Структура и алгоритмическое обеспечение нелинейного наблюдателя производных в условиях действия случайных шумов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

М.Ю. Медведев

СТРУКТУРА И АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ СЛУЧАЙНЫХ ШУМОВ

Введение

В современной теории управления широкое распространение получили методы, основанные на управлении динамическими объектами в фазовом пространстве [1-3]. При этом возникает проблема оценивания производных по времени высокого порядка. Имеющиеся современные методы дифференцирования имеют хорошие показатели при однократном дифференцировании сигнала. Если же требуется провести многократное дифференцирование, то возникают сложности, связанные с зашумлением реальных сигналов. Это приводит к необходимости нахождения оптимума по противоречивым критериям качества подавления случайных шумов и быстродействия. При наличии математической модели объекта оптимальное в указанном смысле решение известно и задается уравнениями фильтра Калмана - Бью-си [4]. При наличии неопределенностей требуется адаптация к модели объекта, параметрам шумов и действующим на систему возмущениям. Кроме того, недостатком фильтра Калмана - Бьюси является тот факт, что его коэффициенты передачи вычисляются в разомкнутой форме как решения уравнения Риккати. Это ухудшает свойства фильтра при действии неучтенных факторов.

Структура наблюдателя производных

В работах [5 - 7] предлагаются линейные алгоритмы оценивания производных на основе аппроксимации измеряемого сигнала временным рядом. Авторами предлагается структура рекуррентного наблюдателя (РНП), состоящего из цепочки

- , . 1.

Рис. 1. Структура наблюдателя производных

Данный наблюдатель состоит из цепочки однотипных блоков, оценивающих первую производную от входного сигнала. За счет последовательного включения блоков осуществляется оценивание производных высокого порядка. Это позволяет преодолеть проблему многократного дифференцирования при наличии шумов. Уравнения блоков, показанных на рис. 1, могут быть представлены в виде:

йхг1 () + , ( Ч

= X 2 + ка ( - Хг1)

йХг2 () , ( Ч (1)

~ИТ=к' 2(- Х" >•

где Хг1(/), хг2(0 - переменные состояния наблюдателей, г = 1, 2,..., Жтах, г1 = у, = Хг-12, г = 2,3,...,^тах , кг1,кг2 - параметры, определяемые требованиями к

быстродействию и качеству подавления шумов.

Особенностью работы РНП является изменение во времени его коэффициен-. , -

(1) . -ся входная величина, а затем ее производная. Г рафики изменения коэффициентов усиления производных показаны на рис. 2.

1 1 К1®

1

Рис. 2. Изменение коэффициентов усиления РНП во времени

Последовательное оценивание производных основывается на том факте, что во время переходного процесса по входной величине оценка ее производной не является адекватной. Отметим, что качественных характер изменения коэффициентов усиления РНП совпадает с изменением коэффициентов усиления в оптимальном фильтре Калмана - Бьюси.

Нелинейный алгоритм оценивания производных

,

. , -

щий в области больших отклонений увеличивать коэффициенты усиления наблю-, :

кг1 = к10 + Ц/( - Хг1 \

(2)

кг 2 = ^

где Ц - положительные постоянные параметры;

/ ( - Хг1 ) - - ;

- входная величина блока наблюдателя; к10 - ;

q - положительный постоянный параметр;

хі1 - первая переменная блока наблюдателя.

Проанализируем свойства наблюдателя (1), (2). Так как блоки наблюдателя включены последовательно друг другу и не охвачены обратными связями, то можно рассматривать і -й блок как отдельную подсистему. Рассмотрим і -й блок на-

(2).

Запишем квадратичную функцию вида

2 хі2

ч +

Я(10 + V( - хіі))

(3)

(3) (1), (2)

выражением

V, =-[кю + {г, — Хп (4)

В силу того, что Ц , к10 и /{zi — Хг1) - положительные величины, из (3), (4)

(1), (2).

, ,

имеющий спектральную функцию

„/ ч 2атк

$ И = тТ-Г, (5)

1 + тк-

где а - дисперсия случайного шума;

Тк - время корреляции шума;

О - частота.

В этом случае можно показать, что в области малых отклонений, когда величина ошибки стремится к нулю

/ ( — Хг1 ^ (6)

можно получить следующие оценки отношения дисперсий на входе и выходах блока наблюдателя (1), (2):

^хп _ Тк (10 + Ч#10

2.- > (7)

А, 1 + Ткк10 + Тк Ф

(8)

Вх> 2 _ ТкЧ2 к1

к 10 к 10 кЧ к10

Ог1 1 + ткк10 + тк Чкю

где О , О , О - дисперсии входного и выходного сигналов звена наблюдателя.

