CC BY
3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
Научная статья
УДК 551.594+504.3
doi: 10.18522/1026-2237-2024-2-57-65
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В КОНВЕКТИВНО-ТУРБУЛЕНТНОМ ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
Ольга Васильевна Белоусова1, Дмитрий Владимирович Тимошенко2, Геннадий Владимирович Куповых3М
1,2,з Южный федеральный университет, Таганрог, Россия 1 obelousova@sfedu. ru 2dmitrytim @sfedu. ru 3kupovykh@sfedu. ru B
Аннотация. Построены и исследованы электродинамические модели приземного слоя атмосферы, учитывающие турбулентный и конвективный переносы. В основу моделей положено так называемое уравнение полного тока, получаемое из уравнений теории электродного эффекта в атмосфере. С точки зрения математики это уравнение в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами. Поскольку в такого типа уравнениях дифференциальный оператор необязательно является оператором Штурма - Лиувилля, в соответствующих случаях необходимо использовать различные подходы к его интегрированию. Это, в свою очередь, вызывает необходимость рассмотреть различные гипотезы о соотношении интенсивностей локальных факторов, которые влияют на структуру уравнения. В работе рассмотрено несколько случаев модели, соответствующих конвективному турбулентному и конвективно-турбулентному электродному слою. Получены аналитические решения стационарного уравнения полного электрического тока в различных приближениях. Построены и исследованы профили напряженности электрического поля в приземном слое атмосферы для различных физических условий.
Ключевые слова: напряженность электрического поля, приземный слой, атмосфера, электродный эффект, электрическое поле, турбулентность, конвекция
Для цитирования: Белоусова О.В., Тимошенко Д.В., Куповых Г.В. Структура электрического поля в конвективно-турбулентном приземном слое атмосферы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 2. С. 57-65.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
ELECTRIC FIELD STRUCTURE IN THE CONVECTIVE-TURBULENT ATMOSPHERIC SURFACE LAYER
Olga V. Belousova1, Dmitry V. Timoshenko2, Gennady V. Kupovykh3B
1-2-3 Southern Federal University, Taganrog, Russia 1obelousova@sfedu. ru 2dmitrytim @sfedu. ru 3kupovykh@sfedu. ru M
Abstract. Electrodynamic models of the surface layer of the atmosphere, taking into account turbulent and convective transport, are constructed and studied. The models are based on the so-called total current equation derived from the equations of the theory of the electrode effect in the atmosphere. From the point of view of mathematics, this is a partial differential equation of a parabolic type with variable coefficients. Since in this
© Белоусова О.В., Тимошенко Д.В., Куповых Г.В., 2024
type of equations the differential operator is not necessarily the Sturm-Liouville operator, in appropriate cases it is necessary to use different approaches to integrating the total current equation. This, in turn, makes it necessary to consider various hypotheses about the ratio of the intensities of local factors that affect the structure of the equation. The paper considers several cases of the model corresponding to the convective turbulent and convective-turbulent electrode layer. Analytical solutions of the stationary equation of the total electric current are obtained. in various approximations. Electric field strength profiles in the surface layer of the atmosphere for various physical conditions are constructed and studied.
Keywords: electric field strength, surface layer, atmosphere, electrode effect, electric field, turbulence, convection
For citation: Belousova O.V., Timoshenko D.V., Kupovykh G.V. Electric Field Structure in the Convective-Turbulent Atmospheric Surface Layer. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(2):57-65. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Электродинамические процессы, происходящие в приземном слое и объединяемые термином «электродный эффект», являются составной частью атмосферной глобальной электрической цепи (ГЭЦ). Теория электродного эффекта и функционирование ГЭЦ подробно описаны в [1, 2].
ГЭЦ представляет собой совокупность взаимосвязанных электрических токов, протекающих в магнитосфере и ионосфере, а также в примыкающих нижних слоях атмосферы. Преимущественное влияние на состояние ГЭЦ оказывают следующие явления: грозы в экваториальной области планеты (грозовой генератор), высотные источники, образованные взаимодействием магнитного поля Земли, солнечного ветра (магнитосферный генератор) и лунных и солнечных приливов (ионосферное динамо), но при этом непосредственное влияние на электрические процессы в приземном слое поверхности оказывает электродный эффект [1, 2]. Результатом их взаимодействия является так называемая суточная (унитарная) вариация электрического поля атмосферы, или глобальная вариация потенциала ионосферы.
