Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Математика и механика № 55

УДК 517.54 М8С 35С15

Б01 10.17223/19988621/55/2

О.В. Задорожная, В.К. Кочетков

СТРУКТУРА ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА - КУФАРЕВА В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ

В геометрической теории функций комплексного переменного наряду с различными общими проблемами рассматриваются многие частные, являющиеся предметом исследования в настоящее время. Авторы исследуют специальные дифференциальные уравнения, результаты сформулированы в виде теорем, утверждений, лемм, в которых отмечены структурные составляющие интегралов рассматриваемых дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: геометрическая теория функций комплексного переменного, дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева.

1. Классы функций. Формула И.Е. Базилевича. Леммы 1.1. Классы функций Введем следующие классы функций:

С - множество функций р(г),р(0) Ф 0 , регулярных в Е = {г :| г |< 1} и отображающих единичный круг Е на область, расположенную в правой полуплоскости, то есть удовлетворяющих условию Яе[р(г)] > 0 в Е ;

Р - множество функций р(г) е С и удовлетворяющих условию р(0) = 1; С(Т) - множество функций р(г, t), регулярных в Е, непрерывных в Т = {: 0 < t < и принадлежащих классу С при каждом фиксированном

t е Т;

- множество функций /(г), /(0) = 0, / '(0) = 1, регулярных и однолистных

в Е;

5* - множество функций /(г) класса 5, отображающих круг Е на звездообразную область, являющихся решением дифференциального уравнения

/'(г)

/ (I)

и представимых в Е в виде

= р(г) е Р

)(р(I)-1) -

/(г) = г ;

50 - множество функций ф(г) е 5 , отображающих круг Е на выпуклую об-

ласть, являющихся решением дифференциального уравнения

1 + ^ = р(г) е Р

ф'(г)

и представимых в Е в виде

1 1

ф( г) =1 е0 1 ¿1.

о

Заметим, что функции /(1) е * и функции ф( 1) е 50 связаны равенством / (1) = 1ф'(1).

В теории однолистных функций хорошо известно первое

= -/(1,0/) (1.1)

дг (1, г)

1

и второе ^) = р( 1'') (1.2)

д

дифференциальные уравнения Левнера - Куфарева, где

р(5, г) е С(Т), 5 е Е, г е Т, обобщающие соответствующее уравнение Левнера [1 - 4].

1.2. Формула И.Е. Базилевича

При рассмотрении первого дифференциального уравнения Левнера - Куфарева (1.1) в частном случае И.Е. Базилевич вывел формулу, которую оформим в виде теоремы.

Теорема 1: Пусть функции р1 (1), р2 (1) е С . Тогда функция

/ (1) = (а Ь( 1) )рк, (1.3)

где а = р2^°1, Ь( 1) = [р1(1) 1Р2(0)-1у(1 )11, (1.4)

Р1(0) о

1 ¿2 ! ( р2( 1)- р2(0))—

у( 1) = е0 1 , (1.5)

регулярна и однолистна в Е, если под /(1) понимать ту ветвь многозначной функции, которая имеет разложение

/(1) = 1 + с212 +....

Функция /(1) в (1.3), при обозначениях (1.4), (1.5), включает известные

функции: звездообразные, выпуклые, спиралеобразные, почти-выпуклые, класс функций с ограниченным вращением. Напомним, что данную формулу И.Е. Базилевич получил в результате применения первой формулы Левнера - Куфарева (1.1) [1 - 4].

1.3. Леммы

Сформулируем и докажем следующую лемму:

Лемма 1. Пусть функции p1 (z), p2 (z) e C .

