Структура и динамика зародыша новой фазы в редкоземельных ортоферритах в магнитном поле в области перехода типа Морина Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 24 (205).

Физика. Вып. 8. С. 42-49.

И. Р. Каюмов, М. А. Шамсутдинов, А. П. Танкеев

структура и динамика зародыша новой фазы в редкоземельных ортоферритах в магнитном поле в области перехода ТИПА МОРИНА

В работе аналитически и численно изучена структура и динамика зародыша новой стабильной слабоферромагнитной фазы Ох^'г, находящегося в недрах метастабильной родительской несимметричной фазы ОуОхГг при спин-ориентационном фазовом переходе, индуцированном магнитным полем H || с-оси в диспрозиевом ортоферрите .

Ключевые слова: спин-ориентационный фазовый переход, зародыш новой фазы, нелинейная волна.

Введение. Среди разнообразных спин-ориентационных фазовых переходов к настоящему времени наиболее изученными являются переходы в редкоземельных ортоферритах (РЗО) [1-8] . В отсутствие поля, как известно [1], в РЗО при разных температурах могут быть устойчивы фаза ОхЕг, Ог¥х (слабоферромагнитные фазы — по терминологии, принятой в книге [1]) и фаза Оу (антиферромагнит-ная [1]) . Между этими фазами могут происходить спонтанные и индуцированные фазовые переходы . Так, при некоторой температуре в отсутствие поля происходит фазовый переход первого рода Оу Ох¥г [1], который относится к переходу типа Морина . При наличии поля, параллельного с-оси кристалла, возможно появление несимметричной (угловой) фазы ОуО^г [2] • В этом случае может иметь место фазовый переход первого рода между угловой и симметричной фазой, т . е . ОуОх¥г ^ О-^г [2] . Экспериментальные наблюдения такого перехода в DyFeOз [2-3] свидетельствуют о том, что в области спиновой переориентации возникает промежуточное состояние, представляющее собой доменную структуру из чередующихся доменов слабоферромагнитной и угловой фазы . При этом межфазные доменные границы, разделяющие домены слабоферромагнитной и угловой фазы, сосуществующие при рассматриваемом спин-ориентационном переходе, являются (90-9о)-градусными .

В последнее время интерес к РЗО возрастает [56] в связи с обнаружением их перемагничивания фемтосекундными импульсами и возбуждением в них нелинейных колебаний намагниченности вблизи фазовых переходов

Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованиям спин-ориентационных переходов в РЗО, поведение зародыша новой

фазы на этапе его зарождения (предпереходно-го состояния), предшествующем образованию равновесных доменов новой фазы, ограниченных межфазными границами, остается малоизученным

Целью настоящей работы является теоретическое изучение структуры и динамики зародыша слабоферромагнитной фазы Ох¥г в недрах родительской фазы ОуОуЕ'г в РЗО вблизи точки фазового перехода первого рода в магнитном поле В качестве модели зародыша рассматривается область неоднородности, очерченная взаимодействующими (90-9о)-градусными межфазными границами, которые моделируются как двухсо-литонные образования, существующие в недрах фазы ОуО^г .

Постановка задачи. Структура зародыша новой фазы. Рассмотрим пластину РЗО с поверхностью, перпендикулярной с-оси кристалла (рис . 1) . В дальнейшем полагаем, что оси декартовой системы координат х, у, г совпадают с a-, Ь- и с-осями кристалла соответственно . При изучении нелинейной динамики слабого ферромагнетика удобно исходить из уравнений для нормированных векторов ферромагнетизма т и антиферромагнетизма 1, связанных с векторами намагниченности подрешеток М^ и М2 в двухподрешеточной модели соотношениями [7]

т = ( Мх + М2) / ( 2М 0),

1 = (МХ - М2)/(2Мо), (1)

где |М1 = |М2| = М0 — намагниченность насыщения магнитных подрешеток

Для записи уравнений движения используем лагранжев формализм . Функция Лагранжа Ь рассматриваемого РЗО в магнитном поле Н = (0, 0, Нг ) имеет вид [9-10]

Рис. 1. Геометрическая модель зародыша фазы О^г в недрах родительской — угловой фазы ОуО^г (схематически)

