CC BY
63
УДК 517.524
В.И. Шмойлов
научный сотрудник, Научно исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог, E-mail: [email protected]
Г.А. Кириченко
аспирант,
Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог, E-mail: [email protected]
Н.А. Никулин
студент,
Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Таганрог, E-mail: kolyannnnn2013@gmail. com
СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ПОСТРОЕНИЕМ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, НИР № 2257 базовой части государственного задания № 2014/174
Аннотация. Рассматривается суммирование расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Рима-на. Значения расходящихся рядов находятся построением так называемых соответствующих цепных дробей. Получены разложения в цепные дроби чисел Бернулли и Эйлера.
Ключевые слова: дзета-функция, цепные дроби, суммирование рядов, r/j-алгоритм, числа Бернулли и
Эйлера.
V.I. Shmoylov, Southern Federal University, Taganrog G.A. Kirichenko, Southern Federal University, Taganrog N.A. Nikulin, Southern Federal University, Taganrog
SUMMATION OF DIVERGENT SERIES BY CONSTRUCTING THE CORRESPONDING CONTINUED FRACTION
Abstract. We consider the summation of divergent series related to the Riemann zeta function. The values of divergent series are the construction of the so-called corresponding continued fractions. The resulting decomposition in continued fractions of the numbers of Bernoulli and Euler.
Keywords: zeta function, continued fractions, summation of series, r/j-algorithm, Bernoulli numbers and Euler.
Введение
В анализе известна формула, связывающая дзета-функцию Римана с числами Бернулли [1].
,111 (-1)k-122k-V _
Z(2k) = 1 + —— + —— + —— +... = -—--B2k,
bV ' 2 32k 4 (2k)! 2k
где B2k - числа Бернулли.
Обычно числа Бернулли определяются через производящую функцию:
ех -1
= В0 + В х + — х2 + — х3 +... + — х" +... ,
1!
1
2!
3!
В0 = 1 В1 = - 2' В2к+1 = 0, В2к =
"!
(-1)*-1(2*)!
—2кг\ 2 ^ 2
1
' + 22к + 32* + 42* +...
В2 = —,В4 =--,В6 = —,В8 =--, В10 = —, В12 =--, В14 = —, В16 =--,
2 6 4 30 42 8 30 66 2—30 14 6 16 510
Числа Бернулли могут быть установлены детерминантной формулой Лапласа [2].
1/2! 1/3! 1/4! ... 1/ (" +1)!
Вп = (-1)""!
1 1/2! 1/3! 0 1 1/2!
1/ "! 1/ (" -1)!
1/2!
(1)
000
Значения расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана, определяются также через числа Бернулли. Эйлером [3] было установлено соотношение:
1 - 2"-1 + 3"-1 - 4"-1 + = ( 1) (2 1)
В", " = 1,2...
В частности,
1-1 +1 -1 +... = -, 2
1 - 22* -1 + 32*-1 - 42*-1 + =
2 -1 2*
В2*. * = 1, 2, ... .
(2)
(3)
(4)
1-22* + 32* -42* +... = 0. * = 1, 2, ... . (5)
Найдём значения расходящихся рядов (2) не посредством формулы Эйлера, а преобразованием этих рядов в соответствующие цепные дроби, которые определяются следующим образом. Если для степенного ряда
с0 х + С1х + с2 х2 + С3 х3 + ... + С"Х" + ... (6)
построить цепную дробь
щх а>2х щх (о2п-1х (°2Пх (—)
щ + _,__2__^ Щ2"-1х Щ2"х
0 1 - 1 + 1 -... + 1 - 1 +...
такую, что разложение в ряд "-й подходящей дроби будет совпадать с исходным степенным рядом (6), вплоть до члена спх" включительно, то есть
Р (х)
= С0 + ах + С2 х2 +... + Спх" + Y"+—Хn+— + ..., 0П (х) 0 1 2 "
то цепную дробь (—) называют цепной дробью, соответствующей ряду (6), или соответствующей цепной дробью [4].
Коэффициенты щ соответствующей цепной дроби (—) по коэффициентам с, исходного степенного ряда (6) определяются формулами Хейлерманна-Стильтьеса [5]:
Ф"-У"+1
Ф"¥"
Щ2"+1 = ■
фп¥п+1
где
У" =
= 1,у = 1.
