Структурный анализ кинематических цепей рычажных механизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: В 3 т. - Т. 2/ Под

общ. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - 832 с.

2. Вотинов В.А., Коротовских В.К. Определение напряжений в оболочке

цилиндрической цистерны транспортного средства при сосредоточенных нагрузках// Вестник Курганского государственного университета. - Серия «Технические науки». - Вып. 3. Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та. 2007. - С. 8-9.

H.H. Крохмаль О.Н. Крохмаль

Курганский государственный университет

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Одной из задач теории механизмов является исследование принципов построения структурных схем рычажных механизмов и в том числе отдельных типов кинематических цепей - структурных групп на основе изучения их общих структурных свойств. Об этом свидетельствует постоянная публикация статей в мировой и отечественной научной литературе по данной теме, в которых обоснована её актуальность и дан библиографический обзор состояния вопроса.

Среди прочих известных принципов структурной классификации рычажных механизмов плодотворным является принцип Ассура [1]. Главным структурным элементом в этой классификации механизмов является структурная группа (далее СГ) - группа Ассура. Классическое определение структурной группы формулируется следующим образом «...кинематическая цепь, которая после её присоединения внешними кинематическими парами к стойке будет обладать нулевой степенью подвижности и которая не может быть расчленена на самостоятельные кинематические цепи нулевой подвижности» [9]. Что означает признак «...не может быть расчленена на самостоятельные кинематические цепи нулевой подвижности»? Следующие примеры из ряда многих других показывают, что кинематические цепи, являющиеся структурными группами, можно на практике составить из более простых кинематических цепей (рис.1).

Тем не менее, приведённые ниже схемы являются схемами структурных групп. Отсюда можно сделать вывод о том, что указанный признак в определении структурных групп необходимо уточнить при более подробном исследовании их строения.

ми кинематическими парами - плоскими шарнирами. Такое допущение не повлияет на общность рассуждений, но позволит представить группы соответствующими математическими объектами - простыми графами. В общем случае СГ содержит звенья с двумя кинематическими парами - это стержни (поводки), и звенья, у которых более двух шарниров - это базовые звенья (рис.2).

Для унификации строения СГ представим базовые звенья как фермы, состоящие из стержней, соединённых между собой шарнирами таким образом, чтобы базовое звено было разбито на жёсткие треугольники (рис. 2).

Рис. 2. Представление базовых звеньев

В работе [3] сказано, что такая замена не нарушает соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар, то есть остаётся справедливой формула Че-бышева для определения степени подвижности группы. Действительно, пусть базовое звено имеет т точек, в которых располагаются шарниры, и которые неподвижны друг относительно друга. При замене базового звена фермой эти точки также должны оставаться неподвижными друг относительно друга. Поэтому в плоской ферме между ними необходимо установить 2т-3 связей (стержней). При этом т стержней можно разместить так, что они образуют внешний контур базового звена, а 2т-3-т = т-3 стержней образуют связи между вершинами внутри контура. Тогда нетрудно подсчитать, что число шарниров в ферме равно Зт-6. (При замене базового звена фермой число базовых звеньев уменьшится на 1, но увеличится число стержней и шарниров). Поэтому, после подобной замены, формулу Чебышева можно записать:

3 ■(л -1 + (2 -т -3)) - 2 ■(р + (3 -т -6)) = 3 -л - 2 ■ р , (1) где р - число шарниров в исходной СГ; п - число звеньев в исходной СГ.

Таким образом, при замене базовых звеньев фермами получаем эквивалентную механическую систему.

Сопоставим структурной группе её графическое изображение - граф. В таком графе рёбрами являются изображения стержней, а вершинами - точки, отображающие кинематические пары.

Любая внутренняя вершина графа имеет степень

(число инцидентных ей рёбер) а>3и соответствует

(а — 1) кинематическим парам группы Ассура. Каждая

внешняя вершина второй степени соответствует двум шарнирам. Внешняя вершина первой степени соответствует одному шарниру. Поэтому формулу Чебышева для графа СГ можно записать следующим образом:

Рис. 1. Составление групп Ассура из простейших цепей

Будем рассматривать плоские структурные группы, звенья которых соединены между собой вращательны-

3-п

=p1+2-p2 + YJ( a-l)-pa

a=3

(2)

где р,-число вершин первой степени, р2-число вершин второй степени, ра - число вершин степени а .