L = -XL. l2 - H[ll] -

2y2 Y

- і A 2

ід О2

d x

ід l V

d y

д z

- Fa + MclxHz, (2)

где ¥а — энергия магнитной анизотропии — определяется следующим образом:

р = -1 К/, -1 к Л +

''bc z

+1 (КХ + КП}1>. I*+к). (3)

Для случая т << 1 вектор слабого ферромагнетизма т удается выразить через вектор антиферромагнетизма 1:

1

m

2He [у M

-[Іі]-1(1 H) + H¡

2M„

lz n x

Mc

2Mft

(4)

Здесь Хх = М0 / НЕ — антиферромагнитная восприимчивость, Не — обменное поле; у — гиромагнитное отношение, А — константа неодно -родного обменного взаимодействия, КаЪ = — К,

КЬс = КЬс -Х±н] /2, К2} = 2К2 — эффективные константы магнитной анизотропии, Мс, Ма = М0И0 / НЕ — величины слабоферромагнитных моментов вдоль с- и а-осей соответственно, Н£) — поле Дзялошинского; пх, пг — единичные вектора вдоль соответствующих осей декартовой системы координат

В объеме ромбического кристалла при отрицательной константе анизотропии Кьс спонтанные спин-ориентационные фазовые переходы происходят путем поворота вектора антиферромагне-

тизма l в (аб)-плоскости [9-10] . Переходя к угловым переменным 1 = l0 (sin 9, cos 9,0), где 0 = 0(х, y, t) — угол между b-осью кристалла и вектором в (аб)-плоскости (рис . 1), плотность энергии рассматриваемого РЗО можно представить в виде

W =1A 2

И-

dx )

d0 Л

dy

4l*2 IG(0),

G(0) = (1 + g) sin2 0 - sin4 0 - h sin 0, (5)

где

g = (K + K2)/1K2|; h = 2MCHZ/|K2\. (6)

Как известно [1-3], в отсутствие поля (H = 0) при Kj > 0 устойчива фаза Gy, где l || b (0 = 0, п), а при Kj > 2K2 < 0-фаза GxGz, где l || a-оси (0 = п/2, 3п/2) . В случае отрицательной второй константы магнитной анизотропии, т. е . K2 < 0, при Ki(Tp) + K2 = 0 (g = 0) имеет место фазовый переход первого рода между антиферромагнит-ной (Gy) и слабоферромагнитной (Gx Fz) фазами . Такой спонтанный фазовый переход имеет место, например, в DyFeO3 при температуре Морина, т. е . при Tp = TM [1-3] . Области существования фаз Gy и Gx Fz перекрываются . Таким образом, в отсутствие поля (h = 0) параметр g характеризует близость системы к температуре Тм спонтанного фазового перехода Gy GxFz (g = 0 при T = Тм).

Рассмотрим теперь влияние внешнего магнитного поля H || с-оси кристалла на возможные фазы и переходы между ними в области спонтанного перехода типа Морина . Равновесные состояния в поле определим исходя из условий

dG

Э9

= 0,

д 20 Ш2

> 0.

(7)

Анализ (7) показывает, что существует два типа решения . Первое — 9 = п/2, что соответствует симметричной фазе ОхГг, второе решение — 9 = 9о, что соответствует несимметричной (угловой) фазе ОуО^г. Значение 9о определяется решением уравнения

2(g + соз(290)) 8Іи 90 - к = 0.

(8)

В слабых полях и вблизи спонтанного фазового перехода, т . е . при выполнении условий

к << 1, |#| << 1

(9)

для определения 9о можно воспользоваться приближенным решением уравнения (8):

90 « к /2. (10)

Фаза Ох^г (9 = п/2) устойчива при

я < 1+|, (11)

а фаза ОуОх^г (9 = 90) устойчива при

5к2

Я >-1 + -^~. (12)

Как видно из (11) и (12), области существования фаз ОхЕг и ОуО^г перекрываются . Переход между фазами, который является фазовым переходом первого рода, происходит в поле Нг, при этом сравниваются энергии обеих фаз: W(9 = = п/2) = W(9 = 90) . Анализ показывает, что при выполнении условия к << 1 переход между фазами происходит при

g ~ к. (13)

