CC BY
13
рушению (возрастающая кривая сопротивления) по мере роста трещин от своего начального размера до своего конечного критического размера перед разрушением [3, 4]. Поскольку энергия, требуемая для приведения трещины в движение, возрастает по мере роста трещины, начальные этапы роста трещин являются устойчивыми и для приведения трещины в движение приложенная извне сила должна быть увеличена. Наблюдаемая вязкость разрушения пьезокерамики, характеризующая поведение равновесных трещин, растет по мере увеличения длины трещины (величины инденторной нагрузки).
Из рис. 2 видно, что процесс шлифовки повышает прочность индентированных образцов (вязкость разрушения), что свидетельствует о наличии сжимающих поверхностных механических напряжений. Этот вывод согласуется с картиной поля, упругопластических напряжений вокруг отдельных центров индентирования. Участок трещины в области, прилегающей к отпечатку от индентора, испытывает воздействие растягивающих напряжений со стороны зоны деформированного материала, окружающего отпечаток, но он же испытывает сжимающие напряжения со стороны поверхностных зон деформаций, вызванных механической обработкой. Можно предположить, что результирующее влияние на трещину окружающего поврежденного слоя будет преобладать и приводить к повышению уровня напряжений, необходимых для разрушения.
Прочность шлифованных после поляризации образцов оказалась на 20 % выше прочности поляризованных образцов. Сравнение результатов эксперимента располяризованных и поляризованных образцов (рис. 3) показывает, что вязкость разрушения в направлении поляризации выше, чем вязкость разрушения располяризованного материала, что находится в соответствии с результатами по анизотропии А"1с [5].
Полученные результаты можно расценивать как подтверждение того факта, что механическая обработка вносит сжимающие поверхностные напряжения в пьезокерамические материалы.
Литература
1. De With J„ Parren J.E.D. II Proc. Brit. Ceram. Soc. 1984.
№34. P. 99-108.
c
2
о
Q.
С
Инденторная нагрузка Р, Н
Рис. 2. Зависимость прочности на изгиб от величины нагрузки на индентор для пьезокерамики ЦТБС-3: располяри-зованные (1) и шлифованные (2) образцы
Инденторная нагрузка Р, Н
Рис. 3. Зависимость прочности на изгиб от величины нагрузки на индентор для пьезокерамики ЦТБС-3: располяри-зованные (1) и поляризованные (2) образцы
2. Chantikul P., Anstis I.R., Lawn B.R., Marshall D.B. И J. Amer. Ceram. Soc. 1981. Vol. 64. № 9. P. 539-543.
3. Cook R.F., Lawn B.R., Fairbanks C.J. II J. Amer. Ceram. Soc. 1985. Vol. 68. № 11. P. 604-615.
4. Егоров Н.Я., Крамаров C.O., Егорова С.И. II Материалы VII Междунар. сем. по физике сегнетоэлектриков-полупроводников (24-27 сентября 1996 г.). Ростов н/Д, 1996. С. 215.
5. Писаренко Г.Г. Прочность пьезокерамики. Киев, 1987.
Ростовский государственный педагогический университет
3 февраля 2003 г.
УДК 551.594
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОДНОГО СЛОЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В ПРИБЛИЖЕНИИ СИЛЬНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
© 2003 г. Г.В. Куповых, В.Н. Морозов
Characteristic scale of electric values distributions is determined by electrode layer thickness.
Предполагая в приземном слое сильное турбу- туре турбулентного электродного слоя для различных лентное перемешивание, рассмотрим задачу о струк- случаев стратификации приземного слоя. Коэффици-
ент турбулентной диффузии представляется в виде От (гД)=От г, где индекс т принимает значения 0;I; 4/3 (устойчивая, нейтральная и термически неустойчивая стратификации соответственно) [1].
