CC BY
9
III. УПРАВЛ1ННЯ
УДК 681.513
СТРУКТУРН0-ДИНАМ1ЧНА СУТНЮТЬ Blfl'GMHOrO ЗВОРОТНЬОГО ЗВ'ЯЗКУ В АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМАХ
Н. А. Брикун, Л. М. Бойчук
На основании структуры решения операторных уравнений замкнутой системы сделаны выводы о структурно-динамической сущности отрицательной обратной связи в автоматических системах. Для иллюстрации рассмотрен неустойчивый объект первого порядка. особое внимание уделено случаям невырожденной и неполностью вырожденной динамической подсистемы.
На основ1 структури розв'язку операторних р1внянь замк-нуто'1 системи зроблет висновки про структурно-динамгчну суттсть в1д'емного зворотнього зв'язку в автоматичних системах. Для 1люстрацп розглянуто нестткий об'ект пер-шого порядку. Особливу увагу придглено випадкам невирод-женоЧ та неповтстю вироджено'1 динамгчно'г тдсистеми.
The conclusions about a structural-dynamic essence of negative feedback in automatic systems are made which is based upon the structural solution of operational equations of a closed-loop system. The unstable object of the first order is considered for illustration. Special attention is given to the cases of non-degenerate and incomplete degenerate dynamic subsystem.
Важливе Micqe в сучаснш Teopiï автоматичного керування займае проблема стабШзацп BèxiflHoï вели-чини об'екта керування з невизначеними внутршшми (параметричними) та зовшшшми збуреннями. До традицшних мeтoдiв розв'язання ^eï проблеми вщно-ситься, наприклад, застосування великих коефщенив тдсилення регулятора. Та осюльки шнуе обмеження на динамiчну стшюсть, то можливосп тдсилення сигналу в^'емного зворотнього зв'язку вважаються вичерпаними. Цей зв'язок використовуеться, головним чином, для тдтримання вихщних величин на деякому заданому piвнi, хоча ще в 60-х роках 1.Горовщ зазначав, що сутшсть вщ'емного зворотнього зв'язку полягае якраз в забезпеченш компенсацп невизначених збурень [1]. Шдтвердженням цього напрямку е, зокрема, викори-стання iзoдpoмiв та ПIД-peгулятopiв, яю забезпечують астатизм системи. Також вважають, що вплив зoвнiшньoгo збурення, що дie на керований об'ект, можна зняти, сформувавши сигнал у пpoтифазi до цього збурення. Такий сигнал отримують, використовуючи, наприклад, вимipювання збурення. Для зняття впливу внутршнього збурення об'екта звичайно використовують алгоритми адаптацп, що пов'язаш з щентифжащею нeвiдoмиx паpамeтpiв об'екта та побудовою його математично'1' мoдeлi i з подальшим налагодженням
паpамeтpiв регулятора. Використання вищевказаних методик призводить взагалi до росту складноси системи керування, особливо у багатoвимipнoму випадку. Навiть застосування найсучасшших кoмп'ютepiв не набагато сприяе подоланню цieï проблеми.
Тому перспективним можна вважати пiдxiд до керування такими невизначеними об'ектами, що базу-еться на викopиcтаннi багатoвимipниx динамiчниx пiдcиcтeм у ланцюгу вiд'eмнoгo зворотнього зв'язку. 3 цим тдходом пов'язаш роботи, що проводилися в 40-х роках Ы.Гальпершим [2] та Г.В.Щипановим [3]. I.I.Гальпepiн запропонував включати в контур вщ'ем-ного зворотнього зв'язку деяку шерцшну багатозв'язну пiдcиcтeму, причому динамжа вcieï замкнуто'' системи повинна визначатися саме щею пiдcиcтeмoю. Цей тдхщ, який можна назвати динамiчним дoмiнуванням, був вiднoвлeний в 60-х роках Дж.Шрсоном [4] i розроб-ляеться в даний час [5], осюльки послаблюе вимоги до вимipювання виxiднoï величини та змiнниx стану [6]. Найб1льший ефект регулювання може бути отриманий, якщо ц1 тдсистеми задовольняють умов1 виродженост1 Г.В.Щипанова, яку назвали умовою абcoлютнoï 1нвар1-антность Сам принцип 1нвар1антност1 прийнято з обме-женням [7], яке зводиться до того, що в клаи систем керування за в1дхиленням для об'екта з одшею регу-льованою величиною не можна розв'язати задачу пoвнoï компенсаци. В poбoтi [7] вважаеться, що для таких вихщних величин можлива 1нвар1антн1сть до зовшш-нього збурення лише з точшстю до е , так як виконати умови пoвнoï iнваpiантнocтi здавалося неможливо. Пoдальшi дocлiджeння [8]-[ 12] показали, що i для вищевказаних систем можна побудувати регулятор, який забезпечуе незалежшсть виxiднoï величини вiд збурень (як внутршшх, так i зовшшшх), замiнивши умову паpамeтpичнoï виpoджeнocтi (як було у Г.В.Щипанова) умовою так званoï cтpуктуpнo-динамiчнoï виpoджeнocтi.