Таким образом, если в отсутствие поля (Н = 0) основными состояниями РЗО являются фазы Оу и Ох¥2 и переход между ними происходит при Я = 0, то в поле И2 < |К2|/Мс вместо фазы Оу имеем несимметричную (угловую) фазу ОуО^г • Причем переход между фазами ОуОх¥г и Ох¥2 происходит при g - к ~ 0 . Переход смещается в сторону положительных я по сравнению со случаем к = 0 (в DyFeOз по температурной шкале — в сторону уменьшения температуры по сравнению с температурой Морина при Нг = 0 [2]) .

В дальнейшем будем рассматривать ситуацию, когда фаза ОхЕг является стабильной, а фаза ОуОх¥г — метастабильной, т . е . параметры Я и к удовлетворяют условиям

-1 +

5к 4

< я < к << 1.

(14)

Рассмотрим структуру одномерного зародыша стабильной фазы ОхЕг в недрах метастабильной родительской фазы . Угол 9 при этом будем считать зависящим только от одной пространственной координаты и времени, т. е .9 = 9 (х, 0 . Структура одномерного зародыша определяется решением дифференциального уравнения

о 2 СІ20 ёв 5" ё? -

(15)

где 50 = ^А /|К2 . При этом граничные условия имеют вид

0(|х| ^да) = 0о, вх(|х| ^да) = 0,

0( х = 0) = 0т, 0 х (х = 0) = 0. (16)

В (16) 9т — максимальное значение угла 9 в центре зародыша (х = 0) . Решение (15) можно записать в виде

5о 0 (0(0) - О(0о))

1/2 =

(17)

где 90 определяется решением уравнения (8) . Уравнение для определения 9т можно получить, интегрируя (15) . Тогда с учетом граничных условий (16) получим

О(0„,) - 0(в„) = 0. (18)

В общем случае при Нг Ф 0 система уравнений (8), (18), определяющих 90, 9т, может быть решена только численно . В случае малых я и к угол 9д определяется (10), а 9т равно

0,

/2 .

(19)

где h - g >> h2 . Решение (19) определяет форму одномерного критического зародыша с амплитудой 0т, который достаточен, чтобы инициировать переход всей системы из метастабильно-го (ОуОхЕг) в абсолютно устойчивое однородное состояние (ОхГг) в массивном бездефектном кристалле . С увеличением магнитного поля (к) при заданной температуре (параметре я) амплитуда критического зародыша уменьшается Динамика одномерного зародыша. Переходим к исследованию динамики зародыша новой стабильной фазы ОхГг, находящегося в недрах метастабильной фазы ОуОхЕг. Из уравнения Эйлера — Лагранжа с учетом (2), (3) можно получить

д 20 д 20 д 20 1

-^Т-------2-------2 + - 81П(40) =

дг2 дх ду2 4

= - — б1п(20) + 2 ООБ 0.

2 2

(

(20)

Уравнение (20) описывает динамику магнитных неоднородностей в виде зародышей новой фазы, находящихся в недрах родительской фазы . При получении (20) сделаны следующие замены: М / 80 ^ I, х / 50 ^ х, у / 80 ^ у;

с = УлД/х1 .

Вначале исследуем динамику одномерного 9 = 9(х, ¿) зародыша новой фазы Ох^г. Вводим новую переменную

и = 4(9-90), 90 << 1.

(21)

Тогда уравнение (20) можно переписать в виде

д2и д2п

— - — + 8ІИ и = Р(и, Н, g),

дґ дх

(22)

где

и

Р(и, И, g) = -2 g біп- +

+4И

. 2 и .2 и біп — біп

2 8)

Здесь произведена замена переменных:

соз(490) * ^ 1- 2И2 ^ х^, °0 °0

(х = х у);

(23)

сі

—— І.

(24)

(25)

Уравнение (22) описывает динамику одномерных магнитных неоднородностей в виде зародышей новой фазы ОхРг, находящихся в недрах родительской фазы ОуОх¥г .

