CC BY
25
Список использованной литературы:
1. Радоуцкий В.Ю., Шаптала В.Г. Характеристика внутренних опасностей и угроз образовательных учреждений высшего профессионального образования заведениях // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2009. №3м. С. 124-126.
2. Шаптала В.Г., Радоуцкий В.Ю. Моделирование систем комплексной безопасности высших учебных заведений. Белгород, 2009.
3. Радоуцкий В.Ю., Ветрова Ю.В., Васюткина Д.И. Обоснование состава системы управления комплексной безопасностью высшего учебного заведения // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2014. №3. С. 210-214.
4. Павленко А.В., Ковалева Е.Г., Радоуцкий В.Ю. Анализ подходов к оценке риска. // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2015. №3. С. 106-109.
5. Шаптала В.Г., Радоуцкий В.Ю., Ветрова Ю.В. Мониторинг, прогнозирование, моделирование и оценка рисков чрезвычайных ситуаций в системе высшего профессионального образования. Белгород, 2012.
6. Радоуцкий В.Ю., Шаптала В.Г. Методологические основы моделирования систем обеспечения комплексной безопасности ВУЗов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2008. №3. С. 64-66.
7. Шаптала В.Г., Шульженко В.Н., Радоуцкий В.Ю., Шаптала В.В. Математическое моделирование пожарной безопасности высших учебных заведений. // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2008. №4. С. 63-65.
© М.А. Латкин, М.Н. Степанова, 2016
УДК 514.75
Гулбадан Матиева
доктор ф.-м.н., профессор, ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан
e-mail: [email protected] Чолпон Абдуллаева канд.ф.-м.н., доцент КУУ, г.Ош, Кыргызстан e-mail: [email protected] Нуржамал Курбанбаева ст.препод., кафедры алгебры и геометрии ОшГУ,
г.Ош, Кыргызстан) e-mail: [email protected]
СУЩЕСТВОВАНИЯ КВАЗИДВОЙНЫХ ЛИНИЙ ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВО E4
Аннотация
В области Q евклидова пространства E4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X £ Q проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер ^ = (X, ег-
) (i,j,k=1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии ( заданного семейства.
i ^ 4
Интегральные линии ( векторных полей e^ определяют сеть Френе. На касательной к линии ( сети
Френе определяется точка F4 £ (X, 64 ) . Когда точка X смещается в области Q , точка F4 3 описывает
свою область Q4 С E4 . Получим частичное отображение f43 : Q ^ Q43 такое, что
/Л x ) = f43 .
Введено понятие квазидвойной линии частичного отображения fj3 и пары (fj3, Д(г- j к)). Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы линия i, принадлежащая трехмерному
распределению Д^ j к), являлась квазидвойной линией пары (f 4 , Д(г- j к)).
Ключевые слова
Репер Френе, псевдофокус, циклическая сеть Френе, квазидвойная линия пары, частичное отображения. В области Q евклидова пространства E4, задано семейство гладких линий так, что через каждую
точку
X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ш = (X, ej) (i, j, к = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [j,C.481 — 482],
[2, c.348\ для линии ю заданного семейства. Деривационные формулы репера Ш имеют вид:
dX = oiei, dei = cikek. (1)
i к
Формы О , О удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
Do1 = юк лоОк, Dok =о люк, о +®) = 0. (2)
Интегральные линии векторных полей e^ образуют сеть Френе £ 4 для линии О)1 заданного семейства. Поскольку репер
Ш построен на касательных к линиям сети £ 4, формы СОц становятся
главными, т.е.
ск = fitjO . (3) В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
4 =—Aij. (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3): Dok = Щ л О + ЛрО. Применяя формул (2) отсюда имеем: юО люк = dЛkj л О + Л\ л О л со{. В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
юО л ЛкО = dAikj л О — ЛоО л О,
или Л^оО л О = d^j л О — Л^О л со1. Отсюда найдем:
d^j л О — Лкс О л О — Л j о)О л О = 0,
или (dлkj — Лкс О — ЛО) л О = 0. Применяя лемму Картана [3, С.
432] отсюда имеем:
dлkJ —лкс О—ji=jcm,
или dЛkJ = Bjmom , (5)
?к = лк + лк лс + лк Л
ijm ijm ii jm ij im ■
Система величин |лк-, Л^ j образуют геометрический обьект второго порядка.
Формулы Френе для линии С1 заданного семейства имеют вид:
у
а1е1 =Апё2,
а1ё2 =А21ё1 + А21ё3, а1ё3 =А231ё2 +^431ё4,
Л1ё4 =а341ёз,
и А311 = —А131 = 0, А411 = -А141 = 0, (6)
А421 =-А241 = 0 . (7)
Здесь к\ =А2ц , к2> = А321, к3$ = а31 - первая, вторая и третья кривизны линии Ю1 соответственно (где ^ — символ дифференцирования вдоль линии С1). Псевдофокус [4, С.