(8)
х
"
С1 С2
С
С2 С3
С
"
"
С2 С3
С
С3 С4
С
"+1
СС
" " +1
С
СС
" " +1
С
2"-1
2"-2
Используя формулы (8), запишем несколько первых коэффициентов < соответствующей цепной дроби:
С2
< = Со, < = с1, <2 = —, С1
С22 - С1С, _С1 (С32 - С2С4 )
< = ' , <4 =
С1С2 ' 4 С2 (С22 - С1С3 )'
С1 ^(С2 - С0С2) + Сз(СоСз - С1С2) + С2(С22 - С1С3)] < = -
(9)
(С12 - СоС2)(С22 - С1С3) . С - СС2) [Сб(С22 - С1С3) + С4(С1С4 - С2С3) + С3(С32 - С1С4)]
<6 =-Г-4 ■
(С22 - С1С3 ) [С4 (С2 - С0С2 ) + С3 (С0С3 - С1С2) + С2 (С22 - С1С3 )]
Если положить в (6) х = 1, то, применяя формулы (8), получим разложение числовых рядов
С, + С1 + С2 + С3 + ■■■ + сп + ■■■ (10)
в цепные дроби вида:
< +< < < <2п-1 <2п (11)
0 1 - 1 + 1 -■■■ + 1 - 1 +■■■■ (
Обычно для функций соответствующие цепные дроби сходятся значительно быстрее, чем ряды, и, более того, могут представлять функции там, где степенные ряды расходятся^ Например, ряд Меркатора
х2 х3 х4
1п(1 + х) = х--+---+ ■■■
2 3 4
представляет функцию в единичным круге, в то время как цепная дробь Лагранжа
... , х х х 2х 2х пх пх ....
I п (1 + х) = — — — — — — --(12)
1 + 2 + 3 + 2 + 5 +■■■ + 2 + 2п +1 +■■■
сходится к функции 1п(1 + х) на всей плоскости комплексного переменного, за исключением
разреза от - 1 до - ¥ [6] При отрицательных значениях аргумента логарифмическая функция имеет комплексные значения и, естественно, что цепные дроби, получающиеся из цепной дроби Лагранжа (12) при х < -1, будут расходиться в классическом смысле^ В [7] показано, что комплексные значения цепных дробей можно установить по вещественным подходящим цепной дроби, если использовать г/^-алгоритм^ Этот алгоритм нашёл разнообразные применения в вычислительной математике [8-18]
Формулы (8) преобразования рядов в соответствующие цепные дроби неудобны в практическом плане, так как требуют вычисления определителей матриц Ганкеля высоких порядков^ Имеются рекуррентные формулы нахождения коэффициентов < соответствующих цепных дробей по коэффициентам исходных рядов, в частности, рекуррентные алгоритмы Висковатова, Хлопонина и Рутисхаузера [19]
Рекуррентный алгоритм Рутисхаузера Определим для ряда
а00 +а10 х + аг1х2 + а12х3 + ■■■ + а1п-1хп + ■■■ (13)
коэффициенты а10 соответствующей цепной дроби
+ а1,0х а2,0х а3,0х а4,0х а5,0х а2п,0х а2п+1,0х (14)
а0 0 + Й Й Й Й Й ■ (14) ' 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -■■■ - 1 + 1 -■■■
Коэффициенты цепной дроби (14) находятся по рекуррентным формулам [20]:
а,
« а2,ч+1 + а2,ч ,
а
«5,. «+1 «4,.+1 + «4,. ,
(15)
а2,. =
«2,.+1 ' «3.4+1
«4,, =
а.
2"-2у+1 ' «2-1,у+1
«2
«2
л2"+1у «2"-1,.+1 1л2",у+1' 1 1л2"у....Г
Элемент схемы алгоритма Рутисхаузера определяется по формулам (15) за две операции: при нахождении элемента нечётной строки нужна операция сложения и операция вычитания, а при вычислении элемента чётной строки используется операция умножения и операция деления.
Полагая в (13) х = 1, получим представление числового ряда в соответствующую цепную дробь:
2"-1,.
