Стрела времени, нарушение четности и гравитация в обобщенной квантовой и классической динамике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536-12, 514.84, 531.5

СТРЕЛА ВРЕМЕНИ, НАРУШЕНИЕ ЧЕТНОСТИ И ГРАВИТАЦИЯ В ОБОБЩЕННОЙ КВАНТОВОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

В. В. Асадов, О. В. Кечкин

Сниияф)

E-mail: kechkin@depni.npi.msu.su

Представлены результаты изучения жвантовой механижи со стационарным неэрмитовым гамильтонианом и жомплежсным параметром эволюции, а тажже ее жласси-чесжого предела, обладающего нетривиальными жорреляциями. Пожазано, что соответствующая динамижа необратима для изотермичесжого и адиабатичесжого режимов жвантовой и жлассичесжой эволюции. Установлена возможность универсальной связи между необратимостью и динамичесжим нарушением четности в системе. Продемонстрирован механизм генерации гравитации распределением жорреляций в свободной теории.

Введение

Второй закон термодинамики выделяет преимущественное направление в эволюции реальных физических систем. В одной из своих формулировок он утверждает, что с течением времени энтропия любой замкнутой макроскопической системы не может убывать [1]. В рамках статистической механики возникающая стрела времени объясняется переходом системы из менее вероятного в более вероятное состояние [2]. Проблема, однако, заключается в обратимости уравнений стандартной микроскопической динамики, усреднением по которой и должны получаться все необратимые макроскопические закономерности [3].

Для решения этой и ряда других задач мы предлагаем включить стрелу времени в динамику уже на микроскопическом уровне, объединив квантовую и статистическую механики в единую теоретическую конструкцию. Дополнительным аргументом в пользу этого шага может служить имеющаяся статистическая структура квантовой теории как таковой [4]. Классический предел объединенной теории должен тогда отвечать за необратимые процессы, наблюдаемые в макромире, т.е. в конечном счете и за «обычную» термодинамику.

1. Квантовая динамика со стрелой времени

Обозначим через |Ф), т и % вектор состояния, комплексный параметр эволюции и неэрмитов гамильтониан обобщенной квантовой системы. Уравнение Шрёдингера и условие аналитичности

т|Ф),т = Я|Ф), |Ф),Т*=0 (1)

(где «*» — комплексное сопряжение) постулируем в качестве основных динамических соотношений теории. Обобщенное условие стационарности зададим в виде 'Н т = %}Т* = 0 и наложим дополнитель-

ное ограничение

[П,П+}= 0, (2)

естественное в рамках приводимой далее физической интерпретации данной общетеоретической схемы.

Общее решение уравнений (1), (2) можно записать в виде суперпозиции |Ф) = ^А^п) базисных состояний |Ф„) = |Ф„(т)), собственных для коммутирующих операторов % и 'И 1 , с комплексными коэффициентами Сп = const (здесь п — муль-тииндекс). Представим параметр эволюции и гамильтониан теории в терминах вещественных переменных t и ¡3 и эрмитовых операторов £ и Г следующим образом:

r = t-i^p, П = Е-^Т. (3)

Тогда для вероятности Рп обнаружения системы, находящейся в состоянии |Ф), в базисном состоянии |Ф„), получим

*» = т- (4)

Здесь Z = Yju wn — статистическая сумма, связанная с данным квантовым состоянием, в которой

wn = pnexp[-(En/3 + Tnt)], (5)

Еп и Г„ — собственные значения коммутирующих в силу (2) операторов Е и Г, и рп = \Сп\2. Ясно, что под t и Еп естественно понимать «обычные» время и уровни энергии рассматриваемой системы. Тогда ¡3 интерпретируется как обратная абсолютная температура Т (¡3 = 1/kT, где k — постоянная Больцмана), а величины Г„ определяют «времена жизни» системы в базисных состояниях, характеризуемых вероятностями Рп (см. (4), (5)). Далее Е и Г мы называем операторами энергии и распада системы.

Последним элементом общей схемы является задание температурного режима ¡3 = ¡3(t), фиксирующего тип термодинамической эволюции. Естественные примеры даются изотермическим ¡3 = const и адиабатическим £ = const режимами. При этом среднее значение £ энергии Е определяется как £ = (Ф|£|Ф)/(Ф|Ф). Очевидно, что E=E(t,f3), так что условие адиабатичности действительно определяет соответствующую температурную кривую.

