CC BY
23
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
СТРУКТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ив] И ЕЁ НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ВОПРОСАХ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
И. И. Ильясов (г. Актобе, Казахстан) [email protected]
1. Основные формулы. Обозначения, [а] — дробная часть а, [а] — целая часть а.
В дальнейшем под числами будем понимать действительные числа. Пусть у > 0, Числа а и в называются сравнимыми по модулю у, если а — в = уи, где и — целое рациональное и обозначается этот факт
а = в (modу).
Ясно, что каждое число сравнимо с одним только числом из промежутка [0, у), оно и называется остатком заданного числа по модулю у. Последовательность остатков рп, в ■ п = рп (шоёу), и = 0,1, 2,... будем обозначать Я(в,у) [10].
Пусть положительные в и у линейно независимы над полем рациональных чисел, причем в < у. Рассмотрим видоизмененный алгоритм Евклида (деление с избытком) для этих чисел.
у = в ■ а1 — Ш1, 0 < Ш1 < Ш0, (в = Ш0)
в = Ш1а2 — Ш2, 0 < Ш2 < Ш1
= Ш2Я3 — Шз, 0 < Ш3 < Ш2 (1)
Шп-1 — Шпап+1 Шп+1 0 < Шп+1 < Шп
ву
рациональных чисел. Действительно, предполагая обратное, при некотором п получили бы, что шп+1 = 0, (шп = 0). Выражая шп-1,шп-2, ...,ш0 через шп получаем, что в = А ■ шп, у = В ■ шп, где А и В — натуральные. Отсюда Вв — Ау = 0, что является противоречием.
Из (1) получаем, что
- =-------------- (2)
у 1
а\-----------
а2 -
Бесконечная цепная дробь в правый части (2) является частным случаем бесконечных полурегулярных цепных дробей [5]. Отметим, что из (1) следуют все аг ^ 2, г = 1, 2, ....Сходимость бесконечной полурегулярной цепной дроби в
(2) к ^ доказывается обычным способом. Причем в силу иррациональности ^ бесконечное число раз встречаются аг ^ 3.
Замечание. Формулы перехода от полурегулярной бесконечной цепной дроби вида,
1
Р +---------------------,
Р\ + 1---------------
Р2 + 1 - ' ■ ■
представляющей иррациональное число в, к обыкновенной бесконечной цепной дроби
1
? +----------—
с11 + -------
Я2 + '-■
имеет ВНДр = q,Рl = ql, Рд2 + 1 = qз + 1,Рд2+д4+1 = qъ + 1, ■■■ ,Рд2+...+д2к+1 = <12к + 1, а остальные рг равны единицы [10].
Определение 2. Последовательность ш0,ш1, ...,шп,... называется базисной последовательностью Я(в,у).
Ясно, что и0 > ш1 > ... > шп > .... Легко доказать, что
Ііт шп = 0
П—)>С©
Определение 3. хо = 1, х = ах,...,Хп+\ = ап+\Хп - х,п—1, Уо = 0, ух =
1, ..., уп+1 ап+1 уп уп-1 При П ^ 1
Лемма 1.
вхп ^п + Йуп, П ^ 0.
П=0
п =1 оно получается из первого равенства (1).
Пусть теперь при п ^ 1, тогда с учетам (1) имеем, что
вхп+1 - в(ап+1хп хп-1) --- ап+1вхп вхп-1 ---
= ап+1(^п + ^Уп) — (^п—1 + ^Уп-1) = ап+1^п — ^п-1 + Мап+1Уп — Уп— 1) =
= ^п+1 + ^Уп+1
Лемма доказана по принципу математической индукции.
Обозначение. аг — 1 = рг, г =1, 2, ... ,
х
сплавляется в виде
х = хо^1 + х^2 + ... + хк 4+1 (3)
с условиями
1) ^к+1 = 0;
2) 0 ^ и ^ рг, Ьг — целые г = 1, 2, ...,к +1;
3) для, любы,х г и ], где 1 ^ г < ] ^ к + 1;
(к ^ 1) (^,^+1, ...tj— 1,Ь]) = (Рг,Рг+1 - 1,Р] — 1 - 1,Р]).
И каждое число
х = хо11 + х1^2 + ... + хк 4+1 с условиями, 1), 2), 3) меньше нем хк+1.
Лемма 2. При 1 ^ г < ] (х—1 = 0)
Xj + хг—2 = хг—1Рг + х*(Рг+1 - 1) + ... + Xj—2(pj—l - 1) + Xj—lРj
Доказательство. Проведем по индексу ]
1)з = i + 1
хг—1Р% + хгР%+1 хг—1аг хг— 1 + хг рг+1 \хг агхг—1 хг—2\
= х* + х*—2 - х*—1 + хгРг+1 = аг+1хг - х*—1 + х*—2 = х*+1 + х*—2
2)3 >г + 1
Xj—lРг + хг(Рг+1 - 1) + ... + Xj—2 (pj—1 - 1) + Xj—lРj =
= хг—1Рг + хг(Рг+1 - 1) + ... + Xj—2Рj—l - Xj—2 + Xj—lРj =
= Xj — 1 + х*—2 - Xj—2 + Xj—lРj = ajXj—l - Xj—2 + х*—2 = Xj + X*—2
Лемма доказана.