«2" I/+1, +«2|
«
«
2",0 _ 2"+1,0 +
(16)
0 0 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... - 1 + 1 -... Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (15), показана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Схема алгоритма Рутисхаузера
Рекуррентный алгоритм Рутисхаузера (15) дает те же коэффициенты для соответствующей цепной дроби, что и «явные» формулы Хейлерманна - Стилтьеса (8).
Во второй колонке таблицы 1 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для «колеблющегося» ряда Лейбница.
Подставляя значения коэффициентов щ в цепную дробь (16), получим:
+ 1 - 1 + 1 = 1 +1 = 2.
««0 0 I ««10 I ««11 I ««12 I ... I ««1"_1 I ...
«1,0 «2,0
Таким образом,
1 1 1
1-1 +1-1 +1-■■■ = 1-- - = -■ 1 +1 2
Этот же результат для ряда Лейбница получим по формуле (2) при п = 1:
1-1+1 -1 + ■■■ = -Б) =-^ -1 ^ = !■
Таблица 1 - Определение значения ряда 1-1 +1-1 +1-■■■
Номер звена,п Коэффициенты цепной дроби, < Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -1 0
2 -1 0^5
3 0
В таблицах 2-6 приведены коэффициенты соответствующих цепных дробей, найденных для расходящихся рядов (4) и (5) при к = 1,2Д Следует обратить внимание, что найденные для рядов соответствующие цепные дроби - конечные^ Число звеньев N конечных цепных дробей, суммирующих расходящихся ряды, равно удвоенной степени слагаемых этих рядов плюс две единицы:
N = 2п + 2^ (17)
Например, ряд
1-25 + 35 - 45 + 55 - ■■■ суммируется цепной дробью с числом звеньев, которое определяется выражением
N = 2 • 5 + 2 = 12^ Определим цепную дробь, суммирующую ряд:
1-2 + 3 - 4 + 5 - ■■■ ■ (18)
Во второй колонке таблицы 2 приведены коэффициенты этой цепной дроби
Таблица 2 - Определение значения ряда 1- 2 + 3 - 4 + 5 - ■■■■
Номер звена, п Коэффициенты цепной дроби, < Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -2 -1
2 -1^5 03
3 -0^166666666666667... 0385714285714285...
4 -0^666666666666667... 035
5 -0,191 е-1503
Коэффициент < = -0,191 е-1503, то есть имеет значение, которое будем считать нуле-вым^ Аналогично, и для других цепных дробей полагаем нулевыми коэффициенты <, если эти коэффициенты имеют такой же порядок малости
После подстановки в цепную дробь (16) значений коэффициентов юп получим:
1-2 + 3-4 + 5-■■■ = 1-2 15 01666-, = 0^ (19)
1 + 1 - 1 + 1
Следует отметить одно обстоятельство^ Из формул (8), определяющих значения коэффициентов соответствующих цепных дробей по коэффициентам ряда, следует, что если коэффициенты ряда - целые числа, то коэффициенты < соответствующих цепных дробей - рацио-нальные^ По формулам (9) для ряда (18) найдём:
3 1 2
«0 = 1, «1 =-2, «2 , «3 ="ё, «4 = --, « = 0.
2 6 3
Подставляя эти коэффициенты в цепную дробь (11), получим:
- 3 -1 - 2
1 + — 12 !в 13 = 1 - 2 3 1 2 = 1 = 0,25. 1 - 1 + 1 - 1 1 + 2 - 3 + 1 4
Из формулы (4) также следует, что
22 -1 3 1 1
1-2 + 3 - 4 + 5 -... = --- В2 = -- = - = 0,25.
2 2 2 6 4
Таким образом, значение расходящегося ряда (18) установлено двумя различными способами: построением соответствующей цепной дроби и формулой суммирования (4), включающей числа Бернулли.
Установим цепную дробь, суммирующую ряд
1-22 + 32 - 42 + 52 -.... (20)
Во второй колонке таблицы 3 приведены коэффициенты цепной дроби.
Таблица 3 - Определение значения ряда 1- 22 + 32 - 42 + 52 -...
Номер звена, п Коэффициенты цепной дроби, « Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -4 -3
2 -2.25 -0.230769230769230.
3 -0.472222222222222... 0.24
4 -0.810457516339869... 0.010869565217391.
5 -0.136622390891840. -0.00641025641025.
