Существующие подходы к оптимизации современных инвестиционных портфелей ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

К.В. Филиппов

СУЩЕСТВУЮЩИЕ ПОДХОДЫ К ОПТИМИЗАЦИИ СОВРЕМЕННЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ЦЕННЫХ БУМАГ

У/е смотря на экономический кризис, на сегодняшний день .Ж .Ж рынок ценных бумаг в России интенсивно развивается. В отличие от развитых стран Запада, это развитие происходит в условиях высоких рисков, связанных с нестабильностью отечественного законодательства, политической, финансовой системы, развития народного хозяйства. Очевидно, что существование такого рынка невозможно без адекватных инструментов управления портфельными инвестициями. Модели управления инвестиционным портфелем, в большом количестве разработанные западными экономистами, не могут быть импортированы в отечественную экономику без учета особенностей российской экономики.

Для того, чтобы разработать такой финансовый инструмент, необходимо проанализировать существующие модели формирования оптимального инвестиционного портфеля, выделить их достоинства, недостатки, а также проанализировать их применимость в российских экономических условиях.

Становление теории портфельных инвестиций принято относить к 20-30-м гг. ХХ в., что тесно связано с развитием рынков ценных бумаг в США и странах Западной Европы. Первыми работами в этом направлении стали работа И. Фишера, развивавшая теорию процентной ставки и приведенной стоимости, а позже - исследования Ф. Модильяни и М. Миллера. В основе данных моделей лежало предположение о том, что экономические процессы протекают в условиях определенности и могут быть спрогнозированы с высокой степенью достоверности. В настоящее время эти модели практически не используются, либо применяются со значительными допущениями.

Одной из наиболее ранних моделей оптимизации инвестиционного портфеля, получивших широкое распространение на сегодняшний день в связи с развитием информационных технологий, является модель Г. Марковица. Ее основные положения были

опубликованы впервые в 1952 г. в его статье «Выбор портфеля». Эту работу по праву считают началом современной теории инвестиций.

В статье Г. Марковица впервые была предложена математическая модель стратегии формирования инвестиционного портфеля для различных условий. Новаторством, предложенным автором, стала теоретико - вероятностная формализация ключевых понятий теории инвестиций - риска и доходности. Рассматривая структуру инвестиционного портфеля в системе индикаторов «доходность -риск», он учитывал, что инвестор стремится одновременно решить две задачи: вложить деньги в ценные бумаги с максимальной доходностью, сведя до минимума степень риска.

В статье «Выбор портфеля» Г. Марковицем предлагалось решение этих задач при условии заданной средней цены портфеля. Классически задача Г. Марковица описывается так: необходимо найти значения хь х2, ....хп, при которых выполняется условие:

П П

^ = 1 при ^ = тП , для которых величина, определяющая

г=1 г=1

риск, является минимальной. При этом риск портфеля V (понимаемый как стандартное отклонение от доходности) определялся следующим образом:

V =± ± VV,. (')

1=1 ]=1

где VII - ковариация цен активов ! и _)-го вида; хъ х - доля активов !, _)-го вида в портфеле; ш1 - средняя доходность актива вида ц тп -средняя заданная цена портфеля.

Таким образом, проблему выбора оптимального портфеля Г. Марковицу удалось представить в виде математической задачи квадратической оптимизации при линейных ограничениях.

Следует отметить, что первоначально работа Г. Марковица не получила широкого распространения, что было связано со сложностью расчетов, слабым развитием и высокой стоимостью вычислительной техники, и делало применение данной модели на практике весьма трудоемким, затратным и непригодным для решения задач оперативного управления. Дальнейшее развитие математического анализа привело к тому, что в настоящее время модель Г. Марковица относится к наиболее изученному классу оптимизационных

задач, для которых уже разработано достаточно большое число эффективных алгоритмов решений. Развитие информационных технологий позволило автоматизировать расчеты, что способствовало ее всемирному признанию. В 1990 г. за достижения в области экономики Г. Марковиц был удостоен Нобелевской премии. Существенным недостатком модели Г. Марковица для 50-60-х гг. ХХ в. была сложность вычислений, в связи с чем его последователи делали неоднократные попытки упростить их.

Наиболее удачные попытки, актуальные и в современных условиях, - это модели Д. Тобина и У Шарпа, развивающие теорию Г. Марковица.

Новым в подходе, предложенном Д. Тобином, стало изучение факторов, влияющих на формирование инвестиционного портфеля. Он сделал акцент на поведении отдельного инвестора, который вкладывает денежные средства в ценные бумаги, руководствуясь собственными представлениями об оптимальном соотношении доходности и риска.

