Сужение интервальных сплайнов, содержащих решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Дудов С. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 13 - 38.

3. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. М,: Наука, 1964.

УДК 519.62/.624.3

В. С. Зюзин, Н. А. Рычкова

СУЖЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ, СОДЕРЖАЩИХ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

В работе [1] мы рассматривали нахождение интервальных сплайнов, включающих точное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Этот метод несвободен от одного существенного недостатка - эффекта «раскрутки»1. Итерационный метод, предлагаемый в данной работе, подавляет нежелательный эффект. Он основывается на методе последовательных приближений Пикара, который, как показано в [2], имеет высокую скорость сходимости

где v„ и ип - верхняя и нижняя оценка решения дифференциального уравнения с начальным условием.

В этой статье мы будем рассматривать дифференциальное уравнение

вида

y'(t) = P2_iy),y(t0) = yQ, (1)

где Р2 (у) = b0 + bxy + b2y2 ,bt е R,i = 0,2,

поскольку широкий класс ОДУ можно свести путем замены переменных с увеличением порядка системы к ОДУ, правые части которых имеют квадратичную форму относительно неизвестной функции.

Решение задачи (1) будем находить в виде интервальной функции, включающей точное решение по итерационной схеме

t

y(t) = у0 + JР2 (ys (i))dx, s - номер итерации,

'о

(2)

ys+l(t) = Z(y), где Z - процедура сворачивания.

В качестве начального приближения y°(t) можно взять интервальный сплайн степени р - Sp{t), построение которого описано в [1]. Поскольку [1]

' Расширение границ интервала, включающего решение, с увеличением номера

шага.

/ (г) с (0 = Ь, (г), (г)] или (0 < / (/) < у0 (О <5М где у0 (г), у5 (г), (г) е /(/?), /(/?) - множество интервалов, \/а е/(Л) а = [а, а] = л а < х<а|,

а интервальная арифметика и операция интегрирования монотонны по

включению, то

Р2 (у°(0) с Р2 (Бр (0) И \Р2 (.у0 (*)) А с {/>2 (г))Л,

Следовательно, решения задач

у'(0 = Р2 (5 р(0) и У(Г) = Р2(^(0)

.кОоН-Уо Ж) = >'о

дают верхнюю и нижнюю оценку точного решения дифференциального уравнения (1)

-1

Итак, для сужения начального приближения У(г) будем пользоваться схемой (2). Поскольку в качестве у°(() выбран сплайн, т.е. многочлен степени р

/(')=]£>?('"'оУ > 1=0

то его интегрирование не представляет трудности, и каждое следующее приближение у®+'(?) также является полиномом. Положим

1=0 1=0 Коэффициенты Л, находим по формулам

(а£ )2 , г = 0, ^ - номер итерации; 1 ' _

ш0 к=1

1 А

(3)

После интегрирования получим интервальный многочлен степени

(2р+\)

т = Уъ+ |(Ь0 + ь, 2>,'(т -г„У + ¿2 - 'о)')* = 1+1а,(? - ?0у.

/=0

1=0

1=0

Затем для понижения степени многочлена ДО применим процедуру сворачивания по следующей схеме:

(/-/0)' с[0,Л' р]{1-10)р ,1 = + 1,2/7 + 1,А -шагсетки.

После этого каждый член многочлена у(/), начиная с номера р+1, будет иметь степень р, а коэффициенты а Г1 (¡=0, ..., р) результирующего многочленазапишутся следующим образом: Уо .«' = 0;

Ь0 + ¿,<Зо + Ь2 (ао )2 ,1 = 1,5 - номер итерации;

а,- =

1

p p p + \ k=p+1 к

Заметим, что формула (4) представляет собой рекуррентную формулу нахождения коэффициентов многочлена ^'(i) итерационным методом

(2) с «огрублением».

ТЕОРЕМА. Если справедливо соотношение

и(аГ1)<и(а*) , i = (hp, (5)

то ширина многочлена У^О) не будет превышать ширину У (г)

ю(/+1(0) £«(/('))■

Доказательство. Пользуясь свойствами интервального анализа

[3], получим:

со(/+1(0) = со(1>;+1(' - to)') = ¿со«+1Х/ - to)', поскольку t > t0 1=0 1=0

0>(/(/))= f>(«'X<-<o)'-1=0

Из неравенства (5) следует, что теорема доказана. Пользуясь условием сходимости итераций (5), можно подбирать ширину шага h или степень р для достижения необходимой точности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zyuzin V. S. and Rychkova N. A. Finding interval splines for a solution of a system of ordinary differential equations with initial conditions with the help of Taylor series. Extended abstracts of SCAN'97. Lion, 1997.

2. Лузин H. H. Собрание сочинений. 1959. В 3 т. Т. 3: Работы по различным вопросам математики. М.: Издательство Академии наук СССР.

3. Калмыков С. А., Шокин Ю. Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986.