Структура порового пространства и расклинивающее давление в зернистой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3, 550.3, 517.968.28, 517.956.224

Структура порового пространства и расклинивающее давление в зернистой среде

Е.Б. Сибиряков, Б.П. Сибиряков

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Работа посвящена изучению природы появления расклинивающего давления в зернистой среде в зависимости от площади контакта. Показано, что снижение скоростей поперечных и продольных волн под действием порового давления существенно зависит от геометрии контакта. В частности, в случае малых площадок контакта расклинивающее давление может значительно превосходить давление жидкости в порах. Если же площадь контакта достаточно велика, то имеет место обратный эффект — возникновение сжимающих напряжений на площадке контакта, что можно считать упрочнением.

Ключевые слова: удельная поверхность, метод потенциала, расклинивающее давление, микронеоднородная среда

Pore space structure and disjoining pressure in a granular medium

E.B. Sibiryakov and B.P. Sibiryakov

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The paper analyzes the nature of disjoining pressure in a granular medium in relation to the contact area. It is shown that the decrease in transverse and longitudinal wave velocities under pore pressure depends strongly on the contact geometry. In particular for small contact areas, the disjoining pressure can be far greater than the pore liquid pressure. For rather large contact areas, the inverse effect takes place — compressive stress arises on a contact patch, which can be considered as hardening.

Keywords: specific surface, method of potentials, disjoining pressure, microheterogeneous medium

разные нагрузки, которые могут различаться не только величиной, но и знаком. Тем самым, рассматривать зернистую среду как сплошное тело никак нельзя, усреднение поля напряжений по объему среды исключает возможность конструктивного изучения отмеченного явления.

Под расклинивающим давлением понимаются противоположные по знаку нормальные нагрузки на разных частях замкнутой элементарной микроструктуры. Обычно это обстоятельство не принимается во внимание, т.к. предполагается, что в каждой точке среды действуют некоторые средние нагрузки. Тем самым исследуемый эффект есть важнейшее следствие реальной несплош-ности среды.

Для выяснения природы расклинивающих, а возможно, и противоположных эффектов следует проинтегрировать уравнение равновесия выделенного элементарного объема, подвергнутого действию как внешнего давления на площадках контактов, так и давления флю-

© Сибиряков Е.Б., Сибиряков Б.П., 2010

1. Введение

В настоящее время известно, что изменение скоростей поперечных и продольных волн в микронеоднород-ной среде, содержащей флюиды, зависит от разности внешнего давления и давления во флюиде, эффективного давления р = Рвн - Рор [1]. Общепринятое истолкование этой зависимости сводится к тому, что поровое давление «мешает» внешнему давлению закрыть поры и трещины. Его нельзя считать удовлетворительным, так как оба давления — скаляры (не могут быть никуда направлены) и оба осуществляют сжатие среды. Косвенным признанием этого обстоятельства является то, что для удовлетворительного объяснения экспериментальных данных иногда приходится вводить безразмерный множитель неясной физической природы, так что

р = рвн - <ор> п ^ 1 [2].

В действительности, возникает достаточно сложное напряженное состояние на зерне, при котором контакты зерен и боковая поверхность последних испытывают

ида. Напряженное состояние и нагрузки на контактах должны быть определены в ходе решения задачи.

Среда предполагается заключенной в жесткий цилиндр, на вертикальных стенках которого приложено внешнее давление, а давление в жидкости в порах осуществляется независимым образом при неизменном положении пресса.

2. Постановка и решение задачи

Поверхность представляет собой часть сферы единичного радиуса (полярный угол изменяется от 90 до л-90) и две симметричные круговые площадки контакта радиуса sin 90 (рис. 1). Видно, что действуют два различных процесса (рис. 1, а). Справа показано, что сжатие сферы приводит к дополнительному сжатию на площадке контакта. Слева — иллюстрация того, что сжатие вдоль кромки контакта приводит к возникновению дополнительных растягивающих напряжений. Что же возобладает?

На сфере заданы компоненты вектора нагрузки pn =-1, p9 = рф = 0. Упругие модули зерна X = ц = 1. На площадках контакта равны нулю все компоненты вектора перемещения. На части поверхности, свободной от контактов, задано давление р0 (равное pn). Требуется найти нормальную компоненту вектора нагрузок на площадках контакта. Такая постановка соответствует экспериментальной ситуации, когда положение пресса фиксировано, а напряженное состояние в зерне изменяется в соответствии с инжекцией дополнительного малого объема жидкости в поровое пространство.

