CC BY
17
Изв.вузов «ПНД», т. 2, № 6,1994
УДК 621.385.633
СЦЕНАРИЙ ПЕРЕХОДА К МНОГОЧАСТОТНОМУ РЕЖИМУ В ЛСЭ-ГЕНЕРАТОРЕ С НИЗКОДОБРОТНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
В.Л. Братман, А.В. Савилов
Показана возможность использования простой двухмодовой модели и детально описан процесс конкуренции продольных мод в ситуации малого превышения надпороговости, соответствующей переходу к многочастотному режиму. Показано, что даже достаточно широкополосная (в масштабе полосы усиления) частотная дисперсия обратной связи существенно влияет на длительность переходного процесса и вид установившегося режима.
Введение
Для ряда приложений лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) важно иметь стабильное одночастотное выходное излучение. В этой связи для ЛСЭ-генераторов, как и для других генераторов типа резонансной ЛБВ, существенную роль играет вопрос о характере взаимодействия продольных мод, усиленных из слабых шумов на линейной стадии, и, в частности, о переходе к многочастотной генерации. Эта проблема неоднократно исследовалась для генераторов, обладающих как высокодобротными, так и низкодобротными электродинамическими системами [1-7]. В случае высокодобротного резонатора, когда спектр собственных «горячих» продольных мод системы практически совпадает с «холодным» спектром и является эквидистантным, при достаточно большом токе одномодовая генерация оказывается неустойчивой к возбуждению сразу двух сателлитов, равноотстоящих по частоте от основной моды [2, 3, 5]. Анализируя результаты исследований систем с низкой добротностью, полученных в [1, 4-7] в рамках пространственно-временного подхода, можно убедиться, что из двух возможных механизмов потери устойчивости одночастотного режима -амплитудного (обусловленного модуляцией одной продольной моды [3]) и частотного (вызванного конкуренцией разных мод) - как правило, превалирует последний [7]. В данной работе на основе результатов, полученных в [6] численным моделированием уравнений пространственно-временного подхода, развит метод анализа установившегося режима генератора с неэквидистантным спектром собственных продольных мод с использованием значительно более простой двухмодовой модели. Кроме того, исследовано влияние дисперсии обратной связи на динамику возбуждения генератора.
1. Пространственно - временной подход
Рассмотрим ЛСЭ-генератор, в
^[¡^[¡даггЯ!^
Рис. 1. Модель ЛСЭ-генератора
котором электроны взаимодействуют с синхронной им попутной волной, многократно возвращающейся рефлекторами в пространство взаимодействия (рис.1). В приближении малого КПД генерация в такой системе, подобно другим СВЧ-приборам с инерционной группировкой частиц, может быть описана системой уравнений пространственно-временного подхода [1,4-6]
Э и
Ж
= 1т{ а„ехр(/0)
Эв
= 11,
Эа„ да„ + -
2к
дг
эс
■я
1 ехр(-/9) (1%.
(1)
(2)
Здесь и - нормированное изменение энергии частиц, С,=И0Сг - нормированная координата, ап - нормированная амплитуда волны на п-м проходе по пространству взаимодействия, 0 = а>01 - к& - фаза электрона относительно синхронной комбинационной волны с частотой й)0 и продольный волновым числом Л0, т=ю0С* *(/ - 21ь\\)1{с1ушх - с/оц), - начальная скорость частиц, - групповая скорость волны, С - пропорциональный кубическому корню из тока обобщенный параметр усиления Пирса.
Граничные условия к уравнениям (1)-(2) имеют вид
о) = о, е(с=о) = е0,
а„+1 (0/с+Г) = Я а„(Ь,т),
(3)
(4)
где начальные фазы частиц 90 равномерно распределены в интервале [0,2я), Ь -параметр надпороговости, представляющий собой нормированную длину пространства взаимодействия, Т - нормированное время обратной связи, Я -коэффициент передачи. Приведенный КПД генератора определяется соотношением
1 2 тс
¡и(Ь,х) ¿0О.