Далее для полной производной по времени от величины Г в изотермическом и адиабатическом режимах соответственно получаем

^ — п2 dY _ 2

1

(ET - £Г)2

(6)

где £)р = (Г — Г)2 и £>| = (£ - Е)2 — квадраты дисперсии операторов Г и £ в состоянии Ф. В обоих случаях с1Т(1)/с11 ^ 0, причем для адиабатической эволюции это следует из неравнества Коши-Буня-ковского, делающего неотрицательным выражение в квадратной скобке во втором из соотношений (6).

Тем самым в указанных режимах эволюции Г(£) не возрастает при любых начальных условиях. Это означает наличие в изучаемой динамике хорошо определенной стрелы времени, направленной на аттрактор с минимальным значением оператора Г (согласующийся с данным режимом и начальными условиями). При этом понятие температуры с необходимостью обобщается здесь на неравновесные состояния системы.

2. Динамическое нарушение четности

Наиболее интересным является выбор оператора распада пропорциональным оператору четности системы. В простейшем двухкомпонентном случае Г = 703, где аз — соответствующая матрица Паули, а 7 — положительная (для определенности) постоянная. Вектор состояния |Ф) имеет здесь вид |Ф) = |Ф+) + |Ф^), где |Ф±) — собственные векторы оператора Г с собственными значениями ±7. Их интерпретация может быть связана с левыми и правыми состояниями, с частицами и античастицами и, вообще, с любыми другими реализациями данной дискретной группы симметрий.

Анализ соответствующей динамики позволяет установить, что на временных асимптотиках система с необходимостью является поляризованной. Действительно, имеет место следующее утверждение:

lim Y(t) = 7,

t—>-±ос

(7)

т.е. система совершает переход из « + »-еоетояния в «-»-состояние независимо от того, каким является распределение соответствующих вероятностей в начальный момент времени ¿ = 0. Единственное ограничение на температурный режим, которое де-

лается при выводе формулы (7), состоит в требовании существования асимптотических значений обратной температуры, т.е. величин ß± = lim ß (t).

t—>-±ос

Любопытно отметить, что в частном случае равновероятного распределения «четных» |Ф+га) и «нечетных» |Ф_„) состояний с одинаковыми значениями энергии Еп в начальный момент времени (т.е. при Р+п(0) = Р-п(0)) функция Г(0 имеет вид кинка

Г = -7th7*.

Представленная схема динамического нарушения четности может быть использована для объяснения факта асимметрии между правым и левым в нейтринной физике, а также барионной асимметрии во Вселенной.

3. Классическая динамика со стрелой времени

Определим классическую динамику как предел квантовой при h—tO. Представляя фазу S волновой функции Ф = ехр (iS/h) в виде

S = S]+jS2, (8)

для следующей из (1) модифицированной системы классических уравнений Гамильтона-Якоби получим

S\,t = —E, S iß = 0,

Se,t '

■E^pTSefq — Г*, Seß-0.

(9)

В ней Бе = $2 — (ЗЕ — величина энтропийного типа, Г* = Г + \т(Е ррт8\ ччт), а д и р — столбцы канонических координат и импульсов. Предполагается, что £ = Т(р)+У(д); после выполнения дифференцирований во всех динамических переменных должна быть сделана подстановка р —> Б^ц.

Утверждение состоит в том, что в силу (9) классическая величина Г = § йц рТ (где р = ехр(—— плотность вероятности, 2 = | йц ехр (—5г)) удовлетворяет тем же соотношениям (6), что и ее квантовый аналог. Таким образом, классическая динамика также является необратимой в изотермическом и адиабатическом режимах эволюции. Результат имеет место в естественном (см. (2)) предположении о равенстве нулю классической скобки Пуассона {£,Г} и при условии достаточно быстрого убывания плотности вероятности на координатной бесконечности (подразумеваемом для локализованного классического объекта).

Мы отождествляем максимум плотности вероятности с классическим положением рассматриваемого объекта. Модифицированные уравнения Гамильтона, полученные при учете системы (9), имеют следующий вид

Q,t — £,р ~~ Qß — —Е-Ч'

P,t = ~~ P,ß = —Ä1Ä2 ^E-q.