Задача решалась методом граничных интегральных уравнений. Его суть состоит в том, что перемещения в любой точке объема (в том числе на поверхности) ищутся в виде свертки тензора Грина для пространства с некоторым векторным потенциалом Fk:

Ui(x) = 2^1 Mik (x y)Fk (y)dsy, (1)

где по k ведется суммирование, точка х заключается в объеме и может стремиться сколь угодно близко к по-

верхности изнутри, точка у бежит по поверхности, в ней же берется элемент поверхности. При этом тензор фундаментальных решений третьего рода имеет вид [3]:

Mk=—

1

2ц

S

jL+ r г3

1

2(Л + ц)

drL

n¿sign x, ln(r + | x, |) +

Г - xini r +1 xi1

(2)

где г и т- — проекции радиус-вектора на произвольные декартовы оси; щ — проекция вектора единичной внешней нормали п; х1 — скалярное произведение радиус-вектора г на п, производная д/дт- берется при условии, что дщ/ дт- = 0. Использование тензора фундаментальных решений третьего рода (2) является предпочтительным, т.к. интегральные уравнения для определения вектора потенциала будут регулярными, а не сингулярными. В соответствии с (1) тензор нагрузок Рк будет иметь вид:

n _-3ГГ (Г n0) , pk _ 5 +

Л + ц

,_э_

drk

n(n, n0) - noi + (r,n, n0)[r X n]

r + | X,

r(r + 1 x,|)

(3)

где (г, п, п0) — смешанное произведение трех векторов; [г х п] — векторное произведение; п0 — вектор единичной нормали в точке х. Соответственно, для нахождения компонент вектора потенциала следует использовать уравнение (1), если точка х находится на площадках контакта, и уравнение (4), если фиксированная точка находится на сфере:

Рг(х) = (х) - -2^1(^ у) Рк(у№у. (4)

Таким образом, для нахождения вектора потенциала получается система, в которой часть уравнений являются интегральными уравнениями типа Фредгольма второго рода, а часть — первого. Система уравнений (1)-(4) может быть решена путем преобразования в соответствующую систему линейных уравнений. Однако есть более эффективный метод решения, схожий с изложен-

Рис. 1. Постановка задачи: слева — сжатие сферы приводит к дополнительному сжатию на площадке контакта, справа — сжатие вдоль кромки контакта приводит к возникновению дополнительные растягивающих напряжений (а); сфера и две площадки контакта (б)

ным в [4]. Он заключается в том, что потенциал Р ищется в виде разложения в двойной ряд Фурье. В результате для нахождения искомых коэффициентов разложения необходимо решить систему линейных уравнений, в которой (1) и (4) вычислялись бы в точках х, а количество этих точек в точности совпадало бы с количеством коэффициентов. При этом для вычисления интегралов, входящих в (1) и (4), нужно взять значительно более плотную сетку по у.

Результаты вычислений показали, что 1) компонента потенциала Рф (ф — азимутальный угол) равна нулю на всех поверхностях; 2) нормальные и радиальные компоненты вектора потенциала на площадках контакта совпадают; 3) все компоненты потенциала не зависят от азимутального угла ф.

Данные результаты показывают состоятельность указанного приема решения задачи, т.к. все перечисленные обстоятельства, с одной стороны, очевидны, с другой стороны, могут нарушаться при недостаточно корректном выполнении вычислений.

Кроме того, найденные коэффициенты разложения достаточно быстро убывают с ростом номера гармоники, а увеличение количества членов разложения существенно не меняет решения. Следовательно, получен-

ное решение системы уравнений является устойчивым, использования стандартных регуляризационных процедур не потребовалось. После нахождения потенциала с помощью (4) вычислялась нормальная компонента вектора нагрузки на площадке контакта в точках, находящихся внутри площадки. На границе площадки контакта и сферы вектор нагрузки находился путем интерполяции.

3. Результаты расчетов

Результаты расчетов представлены на рис. 2. Видно, что с ростом отношения радиуса площадки контакта к радиусу зерна средняя нормальная нагрузка на контакте растет. Также можно отметить, что при достаточно больших площадках контакта (рис. 2, а) имеют место не только расклинивающие, но и обратные эффекты (р2 < 0), что можно интерпретировать как упрочнение среды. Средняя нагрузка в этом случае увеличивается при действии порового флюида. Среда в целом упрочняется. На рис. 2, б-г поровое давление приводит к растягивающим нагрузкам на контактах, что вызывает расклинивающий эффект. Следовательно, расклинивающее давление зависит не от пористости, а, скорее, от удельной поверхности порового пространства.