В работе [1] построена математическая квазистационарная модель электрического поля атмосферы, учитывающая действие грозовых токовых генераторов и космических факторов. Она, в частности, показывает, что изменчивость грозовой активности в нижней атмосфере приводит к вариациям напряженности электрического поля в атмосфере, которая, в свою очередь, ведет к изменению характеристик поля приземного слоя.
Математическая модель электрического поля приземного слоя, рассматриваемая в настоящей работе, позволяет учесть влияние указанного процесса на суточные вариации напряженности электрического поля. Она представляет собой так называемое уравнение полного электрического тока, вытекающее из уравнений электродного эффекта в приземном слое. Действие грозовых токовых генераторов и космических факторов задает суточную вариацию плотности полного тока, входящую в правую часть указанного уравнения [3]. Соответствующие исследования проведены для классического и турбулентного электродного эффектов [4, 5]. Показано, что при классическом электродном эффекте кривая суточного хода напряженности электрического поля повторяет кривую Карнеги [6, 7] с поправкой на условия наблюдений (значения напряженности и проводимости в пункте наблюдений) [5]. В случае турбулентного электродного эффекта выявлены изменения амплитудных значений суточной вариации электрического поля, а также временные сдвиги утреннего минимума и вечернего максимума [4]. Кроме того, отмечалось появление дополнительных экстремумов. С увеличением интенсивности турбулентной диффузии наблюдалось усиление описанных эффектов [5]. Наряду с явлениями турбулентного переноса значительное влияние на вариации электрического поля оказывают конвективные процессы. В частности, в [8-10] было исследовано воздействие турбулентных и конвективных процессов в пограничном слое атмосферы на вариации напряженности электрического поля. В [1] построена стационарная модель этого влияния в масштабах ГЭЦ.
В данной работе построена математическая модель влияния конвективного и турбулентного переносов как в отдельности, так и совместно на структуру электрического поля в приземном слое атмосферы. Подобный подход позволит говорить о структурной повторяемости электродинамических процессов в масштабах ГЭЦ и приземного слоя атмосферы.
Постановка задачи моделирования структуры электрического поля в конвективно-турбулентном приземном слое
Дальнейшие исследования строятся на одном из вариантов модели электродного эффекта в приземном слое - уравнении плотности полного электрического тока j(t) [1, 3]:
§ - -сDt (t, z)d2f +* ov(z+ X(z)E = j(t), (1)
dt dz2 dz
где D(t, z) - коэффициент турбулентной диффузии; V(z) - скорость вертикального конвективного переноса (в общем случае две эти величины являются функцией высоты); X - электрическая проводимость атмосферы; j - плотность полного тока; zo - параметр шероховатости; L -высота электродного слоя; Ес - значение напряженности электрического поля у поверхности земли.
Граничные условия для уравнения (1) могут быть заданы в виде
Ez=z0 = Е» Ez=L = jolX (2)
Уравнение (1) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа с переменными коэффициентами. Оно применимо для описания широкого класса задач электродинамики приземного слоя атмосферы, поскольку позволяет учитывать одновременно воздействие локальных факторов на местности (проводимость атмосферы, температура, метеоусловия) посредством соответствующих слагаемых в левой части, содержащих компоненты тока. Одновременно с этим модель отражает воздействие на электрическое поле приземного слоя глобальной вариации потенциала ионосферы, описываемого соответствующим законом изменения плотности полного тока в правой части уравнения (1). Решение уравнения (1) определяет зависимость напряженности электрического поля от времени и высоты в пределах приземного слоя.
