Субмерсии в категории бесконечно продолженных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7

СУБМЕРСИИ В КАТЕГОРИИ БЕСКОНЕЧНО ПРОДОЛЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В.Н. ЧЕТВЕРИКОВ1

Известная процедура продолжения локальных диффеоморфизмов пространств джетов обобщается на случай субмерсий. При этом доказывается и используется новое описание R - плоскостей и объясняется, почему эта процедура не применима в случае иммерсий.

Ключевые слова: многообразие джетов, бесконечно продолженные дифференциальные уравнения, бесконечномерные многообразия, продолжения отображений дифференциальных уравнений.

1. Введение

Понятие, которое исследуется в данной работе, есть обобщение известного [1] понятия накрытия дифференциальных уравнений. Напомним, что бесконечное продолжение дифференциального уравнения E (точнее системы дифференциальных уравнений) интерпретируется как бесконечномерное многообразие E¥ , снабженное вполне интегрируемым конечномерным распределением C . Каждая точка E¥ представляет собой ряд Тейлора [s]¥ некоторого решения s

системы E в некоторой точке t. Распределение C в точке [s]¥ совпадает с касательным пространством к графику в E¥ решения s . Морфизмами упомянутой в названии категории называют гладкие отображения бесконечно продолженных уравнений, отображающие распределение C в распределение C .

Размерностью объекта (EC) рассматриваемой категории называют размерность распределения C, т.е. количество независимых переменных системы E . Сюръективное отображение F : E¥ ® S¥ бесконечно продолженных уравнений E¥ и S¥ одной размерности называют накрытием, если оно изоморфно отображает распределение C на E¥ в распределение C на S¥ , т.е. в каждой точке ве E¥ касательное отображение F* в изоморфно отображает плоскость

Ce на плоскость CFq . Накрытие, которое имеет обратное, называют C - диффеоморфизмом.

Субмерсией мы называем отображение F : E¥ ® S¥ , если dim E¥ > dim S¥ и в каждой точке ве E¥ касательное отображение F%q эпиморфно отображает Ce на CF

Используя такого типа отображения, мы собираемся исследовать плоские системы с управлением [2]. Этим вызван наш интерес к этому понятию.

Отметим, что термин "субмерсия" условен и основан на введенном понятии размерности. Однако существуют и другие способы определения размерности объекта категории бесконечно продолженных дифференциальных уравнений. Например, в случае динамической системы с управлением, т.е. недоопределенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, под размерностью иногда понимают "степень недоопределенности" системы [3]. По нашему мнению, размерностью следует называть целочисленный вектор, каждая компонента которого характеризует "размер" множества решений системы в каком-то своем смысле.

Частным случаем C - диффеоморфизмов являются преобразования Ли [1], которые представляют собой бесконечные продолжения диффеоморфизмов пространств конечных джетов. В [4] выделен другой класс C - диффеоморфизмов, которые представляют собой бесконечные

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (грант 3659.2012.1) и грантов РФФИ 12-07-00267 и 13-07-00736.

продолжения отображений пространств конечных джетов, причем не обязательно диффеоморфизмов. Можно показать, что любое гладкое отображение бесконечно продолженных уравнений определяет цепочку гладких отображений конечных продолжений уравнений, однако отображения из такой цепочки могут быть не связаны между собой какой-либо процедурой продолжения.

В данной работе строим субмерсии бесконечно продолженных уравнений как бесконечные продолжения субмерсий пространств конечных джетов. В изложении основ геометрии дифференциальных уравнений следуем, в основном, главам 3 и 4 [1]. Для построения продолжения субмерсий доказываем и используем новое описание Я -плоскостей, основанное на понятии п -формы (теорема 1).

2. Пространства конечных джетов

Рассмотрим дифференциальное уравнение на векторную функцию и = (и1,..., ит) переменных V = )е Яп. Отождествим такую функцию с сечением тривиального расслоения

ж: Ят хЯп ® Яп. Напомним, что сечением расслоения ж: Е ®М называется такое отображение 5 : М ® Е, что композиция ж о 5 есть тождественное отображение многообразия М . Иными словами, отображение 5 переводит точку V е М в некоторую точку слоя Е( = ж"1 (V) . В частном случае тривиального расслоения ж: Ят х Яп ® Яп слой Е( отождествляется с Ят, а сечения

расслоения - с отображениями из Яп в Ят .