Устойчивая стратификация приземного слоя (ш=0) возникает в случае резкой инверсии температуры и малых значений динамической скорости [1]. В этом случае турбулентный обмен между различными слоями воздуха затруднен, турбулентность существует лишь в форме мелких вихрей и приобретает локальный характер. Процессы переноса, обусловленные турбулентностью, можно описывать постоянным коэффициентом турбулентного обмена (диффузии): Б, (г) = Р0 Предполагая, что интенсивность ценообразования не зависит от высоты т, в приближении сильного турбулентного перемешивания [2] имеем систему уравнений:
ск2 1,2 ’
(1)
£0 Е , ,
р=——р ; р
“■?3"+4^‘е, = 1’ л(2’)=е'(ьіпі +М-п2);(2)
(3)
<1Е'
сЬ*
I , г , п 1,2 Е
где1=~, г=—, п12 =--------------, Е = —
Т 1т Пда Е,
Поо = л .» Іщ =(^тг)2-т> Т ~ (Яда^)
V а
1/2
В размерном виде граничные условия имеют следующий вид:
п?,2 (г = г0) = 0, п?2 (г ^ со) =
V а ог
-0,
Е(г —> со) = у0 / Л0. (4)
Уравнение (1) для концентрации ионов интегрируется в квадратурах и в размерном виде имеет
вид:пі'2 (г) = п0
1 —
,21 • е^
І + ОД-е"^2'20^0
.(5)
Полученное решение (5) имеет автомодельный характер, так как определяется характерным масштабом /о Определив концентрации П[ и П2, можно найти электрическую проводимость Цг) и перейти к решению задачи о распределении напряженности электри-
а2Е'
дЕ’
йг"
г’=0
= О, Е'(г' -> €»)=1,
(7)
где а = ,]тя/т =Ь0П0,ТХ = {4ттЛа}) Х,г" = (г-г0)/Ь0.
В общем случае получить аналитическое решение уравнения (6) при граничных условиях (7) не представляется возможным, но можно получить приближенное решение уравнения (1) методом коллакации [3] в виде: п^п^-е-2-2»/'») Л{г)=Лт(\-е-^1о). (8)
Выражения для безразмерных величин (напряженности электрического поля Е' и плотности электрического заряда р') имеют вид:
Е{г)=с1}у(ус57"/2У
к
а
0
(9)
Р’ И = '
уЛу) 00 • г
Г у {у) 0
-а у:/2 £
]у(уе-3х"/2])Уу(ус-2^2) <1г’ +
+У
-суГ^е-3™}, (10)
где (х) - функция Бесселя; уу (х) - функция Неймана; у = 21а, а = Ьц//о.
Для безразмерной напряженности электрического поля при г"=0 имеем:
Е '(0) = —-— Ъу(у С5 272 \ь'.
Рассмотрим другой способ получения аналитического решения уравнения (2). Воспользуемся представлением для А.(г), которое следует из выражения (5) для концентрации ионов :
Л^а^ъ\ а1 =0,71 а, 0<г’ </д /=а~1;
(12)
(П)
Л[т) =
Лх11-1,21-е'^52* |,/0/2:0<г'<оо.
Решение представляется в следующем виде:
Е',(2') = С2
;г-\/з
УіИ+^И
2
+—
3
УгИ/Уі^’Ж’-
-л(2'Н Уг^"^
дг"
, 0<ъ"<ъ\=10И0. (13)
1 0 -
1 1,21- е-Тїаг' ■Е' = 1; (6) ЕЖ')=ъК ( '1 — а г л/2а ус 2
[і + 0,1 • е’^2') \ /
л
л/2а
г"
Jv,
Л- .