Следствием описанных особенностей (1) является разнообразие подходов к его решению. Рациональным с точки зрения физических постановок и методов решения представляется вначале рассмотреть более простые варианты задачи (1), (2), соответствующие учету отдельных компонент полного тока, с постепенным добавлением новых, что в итоге позволит получить наиболее полную модель электродного эффекта. На первом этапе данный подход был реализован в [4, 5], где было рассмотрено влияние процессов турбулентной диффузии на суточные вариации напряженности электрического поля приземного слоя. Исследовано два случая поведения коэффициента турбулентной диффузии: DT = const и DT (t) = D0 (2 - cos cot). Первый соответствует постоянству турбулентной диффузии в области наблюдений, а второй - повторению коэффициентом DT суточной вариации потенциала ионосферы. Проводимость приземного слоя в обоих случаях принималась постоянной. Процесс конвективного переноса считался незначительным и не учитывался в модели. Для нахождения суточных вариаций напряженности поля задача (1), (2) рассматривалась в нестационарной постановке, преобразовываясь к уравнению
дЕ -*oDt (t)д^Е + XE = j(t). (3)
dt dz2
Уравнение (3), как и (1), является неоднородным уравнением параболического типа относительно неизвестной функции Е| (t, z ). Граничные условия к уравнению (3) сохраняются в форме
(2). Дифференциальный оператор в левой части (3) является оператором Штурма - Лиувилля [11], что позволяет построить полную ортонормированную систему его собственных функций и решить задачу (3), (2) методом Фурье [9]. Соответствующие решения получены и исследованы в работах [4, 5].
Предположим теперь, что конвективный перенос сопоставим или превосходит по интенсивности турбулентное перемешивание. Если в этом случае рассматривать задачу (1), (2) как нестационарную, то дифференциальный оператор в левой части уравнения (1) в общем случае перестает быть оператором Штурма - Лиувилля [11].
Согласно методу Фурье [11], в данной ситуации допустимо существование так называемого весового множителя g (z ), при умножении на который обеих частей уравнения (1) соответствующий дифференциальный оператор вновь становится оператором Штурма - Лиувилля, а система собственных функций этого оператора является ортогональной с «весом» g (z ) . Таким образом, задача (1), (2) может быть решена методом Фурье и в указанном случае.
Однако построенная модель допускает упрощение. Рассмотрим задачу (1), (2) в стационарной форме, основываясь на том, что время установления поля 250 с, что существенно меньше времени протекания остальных атмосферных процессов [3]. Проводимость приземного слоя также будем считать постоянной.
При указанных предположениях общий вид уравнения плотности полного тока в конвективно-турбулентном приземном слое в стационарном случае будет иметь вид
- ^DT (t, z+£(у (z)dE + ÀE = j(t). (4)
dz2 dz
Последовательно рассмотрим различные случаи соотношения и представления конвективного и турбулентного факторов в предлагаемой модели.
Конвективно-неустойчивый приземный слой
1. Проанализируем случай, когда конвективный перенос преобладает над турбулентным перемешиванием, т.е. V>>D. Положим в (4) Dt = 0. При этом будем предполагать, что конвективные процессы проходят равномерно в пределах электродного приземного слоя, что соответствует условию V(z) = V(( = const. Плотность тока принимаем постоянной в пределах электродного слоя ( j = j0). Тогда уравнение полного тока (3) примет вид
dE
£oVo —— + ÀE = j . (5)
dz
Задача сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно неизвестной функции напряженности электрического поля.
В качестве граничного условия выбираем условие на верхней границе — = j(/À .
Решение уравнения (5) представляется соотношением E(z) = "je^1^0^ z) ' z .
На рис. 1 построены профили напряженности электрического поля (j = 3-10 12А/м2,
À = 12-10-15См/м , L= 10 м) при постоянной скорости конвективного переноса Vo= - 0,01 м/с и различных значениях Ео и V0.
Представленные профили для трех случаев интенсивности поля приповерхностного слоя подтверждают характерный выход функции напряженности электрического поля на стационарные значения при приближении к верней границе электродного слоя. При увеличении интенсивности электрического поля возрастает величина соотношения Е/Е() на одинаковых по высоте уровнях.
2. Рассмотрим зависимость скорости конвекции от высоты внутри электродного слоя [3]:
V(z>= * z('-î) .