Лемма 3. При выполнении условии, 1), 2), 3)
X = Xоtl + х^2 + ... + хкЬк+1 < хк+1.
х
х = х0Ь1 ^ х0Р1 ^ р1 < а1 = х1,
то лемма доказана,
В дальнейшем рассмотрим следующие случаи:
а) и ^ Рг - 1, г = 1,..., к + 1
хоЬ + х^2 + ... + хк Ьк+1 ^ хо(Р1 - 1) + ... + хк (Рк+1 - 1) <
< хоР1 - хо + ... + хкРк+1 < хк+1 - хо + х—1 < хк+1
по лемме 2
б) Среди и одно лишь и = рг. В этом случае
X ^ хо(Р1 - 1) + ... + хкРк+1 = хоР1 - хо + ... + хкРк+1 =
= хк+1 + х—1 - хо < хк+1
в) Среди и равных рг больше одного, и пусть и = рг, tj = р^ г < ] первая
начальная пара. Тогда по условию 3) существует 0 ^ ^ р3 - 2, г < в < ]
х = хоЬ + ... + хг—1Рг + ... + Xj—!Рj + ... + хк ик+1 <
< хоЬ + ... + Xj + х—1 - х8 + Xj^+1 + .. + хкик+1 ^
^ хои1 + ... + Xj(tj+l + 1) + ... + хкик+1.
По условию 3) tj+1 ^ Рj+1 - 1. Продолжая предыдущее рассуждение, приходим к а) или б). Отсюда следует, что х < хк+1.
Следствие 1. Если
X = хои1 + х^2 + ... + хк ик+1
х' = хоЬ1 + X1Ь2 + ... + хк ик+1
с условиями, 1), 2), 3), то при ик+1 = ик+1} и = иг, иг+1 < иг+1 х < х'.
х
к
хк ^ х < хк+1.
Произведем деление с остатком х на хк, полученный остаток на хк—1 и т.д.:
X = хкик+1 + Гк, 0 ^ Гк < хк
Гк = хк—^к + Гк—1, 0 ^ Гк—1 < хк—1
Г2 = х^2 + Г1, 0 ^ Г1 <х2 Г1 = хои1 + 0, (хо = 1)
В результате получаем, что х = хои1 + х1и2 + ...хк—1Ьк + хкик+1 с ик+1 = 0, Так как х < хк+1 т.е.
хкик+1 + гк < ак+1хк хк—1
Отсюда
ИЛИ
ик+1 < ак+1
т.е. ик+1 < рк+1. Продолжая, аналогичным рассуждением получаем, что
ик <Рк,... ^2 < Р2,к < Р1.
Таким образом, выполняются условия 1), 2) теоремы.
Теперь докажем выполнимость условия 3),
Так как
Г^ = Xj — 1tj + rj—1, 0 ^ rj — 1 < Xj — 1 rj—l = Xj—2tj — l + rj—2, 0 ^ rj—2 < Xj—2
гг+1 = х*и+1 + п, 0 ^ гг < хг гг = хг—1и + г*—1, 0 ^ т-г—1 < хг—1,
то
г^ = хг—^г + Xгtг+1 + ... + Xj—2tj — l + Xj — 1 tj + Г*—1.
Если предположить, что
(tг,tг+1, ...tj — l,tj) (рг,рг+1 - 1,pj—1 - 1,pj),
то по пункту б) следствия леммы 2 получили бы, что
rj > xj,
это противоречит тому, что rj < Xj. Следовательно, выполняется условие 3) Единственность представления (3) следует из следствия леммы 3, Теорема доказана.
Теорема 2. Каждое отличное от нуля число X Е Я(9,у) единственным образом, представляется, в виде
X = шоtl + 1x^2 + ... + ШкЬк+1, к ^ 0 (4)
с условиям,и,
1) tk+l = 0
2) 0 ^ tг ^ рг, и— целые, г = 1, 2, ...,к + 1
3) для, любы,х г и 3, где 1 ^ г < 3 ^ к + 1
(к ^ 1) (^, tг+1, ...tj — l,tj) = (Рг,Рг+1 - - 1,Рj).
И всякое число указанного вида, с условиям,и, 1), 2), 3) принадлежит Я(9,у). Для доказательства теоремы приведем следующие леммы.
Лемма 4. При 1 ^ г < 3 (ш—1 = у)
Шj + Шг—2 = Хг—1Рг + Шг(рг+1 - 1) + ... + Шj—2(pj—1 - 1) + Шj—lРj.