Рассмотрим произвольное гладкое т -мерное локально-тривиальное расслоение ж: Е ® М над п -мерным многообразием М . Для простоты изложения будем считать, что рассматриваемые расслоения являются векторными расслоениями, а их слоями являются векторные пространства Ят. Пусть и сМ - некоторая окрестность, над которой расслоение ж тривиально, т.е. ж~1(и) @ ихЯт . Обозначим через е1,.,ет базис в слое расслоения ж - пространстве Ят. Тогда всякое сечение над и представляется в виде 5 = и1е1 + .■■итет, где и' - гладкие функции на и. Если и - одновременно координатная окрестность на многообразии М с локальными координатами 1п) , то любая точка слоя определяется своей проекцией на и и координатами (и1,.,ит) относительно выбранного базиса. Функции Хп,и1,.,ит) являются координатами в ж_1(и) и называются адаптированными координатами для данного расслоения. Таким образом, в адаптированных координатах сечение задается векторной функцией и = (и1,.,ит) переменных (11,..., 1п).

Переменные 1п называют независимыми, а переменные и1,.,ит - зависимыми.

Сечения 51,52 расслоения ж называют касающимися над точкой t0 е М с порядком к, если векторные функции и (V), ), описывающие эти сечения, имеют в точке t0 одинаковые частные производные до порядка к включительно.

Условие касания сечений с порядком к равносильно совпадению многочленов Тейлора порядка к векторных функций. При к = 0 условие касания сводится к совпадению значений и(^)

и , т. е. графики сечений 51 и 52 должны пересекать слой Е{ в одной и той же точке.

Касание сечений 51 и 52 над точкой V с порядком к задает отношение эквивалентности, кок Д

торое будем обозначать через 51 ^ 52. Множество классов эквивалентных сечений, т.е. множество всевозможных многочленов Тейлора порядка к, обозначают через и называют пространством к -джетов расслоения ж в точке V. Точку этого пространства, которая есть класс эквива-

к Л

лентности сечения 5, обозначают через [5]к. Таким образом, если 51 ^ 52, то [5^ = [52]к . Про-

странство (многообразие) к -джетов расслоения р - это объединение по всем точкам г е М

зкр = и 3.

геМ

Для любой точки в = е 3кр положим рк (в) = г. Тем самым определена проекция

жк : 3кр ® М , причем р~к1(г) = ^ . При к = 0 получаем, что 30р = и Е = Е, т.е. 30р совпадаеМ

ет с тотальным пространством расслоения р.

В качестве локальных координат на многообразии к -джетов расслоения р можно рассматривать функции г, и1 и и<, соответствующие независимым, зависимым переменным и частным производным независимых по зависимым переменным. Действительно, пусть (г1,..., гп, и1,..., ит ) - адаптированная система координат для расслоения р над некоторой окрестностью и с М . Рассмотрим множество р~к (и) с3кр. Локальные координаты (г1,.,гп,и1,.,ит) дополним функциями

и<, 1 = 1,...,т,\<\< к, которые для мультииндекса <7 = ц ...¡1,1 =| <7 \< к определяются по формуле

и< ) - Э5

Эгг...Эгг

Координаты (г^, и1, и<) называют каноническими координатами, ассоциированными с адаптированной системой координат (г ,и 1 ) . В случае одной независимой переменной ( п =1) вместо и< обычно пишут и(), где I =\<\.

Так как при к > д класс эквивалентности [5]к е 3кр однозначно определяет класс [5]д е 3чр, то определены проекции

ркЛ : 3кр ® 3др, ркЛ ([5]к) = [5]д, "к > д.

Проекции рк и ркд являются расслоениями. Заметим также, что если 5 - сечение расслоения р, то для любой точки г е М можно определить элемент ]к (5)(г) = [5]к е 3кр. Отображение 1к (5) : М ® 3кр есть гладкое сечение расслоения рк, которое называется к -джетом сечения 5 .

Рассмотрим теперь произвольную систему дифференциальных уравнений порядка к на сечения расслоения р. Отождествим переменные г1,и1,и<, входящие в запись этой системы, с соответствующими координатами пространства к -джетов 3кр и получим подмногообразие Е с 3кр . Сечение 5 расслоения р есть решение этой системы, если образ его к -джета лежит в Е .