Мета стати - довести, що явище компенсацп неви-мipниx збурень становить cтpуктуpнo-динамiчну cутнicть вiд'eмнoгo зворотнього зв'язку, що дозволяе провести ïx кoмпeнcацiю без спещальних заcoбiв типу адаптацiï або вимipювання збурень. Треба зазначити, що наголос на
такому ЗМ1СТ1 керування в автоматичних системах вже мав м1сце в працях [13]-[14], але в дан1й робот! б1льш ч1тко розглянута структура розв'язку операторних р1внянь замкнуто! системи, яка анал1тично п1дтверджуе цей висновок. Для простоти та наочно! 1люстрац1! будемо розглядати систему керування за в1дхиленням для об'екта першого порядку з одшею регульованою величиною. Окремо досл1димо випадки невироджено! та неповн1стю вироджено! багатовим1рно! динам1чно! п1дсистеми.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!
Нехай об'ект керування описуеться наступним диференщальним р1внянням першого порядку, яке в операторнш форм1 мае вигляд:
а11(р)х1 (р) = В1 (р)и1 (р) +/1 (р), а11(р) = (1)
А й
= Хпр + ап, р =
degall(р) = П01 = 1, ^шх!(р) = dimUl(р) = 1 ,
причому Х1 (р) , и1 (р) - опеpатоpнi вiдобpаження
регульовано'! величини i керуючого впливу вiдповiдно, а
/1 (р) - зовнiшнe збурення, що обмежене за ампл1тудою.
Для керування використаемо багатовимipну динамiчну тдсистему, яка описуеться piвнянням [9]
А22(р)х2(р) = и2(р), А22(р) = Т22р + А22 , (2) degA22(р) = «02 - и01' dimХ2 = «2 - п1 ' (3)
де Т22 та А22 - матpицi динамiчних та структурних
взаемозв язкiв допом1жно1 п1дсистеми вщпов^но. Неpiвностi (3) е умовами домшування, що накла-даються на динамiчнi порядки та кiлькiсть змiнних керуючо! пiдсистеми i об'екта керування.
Закон управлшня об'ектами (1) та (2) закладемо так званого перехресного типу
и1 (р) = ктХ2 (р)х2(р), и2(р) = = кпк21(х?1 -х1 (р)), кт2 (р) = ст2р + кт2 ,
(4)
де кТз (р), к21 - опеpатоpнi вщображення вектоpiв налагодження, кп - параметричний коеф1ц1ент п1дси-лення, - завдання (розглядаемо задачу стабiлiзацii'). Оск1льки д1ю параметричного коеф1ц1ента п1дсилення досл1джено в роботах [13]-[14], покладемо кп = 1 .
Управлтня об'ектом (1) зале жить в1д поточних значенъ вих1дних величин допом1жного об'екта (2) та ¿х пох1дних, а управлтня ним - тыьки в1д похибки регулювання основного об'екта (тобто для управлтня не використовуються пох1дн1 вих1дног величини).
Таким чином, piвняння замкнуто! системи мае вигляд
а11 (р) -кт2 (р) кпк21 А22(р )
• х (р ) =
/1 (р ) кпк21^1
(5)
де х(р) = [х1 (р)х2(р)]Т, diшx(р) = П2 + 1 . Структурна схема тако! системи представлена на рис.1. При заданш стpуктуpi основного та допомiжного об'eктiв piвняння (5) можна розглядати як систему лшшних piвнянь п-го порядку з п невiдомими, в зв'язку з чим на них можуть бути, в деякш мipi, розповсюджеш закони i методи алгебри [5].
2. НЕВИРОДЖЕНА ДОПОМ!ЖНА П1ДСИСТЕМА
У випaдкy, тали визнaчник A22(p) та дoplвнюe нулю, lcнye oбepнeнa мaтpиця
A221 (P ) =
B 2 2 (P ) A22(P) '
(б)
дe A22(p ) - визнaчниK' B22(p ) - пpиeднaнa мaтpиця для A22(P ) вlдпoвlднo• 3a aлгopитмoм Лeвepьe-Фaдeeвa
[15], який те мlcтить oпepaцlй дlлeннЯ' a тому те нaкoпичye пoмилoK' мoжнa знaйти визнaчник тa пpиeднaнy мaтpицю пlдcиcтeми' щo мaють нacтyпний пoлlнoмlaльний вигляд:
A22(P) = an/2 + an2 - 1P"2 - 1 + - + aG ' B22(P) = Bn2 - 1P"2 - 1 + Bn2 - 2P"2 - 2 + - + BG ' (7)
дe n2 - кlлькlcть змlнниx дoпoмlжнoï пlдcиcтeми.