6 -0.548387096774193. - 0,313е - 1504
7 0
Значение расходящегося ряда (20) определяется конечной цепной дробью, имеющей нулевое значение:
1-22 + 32 - 42 + 52 -... =
„ 4 2.25 0.4722... 0.8104... 0.1366... 0.5483... Л
= 1— - - - - -= 0.
1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1
Расходящийся ряд (20) имеет нулевое значение, что согласуется с формулой (5). Здесь уместно привести высказывание Нильса Абеля в связи с определением значений расходящихся рядов [21]: «Можно ли вообразить себе что-либо более возмутительное, чем утверждение, будто бы 0 = 1- 2п + 3п - 4п +..., где п - целое положительное число?».
Продолжим суммирование расходящихся рядов через соответствующие цепные дроби. Расходящийся ряд
1-23 + 33 - 43 + 53 -... (21)
имеет соответствующую цепную дробь, коэффициенты которой приведены в таблице 4.
Следовательно,
1-23 + 33 - 43 + 53 -... =
„ 8 3.375 1.0046... 0.9844... 0.3479... 0.6180... 0.1119... 0.4869... „„„„
= 1-- - - - - - - -= -0.125.
1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1
(22)
Таблица 4 - Определение значения ряда 1- 23 + 33 - 43 + 53 -....
Номер звена, п Коэффициенты цепной дроби, a>n Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -8 -7
2 -3.375 -0.828571428571428.
3 -1.004629629629629. 1.010989010989010.
4 -0.984468339307048. -0.021008403361344.
5 -0.347903896917363. -0.207036247334754.
6 -0.618065187239944. -0.128571428571428.
7 -0.111956521739130. -0.123140495867768.
8 -0.486956521739130. -0.125
9 0
1_ 23 + 33 - 43 + 53 -... = B4 = 1 ] = — = -0,125.
Из соотношения (4) можно записать:
2^1 В4 = 15. Г -_11 = -1
4 4 4 ^ 30) 8
Таким образом, соответствующая цепная дробь (22) для расходящегося ряда (21) дает то же значение, что и формула (4).
Запишем еще одну цепную дробь, которая суммирует расходящийся ряд, имеющий нулевое значение:
1-24 + 34 - 44 + 54 -... (23)
Коэффициенты этой цепной дроби приведены во второй колонке таблицы 5.
Таблица 5 - Определение значения ряда 1- 24 + 34 - 44 + 54 -....
Номер звена, п Коэффициенты цепной дроби, wn Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -16 -15
2 -5.0625 -1.639175257731958.
3 -1.902006172839506. 4.468842729970326.
4 -1.194881426389201. 0.589107854297097.
5 -0.665213627904199. -0.654126288979997.
6 -0.695982761081949. -0.058745458732026.
7 -0.269836330273091. 0.0386704828307970.
8 -0.528896059045147. 0.0015578121393953.
9 -0.094302341762730. -0.0007429829389102.
10 -0.449098226263228. 0
11 0
Нулевое значение ряда (23) установлено через соответствующую цепную дробь: 1-24 + 34 - 44 + 54 -... =
„ 16 5.0625 1.9020... 1.1948... 0.6652... 0.6959... 0.2698...
= 1--- - - - - -+ (24)
1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1
0.5288... 0.0943... 0.4490...
+- - -= 0.
1 - 1 + 1
Нулевое значение ряда (23) также определяется формулой суммирования (5). Найдём цепную дробь для расходящегося ряда
1-25 + 35 - 45 + 55 -.... (25)
Коэффициенты соответствующей ряду (25) цепной дроби помещены во второй колонке таблицы 6.
Таблица 6 - Определение значения ряда 1- 25 + 35 - 45 + 55 -...
Номер звена, n Коэффициенты цепной дроби, an Значения подходящих дробей, Pn/Qn
0 1 1
1 -32 -31
2 -7.59375 -2.723636363636363.
3 -3.379758230452674. 15.605367008681925.
4 -1.449110852118517. 2.6856416132186408.
5 -1.131887307749223. -3.794900950263825.
6 -0.783048949329761. -0.292785965012629.
7 -0.488187303329301. 0.720278773173935.
8 -0.574030342979013. 0.2894079125380091.
9 -0.219668299598191. 0.2271559698219214.
10 -0.477557143137552. 0.2491558870314235.
11 -0.081339737700144. 0.2503771876885938.
