Структурно-неоднородный горный массив как среда с внутренними источниками и стоками энергии Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Структурно-неоднородный горный массив как среда с внутренними источниками и стоками энергии

С.В. Лавриков, А.Ф. Ревуженко

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия

В работе на основе концепции массива горных пород как активной среды с внутренними источниками и стоками энергии строится математическая модель деформирования геоматериалов, способная описать эффекты аккумулирования энергии в виде внутренних самоуравновешенных напряжений на микроуровне. При определенных условиях эта энергия может быть высвобождена на макроуровень. В качестве структурных элементов геосреды рассматриваются зерна, поровый материал и условия проскальзывания между зернами. Строятся определяющие соотношения с учетом возможного разупрочнения вдоль контактов между зернами.

Разработаны конечно-элементный алгоритм и компьютерная программа по решению плоских краевых задач. Приводится численное решение задачи о деформировании горного массива вокруг выработки. Показано, что в зависимости от степени разупрочнения вдоль контактов возможен как устойчивый, так и неустойчивый характер деформирования. При неустойчивом деформировании в массиве наблюдается динамическое высвобождение упругой энергии, запасенной на предыдущих этапах деформирования.

Structural-inhomogeneous rock massif as a medium with internal energy sources and sinks

S.V. Lavrikov and A.F. Revuzhenko

The mathematical model of deformation of geomaterials, which allows to describe energy accumulation in the form of self-equilibrium stresses at the microlevel has been developed on the basis of the conception of rock massif as an active medium with internal energy sources and sinks. This energy can be released at the macrolevel in certain external conditions. Grains, pore material and sliding conditions between grains have been considered as structural elements of the geomedium. The constitutive equations have been derived taking into account possible softening along contacts between grains.

Finite element algorithm and computer program to solve plane boundary value problems have been designed. Numerical simulation of deformation of the rock massif around a mining opening has been performed. It was shown that the stability of deformation processes depends on softening degree along contacts between grains. In the case of unstable deformation the dynamic releasing of elastic energy accumulated on the previous loading stages takes place.

1. Введение

Моделирование в механике горных пород всегда предполагает выделение каких-то одних свойств породы и более-менее сознательное игнорирование других. Такой подход, как известно, является сильной стороной моделей, так как позволяет упростить исходную ситуацию и сделать ее обозримой. Свойства реальной горной породы довольно сложны. Они зависят от наличия и распределения трещин, расположения и взаимодействия структурных элементов, их микросвойств и т.д. На макроуровне это проявляется в виде сцепления, внутреннего трения, дилатансии и, главное, приводит к существенной нелинейности поведения. Дополнительные трудности

вызывает неголономность реакции. Например, если образец породы вначале сжать некоторой силой, а затем закрутить моментом, то результат будет, вообще говоря, другим, чем, если этот же образец вначале закрутить тем же моментом, а затем сжать той же силой.

Наряду с такими фундаментальными свойствами структурно-неоднородной горной породы как внутреннее трение и дилатансия следует, по-видимому, в этот же ряд поставить и способность аккумулировать упругую энергию в виде внутренних самоуравновешенных напряжений. При определенных внешних условиях эта энергия может быть высвобождена, и, таким образом, отдельные области массива могут выступать в качестве стоков и источников энергии.

© Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф., 2004

Для такого подхода есть достаточные основания. Так, в работе [1] описан эффект последействия. Образцы горной породы цилиндрической формы подвергались осевому сжатию с одновременным наложением высокого гидростатического давления. После того как величина осевой необратимой деформации достигала определенного уровня (иногда 25 %), осуществлялась полная разгрузка. Было установлено, что после разгрузки высота и диаметр образцов самопроизвольно увеличивались без какого-либо усилия извне, а будучи помещенными в динамометр без зазоров, они развивали определенные усилия как в осевом, так и в боковом направлениях. Ясно, что образец совершает при этом определенную работу, причем последняя совершается за счет внутренних ресурсов образца, которые он приобрел ранее. Дополнительные факты, подтверждающие способность горной породы к аккумулированию и последующему высвобождению упругой энергии, приведены также в работах [2, 3].

В работе [4] предложен физический образец, моделирующий указанное свойство. Он представлял собой пучок шероховатых стержней, стянутый упругой нитью. Если этот образец сжать в боковом направлении и затем снять нагрузку, то он приобретет расплющенную форму. При этом все внешние нагрузки будут отсутствовать, а внутренняя аккумулированная энергия будет запасена в энергии растянутой нити и будет компенсироваться трением между стержнями. Если теперь несильно постучать по образцу, либо по столу, на котором он лежит (иногда достаточно просто громкой речи), то образец скачком вернется в положение, близкое к исходному. Ясно, что при этом произойдет динамическое высвобождение накопленной ранее упругой энергии. В [4] проведена серия экспериментов на одноосное сжатие описанного образца для различных вариантов выбора формы стержней и свойств упругой обвязки. Типичная диаграмма нагружения приведена на рис. 1. В [4] даны также теоретические оценки величины запасаемой

энергии, которая может составлять до 30 % от всей энергии, затраченной на деформирование образца.