Лл =
2я
В случае фиксированной частоты высокочастотного сигнала ап(£,х) = = а„(£)ехр(/Дт), где расстройка А определяет отстройку частоты сигнала от частоты точного синхронизма
Л(ш) = (-
со
-1)С-1 =
«-«»о
110
(Оо
Vю
система уравнений (1)-(4) редуцируется к известным уравнениям ЛБВ [8]. При этом спектр собственных «горячих» мод генератора определяется следующим из (4) условием
агёК(А}) = Л/Г + 2л/,) =0,±1,±2 ... ,
(5)
где К(А/) - а(£Д)/а(0,Д,) - отношение выходной и входной комплексных амплитуд. В случае высокой добротности резонатора (Л-1-! « 1), когда ащК мал, спектр Л, близок, к «холодному» спектру электродинамической системы, является дискретным и практически эквидистантным. С уменьшением И, когда становится сравнимым с п, спектр становится неэквидистантным, но остается (если величина Я не слишком мала) квазидискретным, что позволяет рассматривать высокочастотное поле как сумму продольных мод.
При заданном коэффициенте обратной связи К решение краевой задачи И)-(4) определяется главным образом значением параметра надпороговости Ь (время обратной связи Т определяет лишь время возбуждения генератора и густоту спектра мод). Генератор возбуждается, когда Ь превышает определенное стартовое значение которое находится из линеаризованной краевой задачи. В таком приближении продольные моды независимы, и для возбуждения любой из них ее линейное усиление за проход должно превысить потери
\К]т(АрЬ)\ >Л-1. (6)
Как правило, при Ь=ЬЛ стартовое условие (6) выполняется лишь для одной моды. С превышением параметром Ь стартового значения условие (6) становится выполненным для многих мод. При малых коэффициентах передачи и, соответственно, большой надпороговости, когда е1»1, амплитуда каждой из них в линейном режиме увеличивается с длиной практически экспоненциально а(£,Д) ~ ехр(Г(АХ), где добавка к волновому числу Г определяется дисперсионным уравнением [8]
П(Г + / А ) = -/, (7)
и имеет максимальную реальную часть при Д=0. Таким образом, в низкодобротных системах частота моды с максимальным линейным усилением («основной» моды) оказывается близкой к частоте точного синхронизма ю0-
При небольшом превышении стартового значения в процессе конкуренции продольных мод выживает лишь основная мода [6], которая, возбуждаясь быстрее остальных и первой достигая нелинейной стадии, подавляет своих конкурентов. С увеличением Ь динамика системы усложняется (для наглядности приводим заимствованный из [6] рис.2). При больших Ь выходное излучение, вырабатываясь в сложном процессе взаимодействия многих продольных мод с электронным пучком и между собой, имеет хаотический характер.
2. Приближение двух продольных мод
Исследуем вопрос о критическом значении параметра надпороговости при превышении которого установившийся режим становится многомодовым. При небольшом превышении критического значения в установившемся режиме возбуждены, кроме основной, лишь одна или несколько «паразитных» мод с малыми амплитудами (см. рис. 2, 6). В этом случае при анализе нелинейной стадии возбуждения генератора можно существенно ограничить количество рассматриваемых мод и считать амплитуды паразитных мод малыми.
