CC BY
19
УДК 517.97
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНОИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИСТЕМ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
© 2012 г. Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
Махмудов Нурали Мехрали огяы - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информатики, Нахиче-ванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский городок, г. Нахичевань, AZ7012, Азербайджан, е-mail: nuralimaxmudov@rambler. т.
Салманов Вугар Иврагим оглы - старший преподаватель, кафедра информатики, Нахичеванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский городок, г. Нахичевань, AZ7012, Азербайджан.
Makhmudov Nurali Mekhrali ogli - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Computer Science, Nakhichevan State University, A. Aliev St., 1, Campus, Nakhichevan, AZ7012, Azerbaijan, e-mail: [email protected].
Salmanov Vugar Ivragim ogli - Senior Lecturer, Department of Computer Science, Nakhichevan State University, A. Aliev St., 1, Campus, Nakhichevan, AZ7012, Azerbaijan.
Рассмотрены непрерывная задачи оптимального управления для линейных сосредоточенных систем со специальным критерием качества типа функционала Лионса и разностная аппроксимация этой задачи. Доказано существование и единственность решения дискретной задачи оптимального управления.
Ключевые слова: оптимальное управление, дискретная задача, критерия Лионса.
It is considered continuous problems of optimum control for the linear concentrated systems with special criterion of quality of type of a functional of Lions and a difference approximation of this problem. Existence and uniqueness of a solution of a discrete problem of optimum control is proved.
Keywords: optimum control, discrete problem, criterion of Lions.
Исследуется задача оптимального управления для линейных сосредоточенных систем со специальным критерием качества типа функционала Лионса. Отметим, что решению задач оптимального управления сосредоточенными системами посвящено немало работ [1-8]. Однако рассмотренная задача во многом отличается от ранее изученных. Поэтому ее изучение представляет как теоретический, так и практический интерес.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу оптимального управления о минимизации функционала
J(u) = ||x0 G «)-xT (•> MHW((
(0, T)
(1)
на множестве
при условиях
и = |и = и(г): и е (0, т), ||и|ф)(0 Ь)1
хр' (г) = А (/>Д0+ В (/)и(0+ /О,
р = о, т, о < г < т,
хо(о) = Хо, Хт(т) = Хт, (2)
где Т > 0, Ьо > 0 - заданные числа; хо, хт - заданные векторы; А (г) = ]ау ()} - матрица порядка п х п; В ( )={Ьй(г)} - матрица порядка п х т; /()= (/1 (г), /2(г), •••,/п())т - вектор-столбец. Будем предполагать, что / е /ф (о, т), ау е (о, т),
h J
= 1, n , bfc е (0, T), i = 1, n , k = 1, m .
Дискретизация задачи
Рассмотрим разностную аппроксимацию задачи (1), (2). С этой целью разобьем отрезок [0, Т] на N частей
точками , к = 0, N |: 0<¿0 <Ь < ■■■ <_ <= Т,
приняв их в качестве узловых, а уравнения (2) заменим разностными с помощью простейшей явной схемоы Эйлера. В результате придем к дискретной задаче
N-1
In (Mn )= S
k—0
k k x0 - xT
At,
k
(3)
на множестве
[u]N : [u]N =(m0' Uh---,UN-1
UN =i - ÎN-1
uk e Rm,k = 0, N - 1,|Z Uk\m Atk | ^ b к=0
при условиях
xok+1 = xok + Atk (W + BkUk + fk ), k = 0, 1-1 xTk+1 = xTk + Atk (akxrk + BkUk + fk ),
k = N -1,0 ,
0 _ n _
Xo — X0, Xt — XT ,
где
Ak = tk+1 - tk, Ak = a
, 1 tk+1 / ч
4 —тг J av
Atk tk t
(4)
(5)
W }, Bk — У };
1 tk+1
bir —- J bir (t)dt, i, j — 1, n , r — 1, да
At
k tk
/k — (f 1k, /2k, fnk ),
1 k+1 - -
fk —— J f (t)dt, i — 1, N , k — 0, N -1 •
(6)
At,
k tk
Г 1 Г 1 N-1
< [u]n , Mn >¿да)— s Atk < Uk, vk >R L2N k—0 R
1
I2'
да
1 II Г N-1 2 V2
!Jn ¿(да) —l SAtkVk\m I •
¿2N ^ k—0 m )
[о, т] соответствует дискретная задача оптимального управления (3) - (5) в пространстве L^ .