і—- -— a z
•Jlave 2
f A f л ~ A
— -— a z V 2a и e 2 dz” + Yv — a z -yjlave 2
V v )
f Л
.— a z V2a ve 2 ( dz" , Z>Zj,
ґ 2 і-------
Zi = /0 Уі (z*) = Vz*Ji/3 —V^l2*3
(14)
El E'„
dE;
dz"
dE'-,
dz'
(15)
E(z) = -^-E'
Z-Zq
L0
p(z)= Jo -p
4лЛмЬ0
z-zp
L0
Рассмотрим случай нейтральной стратификации приземного слоя. Полагая в (7) ш=1, имеем систему
уравнении: f
'dz’
dn;
1,2
dz'
(17)
-z''-^ + 4^E = l,A(z') = e(b1nI +|b2|n2); (18) dz Лю
(19)
Р = £0-Г-Р\Р Li
dE'
dz'
где а = 0,605; ^/з(х) - модифицированная функция Бесселя; К1/3(х) - функция Макдональда; С2, С3 -
постоянные; у = л/27 а .
Постоянные С2 и С3 находятся из условий непрерывности напряженности электрического поля и плотности электрического заряда при х“ = х\ = /о /Ьд:
Приближенное решение уравнения (17) для концентрации ионов п1 2, записанное в размерном виде, представляется следующим образом:
Г па>сІп{гІ20),г<і<г<7.х=П,\Ії-,
>’2 [п00(і-соК0(2л/2(2//1)1/2))о,1/15г<оо.(
Из рассмотрения решения (20) следует, что изменение концентрации ионов п1>2 и электрической проводимости Х(х) с высотой г до небольших высот в случае сильного турбулентного перемешивания имеет для нейтральной стратификации приземного слоя логарифмический характер, т. е. ведет себя как профиль скорости ветра для данной стратификации [4]. Используя (20), получим для напряженности электрического поля уравнения:
Интересно отметить, что индекс функций Бесселя, Неймана и Макдональда, входящих в решение задачи, определяется коэффициентом рекомбинации ионов и
их подвижностью: 5 = [а/(4;ге(Ь1+|Ь2|))]1/2. При а= 1,6-10-12 м3сч, Ь,,2=1,5-10'4 м^'с’1, 5 = 0,542, V = 2,61, если X определяется представлением (11) и у= 3,62 для представления (8).
Результаты численных расчетов с использованием специальных функций дают значения постоянных С2, С3 и С1”. С2—11,26; Сз=11,59; С,=5,03. При заданных аь Ь|_2 вычисленные значения постоянных имеют в некотором смысле универсальный характер, так как не зависят от коэффициента турбулентного обмена Бо, и полученные распределения и р'(г") могут быть использованы для построения зависимостей Е(г) и р(г) от х для любых значений О0 в соответствии с формулами:
d2E' z’
—с0 /и—-E' = -l,zo <z'<zjf; dz’2 z0
(21)
,d2E
dz'
f-t-Cok0(2V2^?Js' = .l,zI
.(16)
Отметим, что с физической точки зрения рассмотрение электрических процессов в приземном слое с постоянным коэффициентом турбулентного обмена соответствует ситуации, когда Ь масштаб Монина-Обухова, используемый в теории подобия[1, 4, 5] , гораздо меньше масштабов /0 и Ь0 , характеризующих изменение концентрации ионов п! 2 и напряженности электрического поля Е с высотой г.
< г < оо, а-> = — . 2 к (22)
Рассмотрим приближенные аналитические решения уравнений (21), (22). Для этого разобьем кривую Х(х) на три участка: {х0,х{\ (х\,х2 Дг2> да) и аппроксимируем изменение Х(х) с высотой на каждом участке линейными функциями:
Л, =Л00с!п—, х0<х<х\;
21-20 2о
а|г+Ь|, Э| =~—^г> (23)
\211х _ г2~21
Л-2 = )» ^2 ^ 22 9^1 — ^ — ^2»
Ь[г2 +Ъ2=Л00, х2 <г<оо.
Используя это представление для Я.(г), получим вместо (21) и (22) следующую систему уравнений:
*'^2 - А(г' - )Е'0 = -1, г' 5 г?;
Д(г) =
dz' ,d2E!