Будем считать, что в полосу усиления генератора попадает много неэквидистантно расположенных продольных мод. В этом случае можно, во-первых, считать спектр мод непрерывным и, во-вторых, пренебречь исследованным в [2,3] четырехфотонным процессом распада основной моды на два сателлита, полагая, что усиление каждой паразитной моды определяется только полем основной моды и слабо зависит от других паразитных мод. Таким образом,
а
Л
4.0 2.0 0.0 4.0 2.0 0.0 4.0 2.0 0.0
I
I
__I_,
-4 0 4 А
т а
I х и I-
-4 0 4 А
400.0
800.0
-4
0
Рис. 2. Зависимости приведенного КПД от времени и соответствующие спектры установившихся режимов для коэффициента передата Л=0.5 и значений параметра надпороговости £,, равных: а-2.5; б-3.2; в-4.5 [6]
при небольшом превышении критического значения и достаточно низкой добротности генератора анализ системы сводится к попарному анализу двухмодового взаимодействия основной моды с каждой паразитной модой. Это взаимодействие описывается системой уравнений
йи
= XI (С) 1т{а„ехр(/ф + /Ф) + а„~ехр(/'<р~ + г'Ф)},
</Ф
¿Г
• = и,
с?ап
<К
2к 2к
^ + /Да„ = — %2 (С)11ехр(-/ф - /Ф)йГфй?(р~,
(8) (9)
о о
Ла„
<К
2к 2к
~ + /д~а„~ = —12 (01 /ехр(-кр~ - /Ф)й?ф^ф- ,
о о
с граничными условиями
и(С=0,ф,ф~) = 0, Ф(С=0,ф,ф-) = 0 , а„+1(0) = Ro.lL) , ап+1- (0) = Ла„~ (Ь) .
(10)
(П) (12)
Здесь а и а- - амплитуды основной и паразитной мод, Д и А- - их расстройки, ф, ф~ е [0,2я) - независимые начальные фазы электрона относительно каждой из мод, Ф(£,ф,ф~) - изменение фаз электронов.
зо
В правые части уравнений (8)-(10) введены структурные факторы с
помощью которых можно при необходимости описать изменение связи пучка с волнами вдоль координаты. Проинтегрируем систему (8)-(12) аналитически, используя так называемое клистронное приближение (см., например, [3,5]), когда взаимодействие пучка с волной происходит только на двух коротких участках, расположенных в начале и конце пространства взаимодействия, и, соответственно, структурные функции равны
Х1(С) =¿[5(0 + 5(С- ^)]/2, %2(0 = ¿5(С- ь) .
Подбирая затем расстройки мод таким образом, чтобы усиление их амплитуд было максимальным, получим два трансцендентных уравнения
Я-1 х„+1 - хп = И\ J(l (х„~ (х„)1, (13)
Я-1 л-„+г - = У0 (*„)/! (х„-)1, (14)
где хп = а„(0)£2/2 , х„~ = ап~(0)Ь2/2 - приведенные амплитуды мод, /0 и функции Бесселя. В этом приближении возбуждение моды в отсутствие конкурента описывается функцией ^, а влияние на нее конкурента - функцией /0-Предположим, что быстро возбудившаяся основная мода находится вблизи своего одномодового стационарного режима хп+1~ х„ , а паразитная мода возбуждается из шумов с малой амплитудой х„~«1. Тогда амплитуда одномодовой генерации л* определяется уравнением
Ял* = I(дГ)1, ' (15)
где X = (Я-1-1 )Ь- з. При малом х„- условие возбуждения паразитной моды л„+1~ > х„~ сводится к неравенству
2Х < I Л, (**)! • (16)
Как правило, параметр X мал по сравнению с единицей (например, для рис.2, б X ~ 0.03). Поэтому решение х* уравнения (15) лежит вблизи первого корня V! функции Бесселя (рис. 3). Для оценок можно аппроксимировать У0 и вблизи V! линейными функциями
IЛ (х) I - Ло [1 - (V! -х)/(уг Уо)],
Л(х) = Ы 1-х/УО, (17)
где v0 - первый корень функции /0, Ь0 ~ - /0(у1 ) ~ 0.4, ¿1 = 1.1. Тогда для амплитуды основной моды имеем
х^ч^+Хч^Ь!)-!, (18)
а из (16) получаем условие возбуждения паразитной моды Х<0.04, дающее оценку для критического значения параметра надпороговости
Ь„~2.9{Я1 - 1)1/3, (19)
которая при любом Я оказывается РиС. з. Нахождение стационарной амплитуды больше стартового значения (рис.4), основной моды дг* и условия возбуждения
паразитной моды в рамках клистронной модели
Как ясно из (18), амплитуда одномодовой генерации х* растет с увеличением приближаясь к
соответствующему максимуму функции 1/01 - значению V!. При этом, начиная с некоторого значения х*, начинает расти и величина 1/0(л:*)1 и, соответственно, подавление конкурента ослабевает. Таким образом, неустойчивость одномодовой генерации вызвана слишком большой амплитудой генерируемого поля.