12 -0.423343591264691. 0.25
13 0
Значение расходящегося ряда (25) установлено преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь:
1- 25 + 35 - 45 + 55 -... =
. 32 7.5937 3.3797... 1.4491... 1.1318... 0.7830... 0.4881... 0.5740...
= 1--- - - - - ---(26)
1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1
0.2196... 0.4775... 0.0813... 0.4233... Л „г
--- - -= 0.25.
1 + 1 - 1 + 1
Используя формулу (4), имеем то же значение для расходящегося ряда (25):
1-25 + 35 - 45 + 55 -... = B6 = 63 • — =1 = 0,25.
6 6 6 42 4
В анализе, помимо дзета-функции Римана
Z(n) = Jkn = 2,3,...,
k=1
рассматривается функция b(n):
b(n) = J(-1)k(2k + 1)-n , n = 1,2, ... (27)
k=0
. 1 1 1 (-1)kE2k^2n+1
1---1-----+... = -—-——-
32k+1 52k+1 72k+1 4k+1(2k)!
где E2k - числа Эйлера.
Числами Эйлера называют [1] коэффициенты в разложении:
= у , ех + в-х п! '
I I р
х < —. 2
Е0 = 1, В2к-1 = 0, В2к = (-1)
к 4к+1(2к)!
_2к+1 р
11
32
52
72
- +...
Е2 = -1,Е4 = 5,Е6 = -61, Е8 = 1385, Е10 =-50521,Е12 = 2702765,Е14 =-199360981 ,... . Числа Эйлера Е2к определяются также детерминантной формулой [2], аналогичной формуле Лапласа:
1/2! 1/4! 1/6! ... 1/(2к)!
Е2к = (-1)к (2к)!
1/2! 1/4! 1 1/ 2!
1/(2к - 2)! 1/(2к - 4)!
(28)
0 0 0 ... 1/2! Известна формула суммирования расходящихся рядов [3]:
1
1п -3п + 5п -7п +... = -Еп, п = 1,2,...
2 п>
Запишем формулы суммирования рядов (29) для нечётных и чётных степеней:
1
1 -32к-1 + 52к-1 -72к-1 +... =1 Е2к-1, к = 1,2,...
Так как Е2к -1 = 0, то
1-32к + 5 -7 +... = -Е2к, к = 1,2,...
1-32к-1 + 52к-1 -72к-1 +... = 0, к = 1,2,...
(29)
(30)
(31)
(32)
Установим значения расходящихся рядов, связанных с функцией Дп), преобразовывая эти ряды в соответствующие цепные дроби.
Запишем цепную дробь, суммирующую ряд:
1-3 + 5 - 7 + 9 -11 +... . (33)
Во второй колонке таблицы 7 приведены коэффициенты этой цепной дроби.
Таблица 7 - Определение значения ряда 1- 3 + 5 - 7 + 9 -11 +....
1
Номер звена, п Значения коэффициентов цепной дроби, Оп Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -3 -2
2 -1.66666666666667... -0.125
3 -0.26666666666667... 0.083333333333333.
4 -0.6 0
5 0
Следовательно,
1-3 + 5 - 7 + 9 +... =
= 1-3 1 666 -0.2666... 0.6 = 0 (34)
= 1 + 1 - 1 + 1 = . Если использовать при суммировании ряда (33) формулу (30), то получим также нулевое значение:
1
1-3 + 5 - 7 + 9 -... = ^Е1 = 0. (35)
Таким образом, значение ряда (33) установлено как построением соответствующей цепной дроби, так и формулой суммирования (30), включающей числа Эйлера.
Найдём значение ряда:
1-32 + 52 - 72 + 92 -.... (36)
В таблице 8 помещены коэффициенты соответствующей ряду (36) цепной дроби. Число звеньев N конечных цепных дробей, соответствующих рядам
1-3п + 5п + 7п- 9п +... , также определится формулой (17), то есть N = 2п + 2.
Таблица 8 - Определение значения ряда 1- 32 + 52 - 72 + 92 -...
Номер звена, п Значения коэффициентов цепной дроби, a>n Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -9 -8
2 -2.77777777777778. -1.38235294117647.
3 -0.817777777777778. 0.44594594594594.
4 -0.735652173913043. -0.439393939393939.