2. Математическая модель

В [5] сформулирована концепция горного массива как активной среды с внутренними источниками и стоками энергии и даны принципы построения математических моделей геоматериалов, обладающих свойством аккумулировать и высвобождать накопленную ранее энергию. Внутренняя структура моделируется относительно жестким скелетом, представляющим собой определенную упаковку зерен, и цементирующим материалом, который заполняет межзеренные поры. Введены соответствующие поля микроскоростей и микронапряжений и определены операции осреднения, позволяющие переходить к макропараметрам модели. Модельные представления [5] позволяют описать достаточно широкий класс структурно-неоднородных материалов. Варьированием свойств элементов структуры можно строить модели для горных пород с различной трещиноватостью, сыпучих сред, сухих и водонасыщенных грунтов.

В данной работе рассмотрим один из возможных вариантов модели. Примем, что структурные элементы (зерна и поровый материал) суть упругие среды, но с различными упругими постоянными. На контактах между зернами (предполагается наличие двух семейств линий контактов) допустим пластическое скольжение по нелинейному закону, записанному в приращениях Атг- = а*Дуг-, i = 1, 2 — номер семейства линий контактов, включая стадии упрочнения, разупрочнения и остаточной прочности (рис. 2):

", 0<у<у*,

а8 ч- Gр, у* <у<у **,

0 у ** .

Здесь хг- — касательные напряжения; у г- — сдвиговые деформации вдоль межзеренных контактов из различных семейств.

Рис. 1. Экспериментальная диаграмма одноосного сжатия физического образца, моделирующего свойство аккумулирования энергии

о Уі уг Уі

Рис. 2. Модельная диаграмма контактного взаимодействия зерен

Заметим, что в модельных представлениях [5] фигурирует фиксированная система координат, связанная с эффективной упаковкой зерен. В этой системе определяющие уравнения при сделанных предположениях примут точно такой же вид, как и обычные уравнения упругого тела с параметрами V, Е, |1, которым можно придать смысл макрокоэффициента Пуассона, макромодуля Юнга и макромодуля сдвига соответственно. Однако, в отличие от классической упругости, величины

V, Е, |Л, в данной модели не являются связанными между собой: V, Е являются постоянными, зависящими от микропараметров модели, а |Л, является функцией напряженного состояния и зависит от величин сдвигов вдоль контактов между зернами уг-. Иными словами, модель описывает анизотропную среду. Переходя к макропараметрам модели согласно [5], определяющие уравнения, связывающие приращения компонент тензора макронапряжений Дфп, Да22, Д^12 и приращения компонент вектора макроперемещений Дм1, Дм2, в произвольной системе координат, повернутой относительно вышеописанной фиксированной системы на произвольный угол а, примут следующий вид:

ЭДи,

1 = А Дап + В Да22 + С Да12,

= В Дстп + А Да22 + С Да12,

Эх1 ЭДМ2 дх2 ЭДи ЭДм2

------ +-----2

Эх2 Эх1

= С (Дап - Да22) + 2ВАа

12,

А =

В =

(1 -у)(1+у).

Е

-у(1 + у)

■^іп^а),

С = д sin(2a) cos(2a), 1

Б = — + д sin (2а), 2^

1

2^

Величины V, Е, |Л, в приведенных выражениях определяются через коэффициенты Пуассона и модули сдви-

га зерен V

порового материала Vр, цр и модули

контактного взаимодействия зерен по следую-

щим формулам:

V ‘К1 - (1 -V *)К2

V =-

К - К

Е = 2ц ‘ К^1К1 ((1 + у ‘) К1 - (2-V 1)К2),

К1 - К 2

2^ р

ОД

где постоянные К1, К2 зависят только от V *, р,1, V р, ^р и вследствие громоздкости выражений не приводятся.

3. Результаты расчетов

На основе описанной модели разработаны конечноэлементный алгоритм и компьютерная программа, позволяющие численно исследовать плоское напряженно-деформированное состояние массива горных пород. Рассмотрим задачу о деформировании горного массива вокруг круглой выработки в плоской постановке. В качестве расчетной области примем ближнюю зону массива г0 < г < Г1, окружающего выработку радиуса г0. Параметр нагружения определим как радиальное перемещение и внешней границы ближней зоны г = г1, направленное к центру выработки. Опыт [6] решения задач с учетом разупрочнения показывает, что напряженное состояние существенно будет зависеть от величины разупрочнения (параметр наклона ниспадающей ветви диаграммы контактного взаимодействия Gр). Анализ данной модели позволяет сделать вывод о том, будет ли деформирование протекать устойчиво или же в среде в процессе нагружения будет происходить динамическое неконтролируемое высвобождение накопленной упругой энергии. Для симметричного функционирования различных семейств контактов между зернами (У* = у2, У** = У 2*, рис. 2) устойчивость деформирования гарантируется условием Gр < 2^1. Если различные семейства контактов функционируют несимметрично,

^р ^е

то условие устойчивости примет вид Gр < —------------.