Предположим теперь, что в начале возбуждается не одна, а одновременно две имеющие близкие частоты быстрорастущие моды (суммарное поле этих мод не эквивалентно полю одной моды, поскольку начальные фазы частиц относительно каждой из них независимы). Рассмотрим состояние, наступившее в результате одновременного достижения этими модами нелинейной стадии. Предполагая близость их амплитуд, получим уравнение для величины этой амплитуды х* и уравнение возбуждения третьей, медленнорастущей моды,
Ряс. 4. Зависимость стартового и критического Ьот значений параметра надпороговосги от коэффициента передачи Л
%х* = I Л(л-*) ЛСл:*) 2 А. < I Л, (х*)12 •
(20) (21)
Сравнивая эти уравнения с (15) и (16), легко заметить, что механизм достижения стационарного режима двух быстрорастущих мод отличен от одномодового стационарного режима: ему соответствует подавление быстрорастущими модами друг друга. При этом величина х* оказывается вблизи первого корня у0 функции Бесселя J0, а не вблизи V,. В этом случае, как видно из (21), возбуждение паразитной моды существенно затрудняется. Таким образом, состояние с генерацией двух быстрорастущих мод более устойчиво по отношению к возбуждению третьей, паразитной моды, чем одномодовый стационарный режим.
Учитывая полученные результаты и анализируя зависимость мощности выходного излучения от времени (см. рис.2, б), можно выделить пять стадий процесса возбуждения генератора в случае малого превышения критической надпороговости (рис. 5).
1. Линейная стадия. Возбуждение широкого спектра всех продольных мод, лежащих в полосе усиления.
2. Подавление медленнорастущих мод. Несколько быстрорастущих мод с частотами, близкими к частоте точного синхронизма ю0, достигают нелинейной стадии и подавляют медленнорастущие моды.
3. Конкуренция быстрорастущих мод. В начале третьей стадии остаются лишь моды с близкими к со0 частотами, после чего одна из этих мод подавляет остальные.
4. Возбуждение паразитной моды. В начале четвертой стадии генератор находится вблизи одномодового режима моды, имеющей максимальное линейное усиление. Однако при небольшом превышении критической надпороговости £сг этот режим неустойчив по отношению к возбуждению одной или нескольких паразитных мод, частоты которых достаточно сильно отличаются от соо- Одна из таких мод, имеющая наибольшее усиление, начинает возбуждаться (эта мода была подавлена на стадии 2 группой быстрорастущих мод, но теперь единственная «выжившая» основная мода уже не в состоянии препятствовать ее возбуждению).
0.0
400.0
800.0
А
Ш„
1к
111
[к
а
4
ш0 ш ш0 «»о
Рис. 5. Возбуждение ЛСЭ-генератора при малом превышении критической иадпороговости, У?=0.5, ¿=3.2 : а - фрагмент рис.2 в увеличенном масштабе; б - схематическое изображение текущих спектров в процессе конкуренции продольных мод
5. Двухмодовый режим. Установившийся режим с генерацией главным образом двух продольных мод.
При таком сценарии спектр установившегося режима определяется стадией 4, то есть устойчивостью одночастотной генерации основной моды по отношению к возбуждению какой-либо паразитной моды. Это позволяет использовать для анализа установившегося режима двухмодовую модель (8)-(12). Введем усиление С(А~) паразитной моды с расстройкой Д~ в режиме, близком к однрмодовой генерации основной моды (расстройка которой А определяется условием максимального линейного усиления), когда амплитуда конкурента а- мала
С(А~) = I а~(Ь)/а~ (0)1; а-«а, а(Ь) = Д-1а(0).