В основе модели Д. Тобина лежит предположение, что, помимо рисковых портфельных инвестиций, на фондовом рынке имеются безрисковые ценные бумаги (величина риска V которых ^ к 0), что позволило ему существенно упростить задачу формирования оптимального портфеля.

К таким безрисковым активам Д. Тобин отнес облигации как ценные бумаги, доход и возврат суммы по которым фиксирован условиями займа. Второе предположение, которое лежит в основе модели Д. Тобина - цена облигаций не случайна, и диктуется условиями рынка. К активам, степень риска которых высока и должна учитываться при выборе оптимального инвестиционного портфеля, Д. Тобин отнес акции.

Исходя из этого, Д. Тобин сделал очевидное предположение, что при включении отдельных активов в свой портфель инвестор должен руководствоваться правилом, согласно которому неслучайная цена рисковых ценных бумаг (акций) т, должна быть выше неслучайной цены безрисковых ценных бумаг (облигаций) т0, то есть обязательным условием оптимального инвестиционного портфеля является выполнение неравенства: т>>т0 .

Долю безрисковых активов (капитала, вложенного в облигации) обозначим через х0. Тогда доля рисковых активов будет опре-

деляться как х, = (1- х0). В таком случае задача по выбору оптимального портфеля будет представлена следующим образом:

Следует подчеркнуть, что в модели Д. Тобинса решение задачи по оптимизации портфеля не зависит от структуры рисковой части активов, при ее изменении достаточно лишь пересчитывать т:і при каждом изменении структуры портфеля. Оптимизационная задача решается при выполнении неравенства ті>т0 , где рисковая часть портфеля рассматривается как одна усредненная акция.

В модели Д. Тобина риск инвестиционного портфеля выражается формулой:

где Т - коэффициент, представленный некоторым положительным числом.

Математически задача оптимизации инвестиционного портфеля в модели Д. Тобина представляет собой линейную целевую функцию с квадратическими нелинейными ограничениями. Она может быть решена как для минимизации риска при заданном уровне доходности, так и для максимизации доходности при заданном уровне риска.

Модель Тобина более проста, чем модель Г. Марковица, она позволяла более четко формализовать понятие доходности и риска, однако и она не давала ответа на вопрос о влиянии отдельных активов на уровень риска и доходности инвестиционного портфеля. Практически она имела те же недостатки, что и модель Г. Марковица. Тем не менее, за вклад в теорию портфельных инвестиций в 1981 г. Д. Тобин был удостоен Нобелевской премии.

Дальнейшее развитие теория инвестиционного портфеля получила в работах ученика Г. Марковица - У. Шарпа (1964 г.), предложившего в 60-х гг. ХХ в. так называемую однофакторную модель рынка капиталов.

П

(2)

і=1

п

(3)

і=1

п

(4)

і=1

V = Т (т-то),

(5)

В своей работе У. Шарп развил метод Г. Марковица, существенно упростив его и сведя задачу квадратической оптимизации портфеля к линейной. Такой подход позволил для небольших портфелей получать сходные с моделью Г. Марковица результаты без использования сложных средств вычислительной техники. Это способствовало широкому распространению методов оптимизации инвестиционных портфелей в 70-е гг. ХХ в.

Вслед за работой У. Шарпа появился целый ряд исследований, посвященных методам портфельной оптимизации (Линтнер, 1965; Моссин, 1966; Шоулс и Блек, 1973), однако модель Шарпа получила наибольшее распространение и до сих пор считается классической. За эту работу У. Шарп в 1990 г. был удостоен Нобелевской премии.

В основе данной модели лежит решение задачи по установлению соотношения между доходностью и риском актива в условиях равновесного рынка. Метод У. Шарпа получил распространение как модель оценки долгосрочных активов (САРМ).

Модель САРМ допускает следующие предположения.

Во-первых, эффективным (оптимальным) является тот портфель, у которого доходность максимальна, в то время как стандартное отклонение доходности (мера риска) стремится к минимуму.

Во-вторых, при выборе оптимального портфеля необходимо учитывать не весь риск, как предлагал Марковиц, а лишь его часть, называемую недиверсифицируемым, систематическим риском. Этот риск, по Шарпу, тесно связан с общим риском фондового рынка. Чувствительность ценной бумаги к изменению общего риска фондового рынка, определяющая вклад данного актива в совокупный риск инвестиционного портфеля, автор выразил через коэффициент в («бета»).

В-третьих, другая составляющая риска (несистематический, или диверсифицируемый риск) предположительно может быть устранена путем оптимального подбора активов с различным уровнем доходности и риска, в чем и состоит задача выбора оптимального портфеля. Эта часть риска, связанная с поведением отдельного актива на рынке ценных бумаг, определена им как коэффициент а («альфа).

