CC BY
94
Структурная иерархия и механические свойства горных пород. Часть I. Структурная иерархия и вязкость
Чэнчжи Ци1,2, Минян Ван3, Циху Цянь3, Цзяньцзе Чень2
1 Пекинский архитектурно-строительный институт, Пекин, 100044, КНР
2 Московский государственный университет, Москва, 119992, Россия
3 Китайская инженерная академия, Пекин, 100859, КНР
Горные массивы имеют сложную структурную иерархию, которая влияет на физико-механические свойства горных пород. В данной работе рассмотрено соотношение между вязкостью и структурной иерархией. Результаты исследования показывают, что различным структурным уровням соответствуют различные вязкость и скорость деформации, а макроскопическому структурному уровню соответствуют высокая вязкость и низкая скорость деформаций, а мезо- и микроскопический структурные уровни характеризуются низкой вязкостью и высокой скоростью деформирования. Обычно с увеличением внешних воздействий растет и скорость деформаций, процессы деформирования и разрушения постепенно переходят на мезо- и микроуровни, вязкость постепенно уменьшается. В области высокой скорости деформаций вязкость обратно пропорциональна скорости деформаций. На основе анализа вязкости на разных структурных уровнях авторами статьи предложена асимптотическая промежуточная аппроксимация вязкости на разных уровнях. Формула аппроксимации в предельных случаях распространяется на континентальный структурный уровень и микроуровень, что указывает на ее адекватность при описании вязкости на разных структурных уровнях.
Structural hierarchy and mechanical properties of rocks.
Part I. Structural hierarchy and viscosity
Qi Chengzhi1,2, Wang Mingyang3, Qian Qihu3, and Chen Jianjie2
1 Beijing Institute of Civil Engineering and Architecture, Beijing, 100044, P.R. China
2 Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992, Russia
3 Chinese Engineering Academy, Beijing, 100859, P.R. China
Rock masses have a complex structural hierarchy that strongly affects their physical and mechanical properties. The present paper studies the relationship between viscosity and the structural hierarchy. The study shows that different structural levels correspond to different viscosities and characteristic strain rates. High viscosity and low strain rate correspond to the macroscopic structural level, while the meso- and microlevels are characterized by low viscosity and high strain rate. Generally, with an increase of external actions the strain rate grows as well, deformation and fracture gradually cover the meso- and microlevels, and viscosity smoothly decreases. At a high strain rate viscosity is inversely proportional to strain rate. Based on the analysis of viscosity at different structural levels, we propose an asymptotic intermediate approximation of viscosity at different levels. In the limiting cases, the approximation formula becomes valid for the continental structural level and microlevel. This suggests that the approximation is adequate for the description of viscosity at different structural levels.
1. Введение
Благодаря многочисленным экспериментальным и теоретическим исследованиям концепция о блочно-
иерархической структуре земной коры стала общепринятой. В отличие от среды без структурной иерархии, геосреда с блочно-иерархической структурой имеет до-
полнительные степени свободы, обусловленные возможностью подвижки на разных иерархических уровнях. Благодаря такой подвижности под внешними воздействиями геосреда постоянно деформируется во времени. Деформационные процессы в геосреде происходят на всех уровнях иерархии блоков, начиная с молеку-
© Ци Чэнчжи, Ван Минян, Цянь Циху, Чень Цзяньцзе, 2006
лярного и заканчивая уровнем крупнейших геологических блоков [1].
В последние двадцать лет быстро развивается механика неоднородной среды. Замечательным примером является создание физической мезомеханики академиком В.Е. Паниным и его научной школой [2, 3]. Физическая мезомеханика рассматривает твердое тело как многоуровневую систему. В геомеханике в исследовании деформирования и разрушения горных пород с учетом структурной иерархии также достигнуты большие успехи [4-6]. Горные породы имеют сложную иерархическую структуру. Для адекватного описания деформирования и разрушения горных пород необходимо уточнить связь между их физико-механическими свойствами и структурной иерархией.
Структурная иерархия горных пород определяет иерархию процессов деформации и разрушения. Обычно медленные процессы происходят на иерархических уровнях с большими размерами геоблоков. Примерами медленных процессов служат накопление энергии деформаций и возникновение землетрясений путем освобождения энергии на геотектонических уровнях.
Другим примером медленных процессов являются диффузионные волны напряжения, тектонические уединенные волны с различными периодами, ротационные волны, сейсмичность, вызванная добычей нефти, газа, и резервуарами [7].
Быстрые процессы обычно связаны с мезо- или микроскопическими уровнями структур. Типичным примером являются деформация и разрушение материалов при ударном нагружении.
На уровнях между тектоническим и мезо- и микроскопическими уровнями происходят промежуточные процессы, которые встречаются чаще в инженерной практике. Такие процессы включают в себя резонанс, вызванный взрывами, два типа Р-волн, резонанс длинной и короткой волн и т.д. [7].