(22)
Установившийся режим будет одномодовым, если для любой паразитной моды усиление б оказывается меньше потерь
в(А~) <Я-К (23)
Для иллюстрации рассмотрим приведенный на рис. 2 пример с
-4.0 -2.0 . 0.0 2.0 А"
-4.0 -2.0 0.0 2.0 А~
а
6
Рис. 6. Усиление паразитных мод на фоне стационарной генерации основной моды G в зависимости от их расстроек Д~ (вертикальной чертой указана расстройка основной моды), R = 0.5: а - ¿=2.5; б -1=3.2
коэффициентом обратной связи R - 0.5. Как и следовало ожидать, при L < LCI условие (23) выполняется для всех паразитных мод (рис. 6, а). Однако с увеличением L появляются моды, для которых G> R1. Как видно из рис. 6, б, при небольшом превышении параметром L порогового значения Lcr эти моды лежат в достаточно узкой полосе частот. При этом расстройка моды с максимальным усилением G близка к расстройке паразитной моды двухмодового режима, найденной расчетом нестационарных уравнений в [6] ( см. рис. 2, б).
3. Учет дисперсии обратной связи
Выше считалось, что коэффициент передачи Я одинаков для всех продольных мод. Однако, как правило, R зависит от частоты, причем при полосе обратной связи, сравнимой с полосой усиления генератора, эта зависимость существенно влияет -на. динамику возбуждения генератора. Влияние дисперсии обратной связи Л(ю) на спектр установившегося режима может быть легко учтено в рамках двухмодовой модели путем очевидной модификации условия подавления паразитных мод (23)
G(A~) < R- 1(Д~) .
(24)
При надпороговости, не сильно превышающей критическое значение, «опасные» паразитные моды (усиление которых превышает потери основной моды) сосредоточены в узкой частотной полосе, достаточно далеко отстоящей от частоты основной моды (см. рис.6, б). Это означает, что даже при полосе дисперсии обратной связи, сравнимой с полосой усиления, происходит установление одномодового режима.
В то время как тип установившегося режима можно определить в случае малой надпороговости на основе двухмодовой модели, влияние дисперсии обратной связи на длительность и характер переходного процесса надо исследовать в рамках более строгих пространственно-временных уравнений (1)-(4) с модифицированным граничным условием. При учете дисперсии R(Д) «в лоб» это требует нахождения «мгновенного» спектра выходного поля в течение всего переходного процесса, что оказывается достаточно сложной вычислительной задачей. Более простым методом является моделирование отражения сигнала от
рефлектор
I
выходное излучение
Рис. 7. Схема рефлектора, основанного на квазиоптической мультипликазии волновых пучков в сверхразмерном волноводе
конкретного рефлектора. Рассмотрим, например, рефлектор, основанный на эффекте мультипликации квазиоптических волновых пучков [9], который представляет собой скачкообразный переход к широкому (по сравнению с поперечными размерами рабочего волновода) волноводу с двумя зеркалами на выходе (рис. 7). При определенном соотношении между длиной / и шириной Ь этого волновода (1=Ь2/2Х, где X - длина волны) поступающий на вход рефлектора из рабочего волновода узкий волновой пучок делится на выходе
рефлектора на два пучка, которые отражаются зеркалами с некоторым фазовым сдвигом один относительно другого. При ¥=0 на входе в рабочий волновод эти два отраженных пучка сходятся в один, что соответствует коэффициенту отражения рефлектора 100%. При отличном от нуля сдвиге на входе в рабочий волновод оказывается три волновых пучка, из которых лишь один (центральный) возвращается в рабочий волновод, а два других представляют собой выходное излучение. Таким образом, сдвиг фаз ¥ определяет коэффициент отражения такого рефлектора.