В-четвертых, в случае, если инвестор имеет возможность вложить деньги в безрисковые ценные бумаги (с фиксированной про-

центной ставкой) и акции, всегда может быть выбрана такая их комбинация, при которой при заданной доходности уровень риска является минимальным, и наоборот: при заданном риске портфель будет обеспечивать максимальную доходность.

В-пятых, в эффективном портфеле доходность акций должна быть прямо пропорциональна и находится в линейной зависимости от величины риска: ценные бумаги с низкой доходностью должны максимально снижать совокупный риск инвестиционного портфеля, в то время как ценные бумаги с высоким риском должны повышать совокупную доходность инвестиций. В случае, если зависимость между доходностью и риском не стремится к прямой линейной зависимости, портфель неэффективен.

Модель САРМ математически представляет собой уравнение линейной регрессии, определяющее взаимозависимость между рыночной доходностью инвестиционного портфеля тг (которая может быть вычислена с помощью принятых на фондовом рынке индексов доходности) и доходностью конкретного актива тъ в момент времени 1

тъ 1 = а! + + 81,1 (6)

где т;Д - доходность инвестиционного актива (ценной бумаги) 1; а!

- коэффициент, показывающий, какая часть доходности 1-го актива не зависит от общей доходности фондового рынка; Р1 - коэффициент чувствительности доходности 1-го актива к изменениям рыночной доходности; тг,1 - доходность рыночного инвестиционного портфеля на момент времени - величина случайной ошибки, вводимая в связи с тем, что реальное поведение т1,1 и тгД на фондовом рынке может отклоняться от линейной зависимости.

Риск конкретного актива 1 в модели САРМ характеризуется его чувствительностью к изменениям рыночной доходности, выраженной через коэффициент р1. В том случае, если Р1 >1, доходность такой ценной бумаги подвержена более высоким колебаниям, чем рыночная доходность, и, следовательно, данный актив имеет больший риск.

Модель Марковица - Тобина - Шарпа на сегодняшний день является действующим финансовым инструментом, на ее основе разработано множество программных средств управления финансовыми активами, однако она имеет и серьезные недостатки, среди которых, на наш взгляд, наиболее существенными являются:

1. Сложность формализации взаимосвязи показателей доходности и риска ценных бумаг в инвестиционном портфеле, которая во многом зависит от величины выборки.

2. Недостаточная информативность при оценке рыночного риска. Ни величина ковариации Марковица, ни коэффициент в Шарпа не позволяют оценить риск инвестиций в денежном эквиваленте. Эти показатели дают лишь сравнительную оценку риска как степени вероятности отклонения от заданной величины доходности, но не позволяют оценить величину потерь инвестора. Таким образом, данные модели не позволяют рассчитать, например, величину резервного капитала, необходимого для обеспечения риска.

3. Недоучет влияния отдельных факторов риска на доходность инвестиционного портфеля, что значительно снижает возможности адаптации данной модели к высокорисковым (быстро меняющимся) экономическим условиям, характерным, в частности, для современной России. Эти модели требуют введения лимита позиций, определяемых факторами риска, что не позволяет эффективно контролировать риск инвестиционного портфеля.

В целом, можно отметить, что современные модификации метода Марковица - Тобина - Шарпа могут быть использованы и в настоящее время, однако они должны быть дополнены методиками более детальной оценки рыночных рисков.

Необходимо отметить, что развитие теории вероятности и стохастических методов математического моделирования, а также совершенствование вычислительной техники стимулировали развитие и других моделей оптимизации инвестиционного портфеля, не получивших столь широкого распространения.

В частности, к достаточно известным моделям можно отнести модель опционов, предложенную М. Шоулсом и Ф. Блеком в 1973 г. В основе данной модели лежало предположение о возможности осуществления безрисковой сделки с рисковыми ценными бумагами с использованием одновременно выписанных на них опционов, причем стоимость такой сделки рассматривалась как равная рыночной стоимости безрисковых активов. Поскольку стоимость ценных бумаг - величина динамичная, меняющаяся с течением времени, то стоимость опциона, призванного обеспечить безрисковую сделку, также непостоянна. Модель Блека - Шоулса позволяет получить вероятностную оценку стоимости опциона, обеспечи-

вающую нулевой риск при операциях с рисковыми ценными бумагами.