Временные процессы деформирования можно рассматривать в рамках реологии, которая описывает изменение механических характеристик и напряженно-деформированного состояния материалов при длительном воздействии нагрузки [8, 9]. Вязкость связана с реологическим процессом в геосреде. Изменение напряженно-деформированного состояния традиционно описывается с помощью вязкости. В случае твердого тела классическое определение вязкости неприемлемо. В случае земной коры вязкое течение есть, скорее, совокупное свойство длинного ряда современных процессов, а эффективная вязкость блочного горного массива — некоторая условная величина, имеющая размерность Па • с, удобная для описания степени изменения скорости деформационных процессов [10].
В инженерной практике вязкость рассматривается как константа материалов. В имеющейся научной литературе вязкости геосред имеют большой разброс, отли-
чаются даже на несколько порядков, при одинаковых скоростях деформации [10]. Это, по-видимому, связано с различием масштабов, на которых происходят процессы деформации и разрушения. В тектоническом масштабе деформирование и релаксация напряжений происходят очень медленно, и вязкости очень большие по величине, а на мезо- и микроуровнях вязкости очень низкие. Например, при описании распространения ударных волн, когда давление превышает 100...200 ГПа, гидродинамическое приближение является рациональным. При давлении в диапазоне 1...10 ГПа вязкость играет решающую роль в формировании профилей ударных волн.
Горные породы имеют структурную иерархию. Такая структурная иерархия играет решающую роль для определения физико-механических характеристик. Как одна из важных характеристик вязкость тесно связана со структурной иерархией. Хотя материалы имеют многоуровневую структуру, но с точки зрения практического применения такие структуры можно условно разделить на три уровня: макро, мезо и микро. Накопление данных о вязкости позволяет рассмотреть задачу о связи между вязкостью и структурными уровнями материалов.
Обычно вязкость п определяется по формуле [11]:
П = Ох, (1)
где G — модуль сдвига; т — время релаксации.
На разных структурных уровнях материалы имеют различные время релаксации и модули упругости. В имеющейся литературе, например в [12], вязкость исследована на отдельных уровнях. Авторам настоящей работы не известны исследования, которые органически связывают вязкость на разных структурных уровнях. Поэтому данная работа посвящена исследованию вязкости геосреды на разных структурных уровнях, кроме того, сделана попытка соединить вязкости на разных структурных уровнях
2. Вязкость на макроуровне
Вначале рассмотрим вязкость на тектоническом уровне. На этом уровне происходит накопление энергии деформации в земной коре и освобождение этой энергии путем возникновения землетрясений различных магнитуд. Некоторые сейсмологические наблюдения [13] показали, что после сильного сейсмического события с М > 7 первоначальная сейсмическая обстановка, имевшая место до этого события, восстанавливается примерно через 84 дня в среднем, но полностью нормализуется лишь через несколько лет. Если выберем следующие значения параметров в (1):
т1 = 84 дня = 7 -106 с, т2 = 10 лет = 3.1 •Ю8 с,
G ~ 45 ГПа,
то получим значение вязкости п ~ 1017... 1019 Па • с.
Также существует взаимосвязь между вязкостью и структурными уровнями. Согласно [11] в трапециевидной области 5°х5° число активных в кайнозое разломов N и вязкость имеют нелинейную зависимость (рис. 1, а).
Статистический анализ показал, что плотность п активных разломов на площади 1 км2 коррелирует с размером разломов L [13]:
0.42
г2.2
... (2)
п Ь
Не теряя общности, (2) можно переписать следующим образом:
с d
Ь=пв ’п=•
(3)
На основе вышеизложенного можно прийти к выводу, что вязкость геоблоков уменьшается с уменьшением их размеров.
Соотношения (2), (3) отражают тот факт, что при формировании сетки разломов, т.е. при мега- и макроразрушении горных пород в естественных условиях независимо от степени тектонической активности и тектонической истории развития проявляются некоторые общие закономерности дробления твердых тел. При сравнении фактических данных, полученных в геологических исследованиях, с результатами экспериментов для максвелловского тела можно видеть, что именно при разрушении тела Максвелла характер поведения кривой идентичен полученному с помощью анализа количественного распределения разломов разных длин в
Рис. 1. Соотношение плотности активных разломов (а), градиента скорости вертикальных неотектонических движений (б) с вязкостью литосферы [14]
областях с различными тектонической историей развития и степенью активности. Поэтому можно прийти к выводу, что при формировании сетки разломов земная кора ведет себя как тело Максвелла.
Плотность активных разломов, характеризующая процесс разломообразования в литосфере, тесно связана с градиентом скорости вертикальных неотектонических движений ^гаёК|, который рассматривается как относительный показатель скорости деформации среды. Такая связь показана на рис. 2, из которого (с учетом рис. 1, б) видно, что области с большей плотностью разломов имеют более высокие значения ^гаёК| и меньшую вязкость.