3. Характеризация Я -плоскостей

Касание с порядком I графиков к -джетов ]к (51) и ]к (52) означает касание сечений 51 и 52 с порядком к +1. Поэтому система дифференциальных уравнений порядка к продолжается до эквивалентной ей системы дифференциальных уравнений порядка к +1. Если гладкое отображение пространств джетов отображает сюръективно графики к -джетов сечений в графики д -джетов сечений, оно сохраняет касание таких графиков и продолжается до отображения пространств джетов более высокого порядка. Точное определение этих конструкций мы приведем в следующем пункте, а здесь сформулируем и докажем вспомогательный факт.

Касательное пространство в точке в е 3кр к графику к -джета некоторого сечения 5 расслоения р называют К -плоскостью (здесь в = [5]к для некоторого г из М ).

Заметим, что Я -плоскость в точке [5]к определяется (к +1) -джетом сечения 5 . Более того,

точку О'е Jk+1ж можно рассматривать как пару, состоящую из точки в = жк+1к (в') е /кж и R -плоскости с Тв (/кж), которая представляет собой касательную плоскость к графику к -джета такого сечения в , что +1 = О, / = жк+1 (О') . Говоря иначе, О — это набор значений производных до порядка к +1, а плоскость с Тв(/кж) определяется значениями первых производных от к -х производных.

Плоскостью Картана Св= С& (ж) в точке ве /кж называется линейная оболочка всех плоскостей ЯО при О'е р-+1к (в), т.е. линейная оболочка всех касательных плоскостей к графикам к -джетов сечений расслоения ж. Соответствие С : в А С& (ж) называется распределением Картана на Jkж.

В канонических координатах на Jkж распределение Картана задается набором 1-форм

п

К = й<-Е7 = 1-т, \&\<к-1-

1=1

Любая С¥ (Jkж) - линейная комбинация таких форм называется формой Картана на Jkж. Дадим описание Я -плоскостей в Jkж, используя формы Картана и п -формы.

Теорема 1. Пусть Ь с Тв(/кж), М - база расслоения ж, п = &шМ. Тогда Ь есть Я -плоскость тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия: для любой формы Картана о, определенной в окрестности точки в, имеем 1) о|Ь° 0; 2) (йв) |Ь° 0; для какой-либо ненулевой п -формы О в Т (М), / = жк (в), имеем 3) ж*к (О) |Ь ° 0 .

Доказательство. Необходимость. График к -джета сечения расслоения ж есть интегральное многообразие распределения Картана на / кж , а формы Картана равны нулю на распределении Картана. Поэтому ограничение такой формы на график к -джета тождественно равно нулю. А так как Я -плоскость есть касательная плоскость к графику к -джета, то выполняются условия 1 и 2 теоремы.

Проекция жкк изоморфно отображает Я -плоскость Ь на пространство Т (М). Поэтому, если (Х,...,£п) - базис Я -плоскости Ь, то (жк к(Х),...,жк*к(£п)) - базис пространства Т(М). А так как О - ненулевая п -форма в Т (М), то

жк (О)(£,..,Хп) = о(Жк ,к (£),..,Жк ,к (Хп)) * 0,

т.е. выполняется условие 3.

Достаточность. Условие 1 теоремы означает, что Ь с Скв (ж). В канонических координатах

на /кж плоскость Картана Скв (ж) имеет базис

Э т Э Э

— |в + ЕЕ (О)-- |в, -|в, 1 = 1,..., п, в = 1,..., т, \&\= к.

Эл, 0 ' ЭиУ° Эи* в ' ' ' '''II

Условие 3 теоремы означает, что Ь содержит п векторов вида Э т Э т э

Х = Э7о+Е Еи^(в)м О+Е Е<^О, 1=и-,п, (1)

°1г И<к 1=1 °иа |<7|=к в=1 °иа

где а* - некоторые числа.

Из условия 2 теоремы следует, что Ь содержит только линейную оболочку векторов (1). Действительно, предположим, что вектор

т о

Х = ТТ К — в, ь? * о,

?\=к в=1 оиа

принадлежит Ь . Выберем такой мультииндекс ? , что ?0 = ? +1г. Тогда для формы Картана

ú)J имеем

йФ = т & а йиВ0+ и йФ0 (X , X) = ЬВ0 * 0,

г=1

а это противоречит условию 2.