(a^' + bj^j =-1, x\ <z’<z2;
dz’
—-y--E'2 =-1, z2 <z'<oo, dz'z
(24)
(25)
(26)
где А = с --го) Х1пЦ-,а.х = с-(г2 -г[) Х1пЩ-, г0 г]
Ъх = с-(г2 -(г2 ■ 1п(г[/г"0)-11-1п(12/г"0)).
Полученная система уравнений (24)—(26) имеет аналитическое решение. Решение первых двух уравнений выражается через функцию Уиттекера [6] и записывается в следующем виде:
да?
ЕЬИ=Мк>т(2л/А2")
сі +с2 \
М і (іл/Хг")
г-0^к,т
-I
даГ %
КЛ2^) г*
М
.IV
<1г
IV
(27)
Е\{г")=Мкьт(2^’)
с3+с4 |— г,*Мк
йг"
~жп
йг"
.IV
О / и£ \г"=г'0 = 0 к более простому виду:
ІП-----1
Ч
-25.(30)
Для определения ПОСТОЯННЫХ С2,С3,С4, С5 необходимо воспользоваться условиями непрерывности напряженности электрического поля и плотности электрического заряда в точках Щ г2, аналогичных условиям (15). Были проведены численные расчеты распределений Е'(г") и в зависимости от х" при
01=0,2 м-с-1, 1\ = 1 м , г2 = 5 м, Ь)=15м при кх= = 1,08-10~3 с’1. Численные значения постоянных при этом равны: с2=2,19, сз= 22,86, с4=-4,64,
с5=4,03. Значения параметров А, к, а|,Ь|, к] равны
соответственно: 9,89; 2,67-10"4; 0,66; 0,68; -0,38. Переход к размерным значениям Е(г) и р(г) осуществляется по формулам (16), в которых Ь0 заменяется на Ьь а ъ - г0 на г .
Рассмотрим случай термически неустойчивой стратификации приземного слоя. В предельном случае, когда динамическая скорость и, и Ь->0, а градиент температуры вблизи поверхности земли превышает 1°/100 м, приземный слой становится термически неустойчивым, причем источником турбулентности является тепловая энергия. В этом случае процессы переноса в приземном слое можно описывать коэффициентом турбулентной диффузии, для которого имеет место представление [5]:
_ 4/3 ( ^/3
Т>а{г) = Ътг*1\ъА1г =ЦГ
Си
срРо
(31)
где ^=0,43; си=1,25; Р=ц/То. При значениях {3=0,033 м/с2 град, Н=67 кал-м"2с‘, ср=240 кал-кг'-град'1, р=1,3 кг/м3 [5] коэффициент турбулентной диффузии равен 04/3=0,15 м2/с. Система уравнений (1) в этом случае принимает вид:
(28) _____________<і_
ё
йг'
,4/3 йп1,2
м
■ 1 пі
1,2 >
мк,ш(~4= хе ^ ^(1 -к,2,х);
!^(1-к,2,х) = 1 +
Ц ' £п!(п + 1)
где ш=1/2, к = 1/(2л/Аго); к, =-Л>х /(2^) ;Мк т(х)-
функция Уиттекера; ^/(1 -к,2,х)- ряд Похгаммера, сходящийся при всех х; с1,с2,сз,с4- постоянные.
Решение уравнения (26) с учетом условия Е2'-»1 при х"—>оо имеет следующий вид:
Е'2(г)=1 + с577-К1(2л/?'), (29)
где С5 - постоянная.
В области г о <г" < Щ выражение для Ер (г”) может быть преобразовано с учетом граничного условия <Ш.'0Иъ"\г'=
Ео (г') * с2 {- л/Аг'е^2»
,4/3 <^2Е' ЯИ , . А >
Аг"2 К,
р = £о—2-р'; р' = дЕ'/йх".