Условие Dt = 0 по-прежнему сохраняем. В этом случае уравнение (4) принимает вид
*о41-т)——bÀE = '0. (6)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
Рис. 1. Профили электрического поля при постоянной скорости конвективного переноса: 1 - Ео= -100 В/м; 2 - Ео= -200 В/м; 3 - Ео= -500 В/м / Fig. 1. Electric field profiles at a constant rate of convective transfer: 1 - Ео= -100 V/m; 2 - Ео= -200 V/m; 3 - Ео= -500 V/m
Уравнение (6) также является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющи-
XL XL
мися переменными и допускает решение вида n\z
E(z ) = E
f L - z
о
eoVi f L - z \ eV j 1
Профили напряженности электрического поля (у = 3 -10 12А/м2, X = 12 • 10-15 См/м , Ь= 10 м) при переменной скорости конвективного переноса (У}= -0,01 м/с) приведены на рис. 2. Их анализ, соответствующий переменной конвекции для трех случаев напряженности поля, показывает, что рассмотренная зависимость скорости от координаты приводит к усилению обратной зависимости Е от координаты, что проявляется в ускоренном, по сравнению со случаем постоянной скорости, выходе напряженности электрического поля на свои стационарные значения при снижении высоты.
Рис. 2. Профили электрического поля при переменной скорости конвективного переноса: 1 - Ео= -100 В/м; 2 - Ео= -200 В/м; 3 - Ео= -500 В/м / Fig. 2. Electric field profiles at a constant rate of convective transfer: 1 - Ео= -100 V/m; 2 - Ео= -200 V/m; 3 - Ео= -500 V/m
Турбулентный приземный слой
Рассмотрим случай, когда турбулентный перенос преобладает над конвективным, и при этом коэффициент турбулентной диффузии является функцией высоты: D(z) = D^z . Уравнение (1)
d 2 E
принимает вид - s0D1z—— + ÀE = j0 , а граничные условия сохраняют форму (2). Решение этого
dz
уравнения может быть найдено в виде степенного ряда [10] функции напряжённости электриче-
-(k+3)g0а , ,3k
ского поля относительно высоты: E (z )= £ E(
о- 120
k=1
te
z
V zo
+ lSL À
—12 2
Профили напряженности электрического поля ( Di = 0,01м/с , j = 3 -10 А/м ,
À = 12-10 15См/м , L= 10 м, k=3) для различных значений начальных условий приведены на рис. 3.
Рис. 3. Профили электрического поля в турбулентном приземном слое при постоянном коэффициенте переноса: 1 - Е0= -100 В/м; 2 - Е0= -200 В/м; 3 - Е0= -500 В/м / Fig. 3. Electric field profiles in a turbulent surface layer at a constant transfer coefficient: 1 - Е0= -100 V/m; 2 - Е0= -200 V/m; 3 - Е0= -500 V/m
Переменный характер коэффициента турбулентной диффузии приводит к еще более существенным искажениям в поведении напряженности электрического поля с ростом высоты, так как происходит функциональный рост значений коэффициента турбулентной диффузии.
Турбулентно-конвективный приземный слой
1. Рассмотрим случай, когда коэффициент турбулентной диффузии ( D(z) = D0 = const ) и скорость конвективного переноса ( V(z) = V00 = const ) имеют соизмеримые значения.
d2 E dE .
Уравнение (4) примет вид — s0D0 —2- + ^V)--+ ÀE = j , а граничные условия сохранятся в
dz dz
форме соотношений (2). Из уравнения (6) получаем зависимость напряженности электрического поля от высоты:
"И" * + ^ * = .
Профили напряженности электрического поля при постоянных коэффициентах турбулентного
_12 2 15
и конвективного переносов (Р0=0,01 м/с, ^о=0,01 м/с, ] = 3 -10 А/м , Х = 12 -10_ См/м, Е= 10 м) приведены на рис. 4.
Учет турбулентности наряду с конвекцией приводит к заметным искажениям значений электрического поля с увеличением высоты г, что проявляется в росте величины Е(г)/Е0 с ростом поля Ео .