Наконец, для произвольной формы Картана вида ф имеем

= а^а = 0 а,Р = ъ..., п. (2)

В слое ж—+1к (в) рассмотрим точку в с координатами

и?+1, (в) = а?, ] = 1,.,т, \?\= к.

Покажем, что данное условие корректно определяет координаты точки в. Действительно, если ?+1 = ? + 1В, то ?=?0 + 1В= ?0 + 1i, где \ ?0 \= к — 1, и из соотношения (2) получаем равенство

и?>+1 (в') = аI? = а? + = а? + = а? = и?+, (в').

? +1В V / в В ,?0 +1; г ,?0 +1В г?+1; V /

Таким образом, векторы (1) имеют вид

0 т о

X =07в+Т т(0)Л 0 г = ^п

г \?\<к ]=1 ои?

а значит, принадлежат Я -плоскости Яв . Поскольку эти векторы образуют базис плоскости Ь, то Ь = Яв. Теорема 1 доказана.

4. Продолжение уравнений и их отображений

Пусть Е с Зкж. Множество Е(1) с +1ж, состоящее из таких точек в е Зк+1ж, что Я -плоскость Яв касается уравнения Е в точке в = жк+1к(в), называют первым продолжением

уравнения Е. Продолжение Е() порядка I уравнения Е определяется индуктивно, как первое

продолжение продолжения Е(—) порядка

I — 1: Е(1) = [Е(1—1) ] . Многообразие Е(1) лежит в

Зк+1ж и задается всеми дифференциальными следствиями уравнения Е вплоть до порядка I включительно.

Распределение Картана С(Е) на уравнении Е с Зкж определяется как ограничение на Е распределения Картана на Зкж, т.е. Св(Е) = Скд (ж) п Тв(Е) для ве Е.

Напомним, что формой объема на многобразии М называют дифференциальную форму максимальной степени, т.е. степени п = М, не равную нулю ни в одной точке М .

Теорема 2. Пусть Е с Зкж, Ж: Е ® М - второе расслоение, О - форма объема на второй базе М, гладкое отображение ^: Е ® 3ЧЖ сохраняет распределение Картана, т.е. Ев(Св(Е)) с Счрв)(й-) для ве Е. Тогда формула

Яр «(в-) = Р (Я&) (3)

однозначно определяет гладкое отображение Р(1): Е1 ® /д+1Ж, где подмногообразие Е1 с Е(1) определяется условием

ОеЕ О жжорудои*0. (4)

Доказательство. Достаточно доказать, что F* (Re) есть R -плоскость. Используем для этого теорему 1. Так как F сохраняет распределение Картана, а Re - подпространство плоскости Картана, то L = F* (Rq) - также подпространство плоскости Картана. Это доказывает выполнимость первого условия теоремы 1.

Поскольку F сохраняет распределение Картана, то индуцированное отображение F* сохраняет модуль форм Картана, т.е. если w - форма Картана на Jqp, то F * (w) - форма Картана на E . Поэтому для произвольной пары векторов X,h из Яв,ве E1 имеем

dw(F* (X), F* (h)) = F * (dw)(X,h) = dF * (w)(X,h) = 0,

т.е. выполняется условие 2 теоремы 1.

Наконец, по определению E1 имеем (Рq о F)* (W) |Rq° 0. Следовательно, найдутся такие n

векторов X1,-,Xn из Rq (где n = dim MM - степень формы объема W ), что

i

(Р q о F)* (W)(Xi,^,Xn ) =Pq(W, )(F* CX1)-----F* (Xn )) * 0, X = (Р q о F op+ik )(q).

Но F*(X),-,F*(Xn)е L, а Wx - ненулевая n -форма в Tx(MM). Поэтому выполняется и условие 3 теоремы 1, а значит, L = F* (Rq) есть R -плоскость, и отображение F(1) определено. Теорема 2 доказана.

Отметим, что подмногообразие E1 определяется только многообразием E и отображением F и не зависит от выбора формы объема W . Действительно, любые две формы объема на многообразии MM отличаются на ненулевой множитель, а значит, если условие (4) выполняется для одной из них, то оно выполняется и для второй.

