очередь, благодаря пленению фотонов и сопутствующему увеличению параметра атомно-оптической связи.
Структура электромагнитного поля внутри идеального (без потерь) волновода известна. Она может быть найдена на основе решений уравнения Гельмгольца для скалярного потенциала поля —см., например, [29]. В результате, проекция волнового вектора на плоскость, перпендикулярную г-оси, к±тр = дтр /К квантуется; дтр представляет собой р-ый
Т
Рис. 4. Волновод для удержания фотонов (и поляритонов), Я — радиус волновода
корень уравнения -1т(к±Я) = 0 (7т(х) —функция Бесселя первого рода т-го порядка), Я — радиус волновода, т и р — целые числа, характеризующие азимутальное и поперечное распределение поля. В то же время вдоль оси г имеется континуум волновых чисел кг. Физически это означает, что мы можем представить дисперсионное соотношение для фотонного поля в волноводе в следующем виде:
где нами была введена масса фотона трН = Ьк±,тр/с. Таким образом, в цилиндрическом волноводе пространственные степени свободы вдоль осей х и у оказываются «подавленными», и фотон удерживается в плоскости, перпендикулярной оси г. В то же время, выражение (22) подразумевает наличие отличной от нуля массы поляритона внутри волновода. Так, например, масса поляритона нижней поляритонной ветви тро1 порядка 2.6 • 10-36 кг. Это говорит о возможности осуществления высокотемпературного фазового перехода в данной системе.
Важным свойством электромагнитного поля волновода является наличие у него частоты отсечки, т.е. такой частоты, при которой константа распространения волны становится равной нулю. В нашем случае частота отсечки определяется следующим образом кктР = дтр /Я .С точки зрения эксперимента наиболее предпочтительным является использование фундаментальной ТМ01-моды, которой соответствует квантовые числа т = 0 и р =1 (д01 = 2.4048). В этом случае для соблюдения одномодового режима взаимодей-
(с)
ствия необходимо выполнение следующего неравенства ^1,2 > ско1, накладываемого на характерные частоты атомно-оптического взаимодействия. Это условие можно выразить через радиус Я волновода как с—д01 < Я < с—, где д11 ~ 3.8317. Выпол-
^аЬ - |6| ^аЬ + |6|
нение последнего неравенства подразумевает, что с атомным ансамблем внутри волновода данного радиуса Я эффективно взаимодействует единственная мода при больших значениях отстройки 6. Стоит отметить, что из приведенных выше условий следует, что диаметр волновода должен быть порядка длины волны излучения ЛдЬ ~ 785 нм, соответствующей «центру тяжести» дублета D-линии атома Rb, ср. [21].
5. Заключение
В работе обсуждается проблема осуществления высокотемпературного квазиравновесного фазового перехода в ансамбле двухуровневых атомов, взаимодействующих с оптическим полем в условиях ОС. Показано, что такой переход обусловлен термализацией
'рН
(22)
связанных атомно-оптических состояний в результате частых оптических столкновений с частицами буферного газа. Подобная термализация физически достижима при больших отрицательных значениях атомно-оптической отстройки. В рамках термодинамического подхода в приближении среднего поля получено уравнение на параметр порядка А — нормированное среднее число поляритонов. Обосновано, что термализация связанных атомно-оптических состояний приводит к фотонному фазовому переходу в некоторое «сверхиз-лучательное» (когерентное) состояние, характеризующееся установлением определенной упорядоченности (равновесной) в двухуровневой атомной системе.