Уравнение (22) представляет собой возмущенное уравнение sin-Гордон, где роль возмущения играет функция Р(и, к, g) <<1, исчезающая на бесконечности:

э), ^ % )^0. (26)

Так как рассматривается влияние возмущения на локализованные неоднородности, в качестве невозмущенного состояния естественно выбрать двухсолитонное решение невозмущенного уравнения в виде

и = 4 аг^

1 -О

О + г2

-г2 <О< 1;

(27)

(28)

При наличии возмущения в (27)-(28) параметры О = О(), е = е() полагаем неизвестными функциями времени . Причем О считаем медленно изменяющейся с течением времени . Применяя далее приближенный метод [11], представляющий по своей сути обобщение методов Ван-дер-Поля на случай распределенных систем, можно получить следующую систему уравнений:

о = -

2 яе(1 -О)

1 + Е2

[1 + Г[Ы )(О, є)] + 2кє^-1—О Г^ )(О, є),

_ 2 , г21й)(О, є) /1 + є2

єІ = О + є2 +g-к- 2 '

1 + Г<1Л)(О,є) 41 -О

(29)

Здесь

ГГ ЧО є) =

Г(2Ы )(а,є) = 2Е

О + е

То-^хї+Є)

ЛтеЬ.І——, (30) 0 + е

і-а

1 + 82

ґа+е2 Л 1 + 82

31^1-1 1 + є2

(31)

В (31) Е У (1 -ОД1 + в2)) — полный эллиптический интеграл второго рода . Система (29) определяет зависимость параметров О и е соли-тонного решения (27) от времени Отметим, что при к = 0 система уравнений (29) совпадает с системой, приведенной в работе [11]

Таким образом, исследование динамики различных локализованных магнитных неоднородностей в РЗО сводится к решению системы из двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями, т . е .к решению задачи Коши . В данной работе для численного нахождения зависимости от времени параметров О и е двухсолитонного решения применялся метод Рунге — Кутты четвертого порядка, относящийся к четырехэтапным методам Данный метод часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений из-за его высокой точности . Отличительная особенность метода Рунге — Кутты четвертого порядка — уточ-

нение наклона интегральной кривой за счет четырехкратного вычисления производных .

Система (29) при g << 1, к << 1 имеет одну осо-бую точку

(32)

где решение (27) описывает критический зародыш состояния Ох^, амплитуда которого равна

/ I------Л

em =0О + arctg

1 -П

О

а

Следует отметить, что значение 9т по формуле (19), найденное непосредственно из уравнения движения, совпадает со значением 9т, определяемым по формуле (33) .

Из (4) с учетом (21), (27) и (28) можно получить для вектора ферромагнетизма выражение

є = -ш ctg х.

(35)

В этом случае, как показывают исследования, зародыш новой стабильной фазы Ох¥1, имеющий форму бризера, совершает нелинейные колебания (рис 3)

Стационарные волны в недрах зародыша новой фазы. Рассмотрим теперь динамику двумерного зародыша устойчивой фазы О^2 внутри метастабильной фазы ОуОхГ2 вблизи температуры спонтанного фазового перехода в малых полях, параллельных с-оси кристалла, т. е . будем считать, что параметры я и к удовлетворяют условию (14) . Угол 9 будем считать зависящим от двух пространственных координат и времени: 9 = 9(х, у, 0 . Уравнением движения при этом является уравнение (20) . Его решение будем искать

m

Я,

2 Я„ + 4 Мг

h -eos — + 2sin — 4 4

n

Z ">

(34)

где е = е(0 определяется из системы (29) . В дальнейшем для расчетов используем наиболее характерные для РЗО значения: Н2 / НЕ «10-5, Мс /М0 ~ 0,1, МсИг/|К2|» 0,1.

Как показывает анализ, при я и к, удовлетворяющих условию (14), в случае начальной амплитуды зародыша больше критической 9т он распадается на две удаляющиеся друг от друга (90-90)-градусные межфазные стенки (рис . 2), образуя при этом домен фазы ОхГ2 .

Если же начальная амплитуда зародыша меньше критической 9т, то анализ системы (29) удобно проводить в новых переменных, проводя замену

в виде локализованной вдоль a-оси волны 9 = вех, § (¡и y -vt) i-K-V-) , движущейся вдоль b-оси кристалла, т . е . вдоль зародыша фазы GxFz со стационарной скоростью V < 1 . Скорость распространения такой волны меньше предельной скорости стационарного движения стенок, равной минимальной фазовой скорости спиновых волн на линейном участке их закона дисперсии .