Тогда имеют место эквивалентные соотношения

a ( z ) a2 ( z )

a1(z) + ta2(z) Ф 0, t + Ф 0, t-^ +1Ф 0 (1.6)

a2( z ) aj( z )

в E при любом t > 0, где

a2( z ) = zP2(0)v( z). (1.7)

Функция v(z) имеет вид (1.5), а aj(z) определяется по формуле

aj(z) = |pj(z)z~la2(z)dz = Jpx(z)zP2(0)-1v(z)dz = b(z). (1.8)

Доказательство. В отличие от И.Е. Базилевича к функции (1.3) можно прийти при применении второго уравнения Левнера - Куфарева. Действительно, относительно функции

F ( z, t) = (( z ) + ta2( z ) ))0 (1.9)

составим отношение вида

zF = za^ + tza^ (1.10)

Ft a2( z) a2( z )

zF

или —f = pj(z) + tp2 (z), pj(z), p2 (z) e C, (1.11)

Ft

Щ (z)

где pi( z ) = —^f, (1.12)

a2( z )

za2(z)

P2(z) = -^7. (1.13)

Û2( z )

Из (1.12), (1.13) находим a2(z) вида (1.7) и a1(z) в виде (1.8) при обозначениях (1.5), (1.7). Дифференциальное уравнение (1.10) или (1.11) является дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева второго типа вида (1.2). Функция

w ч F(z,t) 0 ф(z, t) = v ' ' e S Fz (0,t)

при каждом a2( z ), при этом ф( z, œ) e S *, а ф( z,0) является функцией И.Е. Базилевича (1.3) - (1.5). Из регулярности и однолистности в E при каждом a2(z) функций ф( z, t) и F (z, t), t e [0, +œ) в (1.9), с учетом (1.10) - (1.13), (1.5) -

(1.8) следуют неравенства (1.6). Лемма 1 доказана.

З а м е ч а н и е 1. Неравенства (1.6) можно установить другими способами без рассмотрения второго дифференциального уравнения (1.2) в виде (1.11).

Следствие леммы 1. Пусть р1 (1), р2 (1) е С . Тогда в Е

1

[ рх( 1) 1р2(0)-1у( 1 )11

А( 1) = = о--* 0.

а2{ 1) 1р2(0)у( 1)

Пусть кх (1), к2 (1), к(1) = кх (1) • к2 (1) регулярные в Е функции и таковы, что

А( 1) = к(1) = к1( 1) • к2( 1). Очевидно, что существует множество пар кх( 1),И2( 1),к( 1) = кх( 1)• И2( 1), таковых, что выполняется соотношение

к(1) = кх (1) • к2 (1) = И( 1) = кх (1) • ¿2 (1) = А( 1). В дальнейшем считаем, что к1 (1), к2 (1) е С и таковы, что выполняется вышеуказанное соотношение. В этом случае при фиксированном к1 (1) имеем

к2( 1) = ^. к] (1)

Лемма 2. Пусть к1 (1), к2 (1) е С, к(1) = к1 (1) • к2 (1). Тогда функции

= (1.14)

1 г+к (1)

кг( 1 )г2 + к2( 1 )г+к,( 1)+к2( 1)

e2(l, г) =-- (1Л5)

г+к (1)

принадлежат классу С (г) в Е при всех г > 0 .

Доказательство. Умножив числитель и знаменатель в правой части (1.14), (1.15) на г + к, непосредственно убедимся, что Яе[ег- (1,г)] > 0 в Е при любых г > 0, г=1, 2. Например, в случае е1(1,г) в (1.14) имеем

е (1 г) = V2 + г к +1 к2|2 • к2)+к! |к2|2 1 , |г+к (1)|2 .

Откуда следует, что Яе[е1( 1.г)] > 0 в Е при каждом г > 0, что означает, по определению, что е1( 1,г) е С(Т). Лемма 2 доказана.

З а м е ч а н и е 2. Из (1.10) - (1.13) можно видеть, что в случае линейных правых частей (1.10), (1.11) установить соответствие между ними не представляет проблемы. Однако при рассмотрении в следующем параграфе нелинейных правых частей задача построения правой части с положительной вещественной частью в общем случае представляет трудность. Применение вышеизложенных лемм способствует облегчению проблем.

- V ¿К + ^ 2. Уравнение вида —г = —-1--— в пространстве (С.

Второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева

^ - р (г)* + р1( 1+ г) Г е Е * е Т - ГП

-=т — Р2(г)* +-Т\—'г е Е е 1 —

^ * + А&)

Рп( г )

с основной нелинейной составляющей вида г, *) — е°' • (а* + А) Теорема 2. Пусть

1) р0 = р0 (1), р = р1 (1), р2 = р2 (1) принадлежат классу С;

2) функция с=с(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению

1с'( 1)

c( z)

и представима в Е в виде

= P2(z) б C (2.1)

z dz

(0) l(P2(z)-P2(0))-c(z) = zp 2 • e0 z , z £ £ ; (.2)

3) функция a(z) представима в Е в виде

Zc(z> Pi(z)—

a(z) = c(z) • e° z ; (2.3)

4) функция b(z) представима в Е в виде

z dz

b(z) = J c(z) • a(z) • p0( z)—; (2.4)

о z

5) функции p0 (z), p1 (z), p2 (z) удовлетворяют соотношению

( p1 Л p1 za' 1 ( za' zc' A

z| — I + —----1---) = c • po. (2.5)

V P0) P0 a c V a c )

Тогда функция

F(z,t) = (g(z,t))2P2(0) = ( • (at + b))^2(0) = c1(t)z + c2(t)z2 +... (2.6)

удовлетворяет уравнению Левнера - Куфарева вида

F = p2(z)t + pi(z)t + p0(z), z £ E, t £ T = [0,«,). (2.7)

F P2( ) t + № ' , [ , ) ( ; P0( z)

Доказательство. Применительно к функции F(z,t) в (2.6) составим отношение

zFz z(g (z, t)) z zac't2 + t(zbc' + za') + zb'

F't (g (z, t))' act + bc + a

(2.8)

Уравнение (2.1) является уравнением с разделяющими переменными, решением которого является функция с(1) вида (2.2). Делением числителя на знаменатель

в правой части (2.8), используя (2.1) и полагая

Ье+а = А, (2.9)

ас р0

2Ьс' + 2а'-р2(Ьс + а) _ (210)

— р], (210)

ас

— _ р0, (2.11)

ас

перепишем выражение (2.8) в виде (2.7).

Так как функция р(2/) в правой части (2.7) принадлежит классу С(/), г е Е, t е Т — [0, да), то дифференциальное уравнение (2.7) является вторым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева. Из (2.9) следует

р

Ьс + а ——- ас, р0

откуда Ь — — а -а. (2.12)

Р2 с

Дифференцируя выражение (2.12), получим

г

, ; I Р1 I Р ; а' ас' ^ , „ч Ь' — I а + а'--+-. (2.13)

IР2 ) Р2 с с2 Подставляя (2.9) и (2.12) в (2.10), получим дифференциальное уравнение относительно а=а(2), интегрируя которое, получим (2.3). Из (2.11) имеем

Ь' — ас-р0 . (2.14)

2

Выражения в (2.13) и (2.14) совместимы при выполнении соотношения (2.5). При выполнении равенства (2.5), из (2.14) имеем

Ь(2) — |а(2)с(2) й2 .

Последнее выражение совпадает с (2.4). Теорема 2 доказана.

З а м е ч а н и е. При каждом фиксированном t е [0, да) функция Е(2,t) в (2.6) будет являться функцией переменной 2 е Е . В ситуации (2.6) ветвь степени определяется фиксированием коэффициента с1(2) при 2 в разложении функции в ряд Тейлора.

3. Уравнение вида —г = —----— в пространстве С.

Второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева —Г — Р2(г)* + Р|(г+ Р"/г), г е Е, г е Т — [0,да), с основной

г + Рх( г) Р2 (г)

нелинейной составляющей вида g( г, г) — а2 (г )г2 + а1 (г )г + а0 (г)

Теорема 3. Пусть

1) Р2 (2), Р1 (2) е С ;

| Р2(2)-Р2(0)

2) V (2) — е0 2 ;

2

3) к(2) — |р1 (2) • 2Р2(0)Л(2)d2;

0

4) а2(2) — 22Р2(0) • V2 (2);

5) Р°(2) 2Р2(2)v(2)р1(2) е С . Тогда функция

1

Е(2, t) — {а2 (2У 2 + а1 (2^ + а0 (2)} 2Р2 (0) — c1(t)2 + с2^)22 +...,

где аг(2) — 2Р2(0) • v(2)2к(2),

2

а0( 2) — 21 Р0( 2 ) • 2 2 Р2(0)Л 2( 2 )<Ь 0

регулярна и однолистна в Е при каждом t, t > 0 .

С учетом результатов, полученных во втором параграфе, и выражения

g (2, t) — а2( 2 )t2 + а1( 2 )t + а0( 2) имеем

2а'2(2) 12 + 2а{(2) t + 2а0(2) 2Е1— 2(g(2,t)) 2 ( — 2а2(2) 2а2(2) 2а2(2) (3

Е ^(2, t)); Р(,) t+• 1 • ;

2а2 (2)

Полагая

— Р2(2) е С, а2(2) — 22Р2(0) ^У2(2), (3.2)

2а2 (2)

с последующим делением в (3.1) числителя на знаменатель, получим

2а{(2) - Р2 (2)ах (2) + 2а0(2)

, ч , ч 2а2(2) 2а2(2)

р(2, t) — Р2 (2)t +-^ ' ( )-^ . (3.3)

2а2 (2)

Обозначив

zg'( z) - p2( z)a1( z)

= Pi(z) e C , (3.4)

2а2 (1)

имеем 1а1'(1) - р2(1)а1(1) = р^) • 2а2(1). (3.5)

Интегрирование относительно а1( 1) уравнения (3.5) дает

a (z) = zP2(0) • v(z) • с + 2 J p1 (z) • zP2(0)-1v(z)dz V 0

Из (3.5), (3.2) имеем

(3.6)

1(z) =J pi(z) • zp2(0)-1 •¥(z)dz

2a2( z) zp2(0)-1 • v( z )

Пусть

= A( z). (3.6')

р()( 1) = е С . (3.7)

М1)

В случае соотношения (3.7) имеет место равенство

А( 1) = р1( 1) • р0( 1). (3.8)

С учетом (3.1) - (3.8) выражение в (3.3) перепишется в виде

р( 1, г) = р^+^Щ^. (3.9)

г + л( 1) • р0( 1)

В^1ражение в (3.9) несколько отличается от соответствующего выражения в теореме 1. Функциир(1,г) в (3.9) и

е( 1, г) = р'( 1 )г + р0( 1) (3.10)

г + рг( 1) • р0(. 1)

в (3.10) принадлежат классу С(Т), и, следовательно, соответствующее дифференциальное уравнение является вторым дифференциальным уравнением Левнера -Куфарева. Положим

za0( z)

= P0(z) e C , (3.11)

2а2( 1)

гдер0(1) определяется соотношением (3.7) при условии (3.6). Рассмотрением (3.11) указываем выражение а0(1):

а0(1) = 21р0(1) • 12р2(0)-1 •у2(1)11. (3.12)

Заметим, что функция

е(1,г) = р1( 1 )г + а0 р0( 1) + а1 р1( 1) (3Л3)

г + р:( 1) • р0( 1)

также будет принадлежать классу С(Т).

Поэтому вместо (3.11) мы можем полагать 1а0(1)

—^ = а0 р0(1) + а1 р1(1), а0 > 0, а1 > 0, (3.14)

2а2 (1)

где а0, а1 удовлетворяют условию а0 + а1 Ф 0.

В ситуации (3.14) выражение в (3.12) перепишется в виде

а0(1) = 21 а р0(1) + а1 р1(1)) 12 р2(0)-1 • у2(1)й1.

Объединяя вышеизложенное, получим результат, указанный в формулировке теоремы 3.