Нетривиальное решение уравнения (17) при А = 0 показывает, что атомная среда в этом случае характеризуется макроскопической стационарной поляризацией, пропорциональной величине параметра порядка А. Свойства равновесной связанной атомно-оптической системы позволяют сделать вывод о критических явлениях для фотоноподоб-ных поляритонов НДВ в пределе малой плотности (10), формирующихся в среде. Для этих целей мы предлагаем использовать особые металлические волноводы, позволяющие увеличить параметр атомно-оптической связи и время жизни поляритона. Фактически, описываемый переход так же может быть интерпретирован, как переход к «сверхтекучему» (когерентному) состоянию поляритонов, представляющих собой суперпозицию квантового оптического поля и макроскопической поляризации атомной среды. В присутствии фазового перехода атомная поляризация осциллирует во времени с частотой, равной химическому потенциалу ß2 ~ шat — H для поляритонов НДВ. Это свойство рассматриваемой системы может быть использовано для экспериментального обнаружения предсказанного фазового перехода.
Стоит отметить, что рассматриваемая нами система может быть также задействована для решения известной задачи — получения термодинамически равновесной бозе—эйн-штейновской конденсации атомных поляритонов. Для этого фотоноподобные поляритоны должны быть помещены в специальную ловушку. Для получения требуемого потенциала ловушки можно использовать, например, биконический волновод, у которого радиус R слабо меняется вдоль координаты z. Аналогичный диэлектрический волновод, представляющий собой конусообразное оптическое волокно, был недавно предложен для увеличения силы атомно-оптического взаимодействия (см. [30]). В нашем случае подобный волновод может быть использован для создания подходящего удерживающего потенциала для фотонов (поляритонов) вдоль оси z. Важно так же то, что при этом время жизни фотонопо-добных поляритонов определяется добротностью резонатор Q и может быть достаточно велико. Эти вопросы будут являться предметом дальнейшего теоретического и экспериментального исследования в последующих публикациях.
Работа поддержана грантами РФФИ № 10-02-13300, 11-02-97513 и 12-02-90419, а также программами Министерства образования и науки РФ № 2.4053.2011, № 8.3303.2011 и НШ-3008.2012.2.
Авторы благодарны профессору Т. А. Вартаняну за полезные обсуждения.
Литература
[1] Питаевский Л.П. Конденсаты Бозе—Эйнштейна в поле лазерного излучения // УФН. — 2006. — Т. 176, № 4. — C. 345-364.
[2] Greiner M., Mandel O., Esslinger T., Hansch T. W. and Bloch I. Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms // Nature. — 2002. — V. 415. — P. 39-52.
[3] Hopfield J. J. Theory of the Contribution of Excitons to the Complex Dielectric Constant of Crystals // Phys. Rev. — 1958. — V. 112, No. 5. — P. 1555-1567.
[4] Агранович В.М. Дисперсия электромагнитных волн в кристаллах // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 37, № 2. — C. 430-441.
[5] Deng H., Weihs G., Santori C., Bloch J., Yamamoto Y. Condensation of Semiconductor Microcavity Exciton Polaritons // Science. — 2002. — V. 298, No. 1. — P. 199-202.
[6] Deng H., Press D., Gцtzinger S., Solomon G. S. Quantum Degenerate Exciton-Polaritons in Thermal Equilibrium // Phys. Rev. Lett. — 2006. — V. 97. — P. 146402.
[7] Kasprzak J., Richard M., Kundermann S. et al. Bose-Einstein condensation of exciton polaritons // Nature. —
2006. —V. 43. — P. 409-414.
[8] Utsunomiya S., Tian L., Roumpos G. et al. Observation of Bogoliubov excitations in exciton-polariton condensates // Nature Phys. — 2008. — V. 4. — P. 700-705.
[9] Amo A., Sanvitto D., Laussy F. P. et al. Collective fluid dynamics of a polariton condensate in a semiconductor microcavity // Nature. — 2009. — V. 457. — P. 291-295.
[10] Snoke D., Kavokin A. Are we there yet? Progress in condensation of quasiparticles // Solid Communications. —
2007. — V. 144. — P. 357-358.
[11] Cohen-Tannoudji C., Dupont-Roc J., Grynberg G. Atom—Photon Interactions: Basic Processes and Applications. Wiley: New York, 2004. — 656 p.