(32)
(33)
(34)
-'4/3
Рассмотрим решение (32) при граничных условиях (4). Производя замену переменной §=г'~т, получим в области Э4/£»1 (г"«0,2), где основную роль в формировании распределения п0^ с высотой играет турбулентная диффузия, решение в виде:
пі?2 =с(8-50)=с (г"І/3 -г'^3) . (35)
В области т! > 0,2 решение ищется в виде
п\°2 = 1 — Г| (г'), ґі (2:') «1. Подставляя его в уравнение
(35), пренебрегая квадратичным членом ^і(г'), получим следующее решение:
(36)
Постоянные Сі и с в (35) и (36) находятся из условия, что при ї = г'«0,2 решения этих уравнений и их производные должны совпадать. При гі=0,02, а также учитывая оценку для В4/3, получим при т = 250 с, го= 2,5-10~3м: /4/з= 228 м; С! = 0,034; с =-0,023;
с-г'о‘1/3=-1,035. Используя эти обозначения для постоянных, имеем для концентрации ионов представление:
1,035пда[і-(г0 /г)1/3] , г0<г< 0,02/4/3 п1,2 =' п»{і-0,034(г//4/3)-1/3е'^2//4/3^31|, (37)
0,02 /4/3 < г < оо.
Сравнение численных решений уравнений (32) и (18) с выражениями (20) и (37) показывает их удовлетворительное совпадение (рис. 1). Поэтому при чис-
Рис. 1. Сравнение результатов аналитических расчетов по (20) и (3*7) с численными решениями, обозначенными крестиками и точками: 1 — О] = 0,2 м/с; 2 - О] = 0,1 м/с; 3 — х « 1; 4 — х > 1; «крестик» — ш = 1, !| = 50 м; «точка» - ш = 4/3,14/3 = 228 м
Рис. 2. Распределение электрического поля по высоте в турбулентном приземном слое при ш = 1: м = 15 (1); 30
(2); 40 (3); 50 (4); 60 (5) и при ш=4/3: Ь4/3, м = 120 (6); 300 (7); 1000 (8)
ленном решении уравнений (18) и (33) использовались аналитические профили Х{т) на основе приближенных решений (20) и (37). Граничные условия задавались в виде:
<1Е'
dz"
= 0, E'(z'—>оо)=1.
z =z0
Численные решения уравнений (18) и (33) для случаев нейтральной (т=1) и термически неустойчивой (ш=4/3) стратификации слоя приведены на рис. 2,
О 5 10 15 20 Р«
Рис. 3. Распределение плотности электрического заряда по высоте в турбулентном приземном слое при гп = 1: Ь), м = = 15 (1); 30 (2); 40 (3); 50 (4); 60 (5) и при т = 4/3: Ь 4/3, м = = 120 (6); 300 (7); 1000 (8)
3. Характерный масштаб распределений Е' и плотности электрического заряда р' = dEVdz' определяются толщиной турбулентного электродного слоя Ьт. Плотность электрического заряда резко возрастает вблизи поверхности земли, а затем убывает. При термически неустойчивой стратификации этот скачок больше, что объясняется более резким изменением коэффициента турбулентности с высотой От(г)~г4/3 по сравнению с нейтральной стратификацией Т)т(т)~х. Литература
1. Монин А. С., Обухов А.Н. Н Тр. геофизич. ин-та. АН СССР. 1954. № 24(151). С. 163 - 187.
2. Куповых.Г.В., Морозов В.Н. II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 3. С. 51-53.
3. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений М., 1953.
4. Лайхтман ДЛ Физика пограничного слоя атмосферы. Л., 1970.
(38) 5. Зилитинкевич С.С. Динамика пограничного слоя
атмосферы. Л., 1970.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.
Таганрогский государственный радиотехнический университет
13 февраля 2003 г.
УДК 548.736
НЕОБЫЧНЫЕ СЕГНЕТОЭЛАСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ YBa2Cu307-y
О 2003 г. Ю.В. Прус
YBajCu^Oj-y X-ray diffraction pattern interpretation in the frame work of Landau theory reveals unexpected deviation' of spontaneous ferroelastic deformation dependence on oxygen contents from wide spread representations.