Ocкlльки пlдcиcтeмa нe виpoджeнa' то paнги мaтpиць ïï влacниx взaeмoзв'язкlв дoplвнюють ïx poзмlpнocтl:
rangT22 = rangA22 = n2
A-1 (p ) =
A(p )
A22(p) kT2 (p)B22 (p) -B22 (p )k21 a11 (p )B22 (p ) + P 12(p )
A(p ) = A'(p ) + A"(p ) '
A A (1G)
A' (p ) = an(p P)A 22 (p ),A"(p ) = kTn (P )B22 (p ) k2X.
Haзвeмo дpyгy cклaдoвy xapaктepиcтичнoгo пoлlнoмy зaмкнyтoï cиcтeми cтpyктypним кoeфlцleнтoм пlдcилeн-ня. Ock^m oднe й тeж йoгo знaчeння Hoœna peaлlзyвaти пpи plзниx cпlввlднoшeнняx м1Ж вeктopaми нaлaгoджeння тa пpиeднaнoю мaтpицeю дoпoмlжнoï пlдcиcтeми' тo мaeмo мoжливlcть в зaкoнl кepyвaння зaмlнити пoxlднl peгyльoвaнoï змlннoï пoxlдними змlнниx дoпoмlжнoï пlдcиcтeми (див. Пpиклaд 1.1).
^emm пepшoï cклaдoвoï ( n2 + 1 ) пepeвищye CTem^
дpyгoï ( n2 ), тoмy oтpимyeмo
degA(p ) = deg(A' (p )) = n2 + 1 .
(11)
(8)
MaBHi виpaзи для пpиeднaнoï мaтpицl тa визнaчникa дoпoмlжнoï пlдcиcтeми (8), знaйдeмo poзв'язoк (5), cкopиcтaвшиcь мeтoдoм виключeння змiнниX' який пoлягae y виpaзl змlннoï ) чepeз X1 (p ) тa
eквlвaлeнтниx пepeтвopeнняx• Moжнa пoкaзaтИ' щo тoдl oбepнeнa мaтpиця зaмкнyтoï cиcтeми мae нacтyпний блoчний вигляд:
^и цьoмy poль вeктoplв нaлaгoджeння пoлягae в тoмy' щo вoни п1двищують cтeпlнь дpyгoï cклaдoвoï' дaючи змoгy poбити cиcтeмy cтlйкlшoЮ' ocK^rn ми зaдaeмo бlльшe кoeфlцleнтlв xapaктepиcтичнoгo пoлlнoмy [1б].
У виpaзl для oбepнeнoï мaтpицl (9) пpиcyтня мaтpиця P12(p) ' ям у випaдкy' кoли poзмlpнlcть дoпoмlжнoï
пlдcиcтeми cиcтeми бlльшa двoX' пoвиннa зaдoвoльняти yмoвl
A22(P)P12(P) = [A"(p)E22 - k21kT2(p)B22(P)] . (12)
Чиceльнo тa aнaлlтичнo мoжнa дoвecтИ' щo ця мaтpиця мae нacтyпнl влacтивocтl нeopтoгoнaльнoгo пpoeктopa:
kT2 (P )Pn(P ) = P 12(P ) k21 = G,
P12 (p ) P12 ^ P12 (p )
(13)
(14)
' (9)
a xapaктepиcтичний пoлlнoм зaмкнyтoí cиcтeми мlcтить дв1 cклaдoвl:
Якщo ж n2 = 2 влacтивocтl (13)-(14) збeplгaютьcЯ' a пpoeктop зaдaeтьcя нacтyпним виpaзoм:
P12(P) = (k\2 (P)k21E - k21kT2 (P)). (12a) ПoкaжeмO' щo мaтpиця (9) e дlйcнo oбepнeнoю• Пepeвipкy A (p)A-1 (p) = A-1 (p)A (p) = E пpoвeдeнo зa пpaвилaми мнoжeння блoчниx мaтpиць тa з викopи-cтaнням влacтивocтeй (б), (12), (13).
A (p)A-1 (p) =
A(p )
a11(P)A22(P) + kT2(p)B22(p)k21(p) a11(p)k[2(p)B22(p) - a11(p)k[2 (p)B22(p) - k^2(p)P12(p) A22(P)k21(P) - A22(P)B22(p)k21(p) k21 (p)kT2 (p)B22(P) + an (p)A22(p)B22(P) + A22(P)P 12(P)
= E.
З (9) можна одержати вирази для вихщно! величини та керування
*1 (Р) = (р)+л»^ ], (15)
«1 (р) = ЛЛ(р))[-/1 (Р)+аи(р)^1 ] • (16)
Виходячи з них, легко записати умову, яка накла-даеться на структурний коефщ1ент тдсилення, для забезпечення керованост1 системи (саме системи, а не взятого окремо об'екта)
Л"(р) Ф 0 .