Хпу 21 Хг 2 1

Численное моделирование

Рассмотрим пример использования РНП для оценивания производных в системе Лоренца, которая имеет следующий вид [8]:

^=о(у - x),

аї ФУ)

аї

dz(t)

аї

■ гх - у - xz, ху - bz,

(9)

где О, г, Ь - положительные параметры; х - скорость конвективного обмена; у - горизонтальная вариация температуры; z - вертикальная вариация температуры.

у.

Параметры равны а = 4, г = 80, Ь = 8 / 3 и выбраны так, что решение системы (9) дает псевдослучайные колебания. На измеряемый сигнал х наложен случайный шум, т.е.

у = у + £,

(10)

где £ - белый шум с заданной амплитудой, равной 3.

(1),

, - -

ются в соответствии с выражениями:

кі1 = кю = єотї,

Г 0, если ї < 3/ кі1;

12 [к/2 / 4, если ї > 3 / кг1.

(11)

Выражения (11) описывают алгоритм последовательного во времени оценивания производных, представленный в работах [5 - 7].

к10 300.

рис. 3 - 5. На рис. 3 приведены графики изменения измеряемой переменной у и ее оценка, на рис. 4 - изменение производной у и ее оценка, а на рис. 5 - изменение второй производной у и ее оценка.

Рис. 3. Оценка переменной у

Рис. 4. Оценка переменной у

Рис. 5. Оценка переменной у

На рис. 6 - 8 представлены результаты численного моделирования нелиней-

(1), (2).

Рис. 6. Оценка переменной у Рис. 7. Оценка переменной у

нелинейным алгоритмом нелинейным алгоритмом

Рис. 8. Оценка переменной у нелинейным алгоритмом

В качестве функции / (уі - хі1) выбрана квадратичная функция (уі - хп )2.

Это обеспечивает быстрое увеличение коэффициентов усиления нелинейного РНП в области больших отклонений и быстрое уменьшение этих коэффициентов до по-

стоянного значения в области малых отклонений. Коэффициент усиления k10 равен 100. Параметры Lt = 1000 .

Сравнивая графики оценок, представленные на рис. 3 - 5 и рис. 6 - 8, видим, что скорость оценивания производных увеличена в 2 - 3 раза. При этом уменьшена случайная ошибка за счет уменьшения постоянного коэффициента k10. В области больших отклонений алгоритм (1), (2) дополняется логической функцией, обнуляющей коэффициент усиления kt 2. Это позволяет реагировать за счет нелинейной функции f ( — xi1) и соответствующего выбора «мштой» области e уменьшить регулярную ошибку наблюдателя и обеспечить последовательное оценивание .

Заключение

В данной работе предлагается нелинейный алгоритм оценивания производных от сигналов, измеряемых с шумом. В отличие от фильтра Калмана-Бьюси, предложенный наблюдатель синтезируется в условиях отсутствия модели объекта . , в работах [5-7], алгоритм (1), (2) обладает следующими преимуществами:

♦ коэффициенты усиления нелинейного наблюдателя (1), (2) являются функциями ошибки, т.е. задаются по принципу замкнутой системы

, , -ся по принципу программного управления на основе решения уравнений Риккати. Это позволяет компенсировать неучтенные возмущения. Отме-, [5] -

рением коэффициентов усиления, что приводило к периодическому скачкообразному увеличению коэффициентов. В этом случае оценки производных являлись циклическими и обладали заданным качеством только в конце цикла оценивания;

♦ нелинейный РНП как и в работах [5, 6] реализует последовательное оценивание производных, но не во времени, а в области состояния - в области больших отклонений оценивается входная переменная, а в области малых отклонений - ее производная. Это позволяет повысить качество оценивания в переходных режимах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kokotovic P.V., ArcakM. Constructive nonlinear control: progress in the 90’s // Proceedings of 14th IFAC World Congress. Beijing. China, 1999. Paper No PT-4, - P. 49-77.

2. Красовский А.А. Алгоритмические основы оптимальных адаптивных регуляторов нового класса // Автоматика и телемеханика. 1995. № 9. - С. 104-116.

3. . . -

// .

1991. № 7. - С. 3-32.

4. КвакернаакX, Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977.

5. . .

// Автоматика и телемеханика. 1987. № 4. - С. 52-60.

6. Медведев ММ., Гайдук А.Р. Построение самоорганизующихся систем управления в условиях неопределенности. Сборник «Анадитические методы анализа и синтеза регуляторов». - Саратов, 2000. - С. 30-43.

7. Медеедев ММ., ГайдукА.Р. Оценивание производных // Материалы XLIV научной конференции ТРТУ. Известия ТРТУ. - Таганрог, 1999.

8. Лоренц Е. Детерминированное непериодическое течение. В кн. «Странные аттракторы». Серия «Математика». Новое в зарубежной науке. Вып. 22. - М.: Мир, 1981.