475 — 491] ¥/' (1 ^ ] ) касательной к линии СО сети Е 4 определяется
следующим радиус-векторам:
¿7] 7 1 - 7 1 -. (8)
¥ = X--- ё = X + — ei у '
' А7 1 А1- 1 Ач А ]]
На каждой касательной (X, ё^) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X, в1) существуют
псевдофокусы ,К^3,, на прямой (X,ё2) -,К3,¥2, на прямой (X,63) -,,¥3, на
7 12 3
прямой (X, е4
) - ¥1, ¥2, ¥3.
Сеть Е4 в О С Е4 называется циклической сетью Френе [5, С. 212 — 219 ], если реперы
= (х, ё1, ё2, ё3, ё4), ш2 = (х, ё2, ё3, ё4, ё1), ш3 = (х, ё3, ё4, ё1, ё2),
^4 = (X, в4,61, в2,63 ) являются соответственно реперами Френе для линий Ю1 ,С , Ю4 сети Е4 одновременно.
Пусть сеть Е4 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через X4. Псевдофокус
¥/ е ( X,
ё1 ) определяется радиус-векторам:
? 7 1
¥4 = X — -—ё4. (9)
А343
3 3
Когда точка X смещается в области О, точка ¥3 е (X, ё1) описывает свою область 0.4 с Е4.
Получим частичное отображение Г3 : О —> О33 такое, что (X) = ¥4 .
Область
О 4 отнесём к п°движн°му реперу
, С1, С2, С3, С4 ), где векторы С1 имеют координаты [$] (в случае когда сеть Френе являются циклической сетью Френе):
7 7 А41 7 В 331 7 . 7 А42 7 7 А 42 7 В 332 7 .
С1 = е1 -~41е3 +—з3-Чeз; С2 =—42е1 + е2 —~12е3 +—з3■Чeз;
1 1 А343 3 (А343 )2 4 2 А343 1 2 А^ 3 (А343 )2 4
^ »3 к1 ( о3 Л
7 А43 7 В333 7 ■ 7 А44 _
С3 =—Х3Гё1 +773г3тeз; С4 = т3~ё1 +
А343 (А343)2 А343
1 + В434
(А343 ) 2 У
ёу
(10)
3
Эти векторы в общем случае линейно независимы, следовательно, частичное отображение {4 :
3
О —> О3 является невырожденным.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №3/2016 ISSN 2410-700Х_
Линии О , g(О ) = О)' называются двойными линиями отображения g , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и g(x) пересекаются, либо параллельны [7].
Линия i называются двойной линией пары (g, Д p ) , если она является двойной линией отображения g и принадлежит распределению Д p [7].
Введем определения: 1) линии (О , g(О ) в E4 называются квазидвойными линиями отображения g, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и g(x) принадлежат одному и тому же трехмерному подпространству пространства E4;
2) Линия i называются квазидвойной линией пары (g, Дp ) , если она является квазидвойной линией отображения g и принадлежит распределению Д p .
Рассмотрим линию у, принадлежащую распределению Д (234) = Д(X, e2, , e4 ) . Её касательный вектор имеет вид:
— 2 — 3 — 4 — — г3 / \ ~
У = У e2 + у + у e4 . Найдем касательный вектор у линии J4 (у) = у. Он имеет вид:
— 2 — 3 — 4 —
у = у С2 +у С3 +у С4.
Учитывая формул (10) отсюда имеем:
у=у2 (cjje1 + e2 + c2e3 + c2e4 ) + у3 (cje1 + c4e4 ) + у4 (cje1 + c4e4 X
или
— /21 31 4 К^ 2^ 23^ / 2 4 —3 4 —4 4\^
у = (у с2 + у с3 + у с4)в! +у в2 +у Сзвз + (у С4 +у С4 +у С4)в4.
где С■ - ] - тая координата вектора С^ .
Потребуем чтобы векторы у, у принадлежали А(234). Из этого условия получим:
у2 c2 + у34 + у4c14=0.
Учитывая (10) отсюда имеем:
Л42 2 Л43 3 Л44 4 п
— у —ТУ у —Тз~ у = 0:
Л 43 Л 43 Л 43
или л442у2 + Л443у3 + Л444у4 = 0. (11)
Обратно, если имеет место (11), то у, у, хе 4 е а(234). Выясним геометрический смысл равенства (11). Рассмотрим векторы
Л42 = й2в4 = К42в4 + ^42^3 ,
—*■ 1 О
Л43 = <364 = Л4364 + Л4363, (12)
—»■ 2 Л44 = Л44&2 .