5 -0.185013876040703. -0.532786885245901.
6 -0.489361702127659. -0.5
7 0
Таким образом,
1-32 + 52 - 72 + 92 -... =
„ 9 2.777 -0.8177... 0.7356... -0.1850... -0.4893...
= 1 -- - - - - -= -0.5.
1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1
По формуле (31) имеем то же значение расходящегося ряда (36):
11
1- 32 + 52 - 72 + 92 -... = -Е2 = -(-1) = -0,5.
2 2 2
Аналогично найдём значение расходящегося ряда:
1-33 + 53 + 73- 93 +.... (37)
В таблице 9 приведены коэффициенты соответствующей ряду (37) цепной дроби.
Таблица 9 - Определение значения ряда 1- 33 + 53 - 73 + 93 -....
Номер звена, п Значения коэффициентов цепной дроби, (Оп Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -27 -26
2 -4.629629629629629. -3.796052631578947.
3 -1.885629629629629. 7.386752136752136.
4 -0.900248900062853. 0.955206847360912.
5 -0.489671913183046. -0.7343763505920995.
6 -0.549255765733433. -0.0424528301886798.
7 -0.140666846981581. 0.0202247191011235.
8 -0.436834094368340. 0
9 0
Таким образом,
1_з3 + 53 _73 + 93 _... -
„ 27 4.6296 1.8856... 0.9002... 0.4896... 0.5492... 0.1406... 0.4368... Л
= 1--- - - - - - -= 0.
1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1
То есть, расходящийся ряд (37) имеет нулевое значение. Это же нулевое значение ряда (37) определяет формула (30):
1
1_32 + 52 _72 + 92 _... = -Е3 - 0.
2 3
Найдём значение ряда:
1_34 + 54 _74 + 94 _ 114 +... (38)
построением соответствующей цепной дроби.
В таблице 10 приведены коэффициенты этой цепной дроби.
Таблица 10 - Определение значения ряда 1_34 + 54 _74 + 94 _...
Номер звена, п Значения коэффициентов цепной дроби, а Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -81 -80
2 -7.71604938271604. -8.293201133144475.
3 -3.87444938271604. 49.089557171183079.
4 -1.09958606737906. 10.965856913437832.
5 -0.97385568886141. -7.545203423325663.
6 -0.61551942437909. 1.2964088976993309.
7 -0.34705673374632. 3.2542235463239492.
8 -0.47164981957469. 2.5386076232181956.
9 -0.11343195500739. 2.4831101554100283.
10 -0.40598906628226. 2.5
11 0
Следовательно, значение ряда (38) определяется конечной цепной дробью: 1_ 34 + 54 _ 74 + 94 _ 114 +...
-1 _ 81 7.7160... 3.8744... 1.0995... 0.9738... 0.6155... 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _
0.3470... 0.4716... 0.1134... 0.4059... „г
- - - -- 2,5.
_ 1 + 1 _ 1 + 1
Это же значение ряда (38) даёт формула (31):
11
1_ 34 + 54 _74 + 94 _ 114 _... - 1Е4 -1 • 5 - 2,5.
2 4 2
Найдём значение ряда:
1_35 + 55 _75 + 95 _ 115 +.... (39)
В таблице 11 помещены коэффициенты соответствующей ряду (39) цепной дроби. Таким образом,
1_ 35 + 55 _ 75 + 95 _ ц5 +... -
243 _12.8600... 7.4818... 1.3405... 1.7247... 0.6887...
-1 _-
1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 0 6429 0 5086 0 2684 0 4293 0 0950 0 3856
1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1
Таблица 11 - Определение значения ряда 1- 35 + 55 - 75 + 95 -115 +....
Номер звена, п Значения коэффициентов цепной дроби, Оп Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -243 -242
2 -12.86008230452674. -16.53236342042755.
3 -7.481842304526748. 247.94707003812964.
4 -1.340550240083470. 51.05669994621217.
5 -1.724747045920873. -104.12563937846293.
6 -0.688749871021777. -18.481923061054908.
7 -0.642953390968142. 16.179620492596533.
8 -0.508698761904227. 1.7338609644084740.
9 -0.268430357460596. -0.9475248189291177.
10 -0.429306698025288. -0.0430755976739177.
11 -0.095055848842619. 0.0177284882031684.