Возможна ситуация, когда E1 = E(1) [2], но возможен случай и пустого E1. Например, если

в условиях теоремы 2 размерность расслоения р меньше dimM = n, то степень формы (Р о F)*(W) больше размерности любой R -плоскости Re в E, а значит, для любой точки

ве E(1) имеем (Рq о F)*(W) = 0, т.е. E1 =0 .

Теорема 3. Отображение F(1), определенное в теореме 2, обладает свойствами:

1) Рq+1,q о F(1) = F оР,+и |£i;

2) отображение F(1) сохраняет распределение Картана;

3) (Рq+1 оF(1))*(W) |Rq° 0 для любой точки в е E1(1).

Доказательство. По определению R -плоскость R (1) q ,q е E1 лежит в касательном пространстве к JР в точке Рq+1q(F(1)(в')). Так как F отображает касательное пространство к E в точке Рк+1к (в) в касательное пространство к JР в точке F(Рк+1к (в)) , то из равенства (3) следует соотношение Р 1q(F(1)(в')) = F(Рк+1к(в')). Поскольку это рассуждение верно для любой точки в из E1, то справедливо свойство 1.

Для доказательства второго свойства используем доказанное первое свойство и следующее описание плоскостей Картана:

С в) +1 (ж) = (Жк+1,к)—1(Яв), ве 3к+1ж, [4, гл. 3, теорема 2.1]. Для произвольной точки ве Е1 имеем

(Жк+, к). (СДЕО) с (Жк+1,к).(Скв+\ж)) = Яв

(Ж,+1,Д(Р^СЕ))) = (К о Жк+1,к).(Св(Е1)) с К(Яв) = Яц

и поэтому

(Гй,+1,,).(К* (Св(Е1))) - (К оЛк+1,к).(Св(Е1)^ (Яв)~ ЯК(1)(в)-

А значит, К(1)(Св(Е1)) с (Ж,+1,,)—1(ЯКо)(в)) = Ск,+11)(в)(-&), т.е. отображение К(1) сохраняет распределение Картана.

Наконец, из определений проекций Ж,, Ж,+1, и свойства 1 этой теоремы следует, что

П о К« =й, о^,+1, о К « = й-, о К о Ж к+1,к Е .

+1 Ж , Ж ,+1,, Ж , к+1,к Е

Г«

Кроме того, для произвольной точки ве Е1(1) имеем (Жк+1к).(Яв) = ЯЖ ^в Жк+2 к+1 (в") е Е1. Используя эти факты и определение Е1, получаем

(й,+1 о К«)' (О) Я, = (й, о К). (О) Ж „). (Яв) = (й, о К). (О) Е 0.

и

Это доказывает свойство 3 и завершает доказательство теоремы.

Отображение К(1) называют первым продолжением отображения К . Из теорем 2 и 3 следует, что определено продолжение продолжения отображения К : (К(1))(1) : Е1(1) ® 3Ч+2 й . Продолжение К(): Е(—1) ® 3Ч+1 й порядка I отображения К определяется как первое продолжение продолжения порядка I — 1: К() = (К(—1) )().

Формулы для К(1) удобно записать, используя бесконечные продолжения уравнений и полные производные по независимым переменным.

5. Бесконечные продолжения уравнений и отображений

Пространство бесконечных джетов 3° ж определяется как обратный предел цепочки проекций

Ж0 ж1,0 жк+1,к

М — 30 ж—31 ж —...— 3к ж — 3к+1 ж —....

А именно, элементом 3° ж является последовательность таких точек X е Т, вк е 3 ж , к > 0,

ж 0 Ж1,0 жк+1к что X — в —в — ... — в — в+1 — •••.

Канонические координаты на многообразиях конечных джетов порождают канонические координаты на I° ж : (Хг, и1, и?), где г = 1,., п, 1 = 1,., т , а мультииндекс ? может иметь любую длину | ? |> 0 .