Доказательство. По (1)
шг—2 шг—1аг шг шг—1рг + шг—1 шг
= шг—1Рг + хгаг+1 - шг+1 - шг = шг—1Рг + шгРг+1 - шг+1 =
= Шг—1Рг + Шг(рг+1 - 1) + Шг - Шг+1 =
= шг—1рг + шг(рг+1 - 1) + шг+1аг+2 - шг+2 - шг+1 =
= шг—1рг + шг(рг+1 - 1) + шг+1рг+2 - шг+2 =
= шг—1Рг + шг(Рг+1 - 1) + шг+1(Рг+2 - 1) + шг+1 - шг+2 =
= ... = Шг—1Рг + шг(Рг+1 - 1) + ... + Шj—2(Рj—1 - 1) + Шj — lРj - шj.
Лемма доказана.
Лемма 5. X вида (4) с условиями, 1), 2), 3) меньше у.
Доказательство. В случае одного слагаемого в (4) вида,
X = ш^-1^ ^ шор1 ^ шо(а1 - 1) = шоа1 - шо = у + ш1 - шо < у, т. к ш1 < шо.
В дальнейшем, предположим, что количество слагаемых более одного. И рассмотрим следующие случаи:
а) Все tг ^ рг - 1, г =1, 2, ...,к +1
б) Среди и одно лишь равно рг
в) Среди и те менее двух, равных соответствующим рг.
В случае а)
Х ^ шо(Р1 - 1) + ... + шк (Рк+1 - 1) < ШоР1 - шо + ... + шк Рк+1 - шк <
< Ш_ 1 + Шк+1 — Шк — Шо < ш_ 1 = у.
В случае б)
Х ^ ШоР1 + Ш1(Р2 - 1) + ... + шк (Рк+1 - 1) = у + Шк+1 - шк < у (и ^ Рг - 1)
г = 1, 2, . . . ,к + 1
В случае в)
X = Шоtl + ... + Шг—2tг—1 + Шг—1Рг + ... + Шj — lРj + ... + Шкtk+1 (1 ^ г < 3).
(pг,Рj) первая пара справа. Тогда по лемме 1
X = Шоtl + ... + Шг—2tг—1 + Шг—2 + Шj - Шs—l + Шjtj+l + ... + Ш^к+1
(шs—1ts, ^ рв ^ г < в < 3 , ..., шв— 1 > шj)
Следовательно
X < Шоtl + ... + Шг—2(^г—1 + 1) + ... + Шjtj+l + ... + Ш^к+1
Таким образом, двигаясь, справа налево приходим или к случаю а) или б) и, следовательно, получаем, что X < у.
Лемма доказана,
х
х
X = Xоtl + х^2 + ... + хк tk+1
с условиями 1), 2), 3), По лемме 1
вх = в(xоtl + х^2 + ... + хк tk+l) = (Охо)Ь + (9X1^2 + ... + (вхк ^к+1 =
= (шо + ууо)ь + (ш1 + уу^ь + ... + (шк + уук) tк+1 =
= Шоtl + Ш1Ъ2 + ... + шк^'к+1 + у ^о^ + У 1^2 + ... + У^к+1)
По лемме 5
X = Шо4 + Ш^2 + ... + Шкtk+1 < у,
а Уо^ + у1Ь2 + ... + укtk+1 - неотрицательные целые, следовательно X € Я (в, у).
Единственность представления. Пусть X = ш^ + ш1U2 + ... + ш^^. Тогда
вх' = в (хо^! + х1^2 + ... + хв^в+^ = X + у (уо^1 + у^2 + ... + ув^в+^ . Следовательно, имеем
вх = X + уу у = уоЬ1 + ... + укЬк+1 вх' = X + уу' у' = уо^1 + ... + ув^в+1
Отсюда
в(х - х') = у(у - у')
х = х в у исходному условию. Следовательно
Тогда по теореме 1 5 = к и t1 = ^ = 4, ..., tk+1 = t/k+1. Теорема доказана.
Определение 4. . Число х = хо^ + х^2 +... + хкtk+1 с условиями, 1), 2), 3) называется, координатой числа X = ш^-1^ + ш1t2 + ... + шкtk+1 в последователь-Я (в, у)
Определение 5. . Пусть X и X' Е Я (в, у). Будем говорить, что X предшествует X' в Я (в, у), если х < х', где х и х' соответствующие координаты
X и X' в Я (в, у). Предшествование X по отношению к X' обозначается, X -< X'.
Обозначения, М(Т1,Т2, ...,Тк) — множество чисел X € Я (в, у) с условием X -< ш1Т1 + ш1Т2 + ... + шк—1Тк и с условиями 1), 2), 3)
Мк = М(р1 - 1,р2 - 1, ...,Рк—1 - 1,Рк), к ^ 2
М1 = М (р1)
Теорема 3.
тк+1 — 1
М (Т1, Т2, ..., Тк ,Тк+1) = 1^) (Мк + шк tk+1)^J(M (T1,T2, ...,Тк )+ шк Тк+1) (5)
^к+1=о
Доказательство. Разобьем множество М(Т1 ,...,Тк,Тк+1) на два подмножества вида,
первое: [шоЬ + ... + Шк—^к + ШкЬк+1} где tk+l ^ Тк+1 - 1 второе: {шоЬ + ш^ + ... + Шк”к+1}
При tk+1 ^ Тк+1 - 1 для всевозможных значений t1,t2, ...^к с условиями 1),
2), 3), включая (0, ... , 0)
ш0t1 + ... + ‘^к—^к + шк^к+1 ^ шоТ1 + ... + шк—1Тк + шкТк+1.
так как
Xоtl + ... + хк—^к + хкtk+l < хоТ1 + ... + хк—{Тк + хкТк+1
где
{шоtl + Ш^ + ... + Шк tk+l} = Мк
Действительно, во-первых, в силу Xо^ + ... + хк—1Ьк < хк имеем, что
Шоtl + Ш^ + ... + Шк—^к Шк,
во-вторых
хо(р1 - 1) + ... + хк—2 (Рк—1 - 1) + хк—1Рк = хк - 1 Следовательно
хоЬ + ... + хк—^к ^ хо(р1 - 1) + ... + хк—2(Рк—1 - 1) + хк—1Рк
и
{ш0t1 + ш^2 + ... + шк ^к+1} =к Поэтому первое подмножества совпадает с
тк+1 — 1
|_\ (Мк + шк^к+1)
^к+1=0
Так как во втором подмножестве
ш0Ъ1 + ... + шк—1Ък + шк^к+1 ^ Ш0Т1 + ... + шк—1Тк + шкТк+1
ТО
Шotl + ... + Шк—^к ^ Ш0Т1 + ... + Шк—{Тк и верно обратное утверждение, то есть второе подмножество совпадает с
М(T1, Т2, ..., Тк) + шкТк+1
Теорема доказана.
Обозначение, Я (пв < X, у) Обозначает множество чисел Я (в, у) мeнынeeX, Теорема 4.
Я (пв < ш0, у) = Я(ш1,ш0).
Доказательство. Пусть пв = шot1 + ш1Ъ2 +... + шк—1Ьк + шktk+1(modу). Если шot1 + ш1Ъ2 + ... + шк—1Ьк + шкtk+1 < ш0, то t1 = 0 т.е
пв = ш^2 + ... + Шк—^к + Шк tk+l(modу)
с условиями 1), 2), 3) для Ъ2, ..., 4+ь Тогда по теореме 2 при в = ш1, у = ш0
ш1Ъ2 + ... + шк—1Ьк + шкЬк+1 Е Я(ш1,ш0). Верно и обратное утверждение.
Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем последовательность
Я (в, у) Э Я(ш1,ш0) Э Я(ш2,ш1) Э ...
Обозначения, х'0 = 1, х[ = а2, х'2 = азх[ - х'0, ..., х'п = ап+1х'п—1 - х'п—21
Уо = 0, У1 = 1, у2 = а3у1 - Уо, ..., Уп = ап+1уп—1 - Уп—2 Лемма 6. ш1хп = шп+1 + ш0у'п, п = 0,1,2,....
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 1, Следствие 2.
ш1(х0Ъ1 + 2 + ... + Хк—1Ък+1) = ш1Ъ2 + ... + ‘^к—^к + шкtк+1 + шО(УоЪ1 + ... + ylk—1tk+1).
Следствие 3. Если х1Ъ2 + ... + хккоординаты X в Я (в, у), то х'0Ъ1 + х'1Ъ2 + ... + х’к_ 1Ьк+1 координаты X в Я (ш1,ш0).
2. О структуре последовательности [ив] для квадратической иррациональности. Вопрос определения структуры последовательности [ив], и = 1,2, ... сводится к определению базисной последовательности ш0, ш1, ..., Шп, ....
Пусть 0 < в < 1 и в квадратическая иррациональность. Тогда, как известно по теореме Эйлера - Лагранжа она разлагается обыкновенную бесконечную,
в
ную бесконечную периодическую цепную дробь вида, (2).
в
регулярную бесконечную цепную дробь с периодом а1,а2, ...,ат
1 = в ■ а1 — ш1, 0 < ш1 < в, (о— = 1, в = ш0)
Шо = Ш1 ■ а2 — ш2, 0 < ш2 < Ш1 Ш1 = Ш2 ■ аз — Шз, 0 < Шз < Ш2
шт-2 = шт—1 ■ ат — шт, 0 < шт < шт—1
(Шт 1 (Шт ■ 0>т ^^1 (Шт ^^1, 0 (Шт ^^1 (Шт
Следовательно
(а1,а2, --- ) ат) (ат+1,ат+2, --- ,а2т) ...
Обозначим через ж0, ж1,..., жт—1 соответствующие равные отношения:
(^^0 т Ш2т ' кт
эз0 =------= -----=--------= ••• = -------
Ш—1 Шт —1 Ш2т —1 Шкт—1
_ ШI _ СОт+1 _ ^2т+1 _ _ Шкт+1
Шо Шт Ш2т Шкт к = 0, 1, 2,...
Шт—1 Шт+т —1 Ш2т+т—1 Шкт+т—1
эзт_1 =--------=--------=----------= ... =----------
Шт—2 Шт+т—2 Ш2т+т—2 Шкт+т—2
с учетом ш—1 = 1 получаем, что
Шкт = Жо(Жо^1...Жт—1)к = ШоШ>к—1 Шкт+1 = Жо^1(Жо^1...Жт—1)к = Ш1Ш>к—1
Шкт+г = Ж0Ж1...ЖГ(ж0ж1...жт—1)к = ШгШ^_ 1, (0 ^ г ^ т — 1)
Шкт+т—1 = Жо^1...Жт—1(Жо^1...Жт—1)к = Шт—1Ш>к—1 Ш(кт= ШгШкт—1, к = 0,1, 2,...
или
к
Шкт = ШоШт —1 Шкт+1 = Ш1Шк_ 1
Шкт+г — Шг Шт —l)
Шкт+т —1 Шт—1Шт—1 к 0) 1) 2) ...
Таким образом, последовательность ш0, ш1,ш2, ... Шп, ... состоит из объеди-
т Шт— 1
зом:
а1-
а2
ТО
ат в
Отсюда
в
(йт 0)Ут-1 Ут—2 Ут @Ут—1
(ат — в)хт—1 — хт—2 хт—вхт—1
Хт —1в<2 — (хт + Ут—1)в + Ут = 0
Ут —1 + Шт —1
в это уравнения с учетом
хт 1
хт—1ут хтут—1 1
получаем, что
ШТ~1 + (Ут—1 — хт) Шт—1 + 1 = 0)
1
в
1
1
в
в
т. е шт—1 является единицей поля (^(в),
Теперь переходим к случаю смешанной бесконечной полурегулярной периодической цепной дроби
Ш-і = ш0 • аі — Ші, (ш-і = 1)
Шо = Ші • &2 — Ш2,
Ші = Ш2 • — Шз,
Шк-2 = Шк-і • ак — Шк, Шк-і Шк • ак+і Шк+і?
^0 1
Ш-і Ші
аі - —
Шо
1
Ш1
ш0 Ш2
а2 —
Ші
^к-1 1
Шк-2 Шк
ак
Шк-і
^к 1
Шк-і Шк+і &к+1 Шк
Пусть ак+1,ак+2, .... ,ак+т, к ^ 1 период бесконечной цепной дроби; следовательно
(ак+1+т,ак+2+т, — , ак+2т)
(ак+1+2т, ак+2+2т, -- , ак+3т )
(ак+1+3т, ак+2+3т, -- , ак+4т )
равны периоду бесконечной цепной дроби. Обозначим через Ап = ак+п, и = 1, 2, ....
Тогда
Шк—1 = Шк ■ А1 — Шк+11 Шк = Шк+1 ■ А2 — Шк+2, Шк+1 = Шк+2 ■ А3 — Шк+3,
Отсюда при обозначениях
П0 шк шк+\
1 Шк—1 По Шк
Ь12 Шк+2 шк+г
Шк+1 ’ Пг_! Шк —1+1
1= = По ■ А1 — П1, П1 < По
По = П1 ■ А2 — П 2, П2 < П
п1 = П ■ А3 — П 3) П3 < П:
(6)
Из (6) получаем, что
Шк-1
(7)
В силу периодичности последовательности, а1,а2, .... ,ак,ак+1, ..., начиная с к + 1 имеем, что А1,А2, .... ,Ат, ..., чисто периодическая последовательность. Обозначим через
Х0 = ^ Х1 = A1) ..., Х2 = А2Х1 — Х2, ... , Хп+1 = Ап+1Хп — Хп—1, ... , Уо = 0) У1 = 1 У2 = А2 , ..., Уп+1 = Ап+1Уп — Yn—1) ... ,
По чисто периодическому случаю
Пт,+Г = Пг ■ П3т_1, 5 = 0,1, 2, ... 0 ^ г ^ т — 1
Шк+тз+г = шк+г I •" ' / 1 или шк+Т8+г = шк+ге3. -единица поля <5(6|).
^к-\-т — 1 &к-1
Следовательно, последовательность ш0, ш1, ..., шп, ..., начиная с шк, распада-т
Шк+тв Шк ■ Е
Шк+тв+1 Шк+1 ■ Е
Шк+тв+(т—1) Шк+т—1 ■ Е 5 0) 1) 12, ... ,
где
Е2 + (Ут—1 — Хт )е +1 = 0.
Отсюда
X — V 1___________-___
1т~1 Хт-Ут-1~.
и является единицей ПОЛЯ Q(в).
1
Е
Пример,
т
(шо — 9)
2 -
3-
2 -
2
2
3
3- ...
: 5сс>о — \/7 — 2, 0 < Со>о ^ 1 > — иіп + уп, ті — 0,1,2,
— 2)хп — Уп
шп
шп
Хп'/Ч ~ (2хп + уп)
є‘2 + (Ут-і — Хт )є + 1 — 0 є‘2 + (У4 — Х5)є + 1 — 0 є2 — 16є + 1 — 0,
ш1+5з
ш2+5з
ш3+5з
ш4+5з
ш5+5з
Є — 8 — 3 ш1 ■ є3
Ш2 ■ Є3 Шз ■ Є3
■ є3
Ш5 ■ Є3 8
в — 0 :
0,1, 2,
Ш! = 2^/7-5 Ш2 = 5>/7- 13 шз = 8>/7 — 21 = 11л/ї — 29 о;5 = 14^-37
8 — 1 :
ш6 = (2>/7- 5)(8 - Зу/7)
Ш7 — (5>/7- 13) (8- Зл/7)
= (8>/7- 21) (8- Зл/7) и;9 = (11л/7 — 29) (8- 3-Л) <*Ло = (14л/7 — 37)(8 — 3>/7)
1
9
1
1
1
1
1
1
8—2
шп = (2л/7 - 5)(8 - З^)2 wi2 = (5 л/7 — 13) (8 — Зл/7)2 ^із = (8 л/7 — 21) (8 — Зл/7)2 wi4 = (11л/7- 29)(8- З^)2 wis = (14л/7 — 37)(8 — Зл/7)2
и так далее,
3. Об остатке суммы {п9}.
Лемма 7. Пусть 0 < 9 < 1 и 9 — иррациональное. Тогда,
1 +
iZMk
(xk - І) .
Доказательство. Пусть 9n = An, 0 < An < 1, n =1, 2, ... и пусть n =1, 2, ... xk — 1 и находим Ai, A2, ... , Xxk-1. Записав эти числа в обратном порядке и складовая получаем числа
A1 + Axk-1, Х2 + Axk-2, . . . Axk-1 + A1
покажем, что каждое из этих чисел равно 1 + шк. Действительно, с одной стороны
9 ■ s = As (modi) , 0 < As < 1 9 ■ (xk — s) = Axk-s (mod1), 0 < Axk-s < 1
с другой стороны
9 ■ s + 9 ■ (xk — s) = 9 ■ xk = шк (mod1).
Следовательно As + Axk-s = шк(mod1).
Так как
0 < As + Axk-s < 2,
TO
As + Axk-s = 1 + шк.
А так как x0(p1 — 1) + x1(p2 — 1) + ... + xk-2(Pk-1 — 1) + xk-1Pk = xk — 1 и
{0, A^ A2, ... , Axk-1} = Mk, то из приведенных рассуждении получаем утвер-
ждение леммы.
Теорема 5.
л k+1 k+1 k
x Л І І 2
У. С — 2 + 2 ~ 2,'^-jTs + Xs-lUJs~lTs + UsTs+l xr-iTr
t£M(Ti,...,Tk,Tk+i) s=1 s=1 s=1 r=1
где Л = шоТі + • • • ШkTk+i, Л = шоТі + • • • ШkTk+i.
Доказательство. Доказывается методам математической индукции с использованием формулы
Тк+1-і
М (Ті,Т2, ...,Тк,Тк+і) = |^| (Мк + шкік+і)\^{М [Ті ,Т2,...,Тк)+ шк Тк+1)
*к+1 =0
и выше приведенной леммы.
Вычислим суммы: ^ем(т1) С и Е?ем(т1,т2) С
£ _ шо(Ті + 1 )Т\ _ ШоТ2 шоТ\ ХоТ\ ХоТі _ ХоТ\ шоТ\ Т\ шоХоТ2
^ 2 _ 2 2 ~2 2~ ~ 2~ ~2 Т 2
Сем (Т1)
Т2-1
У] С = X/ Х/(С + ШіІі) + X/ (С + ШіТ2) =
Сем (Т1,Т2) СЄМ1 *1=0 Сем (Т1)
= Е«^)+Е-12ЦШк + Е «+ Е -га =
СеМ1 сеМ1 Сем(Т1) Сем(Т1)
(1+ші)(хк-1) (Т2 - 1)Т2 о;0(Ті + 1)Ті т
= ------- -------Ь шіХі------ -----1------------------------------- -Ь \XqTi + 1)шіТ2 =
Х0Т1 + ХіТ2 ШоТі + ШіТ2 Ті + Т2 ШоХоТ1 + ШіХіТ2
---1---------^---------Ь х01 ші±2
Теперь предположим, что при к ^ 2
_ Хо Ті + Х\Т2 + • • • + хк_\Тк ШоТі + ш\Т2 + • • • + шк_іТк
2-^ ^ ~ 2 2
Се(Т1,Т2,...,Тк)
Т\ + Т2 + • • • + Тк ХоШоТI + Х\Ш\Т2 + • • • + хк_ішк_\Тк і
22 +ХоТіШіТ2 + (ХоТі + ХіТ2^) Ш2Т3 + (ХоТі + ХіТ2 + • • • + Хк-2Тк-і) Шк-іТк.
Вычислим сумму ^2сЄ(Т! Т2 ^і) С с Учетом предыдущего предположения:
Тк+1-і
С = ^ ^ (С + Шк^) + ^ (С + Шк Тк+і) =
Се(Т1,Т2,...,Тк+1) Семк І=о Се(Т1,Т2,...,Тк)
= У2 (єтк+і+шк^ к+1 2 ^ ^ (^ + о;кТк+і) =
Семк ^ ' Се(Т1,Т2,...,Тк)
= У2 ІТк+1 + ^ ^ #С+1 2 ^ #С+1 + X! шкТк+1 + ^ С =
Семк Семк Се(Т1,Т2,...,Тк) Се(Т1,Т2,...,Тк)
(1 + шк)(хк — 1) (Тк+і — 1)Тк+і
=---------------------±к+1 + -----------------ь
|/Т"| Т^і і Т, і ХоТі + ХіТ2 + • • • + Хк-іТк ,
+ (Х0-М + х1-?2 + • • • + ХкТк+і + 1) ШкТк+і Н
ШоТі + ШіТ2 + • • • + Шк-іТк Ті + Т2 + • • • + Тк+і
+ 2 2 +
+хОТ1ш1Т2 + (хоТ1 + Х1Т2) Ш2Т3 + (ХоТ1 + Х\Т2 + • • • + Хк-2Тк-1) Шк-1Тк +
( гр . гр . , Т1 I 1 Т1 — ж°^1 Ж1^2 + ■ ■ ' + ХкТк+1
(Ж0-/1 + х1-^2 + • • • + хк-1^-к + 1) ^-^+1 — ------2--------------^
ШоТг + Ш1Т2 + • • • + шкТк+х 7\ + Т2 + • • • + Тк+1
2-----------------------2 ХоШоТ2 + ХхШхТ2 +-------+ Хк Шк Т2
I _________^__________________к+1 |
2
+Х0Т1Ш1Т2 + (хОТ1 + Х1Т2^ Ш2Т3 + (хОТ1 + Х1Т2 + • • • + Хк-1Тк) ШкТк+1
Теорема доказана,
4. Оценка остатка суммы ^2п^х {п9} Для чебышевских чисел.
Определение 6. Иррациональное число 9, определяемое бесконечной цепной дробью вида
« =---------Ц---------, (8)
а-------
1
2 а —
2а — ...
называется, чебышевским числом, где а ^ 2 — натуральное.
Отсюда 9 = Если сс0 = 1, уо = 0, х\ = а\, у\ = 1, ..., хп+\ = 2ахп—хп-1,
уп+1 = 2ауп — уп—1 , п = 2, ..., то хп и уп являются знаменателем и числителем п— Хп
рода Тп(а), а уп равен многочлену Чебышева второго рода ип(а). Известно [9], что
хп = ^ ((а + v/^T)ra + (а - v/^T)ra)
1 ((а + у/а2 - 1)п - (а- у/а2 - 1)п) (9)
уп = - • ---------------, ------------п = 0, 1, 2, ...
У 2 v/^T ’ ’ ’ ’
Определим базисную последовательность последовательности {п9}^.
Так как
9хп = шп + уп, п = 0, 1, 2, ..., то используя (9) имеем, что
шп = , (а — л/а2 — 1)" = 9 ■ £п, е = а — л/а2 — 1
а2 — 1
и
9
Известно [2], что
хпШп = ^(1 + £2п), П = 0,1,2,... (10)
п<х
{ггб1} = — + Д(ж), Д(ж) = 0(1пж)
В качестве простейшего приложения теоремы 4 докажем следующую теорему.
Теорема 6. Существует бесконечная последовательность х—ов, для которых Я(х) отрицателен, причем |Я(х)| ^ С 1пх, С > 0 постоянная.
Доказательство. В теореме 4 положим, что Т1 = Т2 = ■ ■ ■ = Тк+1 = 1 тогда
~^{Т1+Т2-\ +Тк) = --(к + 1) (11)
- У2х«-1ш8-1Т2 = -(к + 1) + 0(1) (12)
в=1
к з й
у ш3Т3+1 ^ хг-1 Тг ^ ^ х3ш3 = - к + 0(1) (13)
Я=1 Г=1
Следовательно, сумма левых частей (11), (12), (13) меньше или равно
1-5 + ! + 5 + °(1))*(-5 + Т|* + 0(1)
где - \ ^ < О,
Так как к ~ —т- 1п ж, то при к > к0 Я(х) < 0 и |Д(ж)| > С 1пж, С > О 1п -
постоянная, £
Теорема доказана.