Выведем граничное условие для уравнений (1)-(3), которое описывает отражение от такого рефлектора в двумерной модели, когда система имеет бесконечный размер по одной из поперечных координат. Поле на входе рефлектора имеет вид
0) = аи(0 £(х)ехр(гш(/),
где а_>(г) = а(х, £=£) - амплитуда поля на выходе рабочего волновода, х=а>0С1/(с/г)$т - с/и и), функция g(x) описывает распределение сигнала по поперечной координате х. Поле внутри рефлектора разложим по поперечным модам широкого волновода
= а(/^) ехр(/шоО = ехр(/соо/)2ат(/,г) ехр(-/£т т.) 8т(агт х) ,
т
где ает = кт/Ь - поперечные волновые числа, кт = (ю02/с2 - агт2)1/2 - продольные волновые числа, соответствующие частоте точного синхронизма й)0- При этом на входе в рефлектор имеем
ат{1,2=0) = а_>(/)£„
(25)
где 8т - 2ят(ает х)с1х. Если спектр сигнала а_»(?) не слишком широк,
внутри широкого волновода описывается
распространение каждой моды приближенным уравнением
Э ат
д1
- V»
~~Эг
= 0,
(26)
где ьт =с2^(оо - групповая скорость моды на частоте со0. Решение (26) имеет вид ат{1 - г/ьт), что с учетом (25) дает поле на выходе рефлектора
= УLgm си(г- 7т)ехр(-лЗт) 8т(ает х) ,
(27)
где Тт = Uvm, г>„, = kj. Введем далее функцию г(х), которая описывает отражение сигнала от двух расположенных на выходе зеркал
[ 1, 2bß<x<b;
г(х) =10, ЫЪ<х< 26/3; [ ехр(/¥), 0<х<ЫЗ.
Разлагая отраженный от зеркал сигнал r(x)a(tjc,z=í) по модам широкого волновода и вновь используя уравнение (26), получим поле, отраженное рефлектором в рабочий волновод
a<At) = £ gm Гт,р - Тт - Тр ) exp(-ii3OT - ißp ) sin(¡ep 6/2) , (28)
m,p
b
где г „^p — 2Ib j r(x) sin(íBm л:) sin(aep jc) dx. Выражение (28) может быть
о
использовано в качестве граничного условия к уравнениям пространственно-временного подхода (1)-(4).
Для иллюстрации вернемся к примеру L=3.2, R=0.5 (см. рис. 2, б) и исследуем влияние дисперсии обратной связи на переходный процесс и установившийся режим. Параметры рефлектора выбраны так, что условие (28) дает полосу дисперсии R(А), сравнимую с полосой усиления (рис. 8, а). В то же
V
800.0 х
Рис. 8. Влияние дисперсии обратной связи на динамику возбуждения генератора: а - зависимость коэффициента обратной связи от расстройки Д; б - приведенный КПД Т|Л как функция времени т приЛ=0.5,/,=3.2
время, согласно результатам двухмодового подхода (см.рис. 6, б), для «опасных» паразитных мод такая дисперсия обеспечивает коэффициент передачи, который в соответствии с (24) недостаточен для их возбуждения. Численный расчет пространственно-временных уравнений (1)-(4) с граничным условием (28) подтверждает вывод двухмодовой теории об одночастотности установившегося режима: как видно из рис. 8, б, в установившемся режиме модуляции приведенного КПД оказываются малыми, что свидетельствует о практически одномодовой генерации. Кроме того, дисперсия Л(Д) значительно сокращает и упрощает переходный процесс, поскольку вследствие уменьшения числа конкурирующих мод сокращается стадия подавления медленно растущих мод (стадия 2, см. раздел 2) и переходный процесс останавливается на стадии конкуренции быстро растущих мод (стадия 3).