Вводя, как и в одномерном случае, новый угол согласно (21), уравнение (20) можно переписать в виде

д2ы д2и .

—у + —- - sin u = -P(u, h, g), (36)

дх2 di2

Рис. 2. Эволюция параметров 0(1), е(0 (а) и распад зародыша новой слабоферромагнитной фазы GxFz с образованием домена фазы GxFz (б) при к = 0,1, g = -0,05, = 0) = 0,1, е(? = 0) = 0

Рис. 3. Зависимость параметров солитона от времени (а) и нелинейные колебания зародыша новой слабоферромагнитной фазы GxFz (б) при h = 0,1, g = -0,05, т ^ = 0) = 0,632, х ^ = 0) = п/2

где P(u, h, £) определяется из (23) . Уравнение (36) представляет собой возмущенное двумерное уравнение — эллиптический sin-Гордон . Для ре -шения этого уравнения применим метод, предложенный в [11] . Ограничиваясь исследованием влияния возмущения на локализованные неоднородности, решение уравнения (36) естественно выбрать в виде решения невозмущенного эллиптического уравнения sin-Гордон:

и = 4 arctg

о г. • u

щ = 2 D sin—.

s о

(37)

(38)

В возмущенной задаче параметры О и D являются неизвестными функциями переменной § . Уравнения для определения О(§) и О(§) получаются из (29) путем замен: t ^ §, 82 ^ —О2, а также в первом уравнении системы (29) 8 ^ -О. Для численного исследования полученной системы применялся метод Рунге — Кутты четвертого порядка

Выражение для вектора т имеет вид

m

Я.

2 ЯЕ + 4 M,

/ \

h • cos — + 2sin — 4 4

где Q0 = const, Q10 << |h - g\, a — начальная фаза волны . Выражения (37) и (40) описывают распространение вдоль b-оси гармонических осцилляций ширины и амплитуды зародыша слабоферромагнитной фазы GxFz, находяще-гося в недрах угловой фазы GyGxFz. Длина и частота распространяющейся волны при этом равны

Х = п.

|2(1 - V2)

|g - h\

a = V.

2| g - h\

1 - V ‘

(41)

Вдали от особой точки систему уравнений для определения О(§) и О(§) можно решить только численными методами, причем гармоническая зависимость параметров О и О от §, определяемая (40), в этом случае, как видно из рис . 4, а, нарушается . На рис . 4, б представлена волна колебаний вектора т, распространяющаяся вдоль зародыша стабильной фазы GxFz, сопровождающаяся периодическими пульсациями ширины и амплитуды зародыша новой фазы . Следует отметить, что в двумерной модели распад зародыша с образованием домена новой фазы GxFz при скоростях V < 1 не происходит. Как показывает анализ, аналогичный

1V • D(5) I \К2 4л/і - V:

Л

м 0 Яе

— Sin — 2

n.

(39)

Решение системы уравнений, полученной путем указанных замен вблизи особой точки О0 = h - g, Оо = 0, можно представить в виде

П = к - £ + П^шЦ/2|£ -к\ 5 +а),

008^21£ -к\ 5 + а), (40)

D = -

Q

10

V2I g- h\

проведенному в работе [12], распространение волны прорастания домена новой фазы в двумерной модели может иметь место при О(§ = 0) < О0 = Ь - § в случае скорости движения волны больше критической (V > 1) . Такие решения соответствуют тахионам, которые проявляются как элементарные возбуждения в сложных системах, теряющих устойчивость и претерпе-

Рис. 4. Зависимость параметров О и D от переменной £ (а) и периодические волны (б) вдоль зародыша новой слабоферромагнитной фазы GxFz в направлении Ь-оси кристалла при h = 0,1, g = -0,05, V = 0,5,

О(£ = 0) = 0,017, Б(£ = 0) = 0

вающих фазовый переход в более стабильное состояние [13] .