(17)
При невиконанш ще! умови вихщна величина 1нвар1антна до завдання, а керування дор1внюе нулю. При виконанш умови керованост1, з анализу виразу для вихщно! величини, можна зробити висновок, що вплив зовшшнього збурення на вихщну величину буде залежати в1д визначника допом1жного об'екта 1 буде тим меншим, чим менший цей визначник.
При нескшченному збшьшенш структурного коефщ1-ента тдсилення керування не стае нескшченно великою величиною, тому що цей коеф1щент знаходиться як у чисельнику, так 1 у знаменнику виразу. При виконанш умови керованост1 керування буде знаходитися майже у протифаз1 до зовшшшх 1 майже у фаз1 до внутршшх збурень 1 коли визначник допом1жного об'екта зменшу-
еться, ця залежшсть стае б1льш точною.
Таким чином, коли забезпечена ст1йк1сть системи при нев1домих параметрах об'екта, керування автоматично частково компенсуе вплив збурень. Структурно-динам1ч-на сутшсть в1д'емного зворотнього зв'язку якраз 1 полягае в тому, що за рахунок керування збурення (як зовшшш так 1 внутршш) з основного об'екта частково переносяться 1 компенсуються змшними допом1жно'1' тдсистеми.
Для 1люстраци вищевказаних висновк1в використаемо нестойкий об'ект першого порядку ац(р) = ТцР + ац ,
ац < 0 («01 = 1, «1 = 1) [17] з обмеженням на
керування < 5 та завданням ^ = 1 .
На рис.2 представлен1 граф1ки перех1дних процес1в в система, коли умова керованост1 не виконуеться. В початковий момент часу t = 0 збурення вщсутш, керування ( и ) нульове 1 похибка регулювання (epst)
не компенсуеться. При t = 5 подняло збурення (/1( = 1 ), але керування залишаеться нульовим, а
похибка регулювання залежить в1д збурення. Рис.3 теж в1дпов1дае випадку некерованост1 системи, але 1люструе, що зм1на внутршнього параметра об'екта (а 1г при
t = 10 ) за в1дсутност1 зовн1шнього збурення не впливае на похибку.
а1
0 5 10 15 г -о
0 5 10 15 г -о
и1
0 5 10 15 г -о
еря
"11
0 5 10 15 г -о
Рисунок 2
а1
0 5 10 15 0 5 10 15
г -о г -о
и1.
0 5 10 15 г -о
еря
0 5 10 15 г -о
2
1
0
0
3
0
1
1
7
2
2
2
1
2
0
0
1
0
1
0
1
2
2
0 5 10 15 г -о
а1
и1
0 5 10 15 г -о
г—
5 10 г -о
15
еря
0 5 10 15 г -о
Рисунок 4
0 5 10 15 г -о
0 5 10 15 г -о
и1.
г
5 10 г -о
еря.
-0.5
г
0 5 10 15 г -о
Рисунок 5
На рис.4 та рис.5 представлен! граф1ки перех!дних процес!в в систем!, при цьому визначник допом!жно! п!дсистеми у першому випадку менший, н!ж у другому. В початковий момент часу t = 0 збурення в систем! в!дсутн! ! керування зм!нюеться, частково компенсуючи похибку. При t = 5 под!яло зовн!шне збурення ! керування зм!нилося майже у протифаз! до нього. В момент часу t = 10 в!дбулася зм!на параметру об'екта (а 1t) ! керування зм!нилося майже у фаз! до нього. У
випадку, коли визначник допом!жно! п!дсистеми зменшуеться (рис.4), зменшуеться ! вплив збурень, а зм!на керування майже точно в!дтворюе зм!ну збурень (у протифаз! для зовн!шнього ! у фаз! для внутр!шнього).
3. ВАРЮВАННЯ РОЗМ1РНОСТ1 ПРИ
НЕВИРОДЖЕНОСТ1 ДОПОМ1ЖНО1
П1ДСИСТЕМИ
Для нест!йкого об'екта першого порядку викорис-таемо допом!жну динам!чну п!дсистему теж першого порядку («02 = 1 ), к!льк!сть зм!нних яко! () будемо
вар!ювати, щоб просл!дкувати вплив розм!рност! на повед!нку системи.
Приклад 1.1. Розглянемо допом!жну динам!чну п!дсистему з одн!ею зм!нною («2 = 1). Спочатку розглянемо систему з вим!рюванням пох!дно! регульо-
вано! величини (¿21 (Р) = С21Р + ¿21 ) та без вим!рюван-ня пох!дно'! допом!жно'! зм!нно'! (ку2_(р) = ¿12). Оск!льки при пуску в!дбуваеться стрибок керування ¿12^21 , то, виходячи з умов обмеженост! керування
(|м 1 (t)| < 5 ), керованост! та ст!йкост!, п!дбираемо в!дпо-
в!дн! вектори налагодження. На рис.5 представлен! процеси для системи з! значенням структурного
коеф!ц!ента п!дсилення, що дор!внюе 5р + 50 . При цьому видно, що керування зм!нюеться майже у фаз! до внутр!шнього ! майже у протифаз! до зовн!шнього збурення, частково компенсуючи похибку, значення яко! залежить в!д параметр!в об'екта, збурень та структурного коеф!ц!ента п!дсилення ! визначаеться
а11 —
наступним виразом: ер8(^) =
= -0, 0625.