Необходимо отметить, что величина ^гаёК| есть не что иное, как скорость деформации. Это видно из следующих выкладок.
Допустим, что w обозначает ненулевое вертикальное перемещение вдоль оси z, а вдоль других двух направлений х,у перемещения равны нулю: и = 0, V = 0. Тогда градиент w в направлении х определяется как:
\gradV\--
Э ^Эw ^ Э г Эw ^
Эх ) Эt 1Эх)
дw — + -Эх Эz
\ ЭУ xz
) Эt
(4)
Поэтому с увеличением скорости сдвиговой дефор мации вязкость уменьшается.
Если результаты на рис. 1, б аппроксимировать прямой линией, то получим:
Эу
1п п = Ь -а ^га^| = Ь -а Далее имеем:
П = По ехр(-а |у х21)
Эt
= Ь -а|у
П
П
(5)
(6)
ехр(а|у xz |) 1 + а|у хг\”
где Ь, а — константы.
Из рис. 2 с учетом (3) получим следующие соотно шения:
Ь
(т < 1),
(7)
Рис. 2. Соотношение плотности активных разломов градиента скорости вертикальных неотектонических движений [14]
L =
ЛІ/ §
у1'
(8)
которые описывают связь между структурной иерархией и скоростью деформаций.
На макроуровне лабораторного образца вязкость материалов п определяется методом ударного нагружения. Верхний предел равен 105...106 Па-с, а нижний предел П определяется по следующей формуле [14]:
П = р 0и^1, (9)
где р0 — начальная плотность материала; D — скорость ударной волны; и — массовая скорость частиц во фронте ударной волны; X — коэффициент в законе ударной сжимаемости. Ударный эксперимент на образцах из КаС1 показал, что в зависимости от скорости вязкость изменяется в пределе п ~ 103...104 Па-с [15].
3. Вязкость на микроуровне
Микроуровень структуры имеет масштаб порядка атомных размеров. На этом уровне имеются точечные и линейные дефекты. Вязкость определяется динамическим торможением дислокаций, значение которого можно выразить [16]:
В
Ь2 Nm
(10)
где В — коэффициент демпфирующей силы дислокаций; Ь — модуль вектора Бюргерса; Nm — плотность подвижных дислокаций; а — константа, а < 1.
Обычно на этом уровне вязкость изменяется в диапазоне 30...50 Па-с.
При ударном нагружении, согласно динамике дислокаций, вязкость определяется следующим выражением
[17]:
П ='^МЬД^;^)2 ’ (11)
где ^ — предельная скорость дислокаций; Н — константа.
Из (11) видно, что П ^ V£ при £ —— го
4. Вязкость на мезоуровне
Известно, что непосредственный переход от динамики дислокаций к макропластичности невозможен из-за существования коллективного взаимодействия дислокационных ансамблей и вовлечения крупномасштабных носителей деформации в пластическое деформирование. Поэтому необходимо исследовать поведение материалов на мезоуровне.
Мезоуровень служит мостом между макро- и микроуровнями. Поведение материалов на мезоуровне определяет поведение материалов на макроуровне. При внешних нагружениях в процессе деформирования и разрушения происходит обмен энергией между макро-
и мезоуровнями и возникают новые структуры. Горные породы имеют многоуровневую структуру. Прочность прослойки между зернами кристаллов ниже, чем прочность зерен. При сильном динамическом нагружении горные породы проявляют гидродинамическое поведение на мезомасштабном уровне. Об этот свидетельствуют максимальная амплитуда напряжений, время нарастания напряжений до максимума, время прохождения ударной волны. При этом взаимодействие между частицами необходимо описывать с помощью статистической физики.
Допустим, что в момент t г-я частица находится в положении R г-. Обозначим функцию распределения системы из N частиц в момент t через ^(Я1, Я2,КN)• Тогда вероятность обнаружения определенной частицы в данной точке описывается следующим уравнением
[18]:
д¥ = _у дt
д
(12)
Для частиц коллоидной степени дисперсности уравнение (12) можно переписать следующим образом [19]:
д^ д ( д
— = -----1 В---_ ™
дt дR I дR
(13)
где V — относительная скорость частиц; D — коэффициент диффузии, D = <;, где ^ = 2пап, а — радиус
частицы.
Локальное среднее конфигурационное напряжение, вызванное заданным полем течения V, определяется как
^ар (г) = }^ар (Г, КЖК)Ж. (14)
Пространственное осреднение локального напряжения по объему V, который содержит N частиц, определяет пространственно-независимые компоненты напряжения:
(г)) = -1 (гМг
V-
1
V
| аар (г^г + и °ар(r)dr
N V
(15)
где V1 — объем, занятый частицами, а V2 — объем, занятый средой между частицами.