12 -0.385641072157467. 0
13 0
Расходящийся ряд (39) имеет нулевое значение. Это же нулевое значение ряда (39) определяет формула (30):
1
1-35 + 55 - 75 + 95 -115 +... = 1Е5 = 0.
2 5
Определим значение ряда:
1-36 + 56 - 76 + 96 -116 +.... (40)
В таблице 12 помещены коэффициенты соответствующей ряду (40) цепной дроби. Таблица 12 - Определение значения ряда 1-36 + 56 -76 + 96 -1 16 +....
Номер звена,п Значения коэффициентов цепной дроби, О Значения подходящих дробей, Рп/Оп
0 1 1
1 -729 -728
2 -21.433470507544581. -31.49608658432187.
3 -13.903934507544581. 1103.8698695919684.
4 -1.6313143853625328. 183.10824599696824.
5 -2.8687102815638655. -907.56841366000745.
6 -0.7696003370765906. -223.67535990258270.
7 -1.0599547387268127. 223.44168433902161.
8 -0.5481069312209799. 10.853306533862650.
9 -0.4767678588580081. -60.040315659681355.
10 -0.4536348111560438. -33.31959099112834.
11 -0.2187840095131980. -29.10203931316482.
12 -0.4026609043055858. -30.44310407235382.
13 -0.0818240759259793. -30.52236729836546.
14 -0.3711875954661307. -30.5
15 0
Таким образом, устанавливаем значение расходящегося ряда (40):
1_з6 + 56 _76 + д6 _ 116 +... =
729 21.4334... 13.9039... 1.6313... 2.8687... 0.7696... 1.0599...
= 1_-
1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 0 5481 0 4767 0 4536 0 2187 0 4026 0 0818 0 3711
= _30,5.
+ 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1
Этот же значение ряда (40) определяет формула (31):
1 1
1_36 + 56 _76 + 96 _ 116 +... = 1 e =1 (_61) = _30,5.
2 6 2
Используя формулу Лапласа (1), можно установить предел, связанный с отношением соседних чисел Бернулли [22].
Заключение
Определение значений расходящихся рядов, связанных с дзета-функций Римана, выполнено построением для этих рядов так называемых соответствующих цепных дробей. Эти соответствующие цепные дроби - конечные, причём число звеньев пропорционально степени слагаемых этих расходящихся рядов, которые, как известно, суммируется рациональными выражениями, включающими числа Бернулли и Эйлера. Тем самым получены разложения в конечные цепные дроби чисел Бернулли и Эйлера, имеющих как чётные, так и нечётные порядковые номера, что открывает новые возможности в изучении этих чисел методами цепных дробей, в частности, исследованием их с использованием г/j-алгоритма.
Список литературы:
1. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. - М.: Наука, 1969. - 344 с.
2. Каган В.Ф. Основания теории определителей. - Одесса: Гос. изд. Украины, 1922. -
521 с.
3. Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: Изд-во иностр. лит., 1951. - 504 с.
4. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложение: пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 414 с.
5. Lorentzen L., Waadeland H. Continued Fractions with Applications. - London - New-York - Tokyo, 1992. - 606 p.
6. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Countinued fractions for Special Funktion. - 2008, Springer - 431 p.
7. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей / НАН Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов: 2004. - 23 с.
8. Шмойлов В.И., Заяц И.А., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2000. - 820 с.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 1: Периодические непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 645 с.
10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 558 с.
11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 3: Из истории непрерывных дробей / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 520 с.
12. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.
13. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 4. - С. 558-573.
14. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 228 с.
15. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. -М.: Физматлит, 2015. - 298 с.
16. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Плющенко С.В. О производной функции Вейерштрас-са // Приволжский научный вестник. - 2016. - № 1 (53). - С. 20-27.
17. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Плющенко С.В. Применение г/ф-алгоритма для определения производной функции Вейерштрасса // Наука, техника и образование. - 2016. -№ 3 (21). - С. 37-47.
18. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Лукьянов В.А. О постоянной Эйлера // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2016. - № 4 (118). - С. 142-153.
19. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/^-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. - 608 с.
20. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.
21. Юшкевич А.П. История математики в России. - М.: Наука, 1968. - 592 с.
22. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи г/^-алгоритма. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - 330 с.