а11 + А" (™)
Якщо розглядати замкнуту систему без вим!рювання пох!дно! регульовано! величини (¿21 (р) = ¿21) та з вим!рюванням пох!дно! допом!жно! зм!нно! (¿12 (р) = С12Р + ¿12), то при пуску теж виникае стрибок керування «1 (0) = С12¿21 . 3 умови обмеження
на керування, з умов керованост! та ст!йкост!, п!дбираемо в!дпов!дн! вектори налагодження. На рис.6 представлен! процеси для системи з! значенням структурного коеф!ц!ента п!дсилення, що дор!внюе
2
0
1
1
0
0
2
4
3
5
0
2
0
5
4
3
2
-1
0
0
2
0
2
3
4
3
5
0
5р + 50. З рис.5 та рис.6 видно, що керування за пох1дними допом1жних змтних аналог1чне керуванню за пох1дними вих1дног величини (при однакових значеннях структурного коефщ1ента тдсилення). Вим^рювання похщних допом1жно1 тдсистеми проводиться точшше, шж похщних вихщно! величини, осюльки при вим1рю-ванш останшх звичайно треба враховувати 1 шуми. Тому в нижчеприведених законах керування будемо викори-стовувати саме похщш змшних допом^жно! тдсистеми.
Зб1льшимо розм^ршсть регулятора, щоб задавати бшьшу юльюсть коефЩенив характеристичного пол1-ному, таким чином, покращуючи стшюсть замкнуто'! системи.
Приклад 1.2. Допом1жна динамична тдсистема з дво-ма змшними («2 = 2). Розглядаемо керування з
вим1рюванням лише похщних допом1жних змшних. 1з умови обмеженост! керування, !з умов стшкост! та керованост! вибираемо вектори налагодження. На рис.7 представлен! графики перехщних процеив у систем! з1 структурним коефщ1ентом тдсилення, що дор^внюе
5р2 + 65р + 200 . По закшченню переходного процесу значення похибки буде визначатися наступним виразом:
й11 -
ер8(^) =
й11 +200
= -0, 0151 . Тобто досягнута краща
точшсть регулювання без порушення стшкост! 1 керо-ваност! за рахунок введення додатково! змшно!.
Зб1льшимо розм^ршсть регулятора, забезпечивши ще б1льшу стшюсть для замкнуто! системи.
Приклад 1.3. Допом1жна динамична тдсистема з трьома змшними («2 = 3). Як 1 в попередньому приклад! розглянемо керування з вим1рюванням лише по-х1дних допом1жно!' п1дсистеми. 1з умови обмеженост! керування, умов стшкосп та керованост! вибираемо вектори налагодження. На рис.8 представлен! графики пере-х1дних процеив у систем! з! структурним коефщентом
тдсилення 5р3 + 85р2 + 400р + 500 . По закшченню перех!дного процесу значення похибки буде визначатися
а и fl
наступним виразом: ер8(^) = - = -0, 006 .
йц + 500
Тобто досягнуто б^льша компенсация похибки, шж в попередшх пунктах.
Таким чином, для об'екта, що розглядаеться, немож-ливо побудувати керування, яке б забезпечило !нвар1антн1сть до внутр!шн!х та зовн!шн!х збурень, коли допом^жна багатовим!рна п!дсистема е невиродженою. Але, тдсилюючи сигнал зворотнього вщ'емного зв'язку, ми зменшуемо похибку регулювання. Як видно з приведених чисельних розрахунюв, д!я внутршшх та зовшшшх збурень в систем! призводить до !х частково! компенсацп за рахунок керування, при чому воно змшюеться майже у протифаз! до зовшшшх та у фаз! до внутршшх збурень. На рис.9 представлений график за-
2 1 0 -1 а1г 5 4 3 2 1 и1г 0 1 0.5 ер^
А
0 -1 2 2 3 4 5 0 0.5
1 \/- Г Г— Г-
V
3 0 5 10 15 г о 0 5 10 15 г о 0 5 10 15 г о 0 5 10 15 г о
Рисунок 6
0 5 10 15 г -о
а1
0 5 10 15 г -о
и1.