Рис. 4. Профили электрического поля в конвективно-турбулентном приземном слое: 1 - Ео= -100 В/м; 2 - Ео= -200 В/м; 3 - Ео= -500 В/м / Fig. 4. Profiles of the electric field in the convective-turbulent surface layer: 1 - Ео= -100 V/m; 2 - Ео= -200 V/m; (3) Ео= -500 V/m
2. Рассмотрим модель, описывающую одновременное влияние на поведение напряженности электрического поля турбулентных и конвективных процессов. В качестве законов, регулирующих поведение соответствующих коэффициентов, примем следующие:
D(z) = Diz , V(z) = Vi Z-- . (7)
... ^ d 2E Tr z í z ^ dE „„
В этом случае уравнение (4) принимает вид - s0D1z—— + s0V1— I 1 — I--+ ЛЕ = j0, а гра-
dz l \ l) dz
ничные условия сохраняют форму (2).
Решением уравнения (7) является степенной ряд [11] для профиля напряжённости электрического поля:
-(k+3>о (D1+V) / \3k+2
E(z)=Z Еое I — k=1 ^ z0 ) 2
Распределение напряженности электрического поля по высоте (V1=0,01 м/с, D1=0,01 м/с, j = 3-10-12А/м2, 2 = 12-10-15См/м , L= 10 м, k=3) приведено на рис. 5.
+ J0
Рис. 5. Профили электрического поля в конвективно-турбулентном приземном слое при переменных коэффициентах переноса: 1 - Ео= -100 В/м; 2 - Ео= -200 В/м; 3 - Ео= -500 В/м / Fig. 5. Electric field profiles in the convective-turbulent surface layer with variable transfer coefficients: 1 - Ео= -100 V/m;
2 - Ео= -200 V/m; 3 - Ео= -500 V/m
Профили, представленные на рис. 5, показывают, что эффект искажения значений напряженности электрического поля сглаживается (по сравнению с рис. 4), что может объясняться действием функции конвективного переноса.
Заключение
Построены и исследованы электродинамические модели приземного слоя атмосферы, учитывающие процессы турбулентного и конвективного переносов как по отдельности, так и при совместном действии. При этом учтен постоянный и функциональный характер указанных параметров. Для всех рассмотренных случаев получены точные или приближенные решения уравнения полного тока, описывающие поведение профиля напряженности электрического поля в приземном слое. Результаты анализа показывают необходимость дальнейшего более детального изучения влияния совокупности метеорологических факторов на электрическое поле вблизи поверхности земли.
Список источников
1. Морозов В.Н., Куповых Г.В. Математическое моделирование глобальной атмосферной электрической цепи и электричества приземного слоя. СПб.: Астерион, 2017. 307 с.
2. КуповыхГ.В., Морозов В.Н., Шварц Я.М. Теория электродного эффекта в атмосфере. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998. 123 с.
3. Куповых Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. 114 с.
4. Аджиев А.Х., Клово А.Г., Кудринская Т.В., Куповых Г.В., Тимошенко Д.В. Суточные вариации электрического поля в приземном слое атмосферы // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2021. Т. 57, № 4. С. 452-461.
5. Куповых Г.В., Тимошенко Д.В., Клово А.Г., Кудринская Т.В. Влияние электродного эффекта на суточные вариации электрического поля атмосферы в приземном слое // Оптика атмосферы и океана. 2023. Т. 36, № 10. С. 834-838.
6. Mauchly S.J. Studies in atmosphere electricity based on observations made on the Carnegie (1915-1921) // Researches of the Department of Terrestrial Magnetism. Washington: Carnegie Institution, 1926. № 175. Р. 385-424.
7. Harrison R.G. The Carnegie curve // Surveys in Geophysics. 2013. Vol. 34 (2). Р. 209-232.
8. Редин А.А., Куповых Г.В., Болдырев А.С. Электродинамическая модель конвективно-турбулентного приземного слоя атмосферы // Изв. вузов. Радиофизика. 2013. Т. 56, № 11-12. С. 820-828.
9. Белоусова О.В., Тимошенко Д.В., Куповых Г.В. Математическое моделирование электрической структуры турбулентно-конвективного приземного слоя // Радиотехн. и телекоммун. системы. 2023. № 3. С. 12-18.