Здесь «;<?» — полная производная по столбцу д, матричные же величины определяются как А\ = 5] тт и А2 = 52 тт. Система уравнений (10) и температурный режим ¡3 = ¡3(1) определяют полные производные классических координат и импульсов по времени (как й/й1 = 81+¡3др, где ¡3 = (1/3/сИ).

Отметим, что уравнения (10) переходят в стандартные уравнения Гамильтона при Л^1 —>-0. Этот предел соответствует абсолютной локализации объекта на его классической траектории д = . Действительно, раскладывая 5г(<?) в ряд с центром в , учитывая необходимое условие экстремума dS2(q(t)) = 0 и тот факт, что d2S2(q(t)) = с1цт с1ц, для плотности вероятности в данном пределе получаем р = ё(д — <?(0) •

Определяя далее корреляцию А о В величин А и В как Л В + ВА — 2/1В, получаем

Рк °Р1 « {А\А^1А\)Ы, причем эти равенства становятся точными в пределе А2' —>-0. Тем самым модификация уравнений Гамильтона оказывается связанной с включением в них нетривиальных корреляций канонических координат и импульсов, т. е. с нелокальной в вероятностном смысле структурой фазового пространства данного варианта классической теории.

4. Релятивизм и эффективная гравитация

Простейшая четырехмерная релятивистская квантовая теория получается при выборе £ = ¿^рцри/2т, где д^)^ — метрика Минковекого

с сигнатурой Н----, Рц = Иг дц — оператор

импульса, и т — параметр размерности массы. В этой теории I и — кинематически независимые «термодинамическое» и «геометрическое» времена. В случае Г = 0 классические уравнения Гамильтона имеют здесь следующий вид: йх^ 1

dt

dpß dt

т

1

m

g(0)

{AlA^)^ShuvX + (3{AxA^A])iivpx

(11)

Нетрудно проверить, что при отсутствии корреляций мировые линии становятся прямыми, причем получающееся соотношение р1л = д^^т dxl//dt позволяет отождествить термодинамическое время ^ с собственным временем движущейся частицы с массой т.

Сравним далее систему (11) с уравнениями геодезической для аналогичной частицы, движущейся в гравитационном поле с метрикой д^:

dx»

~1Г

2

т

dpß dt

a-

(12)

Рассматривая случай малых корреляций (т.е. хорошо определенной локализации частицы) и слабой гравитации (д^ = д(о)^ +гДе удается выразить возмущения метрики в (12) через корреляционные коэффициенты из (11). Определяется также класс температурных режимов, совместный с получающейся эффективной римановой геометрией. Так, в начальной системе покоя частицы гравитационный потенциал £(1)оо дается следующим выражением:

£(1)00 = 0V)

0ß

1

gfäS^ + ßiA^

тс

где с — скорость света. Тем самым неопределенность в положении и импульсе, характеризуемая их нетривиальными корреляциями, воспринимается наблюдателем как гравитационное поле, действующее на рассматриваемую частицу.

Гравитационные аспекты квантовой динамики с классическим пределом изучались также в [5], а римановы структуры в равновесной термодинамике—в работе [6].

Заключение

На наш взгляд, даваемое соотношениями (3) и (8) объединение времени и температуры, спектров энергии и времен жизни, а также действия и энтропии в единые комплексно-аналитические сущности имеет фундаментальный смысл. Стрела времени, динамическое нарушение четности и гравитация — эффекты, обеспечиваемые данной общетеоретической конструкцией. Отметим, что они исчезают при тривиальных корреляциях, т. е. для локализованных состояний теории.

Мы благодарны Б. С. Ишханову за постоянный обмен идеями и поддержку и Ю. П. Рыбакову, A.A. Славнову, A.B. Борисову, A.C. Холево, Ю. Г. Рудому, С. С. Кокареву, В. Д. Кассандрову, Дж. Коста, М. Матоне, А. Эррера-Агиляр, Т. Зан-ниас, Э. Кеведо и О. Обрегону — за полезные обсуждения представленных результатов.

Литература

1. Кубо Р. Термодинамика. М., 1970.

2. Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики. М.; Л., 1946.

3. Magnon A. Arrow of time and reality: in search of a conciliation. Singapore, 1997.

4. Холево A.C. Статистическая структура квантовой теории. М„ 2003.

5. Matone М. // Found. Phys. Lett. 2002. 15. P. 311.

6. Quevedo H. 11 J. Math. Phys. 2007. 48. P. 013506.

Поступила в редакцию 21.06.2007