При каждом [m]n e UN рассмотрим разностную схему (4), (5).
Теорема 1. Пусть элементы матриц A(t), B(t) являются ограниченными и измеримыми функциями на
хрк = хрк (и^), р = 0, Т, к = 0, N - решение разностной схемы (4), (5) при [и^ е UN.
Введем пространство Ь^ дискретных функций управлений [и^ = («0, м1, ■■■, UN_1),
[v]N =(^0, ^1, ■■■,VN_1) со скалярным произведением
и нормой
N-1
Е ;
i=0
Пространство L^m} является разностным аналогом соответствующим разбиению
отрезке
[0, T], f e L(2n)(0, T) ; dv — max Atk — ~M
0<k—N-1 N
M — const > 0 •
Тогда имеет место неравенство v[u]n e î/n ,
max
0—k — n
x„k ([m]
p vuJnJI < c0
'n
< C0, p — 0, T,
(7)
где со > 0 - постоянная, независящая от k, N.
Доказательство. Из (4)
xok+1 = xo + S At,A,xo7 + BjUj + f ),
k s j—0
k — 0, N-1
N
k — N-1,0 •
1 (Aj-1X
xt — xt + S Atj-1(A,-1XTj + Bj-M-1 + fj-j—k+1
T + Bj -1Mj-1 + f
- ),
(8)
Из (8)
k+1
x0
<JnAmx dN S
j—0
x0
k
+
+
V^Bmx So \U j\m Atj + SQ If j L At j + lX01n
k = 0, N - 1 , (9)
гДе Amax = ^[Д^И(t) ^ Bmax = B (t) .
Используя неравенство Коши-Буняковского, из (9) получим
k+1
x0
k
< VnAmaxdN SS x0j + j—0_
+ y[ntbm ax |[u]n||l( да) +jnt\\[f ]n||l( да) + ы
к = 0, N _1 , где [/]N = (/0, /1, ■■■, fN_1). Применяя дискретный аналог леммы Гронуолла [3, с. 110], получим оценку
х0к < 1(1*0\„ +|и]^|лда) +||./]^1(да) 1 (!°)
п V ъ2N У
для к = 0,1, N, где постоянная С1 > 0 не зависит от к .
Используя (8) и проведя выкладки, аналогичные при получении (10), получим
|/к, к = 0, N | отрезка [0, Т].
Таким образом, задаче (1), (2) в пространстве 4т)(0, Т) и разбиению <! ¿к, к = 0, N > отрезка
k
lT
< c2Г xt|w +||[u1
И1/,(да)
+
in rw
(11)
N " " "-L2N . для к = 0,1, ■■■, N, где С2 > 0 - постоянная, независящая от к .
Таким образом, в силу оценок (10), (11) установили справедливость утверждения теоремы.
2
n
n
n
n
да
Существование решения дискретной задачи оптимального управления
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, элементы матриц Ак, Вк и вектор-столбца / определены формулами (6). Тогда дискретная задача оптимального управления (3)-(5) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Докажем непрерывность функции (3) на множестве им . С этой целью возьмем любое управление [и]^ е UN и придадим ему приращение \н\м такое, что [и]у + [й]у е UN. Пусть [хр ]дт=[хр (и]у )]дг, Р = о, т есть решение системы (3)-(5) при [и^ + [к^ е UN. Тогда
[ЛхР^ = [хР^^ + [кк)]N"[хр(Iu]N)]N будет решением системы
AxTk+1 = AxTk + Ak(Ak AxTk+1 + Bkhk ),
Ac/+1 = Ax0k + Ak (лк Ax0k + Bh ), k = 0, N -1 k
(12)
к = N-1, о , Лхоо = о, Лх^ = о . Запишем ее в виде
Лхок+1 = | Лг.А. Лхо у + В.к.), к = о, N -1 у=о
AxTk+1 =- S Aj-1 j = k+1
k = 0, N-1 .