На множестве 3°°ж определяются аналоги основных дифференциально-геометрических понятий, встречающихся в дифференциальном исчислении на конечномерных многообразиях. Определим их кратко [4, гл. 4, §1]. Касательный вектор Хв к многообразию 3° ж в точке

в = (Х,вк}кеЫ е 3° ж определяется как совокупность X, Хв | таких касательного векторов к мно-

гообразиям М и Jkp в точках t и 6к соответственно, что

р0,. (р1,0 )* (рк+1,к )* X -Х% - Х^ - - - х^к - Х^к+1 - (5)

Как и в случае конечномерных многообразий, касательный вектор к J ¥р интерпретируется как дифференцирование алгебры гладких функций со значениями в Я, а векторное поле - как дифференцирование этой алгебры. При этом гладкие функции на J¥р определяются следующим образом. Обозначим через р (р) алгебру гладких функций на конечномерном многообра-

зии J р • Для чисел к, I таких, что к > I, имеем вложение \рк1 ] : р (р) ® рк (р). Отождествляя функции / е р (р) и [жк1 ] (/) е рк (р), положим

р (р)=и ^ (р).

к >0

Элементы р(р) называются гладкими функциями на J¥р • Аналогично, дифференциальные формы на J¥р определяются как элементы множества

Лг (J ¥р) = и Лг (Jkp).

к=0

В канонических координатах на J¥р векторные поля, т.е. дифференцирования алгебры р(р), представляют собой р(р) -линейные комбинации (возможно бесконечные) частных производных по координатам. Например, выражение

7 ¥ т 7 Б = — + УУ и1 —

г |ст|=0 1=1 7иа

задает векторное поле на J¥р, которое называют полной производной по переменной ti.

Распределения Картана на Jkp, к > 0, порождают распределение Картана С (р) на J °°р. А именно, в точке 6 = ^, вк} е J¥р вектор (5) принадлежит плоскости Картана С6(р), если для любого натурального к вектор Xк принадлежит плоскости Картана С 6 (р). Распределение

Картана на J¥р п -мерно и порождается полными производными по независимым переменным [4, гл.4, утверждение 2.2].

Определим бесконечное продолжение Е¥ (или диффеотоп) уравнения Е с Jkp как подмножество J¥р, состоящее из таких точек 6 = ^, к1} е J¥р, что для любого натурального 1 точка 6к+1 принадлежит Е(1). Распределение Картана на Е¥ определяется как ограничение на Е¥ распределения Картана на J°°р. Полная производная по любой независимой переменной ^ системы Е касается Е¥ . Поэтому определено ее ограничение Д на Е¥, а значит, распределение Картана на Е¥ порождается полями Д |Е„,...,|Е„ .

Совокупность ограничений на Е(1) гладких функций, определенных на объемлющем пространстве Jk+1p, обозначим через Е1 (Е). Для любого 1 > 0 имеем вложение Е1 (Е) с рм(Е).

Элементы множества р(Е) = и Р (Е) называют гладкими функциями на диффеотопе Е¥ .

1=0

Наконец, гладким отображением диффеотопов называют такое отображение О : Е¥ ® £¥ , для которого индуцированное отображение О* действует из гладких функций в гладкие: О* (р(£)) с р(Е) , где О* (£) = g о О.

Семейство {р(1): Е(1 -1) ® Jq+р}1еК продолжений отображения р: Е ® Jqp (теорема 2)

*

определяет гладкое отображение К° : Е° ® 3°Ж, которое точку в = {Х,в1} е Е° с 3°ж отображает в точку

К° (в) = {(й, о К)(вк), (й,,г о К)(вк), / = 0,1,.,, —1, К(вк), К(1)(вк+1), I > 0}.

Действительно, последовательность К ° (в) есть точка в 3 ° й, так как из свойства 1 из теоремы 3 следует, что

й—1(К(1 )(вк+1)) = ( й^ о (К(1—1 ))(1)) (вш ) =

= [К(1—1) о Жк+1 ,к+1—1 \вГ) (вк+1) = К(—1) (вк+1—1).

Будем называть отображение К° бесконечным продолжением отображения К .

Так как для любого I > 0 отображение К(1): Е[г—1) ® 39+1 й сохраняет распределение Карта-на, то отображение К° : Е° ® 3° й также сохраняет распределение Картана. Пусть Х1,.,Хп - независимые переменные системы Е1, х1,...,хп - координаты на базе расслоения й. Тогда полные производные Бх , ? = 1,., П задают распределение Картана на 3° й, а ограничения Д \£г, г = 1,.,п - распределение Картана на Е° . Поэтому в произвольной точке ве Е° имеем

(к°в) = Т А?вЩ \к°(в), г = 1.,п, (6)

>*,в\ и в' ^ К°(в)'

1=1

.