Заключение
При надпороговости, не сильно превышающей критическую, динамика возбуждения генератора довольно проста и хорошо описывается приближением двух мод. При этом тип установившегося режима (спектр выходного излучения)
определяется устойчивостью одномодовой генерации основной моды, имеющей максимальное линейное усиление, по отношению к возбуждению какой-либо другой моды. Двухмодовый анализ показывает, что даже при превышении критической надпороговости довольно широкая (сравнимая с полосой усиления) полоса обратной связи Л(со) совместима с одномодовым режимом генерации, что подтверждается и более точным учетом дисперсии в рамках пространственно-временного подхода. При этом оказывается, что, ограничивая число конкурирующих мод, дисперсия обратной связи значительно сокращает длительность переходного процесса.
Авторы признательны Н.С.Гинзбургу и А.С.Сергееву за помощь в работе.
Библиографический список
1. Bogomolov Ya.L., Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin M.I., Yunakovsky A.D. Nonstationary generation in free electron lasers // Optics. Commun. 1981. Vol.36. № 3, P.209.
2. Ginzburg N.S, Petelin M.I., Shapiro M.A. Automodulation and stochastic oscillation regimes in resonant relativistic electron masers // Proc. of 10th Europian Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Moscow, 1981. Vol.1. P. M2.
3. Гинзбург H.C., Кузнецов С.П. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием// Релятивистская высокочастотная электроника. Вып.2. Горький, 1981. С.101. •
4. Ginzburg N.S., Petelin M.I. Multy-frequency generation in free electron lasers with quasi-optical resonator// Int. J. Electronics. 1985. Vol.59, № 3. P. 291.
5. Antonsen T.M., Jr., Levush B. Mode competition and suppression in free electron laser oscillators II Phys. Fluids B. 1989. Vol.1, № 5. P.1097.
6. Гинзбург H.C., Сергеев A.C. Динамика ЛСЭ генераторов с резонаторами произвольной добротности// ЖТФ. 1991. Т.61, № 6. С.133.
7. Бмюх Ю.П., Бородтн АВ., Любарский М.Г., Ошаценко И.Н., Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью// Изв.вузов. Сер.Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т.1, № 1-2. С. 34. ,
8. Братман В Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И., Сморгонский А. В. Убитроны и скаттроны // Релятивистская высокочастотная электроника. Вып.1. Горький,1979. С.217.
9. Denisov G.G., Lukovnokov D.A., Shmelev M.Yu. Microwave systems based on the effect of image multiplication in oversized waveguide // Conference digest of 18 Int. Conf. on Infrared and MM Waves. Colchester, United Kindom, 1993.
Институт прикладной физики РАН Поступила в редакцию 4.10.94 г.
Нижний Новгород после переработки 27.12.92 г.
SCENARIO OF TRANSITION TO THE MULTI-FREQUENCY REGIME IN THE FEL-OSCILLATOR WITH A LOW-Q MICROWAVE SYSTEM
V.L. Bratman, A.V. Savilov
Possibility of the use of the simple two-mode model is shown, and the process of the longitudinal mode competition is described for the case of a small excess over the threshold, which corresponds to the transition to the multi-frequency regime. It is shown that even a rather broadband (in the scale of the amplification band) frequency feedback dispersion effects significantly both the transient time and the generation regime.
Братман Владимир Львович - родился в 1945 году, в 1967 окончил радиофизический факультет Горьковского университета. Доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией Института прикладной физики РАН (Н. Новгород). Область научных интересов - релятивистская высокочастотная электроника, новые методы ускорения частиц, управляемый термоядерный синтез. Имеет более 100 публикаций в отечественных и зарубежных изданиях.
Савилов Андрей Владимирович - родился в 1968 году, в 1992 окончил Высшую школу общей и прикладной физики при Нижегородском университете. Младший научный сотрудник Института прикладной физики РАН (Н. Новгород). Область научных интересов - релятивистская высокочастотная электроника, взаимодействие мод, высокочастотный пространственный заряд. Имеет 19 публикаций в отечественных и зарубежных изданиях.