На основании известного из теории графов соотно-

шения [3] для графа СГ справедлива формула:

2-п = р1+2-р2 + ^а-Ра

а-3

(3)

п 2

а-3

(4)

Введём для графа СГ операцию расщепления вершины, которая состоит из двух действий:

- понижение степени вершины путём устранения инцидентного ребра;

- размещение на устранённом ребре новой вершины (рис. 3).

Рис. 3. Операция расщепления вершины графа

Граф любой структурной группы с помощью операции расщепления может быть представлен в виде дихотомического дерева (рис. 3, 4).

Таблица 1

Распределение входящих и заходящих дуг в графе СГ

Вычитая из (3) равенство (2), получим соотношение между числом рёбер и числом внутренних вершин в графе СГ:

Степень Общее число Общее число

вершины выходов заходов

1 - Р\

2 - 1-р2

а 2'Ра (ое-2)- ра

На основании отмеченного свойства матрицы смежности составим равенство:

а=3 ИЛИ

Р1+2-Р2+У]а-Ра-У]4-Ра=0

а-3

а=3

(5)

(6)

Выше было получено равенство (4), поэтому после его подстановки в (6) будем иметь:

Р1+2-Р2+У]а-Ра-2-П = 0

а-3

(7)

Рис. 4. Орграф СГ

Перейдём от графа к ориентированному графу (орграфу) СГ (рис. 4). В этом случае необходимым и достаточным условием построения дихотомического дерева является существование только двух дуг, выходящих из каждой внутренней вершины графа, т.к. применяя операцию расщепления к каждой вершине и входящим дугам (оставляя только одну входящую дугу в вершине), получим дихотомическое дерево (рис. 4). Внешние вершины первой и второй степени имеют только заходящие дуги.

Для любого орграфа можно составить 0,1 - матрицу смежности [5], в которой номер каждой строки и столбца соответствует номеру вершины в графе, а элемент матрицы равен 1, если дуга заходит в вершину с номером столбца из вершины с номером строки. В другом случае элемент матрицы равен 0. Для такой матрицы сумма элементов по строкам равняется сумме элементов по столбцам (число исходов дуг равно числу заходов), поэтому для любого орграфа СГ можно составить следующую таблицу 1.

т.е. приходим к известному равенству (3), что и подтверждает возможность осуществления заданных направлений дуг в орграфе СГ, т.е. граф любой структурной группы с помощью операции расщепления может быть представлен в виде дихотомического дерева.

Многочисленные примеры разложения групп Ассу-ра позволяют сделать предположение о том, что любую СГ можно разложить не только в дихотомическое дерево, но в дихотомическую цепь (рис. 5). Математически это соответствует нахождению Гамильтонова пути между внутренними вершинами графа СГ. Очевидно, что дихотомическую цепь можно построить для групп Ассура, соединённых друг с другом последовательно. Если СГ соединена с другими структурными группами параллельно, то такое соединение можно разложить только в дихотомическое дерево. Поиск Гамильтонова пути в графе выполняется на компьютере в соответствии с алгоритмом [6].

Рассмотрены фундаментальные свойства групп Ассура, дающие возможность по новому подойти к вопросу структурного синтеза кинематических цепей.

Рис. 5. Примеры разложения групп Ассура в дихотомическую цепь

СЕРИЯ «ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 4

13

Список литературы

1.Accyp Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с точки зрения ихструктуры и классификации//Известия СПб.: Изд-во СПб. политехнического ин-та, 1913.

2.Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов. - Киев: Наукова думка, 1979. - 232 с.

3.Крохмаль H.H. Структурный анализ и синтез групп Ассура//Известия вузов. - М.Машиностроение. 2002. - №2. - С. 24-30.

4.Лекиуи по теории графов/ В.А. Емеличев и др.- М.: Наука, 1990,- 384 с.

5.Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. - 301 с.

6.Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.: Мир, 1988. - 213 с.

H.H. Крохмаль, О.Н. Крохмаль Курганский государственный университет

СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Если граф любой СГ путём операции расщепления вершин можно представить в виде дихотомической цепи то, очевидно, что из подобной цепи путём обратных действий можно получить граф группы Ассура, либо граф последовательно соединённых групп.