ц. ‘ + Gе

Иными словами, наклон ниспадающей ветви диаграммы (рис. 2) не должен превышать некоторое критическое значение. В противном случае устойчивость нарушается.

Рассмотрим два примера расчета. В первом примере выберем следующие параметры задачи: г1 /г0 = 3,

V1 = 0.2, = 4-104 МПа, ур = 0.3, ^р = 2-104 МПа,

У* = У2 = 0.001, у** = у*2* = 0.003, Ттах = 30 МПа Тосг = = 0 МПа, а = 15°. Нетрудно видеть, это в этом случае указанные условия устойчивости заведомо выполняются и можно ожидать, что деформирование будет протекать устойчиво. Численное решение приводит к картинам деформирования, показанным на рис. 3. Здесь штриховкой отмечены области массива, в которых диаграмма контактного взаимодействия зерен вышла на ниспадающий участок (разупрочнение), закрашенные области соответствуют горизонтальному участку диаграммы (остаточная прочность), незакрашенные зоны соответствуют восходящему участку (упрочнение). Области разупрочнения и остаточной прочности зарождаются на поверхности выработки. Причем вначале зарождается сразу четыре не связанные между собой зоны в направлениях под углами ±45° к направлению анизотропии, наклоненному, в свою очередь, к оси абсцисс под углом а = 15°. При дальнейшем нагружении эти зоны последовательно одна за другой развиваются вглубь массива, окружающего выработку, имея тенденцию к объединению (рис. 3).

Рис. 3. Расчетное напряженно-деформированное состояние вокруг Рис. 4. Расчетное напряженно-деформированное состояние вокруг

выработки при устойчивом деформировании вдоль межзеренных кон- выработки при неустойчивом деформировании вдоль межзеренных

тактов контактов

Рассмотрим еще один пример расчета. Выберем все параметры, как и в предыдущем примере за исключением у**, которые примем у** = у2* = 0.0012. Нетрудно видеть, что теперь условия устойчивости не выполняются и можно ожидать, что в массиве будет происходить динамическое высвобождение энергии. Это означает, что области разупрочнения не могут существовать какое-либо конечное время. Образуясь, они скачком превращаются в области остаточной прочности, которые также развиваются от поверхности выработки вглубь массива (рис. 4). Следует отметить, что используемый в расчете алгоритм, подробно описанный в [6], позволил в квазистатической постановке (пошаговое нагружение) осуществить моделирование нагружения с динамическими проявлениями.

Обратимся к экспериментам над модельным образцом, описанным в [4]. Как уже отмечалось, типичная диаграмма нагружения представлена на рис. 1. Ясно, что «срывы» диаграммы обусловлены переупаковкой стержней в модельном образце при его сжатии. С другой стороны, на языке диаграммы контактного взаимодействия стержней момент «срыва» соответствует разупрочнению и динамическому высвобождению упругой энергии. Для численного решения описанной задачи при неустойчивом деформировании также можно построить макродиаграмму нагружения, связывающую суммарное усилие F на внешней границе ближней зоны, окружаю-

Рис. 5. Расчетная макродиаграмма “сила - перемещение” с учетом скачков разупрочнения на микроуровне

щей выработку, и радиальное перемещение и этой границы. Однако в модели непосредственного разрушения среды не заложено (зерна и поры предполагаются упругими). Иными словами, если в какой-либо области массива, окружающего выработку, происходит разупрочнение, сопровождаемое динамическим высвобождением упругой энергии, то большую часть нагрузки принимает на себя сам материал зерен и пор, т.е. макродиаграмма должна быть прямолинейной, как это имеет место для классической упругости. Тем не менее, в моменты разупрочнения диаграмма будет иметь скачки («срывы») с последующим возвращением на прямолинейный участок. На рис. 5 приведена описанная диаграмма при численном решении задачи. Видно, что динамическое неконтролируемое высвобождение упругой энергии в какой-либо точке массива сопровождается срывом диаграммы.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-0564676, и при поддержке Интеграционного проекта СО РАН и УрО РАН № 191.

Литература

1. Ставрогин А.Н., Ширкес О.А. Явление последействия в горных породах, вызванное предшествующей необратимой деформацией // ФТПРПИ. - 1986. - № 4. - С. 16-27.

2. Влох Н.П., Липин Я.И., Сашурин А.Д. Исследование остаточных напряжений в крепких горных породах // Современные проблемы механики горных пород. - Л.: Наука, 1972. - С. 186-189.

3. Ржевская С.В., Петроченков Р.Г. Изменение прочностных свойств

пород в куске при выемке их из массива // Исследование физических свойств горных пород и процессов горного производства. -М.: Московский горный институт, 1984. - С. 125-130.

4. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об одной экспериментальной модели горной породы // ФТПРПИ. - 1991. - № 4. - С. 24-30.

5. Ревуженко А. Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандарт-

ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2000. - 428 с.

6. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. О модели деформирования целиков

с учетом эффектов аккумулирования энергии и разупрочнения материала // ФТПРПИ. - 1994. - № 6. - С. 12-23.