Эффективная вязкость определяется как
(аар)
ПаР = ./.0 V (16)
0 1 Ґ
ГДе еар= у і Єав (r)dr —
макроскопическая средняя
скорость деформаций. Таким образом, имеем
фаар) 1
П=П2(1 _Ф) + -
2е;
а^Р,
(17)
ав
где Л=Лар; П2 = ап(Ф); а—коэффициент; ф — объемная доля частиц, а
(°ар) 1 = V }а«р (r)dr
V
(18)
В двухмерном случае поле скоростей частиц задано следующим образом:
V = у- zj. (19)
Подставляя (19) в (15), получим:
d а . da
Л—f- + YZ^- = 0
dy dy
которое имеет следующее решение:
аyZ(r) = A + bexpl -
Yqyz -т где A, b — константы.
Подставляя (21) в (18), имеем:
(а*) 1 = A + BI
(20)
(21)
Vi Vi
(
IT
dr =
= A + B
= A + B exp
! - 2^ +... 5n
2a2 Yq
5n
+...
где A, B — константы.
Из (17) с учетом (22) получим:
AB Л(У) =— +—exp У У
- CiTn(t)
(22)
(23)
где С — константа.
Это уравнение является нелинейным. Если положим ПУ = X, то из (23) следует:
X = A + B exp
-
kT
(24)
Для фиксированной температуры T решение (22) принимает вид щ = X = const, т.е.
,.. const
n(Y) =^—, (25)
У
т.е. вязкость обратно пропорциональна скорости деформации.
Тогда возникает вопрос. Какой вид движения частиц вызвал уменьшение вязкости с увеличением скорости деформации? Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать мезоскопическое движение частиц.
5. Структурные аспекты уменьшения вязкости с ростом скорости деформаций на мезоуровне
Ударные эксперименты показали, что при ударном нагружении зерна среды колебаются и поворачиваются. Причем, чем выше скорость нагружения, тем выше скорость колебаний и вращаются зерна. Согласно [12]
вязкость, вызванная колебаниями, определяется формулой:
GT
П =
ln 8
(26)
где 8 — логарифмический декремент затухания; Т — период колебаний; G — модуль сдвига.
С другой стороны, как показано в [12], если приравнять энергию вращения сферического зерна:
Ег = 0.5/ю2 = 0.05ю^ 2 (27)
(где J — момент инерции зерна; ю — угловая скорость вращения; d — средний диаметр зерна) и запасенную энергию
Е^, = ст2/2Ер = (Ст0 +ПУ)2/2Ер (где Е — модуль упругости; ст0 — предел текучести), получим вязкость, обусловленную поворотом:
(O.LEp)0'5 rod -а0 У
П =
(28)
Сравнивая (28), (26) с (25), мы видим, что при высокой скорости деформаций поворот играет главную роль. Ниже рассмотрим механизм возникновения ротационного движения и структурные аспекты уменьшения вязкости с ростом скорости деформаций.
С точки зрения физической мезомеханики [2] элементарными носителями пластического течения на мезоуровне являются трехмерные структурные элементы (зерна, конгломераты зерен, субзерна, ячейки дислокационной субструктуры, деформационные домены и т.п.), движение которых характеризуется схемой «сдвиг + поворот». Основные закономерности пластического течения на мезоуровне связаны с образованием диссипативных мезоструктур и фрагментацией деформируемого твердого тела. Разрушение есть завершающая стадия фрагментации нагруженного твердого тела. Эта картина справедлива и при динамическом нагружении.
В отличие от квазистатики, где под мезочастицами понимаются конкретные дефекты структуры материала (скопления дислокаций, дисклинаций; дефекты упаковки; вихревые структуры и другие структурные образования), при ударно-волновом деформировании материалов понятие мезочастицы имеет более общий смысл [20]. В последнем случае мезочастицы — это полевые пространственные структуры, отличительной особенностью которых является наличие скоррелированного по скорости движения точек среды. Время жизни определяется продолжительностью процесса динамического деформирования. Динамически деформированная среда характеризуется разбросом мезочастиц по скоростям, а флуктуации скорости мезочастиц могут отбирать существенную часть импульса и энергии, передаваемых нагружаемой среде. Экспериментально установлено, что в микросекундном диапазоне длительностей нагру-
Рис. 3. Конфигурация фронтов ударных волн [22]
жения только 30...35 %, а не 90 % работы пластического деформирования преобразуется в тепло, т.е. идет на раскачку тепловых флуктуаций на атомном уровне. В то время как остальная часть работы расходуется на создание мезоструктуры. Механизм структурообразования связан с крупномасштабными флуктуациями скорости среды на мезоуровне, количественной характеристикой которых служит дисперсия скорости мезочастиц.
Экспериментальные данные убедительно показали, что вихревые турбулентные структуры за фронтом ударной волны в твердых телах и газах образуются достаточно часто [21]. Мещеряков Ю.И. с коллегами детально изучили деформационные процессы в ударно-нагруженных материалах [22-24]. Оказывается, что в поликрис-таллических телах фронт ударной волны может становиться нерегулярным из-за зависимости скорости волны от кристаллографической ориентации. В результате анизотропии скоростей форма волны становится нерегулярной, и эта нерегулярность увеличивается по мере распространения волны в среде (рис. 3). Нерегулярность изменяет напряженное состояние на фронте ударной волны, и, следовательно, влияет на пластические деформации и остаточные структуры.