Рис. 1. Исходный граф

Исходный граф, подобный графу, изображённому на рисунке 6, может состоять из любого числа последовательно соединённых диад. В этом случае операция синтеза графа группы Ассура сводится к совмещению висячих вершин исходного графа с его внутренними вершинами, т.е. операция совмещения вершин является обратной к операции расщепления вершин.

Исходному графу всегда можно сопоставить исходную матрицу смежности (табл. 1). Такая матрица содержит (2 • d +1) столбцов и d - строк, здесь d - количество диад в исходном графе. В исходном графе пронумерованы сначала внутренние вершины, а затем висячие. Матрица поэтому состоит из двух половин. В левой части расположены столбцы с номерами внутренних вершин, а в правой с номерами висячих вершин. Буква «е» в матрице означает, что из внутренней вершины, соответствующей номеру строки выходит ребро во внутреннюю вершину, соответствующую номеру столбца. Цифра 1 в правой части исходной матрицы означает, что из вершины, соответствующей номеру строки выходит ребро в висячую вершину, соответствующую номеру столбца. Буква «/» означает то же, что и цифра «1», но используется для удобства описания матрицы.

Таблица 1

Матрица смежности исходного графа

J4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1

1 X е 1 X X X X X X

2 X X е 1 X X X X X

3 X X е 1 X X X X

4 X X е 1 X X X

5 X X е 1 X X

6 X X 1 i

Операция совмещения вершин в исходном графе, приводящая к синтезу графа СГ или в общем случае графа кинематической цепи, соответствует в исходной матрице перемещению "1" вдоль строки из правой части матрицы в какую-либо свободную клетку левой части. В графе группы Ассура не может быть петель и двойных дуг, поэтому соответствующие клетки отмечены значком "х". Таким образом, синтез графов СГ сводится к перебору вариантов размещения "1" в левой части матрицы, путём их перемещения из правой части.

Перемещение "1" в пределах правой части матрицы соответствует образованию внешней вершины второй степени и является частным случаем. Однако, интересно отметить, что совмещение двух висячих вершин, инцидентных одному ребру даёт треугольное звено с внешней вершиной, а совмещение висячих вершин, инцидентных разным рёбрам, приводит к образованию "парадоксальных" групп [1]. Принципиально возможно совмещение и трёх и большего числа висячих вершин исходного графа.

Выше отмечалось, что из исходного графа можно получить как графы СГ, так и графы более сложных составных кинематических цепей. Имеет смысл синтезировать группы Ассура отдельно. Очевидно, при этом на перемещение "1" в исходной матрице накладываются некоторые ограничения. Рассмотрим эти ограничения подробнее.

Во-первых, в правой половине исходной матрицы должно оставаться всегда не менее четырёх "1", соответствующих четырём внешним кинематическим парам. Действительно, если в графе СГ отбросить все внешние вершины с инцидентными им рёбрами, то получится граф замкнутой кинематической цепи, степень подвижности которой должна быть 1, иначе это будет не кинематическая цепь, а базовое звено. Но существует только одна такая группа. Другие группы, содержащие одно базовое звено, не могут содержать более трёх поводков (четырёх звеньев), т.к. в этом случае условие статической определимости будет:

м> = 3-п-2-(п-1)-2 = -п + 4 = 0 , (1) где \л/ - степень подвижности кинематической цепи, оставшейся после удаления всех внешних вершин вместе с поводками; п - число звеньев в группе.

Откуда п=4, (при п > 4, то \л/ < 0).

Если степень подвижности внутренней кинематической цепи больше или равно 1, то для неё можно записать следующее неравенство:

м> = 3-(п-1)-2-р>1, (2)

где п - число рёбер (звеньев) графа (кинематической цепи); р - число кинематических пар.

Число рёбер в графе после отбрасывания внешних вершин определяется следующим соотношением:

й = 2-б/-5, (3)

где с1 - число диад в исходном графе, б - число отброшенных поводков (единиц в правой части матрицы смежности).

Число кинематических пар в оставшейся кинематической цепи даётся выражением:

р = 2-(с!-1) + 1 + ((1 + 1)-2-8 = 3-(1-2-я , (4)

Подставим (3) и (4) в (1), после преобразований будем иметь:

м/ = я-3 >1 или я>4 , что и даёт минимально возможное число "1" , которое должно оставаться в правой части исходной матрицы.

Во-вторых, СГ должна быть неразделимой на более простые кинематические цепи. Но каков смысл это-