1 (a-1AxTj + Bj-1hj-1)
Из этих равенств нетрудно получить неравенства:
Ах
k+1
<4nAmajN S j =0
bVnBmax SS |hj| Atj
j=0
k = 0, N -1
Ax
k+1
N
<V nAmaxßN S j =k+1
AxTJ
-4nB,
N__________
max S \hj-1 Atj-1 , k = 0, N-1 .
j =k+1 j lm j
(13)
N-1 , 2 N-1
+ s Atk Ax0 k + S Atk k=0 n k=0 N-1
- 2 S <Ax0k, AxTk > k=0 0 T
Rn
Axt
Atk,
(15)
где Хрк, к = о, N , р = о, т - решение системы (4)-
(5) при [и^ е UN, а Лхрк , к = о, N , р = о, т - решение системы (12).
В силу оценок (7), (14) и неравенства Коши-Буняковского, из (15) получим
^ Л < С41 У т) + I|/(т) I , где С4 > о -
Применяя в (13) неравенство Коши-Буняковского и дискретный аналог леммы Гронуолла, получим оценки
Лхрк < с3|[й]^| (т), к = М1, р = о, т, (14)
п 2N
где с8 > о - постоянная не зависит от к и [к]п.
Рассмотрим приращение функции (4) на элементе
[ик еUN .
N ([и1^ ) = ^ ([и1^ + [кк )-^ (и]У ) =
N-1 7 7 7 ,
= 2 S < x0k - xTk, Ax0k - AxT > n Atk + k=0 R
постоянная, независящая от [к]п . Из этого неравенства следует непрерывность функции 1п (и]п) на любом элементе [и]у е UN, т.е.
^ (и^ о при Ц^к]^^ II г ( т) ^ о. (16)
Ввиду произвольности элемента [и]^ е UN из (16) следует непрерывность 1п (и]п) на множестве UN .
По структуре множества UN ясно, что оно - выпуклое, замкнутое и ограниченное в конечномерном пространстве /т). Известно, что такое множество в ¿т^ компактно. По доказанному на этом множестве 1п (и]п) непрерывна и 1п ([и]п )> о, v[u]N е UN. Таким образом, выполнены все условия теоремы Вейерштрасса [4, 9]. По этой же теореме функция 1п (и]п) достигает свою
нижнюю грань на компактном множестве UN , т.е. дискретная задача оптимального управления (3)-(5) имеет хотя бы одно решение. Теорема 2 доказана.
Литература
1. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.Н. О сходимо-
сти разностных аппроксимаций для задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1969. Т. 9, № 3. С. 522-547.
2. Будак Б.М., Беркович Е.М. Об аппроксимации экстре-
мальных задач // ЖВМ и МФ. 1971. Т. 2, № 3. С. 580596; № 4. С. 870-884.
3. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.
М., 1981. 400 с.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремаль-
ных задач. М., 1979. 518 с.
5. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-
разностный метод в задачах оптимального управления. Киев, 1978. 164 с.
6. Мордухович Б.Ш. О разностных аппроксимациях опти-
мального управления // Прикладная мат. и механика. 1978. Т. 42, № 3. С. 431-440.
7. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных
процессов. М., 1973. 256 с.
8. Федоренко В.П. Приближенное решение задач опти-
мального управления. М., 1978. 488 с.
9. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К., Ягубов Г.Я. Методы опти-
мизации (на азерб. языке). Баку, 2002. 400 с.
Поступила в редакцию
21 мая 2012 г.
2
n
0
n
n
+
n
n