В последнее время также получили развитие методы «многокритериальной оптимизации», одним из наиболее известных среди которых является метод Паретто. Он основан на определении множества оптимальных портфелей. Под оптимальным при этом понимается такой портфель, который нельзя улучшить ни по одному из критериев, не ухудшив при этом другие показатели. Затем из выделенного множества выделяется наиболее приемлемый вариант с учетом предпочтений или дополнительных, не обязательно формализованных критериев по усмотрению инвестора.

Рассмотрев наиболее известные модели управления инвестиционными портфелями на мировых фондовых рынках, необходимо проанализировать особенности данного вопроса на российском фондовом рынке.

С возрождением отечественного рынка ценных бумаг в начале 90-х гг. ХХ в. в экономической науке появилось большое количество работ, посвященных как адаптации зарубежного опыта, так и разработке собственных методов оптимизации инвестиционных портфелей. Среди отечественных работ, получивших мировую известность в области финансовой математики, необходимо назвать работы А.В. Мельникова, А.Н. Ширяева и др., посвященные использованию теории случайных процессов в экономике переходного периода.

Среди теоретических исследований последних лет следует также назвать многочисленные работы, посвященные задачам оптимизации инвестиционного портфеля на основе методов математического программирования; построение игровых моделей; построение динамических моделей с использованием дифференциальных уравнений; построение моделей управления инвестициями с использованием интервалов; модели с применением законов нечеткой логики и др. Среди последних разработок, еще не получивших широкого практического применения, следует назвать модели управления портфельными инвестициями с использованием теории нейронных сетей, теории хаоса, теории катастроф и др.

Из традиционных методов, предлагаемых зарубежными исследователями, наибольшее распространение в отечественной практике получил подход к определению оптимального инвестиционного портфеля с применением функции полезности, являющийся по сво-

ей сути модификацией модели Г. Марковица. Согласно данному подходу, инвестиционный портфель можно охарактеризовать одной из трех функций: mn - aVn; mn2 - aVn или mn / (1 + Vn)a, где mn -предполагаемое математическое ожидание полезности, a - положительный коэффициент, характеризующий подход инвестора к риску, Vn - среднеквадратическое отклонение mn, характеризующее риск. Очевидно, что эти функции будут расти с ростом mn и уменьшением Vn. Чем ближе коэффициент a к нулю, тем более склонен инвестор к риску. Основной сложностью в таком подходе является выбор функции полезности.

Следует отметить, что методы, основанные на выборе функции полезности, получили широкое распространение. Однако они вызывают серьезные возражения, поскольку не позволяют учесть эффект разброса относительно математического ожидания. В результате проекты с положительными значениями ожидания полезности могут иметь отрицательные значения, что не соответствует понятию эффективности в экономическом смысле.

Кроме того, этот метод имеет те же недостатки, что и модель Марковица - Тобина - Шарпа, а именно:

- он не позволяет оценить абсолютное значение величины риска, поскольку определяет его не в виде абсолютной величины, а в виде дисперсии;

- риск, представленный в виде дисперсии, одинаково учитывает как отрицательные изменения доходности, так и положительные, распределение которых представляется симметричным, между тем как использование опционов и другие современные финансовые инструменты, стоимость которых относительно рыночных цен активов меняется нелинейно, ведет к неправильной оценке рисков и допускает большую величину погрешности.

Это требует, в свою очередь, разработки новых моделей, позволяющих оперативно управлять рисками инвестиционного портфеля в условиях нестабильной рыночной экономики России.

---------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. MarkowitzH. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. Vol. 7. P. 77-91.

2. Завьялова Е.А. Оптимизация стратегий управления портфелем государственных ценных бумаг с учетом склонности к риску: Дисс. ... экон. наук. - Уфа, 2004. С. 27; Мищенко В.В. Оптимизация структуры портфеля вложений в ценные бумаги: Дисс. канд. экон. наук. - Омск, 2004. С. 32; Френкель Б.М. Моделирова-

ние процесса управления портфелем ценных бумаг в условиях неопределенности: Дисс....канд. экон. наук. - Астрахань, 2006. С. 19 и др.

3. Fisher I. The theory of interests. - New York: Macmillan, 1930; Modigliani F., Miller M. The Cost of Capital, Corporation Finance and Theory of Investment // American Economic Review. 1958. June. P.261-297. иш=1

— Коротко об авторе ---------------------------------------------

Филиппов К.В. - аспирант кафедры АСУ, Московский государственный горный университет.

© К.В. Филиппов, 2008

К.В. Филиппов

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ НА БАЗЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

А нализ классических методов оптимизации инвестицион-^Г!жных портфелей (Марковица, Шарпа и др.), а также основанных на них новаторских подходов к управлению инвестициями позволили выявить следующие их недостатки: