CC BY
7Структурирование требований к показателям функционирования производственно-технологических
систем
Горбунов А.А. ([email protected]), Смирнов Ю.М.
Холдинговая компания «Ленинец»
При системном синтезе производственно-технологических систем (ПТС) особое значение приобретает проблема структурирования распределение требований к их показателям функционирования /1/. Целью такого структурирования является выбор характеристик оборудования и технологических режимов ПТС из условия минимизации себестоимости при заданном значении показателя функционирования Ф.
При заданном значении показателя Ф = Фзад характеристики элементов
ПТС необходимо выбирать из условия минимизации некоторой функции
FХ2,...,xn), например, себестоимость продукции или уровень брака.
Математической формулировкой является:
F(x) ^ min (1) Ф( x) = p
где x - набор характеристик производственного оборудования и
параметров технологических сред x = (xi,Х2,...,xn), Ф - показатель
функционирования, F - функция себестоимости продукции.
Из-за отсутствия априорных данных о Ф(x) на стадии разработки аналитическое решение этой задачи невозможно; его сводят к двум процессам: • к поиску начального приближения x0 из условия
F (x0) ^ min
x (2)
Ф( x0) = p
где Ф - упрощенное аналитическое выражение для показателя Ф. к уточнению начального приближения по схеме
У+1 = хк +£к, к = 0,1,2,...
где
Е (хк +£к) ^ шт
дФ (3)
(хку* = р_Ф(хк), ^(х) =
5 = 1
дх.
При этом Ф( хк) определяется методами имитационного моделирования или исследования реальной производственно-технологической системы /2/. В конце итерационной процедуры определяется предельное решение х *.
Из физических соображений ясно, что решение задачи (1) единственное, однако, в общем случае, предельное решение х * последовательных
приближений может не совпадать с оптимальным решением хопт. С целью оценки расхождений между предельным и оптимальным значениями х рассмотрим более подробно вид функции стоимости Е.
Эмпирическим путем установлена справедливость гипотезы
_ Е _ Е0
х = хк + (х0 _ хсс)в а , где х - характеристика элемента ПТС, Е -стоимость, а - весовой коэффициент. При хх = 0, получим
Е _ Е0 = а1п ^ (4)
х
В задаче структурирования требований к характеристикам элементов х ПТС оптимизирующим критерием является функция стоимости конкретной ПТС Е(х) , а ограничением является условие равенства показателей функционирования заданному значению Ф( х) = Р/1, 3/.
Если пренебречь затратами на монтажно-настроечные работы, то стоимость ПТС есть сумма стоимости ее элементов е = ^ , где зависит
от дисперсии погрешности ds и вероятности отказа д5 элемента. Эмпирически установлено, что возможное улучшение характеристик падает с ростом стоимости по закону dk — dх = (^0 - dк )ехр —к ~ —0 |. Действительно, из этого
— +1 —к — Fk — —к+1 — Fk соотношения следует, что —к-= 1 — ехр —-^ -—, т.е.
dk — dК а а
уменьшение дисперсии погрешности пропорционально максимально возможному ее уменьшению в данных условиях и (приблизительно) пропорционально ожидаемому увеличению стоимости.
т-т т—т
При dк = 0 d = d0 ехр или — = —0 — а1п ^
а д
5
Рассуждая аналогично относительно уменьшения вероятности отказа, можно принять
с d \
1 — а. 1п 4 1 — в. 1п Ч (5)
— =Г5
с1° V
V 5 /V У
1 — в. 1п д0
Поиск параметров зависимости (5) для конкретного типа элементов ПТС осуществляется методом наименьших квадратов (МНК) по данным о совокупности прототипов в два этапа /3/.
Пусть показатель функционирования ПТС - вероятность выполнения возложенной на нее задачи (например, процент выхода годных). Выражение для Ф зависит от технологических режимов, надежности и точности работы производственного оборудования.
При малой вероятности нарушения технологических режимов и отказа оборудования решения задачи Ф выражается формулой полной вероятности /4/:
Ф =1,р(аН5 ) (Н), (6)
5=0
где Н5 - событие отказа 5 — го элемента ПТС, к - число элементов.
Т.к. р(н5) = р(Н0), р(Н0) = П р5, где р5 - вероятность отказа 5 _го
р 5=1
элемента, д5 = 1 _ р5, то (1.19) можно представить в виде
к
Ф = р(н 0 )р (АН 0 )+Х р(\н* Г5
5 = 1 р
(7)
и
Ф
Ч , 1р(4н*)
или
р((|Н 0) 1 ¿1 р(АН0 )ра
Ф к
= П (1 —^), где V
^ ^ ^ Л + р^
р(Ан 0 п=у
р((|Н 0)
= 1 _ р(Ан5г р((|Н 0)
При отсутствии избыточности или при очень малой вероятности отказа устройств формула (7) вырождается в выражение
Ф = Ф1 Ф2 (и)
где Ф1 = р(л\Н0) зависит от дисперсии суммарной ошибки элементов ПТС (линейной комбинации их дисперсий); Ф2 (и )= р(Н 0) зависит от суммы вероятностей отказов отдельных элементов ПТС.
При постоянной интенсивности отказов X отдельных элементов ПТС
р5 = е и
Ф2 =П р5 = е~и, где и
(8)
Т.к. д 5 = 1 _ е
— X 5 t
5 1 5
то для элементов с высокой надежностью можно
считать д5 = ; тогда с той же точностью (до величины второго порядка)
верно Ф2 = е или Ф2 = 1 — и, где
и
= Х я*.
Рассмотрим упрощенную постановку задачи:
л
5
F = F0 — lnds +ßs lnqs)^ min Пусть s (10)
ф = (l - e-y Уи = P
p
где y = _5 u = и = Xqs
u
s s
Уравнения Лагранжа для этой задачи имеют вид
dF dF • as и - y ■Л-= 0'----Ae e y
dds dds ds
PMs V u2 J
0 или as = Ae ue yy ^sds
u
Суммирование дает A = Ле ue yy, Msds =— u (11)
A
dF . dF Л
---- 0; -ß - Ле~и (l - e"y )= 0 или ßs = Ле~и (1 - e"y )q
dds dds qs
Суммирование дает В = Ле ~u (1 - e ~y), и qs = ß и (12)
B
Делением соотношений (12) и (11) получаем
В = (1 - e - y )и, где (1 - e-у )e ~и = P
A e~yy
Обозначая = z, можем записать
W(z) = B^ - ln= 0 (13)
Az -1 pz K J
т.е. решение задачи свелось к решению конечного уравнения относительно
z, т.к. u = p, и = 1 (14)
ln z z -1
Решение уравнения (13) можно найти численным методом Ньютона: а) lim W(z) = + к, l im W(z) = ln P < 0;
z ^+1 z
1 IВ
z(z -1)[ A
z ln z
z -1
б) =--T^-^i- 1 +U< 0 (15)
т.к. z ln z >1 при z > 1; z -1
) хтл ■ B R 2 z — 1 в) ^'' =---|--> 0
( — 1)3 z2 ( — 1)2 т.к. R = 1 — 22 + 2221и 2 = (t — 1})^ — , где t = z2 .
Метод Ньютона задается формулой = — ), где ^ и
к + к ^ (к)
определяются соотношениями (15) и (13) соответственно.
В 1
Заметим, что из формулы (13) следует ^(2) = — 1п2 + 1п2Р > 0 при Р >—,
А 2
поэтому можно принять 20 = 2.
Решение рассмотренной упрощенной задачи, определяемое формулами (13), (14), (11) и (12) является начальным приближением к решению общей
а Ф задана алгоритмически при
задачи, когда р = ^у
5
5
г \г \
1 — а 1П-Т-
5 V0 а°
V 5 У V У
1 — в 1П а0
известном упрощенном ее выражении типа Ф = (1 — е у )е и .
Задача структурирования требований (ЗСТ) к показателям функционирования заключается в оптимизации некоторой функции стоимости от вектора параметров Е (х) при ограничении на его выбор в виде равенства другой функции - искажений функционирования заданному значению Ф(х) = Р. Решение ЗСТ сводится к решению уравнений Куна-Таккера
\gradF = ЛgradФ (16)
1ф(х )= Р
При невозможности их построения (когда Ф задана алгоритмически) или сложности их сведения к конечному уравнению целесообразно использовать итерационные процедуры решения ЗСТ, основанные на допущении о представимости Б и Ф отрезками ряда Тейлора.
а) если можно принять Е = Е0 +(/0г)+ 2Ф = Ф0 + (Р0£), то уравнения (16) принимают линеаризованный вид:
/0 + = (**)= Р — Ф0
решение которых дается формулами
= г—1 Л*0 — /0)
где л = Р — Ф0 + №-°1/Ю (17)
(*Т-~)0
б) если принять
Е = Е0 + (/0*) Ф = Ф0 + (*0*)+ 18ТЖ8; то уравнения (16) принимают вид
*0 + Ж08 = Л0*0
(**)+ 2 £ТЩе = Р — Ф0
решение которого дается формулами
* = 1 (^0/0 — *0)
где 2( Р — ф0) + (*Т-— 1*)0 (/ТЧ—/)с
Итерационная процедура поиска нулевого приближения х0 с использованием упрощенного аналитического выражения Ф для показателя
функционирования и найденного решения х упрощенной задачи строятся по схеме, выполненной по формуле (17):
хг+1 = х1 +*, I = 0,1,2,...
* = Л]д1—Ъ1, а = 7Ъ = 7/
где Р Ф + В (18)
= Р — Ф + В , А = (*а), В = (*Ъ) А0
I „ 0
при сходимости процедуры х ; х ^ х .
Итерационная процедура уточнения х0 с использованием приближенного градиента ¥ = gradФ и значений ф(хк), определяемых на имитационной модели в последовательности получаемых точек, может быть построена аналогично, однако легко показать, что при замене Фк на Ф0 будет справедливо
к - Р — Фк Ьк
£ = (ф) Ь , поэтому можно предложить схему
хк+1 = хк +£к, к = 0,1,2,...
р — ф
где £ = ткьк, тк =(ъ)> (19)
что следует из условия = Р — Фк.
0 к н
Условия сходимости процедуры х ; х ^ х имеют вид ц + Mto < 1
¡и = max
к
(Ф -УФ, b)
где
M = maxJ—-.—^ k 2(ФЬ)2
(ФЬ\
\(bTWb\
(20)
и t0 = p - Ф0|. Действительно
P - Фк+1 =(( - Фк)-(+1 - Фк ) = (p - Фк )-(уФк Ук)-2 (TWs)k или с учетом (19) и равенства (фкук )= P - Фк
p - ф<p - *(P - Фк)
или, обозначая 1к = \P - Фк |, t^+1 < ¡и + Mtl ={ß + Mtk Ук при условии Л + Mt0 = L < 1, t1 <(ju + Mt0 ) = Lt0 < t0 и tk < Llct0, следовательно, при
к будет tk ^ 0, т.е. lim sk = 0, а
к
bcp _ , bср t
и /„ , \ * 0 i,
Х-x0 =^к =p-s-Y^(p - Фк )и
7-т— У (P - Фк )и X*- X° I < .," ч" .——
(фЬ)сРГУ к) 1 \(ФЪ)ср\ 1 - L
к=0
Реализация схемы (19) при соблюдении условия (20) обеспечивает
к
быструю (в геометрической прогрессии) сходимость последовательности х к конечному вектору х *.
к *
Отметим, что при х ^ х из линеаризованных уравнений Куна-Таккера
следует
f* = д* y* а \fopt = д VYopt
ф*=p 'аК=р
Из VФ = Y(l + 1) по теореме о малом параметре [....] следует х* = xopt + juy. Тогда
F*- Fopt = lu(fopty^ (yTZopty)
Ф* — ФоРг = ОРу)+Д (/^у)
2 2 / \ Тк. Ф* — Ф0р/ = 0 имеем ^"у)?—^ ^^ и р* — Еор, = Д (ут и у )
где и = Zopt— хор№орг
Значение функции стоимости Е в предельной точке отличается от
оптимального на величину второго порядка малости относительно разности точного и приближенного градиентов функции Ф.
Таким образом, линеаризация условий оптимальности позволяет свести решение ЗСТ к двум итерационным процедурам - поиска и уточнения нулевого приближения с аналитическим расчетом поправок и условий сходимости. Предложенные процедуры обладают высокой скоростью сходимости, а значение функции стоимости в предельной точке очень мало отличается от оптимального /32/. Литература
1. Ванг С.Б., Смирнов Ю.М. Обоснование методы субоптимального распределения требований к характеристикам проектируемых систем.
Труды СПбГТУ «Вычислительная техника, автоматика и радиоэлектроника», 1997, № 469, с. 119-129.
2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1998. - 319 с.
3. Семенова Е.Г., Смирнов Ю.М., Фролова Е.А. Структурирование требований к показателям функционирования бортовых комплексов. СПбГУАП, 2004. Депонир. в ВИНИТИ 12.02.2004, № 244-В2004
4. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М.: Советское радио, 1975. - 368с.