Численным моделированием Ю. Хори и К. Яно удалось получить картины турбулентного движения частиц сред за фронтом ударной волны [25] (рис. 4). На рис. 5 представлен статистический анализ флуктуации поля скоростей при скорости удара У0 = 1000 м/с. На рисунке слева изображены квадратный корень дисперсии флуктуации скоростей и средняя поперечная скорость. Справа проиллюстрирована функция распределения вероятности поперечной скорости. Из рис. 5 видно, что флуктуация скоростей достаточно сильная.
Пластическое течение при макроскопическом рассмотрении может быть одномерным, но на мезоуровне оно является трехмерным. На мезоуровне в пластическом течении в среде существуют трансляционная и ротационная моды движения материалов. Микроструктур-ные исследования показали, что в зависимости от отношения ширины распределения скорости частиц к сред-
V0 = 150 м/с
10 мкм І—I
V0 = 300 м/с V0 = 1 км/с
V0 = 150 м/с
10 мкм і—і
V0 = 300 м/с V0 = 1 км/с
Рис. 4. Численное моделирование поля продольной (а) и поперечной (б) скоростей [25]
ней скорости Д V V могут существовать трансляционный или ротационный механизмы деформирования и разрушения [24]. Когда распределение частиц по скоростям имеет дельтаобразную форму, осуществляется сдвиговой механизм деформирования и разрушения. Когда ДV V^ 1, осуществляется разрывно-сдвиговой механизм деформирования и разрушения. Промежуточ-
ЛУ5и, Ух 0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
Чо = 1 км/с - ЛVy ~ АУХ ■ V,
ПАл ,г
ч \ ^ /1 У / І
п/Ы
0.6
0.4
0.2
0 50 100 у, мкм
0.0
1 д120 мкм
/ ,\
1 \ \ 100 IV м 1КМ
-0.5
0.0
0.5 Ух/У0
Рис. 5. Статистический анализ флуктуации поля скоростей при скорости удара У0 = 1000 м/с [25]
Рис. 6. Зависимость Ап от размера зерен d [26]
Рис. 7. Увеличенный вид поля скоростей (14 мкс после начала удара) [27]
ное положение занимает ротационный тип динамического деформирования и разрушения.
Интересные результаты экспериментов представлены в [26]. При изучении влияния структуры на упругопластические процессы в металлах выявлено, что число частиц Дп, которые изменили свои кристаллические ориентации, зависит от отношения размера зерен d к пространственному размеру фронта ударного нагружения ДА.
В случае, когда d > ДА, скольжение прекращается, а механизм двойникования доминирует.
При d < ДА ротационный механизм пластического течения становится решающим механизмом релаксации импульсного напряжения.
Выводы четко проиллюстрированы на рис. 6, из которого видно, что, когда d < ДА (здесь ДА ^ 40 мкм), число частиц, которые изменили свои кристаллические ориентации, быстро растет. Это означает, что ротационный механизм пластического течения играет главную роль в пластическом течении.
Численным моделированием успешно воспроизведены вихревые турбулентные структуры при ударном нагружении [27]. На рис. 7 показан отдельный вихрь поля скоростей в увеличенном масштабе в момент времени 14 мкс после начала удара.
На рис. 8 показано вихревое поле скоростей в образце на уровне зерен при разных скоростях удара [25].
Видно, что размеры вихрей уменьшаются с увеличением скоростей удара.
На рис. 9 показано вихревое поле скоростей в образце при случайном распределении прочности в разные моменты времени [28]. Видно, что на последних стадиях образец разбит на отдельные блоки, которые движутся в разных направлениях.
Таким образом, ротационная мода движения является широко распространенной в динамическом движении среды.
По сравнению с металлами горные породы имеют меньшую степень пластичности и меньшие скорости деформаций, при которых достигается верхний предел динамической прочности (обычно меньше 105 с-1). С учетом существования иерархии внутренних структур горных пород можно найти такой структурный уровень, на котором условие d < ДА, при котором ротационный механизм пластического течения играет главную роль в пластическом течении, выполняется.