Функции К(1,г), ф( 1, г) = К(1, г) , ф( 1,0), ф( 1, да) удовлетворяют всем условиям,

(0,г)

являющимся достаточными для утверждений теоремы 3. Теорема 3 доказана.

К числу различных важных направлений исследований относятся обратные задачи. Понятия «обратная функция», «обратная задача» связаны с понятиями взаимнооднозначного, биективного, однолистного отображений, однолистной функции, рассмотренных в [1-5]. Со времен Ж. Лиувилля, доказавшего неразрешимость в квадратурах дифференциальных уравнений некоторых типов, актуальной остается задача указаний случаев интегрируемости дифференциальных уравнений. В данной статье, таким образом, мы указали структуру интеграла и условия, при которых функция определенного вида является решением дифференциального уравнения Левнера - Куфарева.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск.: Томский государственный университет, 2001. 220 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев А.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. 1975. Т. 30. Вып. 4(184). С. 3-60.

4. Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера -Куфарева // Матем. сб. 1955. Т. 37. № 3. С. 471-476.

5. Кочетков В.К., Задорожная О.В. Некоторые вопросы аналитической теории дифференциальных уравнений и геометрической теории функций комплексного переменного. Элиста: Издательство Калм. ун-та, 2014. 160 с.

Статья поступила 24.04.2018 г.

Zadorozhnaya O.V., Kochetkov V.K. (2018) THE STRUCTURE OF INTEGRALS OF THE SECOND LOEWNER-KUFAREV DIFFERENTIAL EQUATION IN A PARTICULAR CASE Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 55. pp. 12-21

DOI 10.17223/19988621/55/2

Keywords: geometric theory of functions of a complex variable, Loewner-Kufarev differential equation.

In the geometric theory of functions of a complex variable, the first and the second Loewner-Kufarev differential equations are well known. Considering the first one of them, I. E. Bazilevich pointed out the class of univalent functions in a unit circle, now known as I. E. Bazilevich's class.

This paper shows that I. E. Bazilevich's formula can be derived by considering the second Loewner-Kufarev equation with a linear right-hand side. We have also studied a differential equation with a nonlinear right-hand side, rational in a particular case. The problem point in the latter case is to specify a parametric family of regular functions with a positive real part in the unit circle at each fixed value of the parameter. The two lemmas proved in the paper simplify the problem of constructing a right-hand side with a positive real part when considering nonlinear right-hand sides.

AMS Mathematical Subject Classification: 35C15

ZADOROZHNAYA Olga Vladimirovna Candidate of pedagogics, Kalmyk State University, Elista, Russian Federation). E-mail: [email protected]

KOCHETKOV Vladimir Konstantinovich (Сandidate of Physics and Mathematics, Kalmyk State University, Elista, Russian Federation). E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Aleksandrov I.A. (2001) Metody geometricheskoy teorii analiticheskikh funktsiy [Methods of the geometric theory of analytical functions]. Tomsk: Tomsk State University Publ. 220 p.

2. Aleksandrov I.A. (1976) Parametricheskiye prodolzheniya v teorii odnolistnykh funktsiy [Parametric continuations in the theory of univalent functions]. Moscow: Nauka. 344 p.

3. Avkhadiev F.G. et al. (1975) The main results on sufficient conditions for an analytic function to be schlicht. Russian Mathematical Surveys. 30 (4). pp. 1-63.

4. Bazilevich I.E. (1955). Ob odnom sluchae integriruemosti v kvadraturakh uravneniya Levnera - Kufareva [On one case of integrability in quadratures of the Loewner-Kufarev equation]. Math. USSR Sb.37(3). pp. 471-476.

5. Kochetkov V.K., Zadorozhnaya O.V. (2014) Nekotorye voprosy analiticheskoy teorii different-sial'nykh uravneniy i geometricheskoy teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo [Some problems of the analytical theory of differential equations and geometric theory of functions of a complex variable]. Elista: KalmSU. 160 p.