Г
V1 1/
Г
5 10 г -о
15
2
0
0
2
1
3
0
0 5 10 15 г -о
0 5 10 15 г -о
и
5 10 г -о
1 0.5
0 0.5
0 5 10 15
г -о
Рисунок 8
я £
— -
— I:
и я
г Ё
В и
I
я
Й о
т = П2, т < п
2
(8а)
1
Розм1ршсть допом1жно1 п1дсистеми, п2
Як ! у випадку невиродженост!, можна скористатися алгоритмом Леверье-Фадеева. Тод! визначник та приед-нана матриця допом!жного об'екта мають наступний пол!ном!альний вигляд:
А22(Р) = РП2 - " (а«2 - т"Рт + аП1 - т"- р
1
+ ап, - т") = Р«2 т А22(Р)>
Рисунок 9
лежност! максимального сталого значення структурного коеф!ц!ента п!дсилення в!д'емного зворотнього зв'язку в!д розм!рност! допом!жно! п!дсистеми. Видно, що зб!льшуючи розм!рн!сть допом!жно! п!дсистеми, маемо можлив!сть зб!льшувати структурний коеф!ц!ент п!дси-лення, не порушуючи умов обмеженост! керування та ст!йкост! та зменшуючи похибку регулювання.
Отже, головна задача полягае у забезпеченн! ст!йкост! системи, яка залежить в!д !! характеристичного полшо-му. 3б!льшення розм!рност! допом!жного об'екта дае можлив!сть задавати б!льшу к!льк!сть коеф!ц!ент!в пол!нома, цим самим роблячи систему б!льш ст!йкою. Але при цьому з'являються нов! обмеження ! тому росте складн!сть обчислення област! ст!йкост! для системи.
Осюльки вплив зовшшнього збурення на вих1дну величину тим менший, чим менший визначник допом!ж-но! п!дсистеми, а степ!нь першо! складово! характеристичного пол!ному, що м!стить множником А22(р)
перевищуе степ!нь друго!, то припускаемо, що спрямову-ючи визначник до нуля, можна досягти незалежност! вих!дно! величини в!д збурень та зменшити вплив першо! складово! на ст!йк!сть. Розглянемо випадок астатично! системи.
4. СТАТИЧНО ВИРОДЖЕНА ДОПОМ1ЖНА П1ДСИСТЕМА (АСТАТИЗМ)
У цьому випадку ранг матриц! власних статичних взаемозв'язк!в допом!жно! п!дсистеми менший за !! розм!рн!сть:
- т" - 1
В22(Р) = Р 2 " (Вп, - 1Рт + - 2Р
т" - 1
(7а)
+ ^ +
1) = Р
п2 - т" - 1
В22(Р),
а обернена матриця визначаеться таким виразом:
а-122 (Р ) =
Р А22(Р )
(6а)
Оск!льки визначник допом!жно! п!дсистеми не дор!внюе нулев!, можна скористатися виразами для знаходження обернено! матриц! замкнуто! системи, виразами для вих!дно! величини та керування, як! були отриман! для невироджено! допом!жно! п!дсистеми. В даному випадку вони дещо зм!нюються: зам!сть обернено! матриц!
допом!жно! п!дсистеми В22(Р) використовуемо В22(Р) ,
а зам!сть визначника А22(Р) -РА22(Р) .
Як ! у випадку невиродженост!, степ!нь першо! складово! характеристичного пол!ному ( т + 1 ) все ще перевищуе степ!нь друго! (т"), тобто при астатизм! маемо
аееА(Р) = аее(А'(Р)) = т" + 1 . (11а)
У вираз! для обернено! матриц! (9) е неортогональний проектор Р12(Р) , що задовольняе умовам (12)-(14). На в!дм!ну в!д випадку неповно! виродженост!, при астатизм! Р12 (Р) е проектором для матриц! власних статичних взаемозв'язк!в допом!жно! п!дсистеми
2
0
0
2
" 1
3
0
2
Pi2 (p )A22 = A22Pi2 (p ) = Q
Ü8)
Ùo дo виxiднo'í вeличини та кepyвaння, то пpи викoнaннi yмoви кepoвaнocтi, в статищ íx знaчeння 6удуть задаваттея нacтyиними виpaзaми:
Xi(~) = W, Mi(~) = -fi + aW .
С19)
TO6to oтpимaнo acтaтичнy cиcтeмy, пpичoмy кepyвaн-ня иo зaкiнчeнню пepexiднoгo иpoцecy змiнюeтьcя тoчнo y фaзi дo внyтpiшньoгo i y пpoтифaзi дo зoвнiшньoгo збypeння. Taкa змша кepyвaння вiдиoвiдae cтpyктypнo-динaмiчнiй cyraocri вiд'eмнoгo звopoтнoгo зв'язку в aвтoмaтичниx cиcтeмax, кoли збypeння ocнoвнoгo oб'eктa cиpиймaeтьcя дoиoмiжним [i3]. Пpoiлюcтpyeмo щ на иpиклaдi, иpoдoвжyючи poзглядaти той œe нecтiйкий oб'eкт иepшoгo пopядкy з oбмeжeнням на кepyвaння. Як i parnme, бyдeмo вapiювaти юльюсть змiнниx дoиoмiж-нoгo oб'eктa С n2 ), шрб иpocлiдкyвaти вилив poзмipнocтi
на иoвeдiнкy cиcтeми. Пoчнeмo з випад^, кoли íí poзмipнicть дopiвнюe двoм.