Как показано в работе [2], в общем случае на отдельно взятом структурном уровне закон сохранения момента количества движения не выполняется. Его выполнение для заданных граничных условий может реализоваться для всей совокупности структурных уровней деформации среды. Поэтому закон сохранения момента количества движения для всех видов потоков дефектов в гетерогенной среде может быть записан в виде:
Рис. 8. Вихревое поле скоростей в образце на уровне зерен при разных скоростях удара (размеры вихрей уменьшаются с увеличением скорости удара): V0 = 150 (а); 300 (б); 1000 м/с (в) [25]
Рис. 9. Вихревое иоле скоростей в образце при случайном распределении прочности [28]
S rot 1. = 0. (29)
i =1
Если здесь рассматривать три уровня — микро, мезо и макро, то при плоском ударном нагружении на макроуровне можно считать, что здесь закон сохранения момента количества движения выполняется. Если считать, что микроуровень не влияет на мезоуровень, т.е. пренебречь обменом энергией между мезо- и микроуровнями, то получается, что на мезоуровне закон сохранения момента количества движения приблизительно выполняется, т.е.
r0t 1 meso = (30)
Если предположить, что частицы горных пород одинаковы по размеру и форме, тогда половина частиц поворачивается в одну сторону, другая — в противоположном направлении. В этом случае идеальный вариант — это вариант, когда две соседние частицы вращаются в противоположных направлениях и формируют сопряженные пары. Это положение похоже на случай сверхпроводимости в физике, когда сформировавшиеся куперовские пары электронов вращаются в противоположных направлениях. В этом случае относительное движение между частицами значительно меньше и макровязкость тоже значительно ниже.
При плотной упаковке частиц формирование сопряженных пар затруднено. Но горные породы не являются идеальными кристаллами. В них существуют многочисленные точечные, планарные и объемные дефекты, которые представляют собой пространство для формирования сопряженных пар. Конечно, не все частицы объединены в сопряженные пары, но если доля таких пар увеличивается при увеличении скорости деформаций, то вязкость уменьшается с ростом скорости деформаций. Как показано выше, количество частиц, испытывающих поворот, увеличивается с ростом скорости деформаций, следовательно, количество частиц, которые формируют сопряженные пары, тоже растет, поэтому макровязкость уменьшается с ростом скорости дефор-
маций. Таким образом, причина уменьшения вязкости с ростом скорости деформаций состоит в активизации внутренних степеней свободы и скоррелированном движении мезочастиц.
Предложенное авторами статьи объяснение уменьшения вязкости с ростом скорости деформаций вполне обосновано с точки зрения физики и механики. Но необходимо проведение дальнейших теоретических и экспериментальных исследований для уточнения деталей такого механизма и создания математической модели.
6. Асимптотическая промежуточная аппроксимация вязкости на разных уровнях
В этом разделе авторами сделана попытка построить асимптотическую промежуточную аппроксимацию вязкости на разных уровнях.
Из формулы (1) видно, что вязкость материалов зависит от времени релаксации. Релаксация среды включает в себя, кроме относительного скольжения между структурными элементами, еще и перестройку структурных элементов, разрыв и скольжение внутри структурных элементов и сопровождается дилатансией. В местах разрушения в среде возникает концентрация напряжений, которые релаксируют со временем. В процессе дила-тансии структурные дефекты в среде возникают примерно однородно. Скорость развития дефектов, например дислокаций, микро- и макротрещин, ограничена и зависит от величины приложенного внешнего напряжения, релаксации напряжений и пропорциональна скорости релаксации.
С феноменологической точки зрения можно предположить, что скорость развития дефектов V является функцией скорости деформаций 8 и увеличивается с ее ростом:
V = V (8). (31)
Разложим (31) в ряд Тейлора, получим:
V (8) = V 0(0) + а8 +..., (32)
где V 0 (0) можно понимать как скорость роста дефектов при фиксированной величине деформаций; а — коэффициент, а > 0.
Если для структурного уровня с характерным размером L положить, что время релаксации Т пропорционально времени распределения дефектов в среде, то, оставив только линейный член (32) , получим выражение для времени релаксации:
Т = к——, (33)
V 0 +ае где к — константа.
Хотя формула (33) получена феноменологически, но натурные наблюдения и экспериментальные исследования полностью ее подтверждают.
Если мы отождествляем закон деформирования и разрушения геосреды и закон деформирования и разру-
Рис. 10. Зависимость сейсмического цикла от энергии землетрясений [1]
шения тела Максвелла, то при анализе возникновения землетрясений мы можем считать период повторения землетрясений пропорциональным времени релаксации горных пород. По статистике академика М.А. Садовского зависимость сейсмического цикла Т от энергии землетрясений Е имеет следующий вид [1] (рис. 10):
^ Т(Е) = 3^ Е - 3.5. (34)
С учетом того, что энергия землетрясений Е пропорциональна объему очага землетрясений V ~ 1}, где L — размер очага землетрясений, имеем следующее соотношение:
т ~ ь ~ Е13. (35)
Интересно отметить, что согласно результатам Кук-сенко и др. [29] для образцов размером порядка от см
Рис. 11. Влияние размеров пород на длительность их разрушения [29]
Рис. 12. Зависимость скорости роста трещины от ее длины для норита [32]
до км время до разрушения tl пропорционально размеру образцов I (рис. 11):
I.
(36)
Такие отношения отражают внутренние связи между структурными уровнями и временны м масштабом.