10. Куповых Г.В., Белоусова О.В., Тимошенко Д.В., Клово А.Г., Кудринская Т.В. Электродинамическая модель турбулентно-конвективного приземного слоя: приближенные аналитические решения // Материалы IX Всерос. науч. конф. по атмосферному электричеству. СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2023. С. 488-496.
11.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 6-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1999. 736 с.
References
1. Morozov V.N., Kupovykh G.V. Mathematical modeling of the global atmospheric electric circuit and electricity of the surface layer. St. Petersburg: Asterion Publ.; 2017. 307 p. (In Russ.).
2. Kupovykh G.V., Morozov V.N., Schwartz Ya.M. Theory of the electrode effect in the atmosphere. Taganrog: TRTU Press; 1998. 123 p. (In Russ.).
3. Kupovykh G.V. Electrodynamic processes in the surface layer of the atmosphere. Taganrog: TTI SFU Press; 2009. 114 p. (In Russ.).
4. Adzhiev A.H., Klovo A.G., Kudrinskaya T.V., Kupovykh G.V., Timoshenko D.V. Diurnal variations of the electric field in the surface layer of the atmosphere. Izv. RAN. Fizika atmosfery i okeana = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Atmospheric and Oceanic Physics. 2021;57(4):452-461. (In Russ.).
5. Kupovykh G.V., Timoshenko D.V., Klovo A.G., Kudrinskaya T.V. Influence of the electrode effect on daily variations of the atmospheric electric field in the surface layer. Optika atmosfery i okeana = Optics of the Atmosphere and Ocean. 2023;36(10):834-838. (In Russ.).
6. Mauchly S.J. Studies in atmospheric electricity based on observations made on the Carnegie (1915-1921). Research of the Department of Terrestrial Magnetism. Washington: Carnegie Institution Press; 1926;(175):385-424.
7. Harrison R.G. The Carnegie curve. Surveys in Geophysics. 2013;34(2):209-232.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
8. Redin A.A., Kupovykh G.V., Boldyrev A.S. Electrodynamic model of convective-turbulent surface layer of the atmosphere. Izv. vuzov. Radiofizika = University Proceedings. Radiophysics. 2013;56(11-12):820-828. (In Russ.).
9. Belousova O.V., Timoshenko D.V., Kupovykh G.V. Mathematical modeling of the electrical structure of a turbulent-convective surface layer. Radiotekhn. i telekommun. sistemy = Radio Engineering and Telecommunication Systems. 2023;(3):12-18. (In Russ.).
10. Kupovykh G.V., Belousova O. V., Timoshenko D. V., Klovo A.G., Kudrinskaya T. V. Electrodynamic model of a turbulent-convective surface layer: approximate analytical solutions. Proceedings of the IXAll-Russian Scientific Conference on Atmospheric Electricity. St. Petersburg: Mozhaisky MSA Press; 2023:488-496. (In Russ.).
11. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. 6th ed. Moscow: Moscow State University Press; 1999. 736 p. (In Russ.).
Информация об авторах
О.В. Белоусова - ассистент, кафедра физико-математических основ инженерного образования, Инженерно-технологическая академия.
Д.В. Тимошенко - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физико-математических основ инженерного образования, Инженерно-технологическая академия.
Г.В. Куповых - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физико-математических основ инженерного образования, Инженерно-технологическая академия.
Information about the authors
O. V. Belousova - Assistant, Department of Physics and Mathematics Fundamentals of Engineering, Academy of Engineering and Technology.
D. V. Timoshenko - Candidate of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Department of Physics and Mathematics Fundamentals of Engineering, Academy of Engineering and Technology. G.V. Kupovykh - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of Department of Physics and Mathematics Fundamentals of Engineering, Academy of Engineering and Technology.
Статья поступила в редакцию 20.12.2023; одобрена после рецензирования 15.02.2024; принята к публикации 24.05.2024. The article was submitted 20.12.2023; approved after reviewing 15.02.2024; accepted for publication 24.05.2024.