Заключение. Таким образом, в настоящей работе в модели двухподрешеточного антиферромагнетика для РЗО в магнитном поле изучена структура и динамика зародыша новой стабильной слабоферромагнитной фазы GxFz, находящегося в недрах метастабильной родительской несимметричной (угловой) фазы GyGxFz в области перехода типа Морина .

Исследование структуры зародыша позволило определить форму критического зародыша новой фазы, который достаточен, чтобы инициировать переход всей системы из мета-стабильного (GyGxFz) в абсолютно устойчивое однородное состояние в массив-

ном бездефектном кристалле . С увеличением магнитного поля при заданной температуре амплитуда критического зародыша уменьшается

В одномерной модели динамики зародыша при данных значениях температуры и поля в случае начальной амплитуды меньше критической зародыш слабоферромагнитной фазы GxFz совершает нелинейные колебания в виде бризера . Если же начальная амплитуда зародыша больше критической, то зародыш фазы GxFz распадается на две удаляющиеся друг от друга межфазные стенки с образованием домена фазы GxFz. В двумерной модели показано, что распространение нелинейных волн намагниченности вдоль зародыша фазы GxFz сопровождается пульсациями ширины и амплитуды самого зародыша

Построенную динамическую картину пред-переходного состояния зародыша новой слабо-ферромагнитной фазы GxFz, находящегося вну-

три родительской фазы GyGxFz, предлагается использовать в качестве дополнения нелинейного сценария перехода типа Морина, происходящего при изменении температуры и внешнего магнитного поля .

Список литературы

1 . Белов, К . П . Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках : монография / К . П . Белов [и др .] . М . : Наука, 1979. 318 с .

2 . Гнатченко, С . Л . Спин-ориентационные фазовые переходы в диспрозиевом ортоферрите в наклонных магнитных полях : препринт физ -техн ин-та низ . температур АН УССР / C . Л . Гнатченко, О. П. Тутакина. Харьков, 1990. 38 с .

3 . Харченко, Н . Ф. Магнитное промежуточное состояние в диспрозиевом ортоферрите / Н . Ф. Хар -ченко [и др.] // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25, вып. 5 . С. 258-262.

4 . Бучельников, В. Д. Магнитоакустика редкоземельных ортоферритов / В. Д. Бучельников [и др.] // Успехи физ . наук. 1996. Т. 166, № 6 . С 585-612 .

5 . Kimel, A . V. Laser-induced ultrafast spin reorientation in the antiferromagnet TmFeO3 / A . V. Kimel [et . al .] // Nature . 2004. Vol . 429. P. 850-853.

6 . Kimel, A. V. Ultrafast non-thermal control of magnetization by instantaneous photomagnetic pulses / A V Kimel [et al ] // Nature 2005 Vol 8 P. 655-657.

7. Туров, Е . А . Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков / Е А Туров [и др ] М . : Физматлит, 2001 . 560 с.

8 . Звездин, А . К . О динамике межфазной границы при ориентационном фазовом переходе первого рода / А К Звездин, А А Мухин // Крат сообщ . по физике ФИАН . 1985. № 6 . С. 11-15 .

9. Звездин, А . К . О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках / А . К . Звездин // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, вып. 10 . С. 605-610.

10 . Барьяхтар, В . Г. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках / В . Г. Барьяхтар, Б . А . Иванов, А . Л . Сукстан-ский // ЖЭТФ. 1980. Т. 78, вып. 4 . С . 1509-1522.

11 . Шамсутдинов, М . А . Ферро- и антиферро-магнитодинамика Нелинейные колебания, волны и солитоны : монография / М . А . Шамсутдинов [и др .] . М . : Наука, 2009. 456 с.

12 Шамсутдинов, М А Нелинейные локализованные волны намагниченности в недрах ме-тастабильной фазы магнетика / М А Шамсут-динов, А . П . Танкеев, И. Р. Каюмов // Изв . РАН. Сер. физическая. 2007. Т. 71, № 11 . С. 1548-1550.

13 . Андреев, А . Ю. Тахионы и неустойчивость физических систем / А . Ю. Андреев, Д . А . Кирж-ниц // Успехи физ . наук. 1996. Т. 166, № 10 . С. 11351140