, , I Л<

Ч 1вг

где А?(в) - значение функции Вь \£г (К*(х?)) в точке в. Из условия (4) следует, что матрица (А?(в)) имеет ранг п в каждой точке ве Е° . А значит, п > п, К° есть субмерсия при п > п или накрытие при п = п. Фиксируем точку ве Е° и переобозначим переменные Х1,...,Хп так, чтобы матрица (А? (в))г = п была невырожденной. Тогда в некоторой окрестности точки ве Е1° соответствующая матрица также невырожденная. Обратную матрицу к матрице (А?)г ?=1 - обозначим через (В? )г?=1 п. Эта матрица есть матрица функций, и она определена в указанной окрестности. Из формул (6) следуют равенства операторов

(К°)* оБ? = Т ВЩ \ о(К°)., г = 1,...,п. (7)

г=1 1

В координатах отображение К° определяется действием индуцированного отображения (К°)* на координатные функции хг,и? многообразия 3°Ж. Координатная функция и? есть

функция на 3РЖ, где р =\?\. Из определения К° следует, что (К°)*(и?) = (К(р^)*(и?) при р > , и (К ° )* (и? ) = К* (и? ) при р < , , а также (К ° )* (хг) = К* (хг). Кроме того, при \?\= , +1 имеем ? = ? +1? для некоторых ?0 и ? , а также и? = Бх (и? ). Используя (7), получаем

(К(1))*(и?) = (К°)*(Б?(и?0)) = ТВ, (Д, \ оК*)(и?0).

г=1

Учитывая свойство 1 отображения К(1) (теорема 3), имеем также

(К(1))* (Хг) = К * (Хг), (К(1))* (и?) = К * (и?), г = 1,..., п, I = 1,..., т, \ ?\<

Таким образом, получены формулы, выражающие К() через К . Так как к (1) = [ к (г—1))(1) для

любого I > 0, то аналогичные формулы пишутся для К(2), К(3) и т.д.

6. Заключение

Приведенная конструкция гладкого отображения р¥ : Е1¥ ® J™р бесконечно продолженных уравнений как бесконечного продолжения отображения р : Е ® JqЦ, Е с Jkp, конечномерных многообразий возможна только в случае субмерсий или накрытий. Действительно, в других случаях (например, в случае иммерсии) образ р(1к (^)) есть подповерхность меньшей

размерности поверхности 1 ). Из касания подповерхностей не следует касание поверхностей. Поэтому в этом случае нет однозначности в выборе точки р (1)(Мк+1) в Jq+1 Ц, а значит, и отображения р(1): Е1 ® Jq+1 Ц. При этом такое отображение р¥ по-прежнему представляется как

цепочка отображений конечномерных многообразий, однако отображения из этой цепочки не связаны процедурой продолжения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров А.В., Вербовецкий А.М., Виноградов А.М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Факториал. - 2005.

2. Четвериков В.Н. Джеты плоских систем с управлением // статья в данном Вестнике.

3. Fliess M., Lévine J., Martin Ph., Rouchon P. Nonlinear control and diffieties, with an application to physics // Contemporary Mathematics. - 1998. - V. 219. - P. 81-92.

4. Chetverikov V.N. On the structure of integrable C -fields // Differential Geom. Appl. - 1991. - V. 1. - P. 309-25.

SUBMERSIONS IN THE CATEGORY OF INFINITE PROLONGED DIFFERENTIAL EQUATIONS

Chetverikov V.N.

The well-known procedure of prolongation of local diffeomorphisms of jet spaces is generalised on the case of submersions. Some new description of R -planes is proved and used. Why this procedure is not applicable in the case of an immersion is explained.

Key words: jet manifolds, infinite prolonged differential equations, infinite-dimensional manifolds, prolongations of maps of differential equations.

Сведения об авторе

Четвериков Владимир Николаевич, 1958 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1980), доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 47 научных работ, область научных интересов - преобразования уравнений в частных производных, функционально-дифференциальные уравнения, симметрии, законы сохранения, нелинейные динамические системы с управлением, динамическая обратная связь, плоские системы.