Так как в земной коре существуют системы разломов глобального масштаба, которые имеют длину порядка нескольких тысяч километров и пронизывают литосферу на всю ее глубину, авторы работы [30] предположили возможность возникновения суперземлетрясения магнитуды М = 10.5 с циклом примерно 10 тысяч лет путем динамического разрыва этих систем разломов.
Таким образом, вязкость среды определяется следующей формулой
ь
П = G т = Gк-
V 0 +ае
(37)
которая совпадает с (6) при низких скоростях деформаций. При 8 —— ^
П = Gк-
1
- —
. ? 8
(38)
что соответствует (11) и (25).
Из-за многообразия материалов принятие линейной зависимости скорости развития дефектов V от скорости деформаций недостаточно для описания сложного динамического поведения среды.
Экспериментами подтверждено, что скорость роста трещин ограничена сверху и равна 0.2...0.5 скорости волны сдвига [31]. Зависимость скорости роста трещин от приложенного напряжения и длины трещин является нелинейной (рис. 12). Это означает, что зависимость скорости развития дефектов V от скорости деформаций должна быть нелинейной.
В качестве аппроксимации примем следующее выражение:
V = V 0 + Ь
1+ А8 л
V У
где Ь, А, п — константы.
В работе [31] предложена модель релаксации напряжений типа Максвелла. В ее основу положено утверждение о том, что скорость релаксации напряжений в неоднородности пропорциональна величине напряжений и обратно пропорциональна размеру неоднородности. Таким образом, размер блоков разрушенных пород обратно пропорционален скорости деформации, т.е. Ь гс у8. С учетом того, что при 8 — 0 размер блоков Ь ограничен, примем следующее соотношение:
Ь (40)
8 + и
где й — малая постоянная.
Таким образом, вязкость определяется формулой:
1 1
V0 + Ь £ёя/(1+ А8п) 8 + и 1
А В + С8
+
(41)
8 + и Vо + ^8” 8 + и где А, В, С, п — константы.
При средних и высоких скоростях, с учетом того, что константы В, й малы по величине, (41) можно записать как
А С8 п-1
П =— +-----------------
8 v0 + Ь18 ”
(42)
Из (42) видно, что в случае низких скоростей деформаций первый член в правой части (42) доминирует, а второй член стремится к нулю. При высоких скоростях деформаций первый член в правой части (42) стремится к нулю, а второй член играет главную роль.
Известно, что деформирование и разрушение при низких скоростях деформаций контролируются термоактивационным механизмом, а при высоких скоростях деформаций преобладает фононный (вязкостный) механизм [32]. Поэтому перепишем (42) следующим образом:
П= Ь1
М8/8 0) + ь (8/8 5)
п -1
, п > 1,
(43)
8 _(8/ё8)п +1 где Ь1, Ь2 — константы; 80 — константа, примерно равная 1013...1014 с-1.
Это соотношение будет использовано во второй части статьи для моделирования динамической прочности горных пород. Как будет показано в продолжении работы, оно достаточно хорошо описывает вязкостный механизм динамической прочности.
Таким образом, предложенные аппроксимации вязкости (37), (42), (43) могут достаточно хорошо описать вязкость на разных структурных уровнях.
7. Выводы
Горные массивы имеют сложную структурную иерархию, которая охватывает широкий диапазон масштабов: от масштаба порядка размера атомов до геотектонического масштаба. Такое положение делает пробле-
матичным использование концепции элементарного объема и условия совместности деформации Сен-Ве-нана. Структурная иерархия влияет на физико-механические свойства горных пород. В данной работе на основе имеющихся данных рассмотрено соотношение между вязкостью и структурной иерархией. Результат исследования показывает, что различным структурным уровням соответствуют различная вязкость и различная скорость деформаций. Макроскопическому структурному уровню соответствуют высокая вязкость и низкая скорость деформаций, а мезо- и микроскопический структурные уровни характеризуются низкой вязкостью и высокой скоростью деформирования. Обычно с увеличением внешних воздействий растет и скорость деформаций, процессы деформирования и разрушения постепенно переходят от макроуровня к мезо- и микроуровню, вязкость уменьшается. При высокой скорости деформаций вязкость обратно пропорциональна скорости деформаций. Таким образом, вязкость не является константой материалов, а зависит от того, на каком структурном уровне происходят процессы деформирования и разрушения. На основе анализа вязкости на разных структурных уровнях авторами предложена асимптотическая промежуточная аппроксимация вязкости на разных уровнях. В предельных случаях формула аппроксимации применима как для континентального масштаба, так и для микроуровня, что указывает на ее адекватность при описании вязкости на разных структурных уровнях.
Работа выполнена при финансовой поддержке Китайского фонда естественных наук (NSFC) (ключевой проект № 50490275).
Авторы выражают сердечную благодарность академику Е.И. Шемякину и академику В.Е. Панину за поддержку данной работы и полезные консультации.