Рис. 2. Зависимость нормальной компоненты вектора нагрузок от расстояния до центра площадки контакта при 00 = П3 (а), П6 (б), П12 (в), П24 (г), П48 (д). Среднее значение нормальной нагрузки р2Ср = -О.231р0 (а), °.346р0 (б), 1-735р0 (в), 4-734р0 (г), 8.949р0 (д) (р0 — поровое давление). Преобладает сжатие (а), растяжение (б-д)

4. Напряженное состояние на отдельном зерне и средние значения отношения скоростей поперечных и продольных волн

Упругое тело, ограниченное жесткими стенками, обладает весьма простым напряженным состоянием, при котором вектор перемещений содержит лишь одну вертикальную компоненту ыг, горизонтальные компоненты равны нулю. Соответственно, тензор деформаций представлен только одной компонентой егг. Уравнение равновесия имеет предельно простой вид: да „

dz

= 0,

(5)

или

а zz = P = const, (6)

где Р — внешнее давление пресса. Используя закон Гука в форме

а zz = + 2^zz = (^ + 2^ )ezz = р

а XX = ^0+ 2Mexx = ^ezz,

получаем, что отношение боковых и вертикальных напряжений связано с коэффициентом Пуассона или отношением скоростей продольных и поперечных волн, т.е.

(7)

—— =-------------= 1 - 2у2 = 1 - 2

7 Vs 82

(8)

К + 2ц

Если площадки контакта симметричны, то изменение параметра у зависит от среднего расклинивающего давления на площадке контакта Pd:

£ = Р(1 - 2 у2) + Р„

а,.

1 - 2y 2 = -^

P + Pd

(9)

Таким образом, изменение параметра у есть

2 2 P

Y2 = Y 0

P + Pi

(10)

В последней формуле у0 есть отношение скоростей поперечных и продольных волн для сухой среды, лишенной флюида.

Отсюда следует, что отношение скоростей падает при насыщении пор жидкостью с ростом порового давления, если площадки контакта достаточно малы.

В настоящее время зоны аномально высоких пластовых давлений определяют по падению скоростей продольных волн. Представляется разумным принимать во внимание также падение отношения скоростей поперечных и продольных волн.

5. Выводы

Результаты расчетов показали, что имеют место как расклинивающие эффекты на площадках достаточно малой площади в сравнении с поверхностью зерна, так и упрочняющие явления на площадках сравнительно больших. Таким образом, снижение упругих модулей, которое в некотором смысле эквивалентно растяжению структуры, происходит не всегда, а зависит от структуры порового пространства.

Обычно зоны аномально высокого пластового давления прогнозируют исходя из уменьшения скоростей продольных волн. Однако это предположение оправдывается не всегда. Как показывают расчеты, аномально высокие пластовые давления не всегда сопровождаются уменьшением нагрузок на контактах, а соответственно, и скоростей волн. Поэтому для прогноза зон аномально высоких пластовых давлений необходимо учитывать структуру порового пространства, а не только пористость.

Таким образом, задача прогноза аномально высоких пластовых давлений флюида в порах требует как прогноза общего напряженного состояния структуры, так и данных о структуре порового пространства.

Литература

1. Shapiro S.A., Kaselow A. Stress and Pore Pressure Depending Anisotropy of Elastic Waves // Poromechanics — Biot Centennial (19052005). - London: Taylor & Francis Group, 2005. - P. 167-172.

2. Yu G., VozoffK., Durney D.W. Effect of pore pressure on compres-sional wave velocity in coals // Explor. Geophys. - 1991. - V. 22. -No. 2. - P. 475-480.

3. СибиряковЕ.Б. Зависимость упругих модулей микронеоднородной среды от структуры порового пространства // Физ. мезомех. -2009. - Т. 12. - № 1. - С. 115-120.

4. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 632 с.

Поступила в редакцию 15.04.2010 г.

Сведения об авторах

Сибиряков Егор Борисович, к.ф.-м.н., снс ИНГГ СО РАН, [email protected] Сибиряков Борис Петрович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИНГГ СО РАН, [email protected]