Приклад 2.1. Poзглянeмo дoпoмiжнy динaмiчнy иiдcиcтeмy з двoмa змшними С n2 = 2 ). Зaбeзпeчимo виpoджeнicть мaтpицi cтaтики дoиoмiжнoгo oб'eктa
С A 22 = Q). 1з yмoви oбмeжeнocтi кepyвaння, « yмoв cтiйкocтi та кepoвaнocтi вибиpaeмo вeктopи налашд-жeння. Ha p^.iQ иpeдcтaвлeнi гpaфiки иepexiдниx иpoцeciв y cиcтeмi зi cтpyктypним кoeфiцieнтoм тдот-
лeння Бp2 + 66p + 2QQ , кepyвaння якoю змiнюeтьcя мaйжe y фaзi дo внyтpiшнix i мaйжe y пpoтифaзi дo зoвнiшнix збypeнь, a в статищ ця зaлeжнicть стае тoчнoю.
Збiльшимo poзмipнicть дoпoмiжнoгo oб'eктa, щoб зaбeзиeчити кpaщy стшюсть зaмкнyтoí cиcтeми.
Приклад 2.2. Poзглянeмo дoиoмiжнy динaмiчнy тд-cиcтeмy з тpьoмa змiнними С n2 = 3). Зaбeзпeчимo
cmpyкmypнy вupoджeнicmь мaтpицi cтaтики дoиoмiж-нoгo oб'eктa, пpeдcтaвивши íí як зoвнiшнiй дoбyтoк вeктopiв, якi е иpaвими i лiвими влacними вeктopaми:
A22 = [i -i i][i i i]T. Bибepeмo вeктopи налашд-
жeння iз yмoви oбмeжeнocтi кepyвaння, iз yмoв cтiйкocтi та кepoвaнocтi. Ha pM.ii иpeдcтaвлeнi гpaфiки rnpex^-ни1 пpoцeciв y cиcтeмi зi cтpyктypним кoeфiцieнтoм
нaлaгoджeння бp2 + p + iQ. З ни1 виднo, щo зб^ь-шeння poзмipнocтi peгyлятopa, y вииaдкy acтaтичнoí cиcтeми, иpизвoдить дo иoкpaщaння якocтi пepexiдниx иpoцeciв за paxyнoк збiльшeння отт^сть
o S lo l5 t c
al
0 5 lo l5 t c
ul.
(V
f
5 l0 t c
l5
0.5
eps
"0.5
0 5 l0 l5 t c
Р^утк 10
О
l
О
z
О
l
з
О
0 5 lo l5 t -c
0 5 l0 l5 t -c
ul
5 4
з 2 l
t 0
_ -l
-z -з
-4 -5
5 l0 t -c
-0.5
Г í
0 5 l0 l5 t -c
Р^утк 1 1
z
О
eps
О
z
О
з
О
Таким чином, i у випадку астатично! системи неможливо побудувати регулювання, яке б забезпечило iHBapiaHTHicTb до внутр1шшх та зовшшшх збурень. Як i при повнiй невиpодженоcтi, дiя внутpiшнiх та зовнiшнiх збурень в cиcтемi призводить до !х частково! компенсацй за рахунок керування, причому воно змшюеться майже у пpотифaзi до зовнiшнiх та майже у фaзi до внутpiшнiх збурень, а в статищ - точно у фaзi до внутpiшнiх i у пpотифaзi до зовнiшнiх збурень.
Отже, головна задача полягае у забезпеченш cтiйкоcтi системи, яка залежить вщ i'i' характеристичного полiному. Характеристичний полшом замкнуто! системи у випадку об'екта керування першого порядку i при неповнш виpодженоcтi регулятора е повним. Збтьшення pозмipноcтi допомiжного об'екта дае можливicть задавати бiльшу кiлькicть коефщенив полiномa, цим самим роблячи систему бтьш cтiйкою. Але при цьому виникають новi обмеження на параметри як допомiжноi' пiдcиcтеми, так i об'екта, якi потpiбно враховувати при знаходженш вектоpiв налагодження.
5. ВИСНОВКИ
В стати розглянута задача компенсацй' дп неконтро-льованих збурень (як внутршшх, так i зовнiшнiх), яю впливають на поведiнку об'екта. Ця задача е важливою при побудовi pегулятоpiв, оcкiльки в бiльшоcтi технолопчних пpоцеciв дiють збурення саме такого типу. Як ршення, запропоновано включити у ланцюг в^'емного зворотного зв'язку бaгaтовимipну динaмiчну пiдcиcтему, яка мае задовольняти умовi так званого динaмiчного домiнувaння.