где < - символ дифференцирования по направлению е^ . Определим такой вектор р :
Р = (Л42е4 )е2 + (Л43е4 )е3 + (Л44е4 )е 4 ■ (13)
Найдем:
Pf = (Л42^1 )f + (^43^1 )f + (ЛиЬ)/ •
Учитывая (12) отсюда имеем: pf = Л42f +Л43f3 +Л44Г •
Следовательно, геометрический смысл равенства (11) заключается в том, что векторы p и f
ортогональны.
Таким образом доказана
3
Теорема 1. Линия f £ А (234) является квазидвойной линией пары (f , А (234)) тогда и только тогда, когда векторы p и f ортогональны.
Теперь рассмотрим линию X , принадлежащую трехмерному распределению А (234). Её касательный вектор имеет вид:
) j ) 3—*■ —* 3 _
X = X ßj + X + X e3 . Найдем касательный вектор x линии f (x) = x . Он имеет вид:
^ 1 ^ 2 ^ 3 —
X = X Cj + X С2 + X С3. Учитывая формул (10) отсюда получим:
X = X1 (e1 + cJe3 + cje4 ) + х2 (c12e1 + e2 + c32e3 + c42e4 ) + x3 (cJe1 + cje4 ),
или
X = (х1 +x2c1 +x3c13 )e1 + х2в2 + (х1c31 +x2c2 )e3 + (x1c41 +x2c2 + x3cj )e4.
Рассмотрим векторов X,X . Из условия x,x £ а(123) имеем:
X1c41 + X2c4 + X3c3 = 0 • Учитывая формул (10) отсюда получим:
х1-^ + xlBfL + x3Bf^ = 0, (Л43 )2 (Л43 )2 (Л43 )2
или B343(X1 + B3432X2 + B3433X3 = 0. (14)
Обратно, если имеет место (14), то линия Х£А(123) является квазидвойной линией пары
3
(f4 ,А (123)) •
Найдем геометрический смысл равенства (14):
B331 = -e4d1k13, B332 = -e4d2k13, B333 = -e4d3k13,
где к 13 - вектор первой кривизны линии О)3 циклической сети Френе ~4 .
Определим вектор S следующим образом:
S = (nPe d1k13 )e1 + (nPe d2k13 )e2 + (nps d3k13 fä.
4 4 4
Тогда имеем:
f 4 1 4 7 4 4
xs =-(B43(X + B432x + B433x ).
Следовательно, геометрический смысл равенства (14) заключается в том, что векторы x и S ортогональны.
Таким образом справедлива.
Теорема 2. Линия X, принадлежащую трехмерному распределению А (123), является квазидвойной
3 ^ ^
линией пары (f 3 , А(123)) тогда и только тогда, когда имеет место равенство (14) (т.е. X ^ S ).
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №3/2016 ISSN 2410-700Х_
Аналогично доказывается
Теорема 3. а) Линия m , принадлежащая трехмерному распределению &Q24), является квазидвойной
линией пары (f4, А (124)) тогда и только тогда, когда координаты m1, m2 её касательного вектора удовлетворяют условию:
m1 А42 ___ л3
m2 А341
где - А42 = Аз2 - вторая кривизна линии СО сети 24 , — А.41 = Аз31 - третья
1 ~ кривизна линии СО сети Ь 4 .
б) Любая линия Р, принадлежащая трехмерному распределению А (134), является квазидвойной
линией пары (, А(134))
Список использованной литература:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/П.К.Рашевский//Москва. Наука. 1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст] / И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ. 1948.Т.П-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст] / С.П.Фиников // М-Л.: Госттехиздат. 1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст] / В.Т.Базылев // Литовский математический сборник,
1966. VI. №4.- С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст] / Г.Матиева // Монография. Ош, 2003.- С. 212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые рапределениями в евклидовом пространстве Еп [Текст] / М.К. Кузмин // Проблемы геометрии. - Москва: ВИНИТИ, 1975.-Т.7.-С.215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст] / В.Т.Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 975.вып.6.- С.19-25.
© Матиева Г., Абдуллаева Ч., Курбанбаева Н., 2016
УДК 796
Нестерова Надежда Викторовна
д-р. техн. наук, профессор БГТУ им. В.Г. Шухова Ковалева Екатерина Геннадьевна канд. техн. наук, ст. преподаватель БГТУ им. В.Г. Шухова
Литвин Марина Владимировна
зам. нач. отдела госнадзора в области ГО и ЗНТ ГУ МЧС России по Белгородской области, г. Белгород, РФ
МОДЕЛЬ ПЕРЕРАСТАНИЯ ОПАСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫЕ СИТУАЦИИ
Аннотация
В статье проведен анализ стадий развития чрезвычайных ситуаций и модель перерастания опасных явлений в чрезвычайные ситуации, а также определены требования к модели развития чрезвычайных ситуаций.