Замечание, Легко доказать, что существует бесконечная последовательность х—ов, для которых Я(х) ^ С 1п х, С > 0 постоянная.
Предыдущие результаты свидетельствуют о том, что оценка остатка Я(х) = 0(1п х) не улучшаемая. Аналогичные результаты могут быть получены для любой квадратической иррациональности,
5. Дополнительные замечания.
1, Доказана теорема [12] об умножении бесконечной цепной дроби
1
а\
а2 —
ап . . .
па простое число р при условии аг > р, г = 1, 2, .... О сложности простейших операций над цепными дробями отмечено в работе [8],
1
1
2, А также структурная формула позволяет написать множество решений неравенства
ив < X (шо^)
где вшу линейно независимы над полем рациональных чисел,
3, В случае, когда 0 < в < 1 — рациональное, получены аналогичные структурные формулы, используя которых получены следующие результаты:
1) Если 6 наименьший положительный квадратичный невычет по простому модулю р (нечетное простое), то в разложении ^ в полурегулярную цепную дробь вида
61
р
01 —
0,2 —
0п+1
неполные частные а ^ 6, I = 2, , и +1,
2) Другой способ решения сравнения первой степени [11]
1
ох = Ь(modт), (о, т) = 1
этот способ удобен тем, что если х = х0(тоё,т), то хо сразу же находится в пределах 0 ^ х0 ^ т — 1; что важно в вопросах теории чисел, А в известных
хо
хо = о^т)-1 ■ Ь
или
Хо = (-1)п ^„-1 ■ Ь
где (),, | — знаменатель предпоследней подходящей дроби в разложении — в обыкновенную цепную дробь [д0,д1,д2, ■■■ ,Яп]-
Отмечу, что при помощи структурной формулы (теорема 3) некоторые оценки работ [6] и [7], [4] могут быть выражены через параметры Т1, Т2, ... ,Тк+1 , что позволяет лучше представить колебание рассматриваемой величины в зависимости от х = х0Т1 + ■ ■ ■ хкТк+1. Например, в работе [4] стр. 48 (Теорема 1) остаток суммы {п@} = | + Щх), в — иррациональное, оценивается как
Oi.fi ^г^)- Так как это оценка сверху, то естественно она не дает информацию о колебаний остатка при х ^ то, а используя теорему 5 можно глубже исследовать поведение остатка, при х ^ то.
Точно также, используя теоремы 1 и 2 настоящей работы, легко получить результаты о <проеветах>, изученные в работах [13] — [17],
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Вейль Г, (Weyl Н.) Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod, Eins, - Math, Ann. 1916. 77 S. 313-352.
[2] Виноградов И.М. Основы теории чисел. М. Наука.1978.
[3] Кейперс Л. Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. 1985.
[4] Лепг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир. 1970.
[5] Perron О. Die Lehre von den Kettenbrtichen. CityLeipzig u. StateplaeeBerlin, Teubner.1929.
[6] Ostrowski A. Bemerkungen zur Theorie der Diophantischen Approximat. // Abh. StateplaeeHamburg Universitbt, 1(1921), 77-98.
[7] Behnke H. Zur Theorie der diophantischen Approximationen. // Abh. Math. Semin. Humburg. Univ. Bd. 3(1924). 261-318.
[8] XiiHчiiH А. Я. Цепные дроби, М., Физматгиз, 1961. Изд. 3-е. 28 - 30 с.
[9] Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука. 1983.
[10] Ильясов И.И. О структуре последовательности {ив}. // Теория нерегулярных кривых в различных геометрических пространствах (Сборник статей). Алма- ата. 1979. 44-52 с.
[11] Ильясов И.И. Об одном способе решения сравнения первой степени. // Вестник Актюбинского государственного университета. N2 3. 2006. 14-15 с.
[12] Ильясов И.И. Умножение цепных дробей на простое число. // Известия Академия наук Казахской ССР. Серия физико - математическая. №3. 1985. 38-41с.
[13] Слэйтер (Slater N. В.) The distributions of the integers N with {eN} < ф. // Proc. Cambridge Phil. Soe,, 1950, 46, 525 - 534p,
[14] Флорек (Floree, K.) Une remarque sur la reparatition des nombers n^(modl).
11 Colloe. Math. 1951, 2, 323 - 324 p.
[15] Шош (Sos V. T.) On the distribution mod 1 of the sequence na // Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 1958, 1, 127 - 134 p.
[16] Шураньи (Suranvi J.) Uber die Anordnung der Vielfaehen einer reelen Zahl mod 1. // Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvo Sect. Math. 1958, 1, 107 - 111 p.
[17] Сверчековский (Swierczkowski S.) On successive setting of an arc on the circumference of a circle, // Fundam, Math, 1958, 46, 187 - 189 p.
Актюбинский государственный университет им. К, /Кубанова. Актобе, Казахстан
Поступило 18.06.2010