[12] Hedges R. E. M., Drummond D. L. and Gallagher A. Extreme-Wing Line Broadening and Cs-Inert-Gas Potentials // Phys. Rev. A. — 1972. — V. 6, No. 4. — P. 1519-1544.
[13] Allard N., Kielkopf J. The effect of neutral nonresonant collisions on atomic spectral lines // Rev. Mod. Phys. — 1982. —V. 54, No. 4. — P. 1103-1182.
[14] Royer A. Shift, width, and asymmetry of pressure-broadened spectral lines at intermediate densities // Phys. Rev. A. — 1980. — V. 22, No. 4. — P. 1625.
[15] Лисица В. С. Яковленко С. И. Оптические и радиационные столкновения // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 66, № 5. — C. 1550-1559.
[16] Яковленко С.И. Поглощение мощного резонансного излучения при столкновительном уширении линий // УФН. — 1982. — Т. 136, № 4. — C. 594-620.
[17] Vogl U., Weitz M. Spectroscopy of atomic rubidium at 500-bar buffer gas pressure: Approaching the thermal equilibrium of dressed atom-light states // Phys. Rev. A. — 2008. — V. 78, No. 1. — P. 011401(R).
[18] Chestnov I. Yu., Alodjants A. P., Arakelian S. M., Nipper J., Vogl U., Vewinger F., Weitz M. Thermalization of coupled atom-light states in the presence of optical collisions // Phys. Rev. A. — 2010. — V. 81. — P. 053843.
[19] Марков Р.В., Пархоменко А.И., Плеханов А.И., Шалагин А.М. Генерация на резонансном переходе атомов натрия при нерезонансном оптическом возбуждении // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136, № 2. — C. 211-223.
[20] Alodjants A. P., Chestnov I. Yu., Arakelian S. M. High-temperature phase transition in the coupled atom-light system in the presence of optical collisions // Phys. Rev. A. — 2011. — V. 83. — P. 053802.
[21] Vogl U., Sass A., Vewinger F., Solovev A., Mei Y., Schmidt O. G. Light confinement by a cylindrical metallic waveguide in a dense buffer-gas environment // Phys. Rev. A. — 2011. — V. 83. — P. 053403.
[22] Schmidt O. G., Eberl K. Nanotechnology: Thin solid films roll up into nanotubes // Nature. — 2001. — V. 410, No. 2. — P. 168-169.
[23] Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика. Том 9. М.: Наука, 1978. — 448 с.
[24] Hepp K., Lieb E. H. On the superradiant phase transition for molecules in a quantized radiation field: the Dicke maser model // Annals of Physics. — 1973. — V. 76, No. 2. — P. 360-404.
[25] Rzazewski K., Wodkiewicz K., Zakowicz W. Phase Transitions, Two-Level Atoms, and the A2 Term // Phys. Rev. Lett. — 1975. — V. 35, No. 7. — P. 432-434.
[26] Liberti G., Zaffino R. L. Critical properties of two-level atom systems interacting with a radiation field // Phys. Rev. A. — 2004. — V. 70, No. 3. — P. 033808.
[27] Wang Y. K., Hioe F. T. Phase Transition in the Dicke Model of Superradiance // Phys. Rev. A. — 1973. — V. 7, No. 3. — P. 831-83.
[28] Eastham P. R., Littlewood P. B. The thermal equilibrium of a model microcavity Bose condensation of cavity polaritons beyond the linear regime: The thermal equilibrium of a model microcavity // Phys. Rev. B. — 2001. — V. 64, No. 23. —P. 235101.
[29] Harrington R. F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. Wiley: New York, 2001. — 490 p.
[30] Louyer Y., Meschede D. and Rauschenbeutel A. Tunable whispering-gallery-mode resonators for cavity quantum electrodynamics // Phys. Rev. A. — 2005. — V. 72, No. 3. — P. 031801(R).