Литература
1. Садовский М.А., Болхвитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. - М.: Наука, 1987. - 101 с.
2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни
пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. -Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
3. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
4. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при большом сдвиге // ФТПРПИ. - 1974. - № 3. - С. 130-133.
5. РевуженкоА.Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2000. - 428 с.
6. Курленя М.В., Опарин В.Н. Проблемы нелинейной геомеханики // ФТПРПИ. - Ч. I. - 1999. - № 3. - С. 11-26; Ч. II. - 2000. - № 4. -С. 3-26.
7. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. - М.: Недра,
1996. - 447 с.
8. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. - М.: Недра, 1978. - 390 с.
9. Кочарян Г.Г., Кулюгин А.А., МарковВ.К., Марков Д.В., Павлов Д.В.
Малые возмущения и напряженно-деформированное состояние земной коры // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 1. - С. 23-36.
10. Голъдин С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 5-22.
11. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -247 с.
12. Савенков Г.Г., Мещеряков Ю.И. Структурная вязкость твердых тел // Физика горения и взрыва. - 2002. - Т. 38. - № 3. - С. 113118.
13. Шерман С.И., Семинский К.Ж., Адамович А.Н., Лобацкая Р.М., Лысак С.В., Леви К.Г. Разломообразование в литосфере: зоны растяжения. - Новосибирск: Наука, 1992. - 226 с.
14. Альтшулер Л.В., Доронин ГС., Ким Г.Х. Вязкость ударно-сжатых жидкостей // ПМТФ. - 1987. - № 6. - С. 110-118.
15. Белинский И.В., Христофоров БД. Вязкость NaCl при ударном сжатии // ПМТФ. - 1968. - № 1. - С. 150-151.
16. Альшиц В.И., Инденбом В.Л. Динамическое торможение дислокаций // Успехи физических наук. - 1975. - Т. 115. - № 1. - С. 48-84.
17. Степанов Г.В., Харченко В.В. Связь напряжений и деформаций в металлах при воздействии импульсной нагрузки // Проблемы прочности. - 1984. - № 11. - С. 32-37.
18. BirdR.B., ArmstrongR.C., Hassager O. Dynamics of Polymeric Liquid. - New York: Wiley, 1987. - V. 2. - 464 p.
19. Chow T.S. Mesoscopic Physics of Complex Materials. - New York: Springer, 2000. - 196 p.
20. Мещеряков Ю.И. Об эволюционном и катастрофическом режимах энергообмена в динамически нагружаемых средах // ДАН. -2005. - Т. 401. - № 6. - С. 765-768.
21. Lee J. The universal role of turbulence in the propagation of strong shocks and detonation waves // High-Pressure Shock and Compression of Solids VI / Ed. by Y. Horie et al. - Springer, 2002. - С. 121-148.
22. Mescheryakov Yu.I., Atroshenko S.A. Multiscale rotation in dynamically deformed solids // Int. J. Solids and Structures. - 1992. - V. 29. -P. 2761-2778.
23. Mescheryakov Yu.I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I. Shock-induced phase transformation and vortex instability in shock loaded titanium alloys // Shock Waves. - 2000. - V. 10. - P. 43-56.
24. Атрошенко С.А., Баличева Т.В., Котов Г.В., Мещеряков Ю.И. О механизме откольного разрушения металлов на мезо- и макроуровнях // Физика металлов и металловедение. - 1991. - № 1. - С. 189-196.
25. Horie Y, Yano K. Non-equilibrium fluctuations in shock compression of polycrystalline a-iron // Shock Compression of Condensed Matter -2001 / Ed. by M.D. Furnish and et al. - Melville, NY: AIP, 2002. -P. 553-556.
26. Sudenkov Y. Influence of the structural levels on the elastic-plastic hardening of materials under submicrosecond shock loading // Shock Compression of Condensed Matter - 2001 / Ed. by M.D. Furnish and et al. - Melville, NY: AIP, 2002. - P. 627-629.
27. Yano K., Horie Y Discrete-element modeling of shock compression of polycrystalline copper // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 59. - P. 1367213680.
28. Романова В.А. Исследование релаксационных процессов в структурно-неоднородных средах методами численного моделирования / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 1999. -141 с.
29. Куксенко В.С., Инжеваткин И.Е., Манжиков Б.Ц. Физические и методические основы прогнозирования горных ударов // ФТПРПИ. - 1987. - № 1. - С. 9-21.
30. Ильчев В.И., Черепанов Г.П. Об одном возможном последствии подземных ядерных испытаний // ДАН СССР. - 1991. - Т. 316. -№ 6. - С. 1367-1371.
31. РодионовВ.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. -М.: Недра, 1986. - 300 с.
32. Qi Chengzhi, Qian Qihu. Physical mechanism of brittle material strength-strain rate sensitivity // Chinese J. of Rock Mechanics and Engineering. - 2003. - V. 21. - No. 2. - P. 177-181 (in Chinese).