Виходячи зi структури розв'язку операторних piвнянь замкнуто'' системи, показано, що вплив збурень на вих^ну величину тим менший, чим менший визначник допомiжноi пiдcиcтеми. А тому, для об'екта, що розглядаеться, неможливо побудувати регулювання, яке б забезпечило iнвapiaнтнicть до внутршшх та зовшшшх збурень, коли бaгaтовимipнa допомiжнa тдсистема е невиродженою чи неповнicтю виродженою. Шдсилюючи сигнал вiд'eмного зворотного зв'язку, ми наближаемо вихiдну величину до завдання, але при цьому потpiбно забезпечити стшюсть замкнуто'' системи. Це здшсню-еться за допомогою спещально введеного поняття -структурного коефщента пiдcилення, який залежить вiд вектоpiв налагодження та приеднано! мaтpицi допо-мiжно! пiдcиcтеми. Показано, що при зб^ьшенш роз-мipноcтi допомiжно! тдсистеми максимальне стале значення цього коефщента зростае, цим самим зменшуючи похибку регулювання. При такому збть-шенш ми задаемо бiльшу кiлькicть коефщенив характеристичного полiному замкнуто! системи, тому стшюсть системи не погipшуeтьcя.
3i структури розв'язку операторних piвнянь замкнуто! системи аналиично отримано вираз впливу
внутршшх та зовнiшнiх збурень на керування. Показано, що !х дiя частково компенсуеться за рахунок керування, причому воно змшюеться майже у фaзi до внутршшх i майже у пpотифaзi до зовшшшх збурень (у випадку астатично! системи ця змша в статищ стае точною). В цьому i полягае так званий "буферний ефект", коли збурення з основного об'екта вщпра-цьовуються допомiжним. Оcкiльки одному значенню структурного коефщента пiдcилення вiдповiдaють piзнi набори вектоpiв налагодження та приеднано! мaтpицi допомiжно! системи, то показано, що в закош керування похщш регульовано! змiнно! можна зaмiнити похщними змiнних допомiжно! пiдcиcтеми.
Оcкiльки вплив збурень на вихщну величину тим менше, чим менший визначник допомiжноi пiдcиcтеми, то продовженням дано! роботи е розгляд випaдкiв динaмiчноi' виродженоси та повно! виpодженоcтi допомiжноi' тдсистеми.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. - М.: Сов. радио, 1970. - 600 с.
2. Гальперин И.И. Синтез систем автоматики. - М.-Л.: ТЭИ, 1960. -160 с.
3. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования регуляторов // Автоматика и телемеханика.-1939.- №1.-С. 49-65.
4. J.B.Pearson. Compensator design for dynamic optimization // Int. Journal of Control.- 1969.-V.9. №.2.- P.473-482.
5. Уланов Б.В. Стабилизация нестационарных динамических объектов с неизвестными параметрами без измерения производных регулируемой координаты // Автоматика и телемеханика.-1990.- №7.- С.65-71.
6. Антончик B.C. О построении динамического регулятора для линейной управляемой системы//Дифференциальные уравнения. - 1988.- №6.- С.923-929.
7. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. - К.: Гостехиздат, 1963.- 256 с.
8. Бойчук A.M. Была ли ошибка в работе Щипанова? // Автоматика. - 1986.- №3.- С.81-92.
9. Бойчук A.M. Использование многомерных динамических систем в цепи отрицательной обратной связи // Прац 5-оТ УкрашськоТ конференцп з автоматичного управлшня, ч.3.-К.: 1998.- С.45-49.
10. Бойчук A.M. Структурное решение проблемы компенсации возмущений в автоматических системах // Вестник ХГПУ, вып.70.- 1999.- С.59-64.
11. Бойчук A.M., Верхотурова C.Ä. Численное исследование компенсации возмущений в автоматических системах, синтезированных на основе принципов динамичного доминирования и инвариантности // Вестник ХГПУ, вып. 70.-1999.-С. 65-70.
12. Брикун Н.А. Синтез робастного управлшня лшшним нестацюнарним об'ектом з використанням багатовим1рного динам1чного зворотного зв'язку (лшшна та нелшшш форми) // Вестник ХГПУ, вып. 71.- 1999. - С. 169-173.
13. Бойчук A.M. Структурный эффект отрицательной обратной связи и современные методы синтеза автоматических систем // Проблемы управления и информатики.-1997.-№3.- С.4-9.
14. Бойчук A.M. Два подхода к структурному синтезу систем управления: динамическая фильтрация и автоматическая компенсация // Проблемы управления и информатики. -1997.- №3.- С.4-9.
15. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. - М.: Мир, 1988.- 208 с.
16. Васильев В.И., Шаймарданов Ф.А. Синтез многосвязных автоматических систем методом порядкового отображения. - М.: Наука, 1983.- 126 с.
17. Аеменков M.H. Конструирование области устойчивости регулируемых линейных объектов с неограниченным управлением // Вестник МГТУ.- 2000. - №1.- С.44-54.
