Стохастическое моделирование разрушения гетерогенной повреждаемой среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

Стохастическое моделирование разрушения гетерогенной повреждаемой среды

В.В. Лепов, К.Я. Лепова, В.Т. Алымов1, В.П. Ларионов

Институт физико-технических проблем Севера СО РАН, Якутск, 677891, Россия 1Институт машиноведения РАН, Москва, 101830, Россия

Посвящается 40-летию материаловедения в Якутии

Рассматривается стохастический подход к моделированию процесса разрушения гетерогенной вязкопластической среды с известным распределением микродефектов. Разработанная модель стохастического роста трещины в массиве дефектов позволяет визуализировать процесс распространения трещины по механизму образования на микродефектах, роста и взаимного слияния микропор или микротрещин под действием внешних напряжений и водорода. Использованы статистические параметры реальной структуры гетерогенного материала, полученные методами оптической, туннельной сканирующей и рентгеновской фрактографии и микроскопии.

Показана возможность применения разработанной модели для моделирования образования и роста горячих трещин в алюминиевом сплаве при его затвердевании из расплава. Применен подход микро-макроскопического моделирования на уровне детали. Приведены основные соотношения для расчета эволюции пористости в зоне смешения жидкой и твердой фаз металла, а также общая схема моделирования всего процесса формообразования детали из расплава. Проведен расчет пористости и распространения трещины в алюминиевом сплаве.

1. Введение

Традиционные методы моделирования деформации и разрушения материалов до сих пор не позволяли адекватно и достаточно полно описывать наблюдаемые в эксперименте эффекты для вязкопластических гетерогенных материалов, в частности изменение сопротивления хрупкому разрушению при пониженных температурах окружающей среды и одновременном действии неоднородных напряжений и водорода. Вследствие различного характера процессов деформации и разрушения, протекающих на нескольких структурных уровнях, гетерогенности, а также дефектности реального материала, затруднено было и построение соответствующих теоретических моделей [1, 2]. В то же время, разрабатываются новые методы и подходы, позволяющие на основе современных вычислительных технологий моделировать процессы образования и роста трещин в вязкопластических материалах с высокой степенью достоверности [3-5].

Модели, основанные на дислокационных представлениях и описывающие эволюцию дефектности в решетке металла, неустойчивость трещин в поле приложенных напряжений, не были способны количественно

описать макроскопические характеристики пластичности и прочности гетерогенного материала, требующиеся для оценки его сопротивления разрушению. Введение промежуточного, так называемого мезоскопического уровня, и разработка основ физической мезомеха-ники [6] позволили рассматривать не два совершенно разных уровня — микроскопический, оперирующий понятиями кристаллической решетки и отдельных дислокаций, и макроскопический, на котором происходит усреднение напряжений и деформаций по достаточно большим объемам, а ввести несколько промежуточных, мезоскопических. Одной из основных характеристик материала на мезоуровне становится способность его структурных элементов к взаимным перемещениям, поворотам, характеризующая, по сути, стесненность пластической деформации.

Однако общей модели, описывающей деформирование и разрушение материала, начиная с микроскопического, «квантового», уровня [7] и заканчивая макроскопическим, «инженерным», предложено не было. Несомненно, что это должна быть статистическая теория, основанная на положениях и подходах современных тео-

© Лепов В.В., Лепова К.Я., Алымов В.Т., Ларионов В.П., 2002

Рис. 1. Схема воздействия водорода на кинетику охрупчивания и структуру уровней деформации металлического материала

рии дислокаций, теории дефектов, в том числе полевой, теории деформированного твердого тела, вычислительной механики пластичности и разрушения, нелокальных теорий пластичности, синергетики (в частности физической мезомеханики).

Как показано рядом авторов [7, 8], в настоящее время не построена теория, объясняющая прочностные и деформационные свойства твердых тел без привлечения эмпирических подходов. Между тем в рамках классической физики, несмотря на имеющиеся попытки проведения определенных аналогий [9], построение такой теории прочности твердого тела невозможно [7]. В общем случае необходимо привлечение квантово-механических представлений, основанных на статистическом описании реальной структуры гетерогенного дефектного материала.

Именно статистический подход, основанный, в общем случае, на развитии теории дефектного поля в реля-

тивисткой сплошной среде и дополненный данными физического эксперимента на различных структурных уровнях реального материала, свойственен стохастическим структурным моделям твердого тела. Одной из возможных реализаций такой модели является стохастическая модель раскрытия микродефектов, роста и взаимного слияния образующихся малых трещин и распространения магистральной трещины в гетерогенном материале. В более общем случае необходимо привлечение теории накопления рассеянных повреждений, описывающих потерю прочности при действии различных повреждающих факторов (коррозионных, радиационных, температурных и т.п.). Особенностью такой модели является возможность объединения процессов, происходящих на различных структурных уровнях [10].

Раскрытие дефекта, происходящее на мезоскопическом уровне, в данной модели соответствует достигнутому на предыдущем структурном уровне предельному

Рис. 2. Общая схема комплексных исследований процессов деформирования и разрушения гетерогенных сред на основе иерархического подхода

состоянию и может быть оценено некоторой мерой локальной (микро) поврежденности, имеющей, вообще говоря, спинорную природу [11]. Дальнейший кооперативный рост мезоскопических дефектов в виде микро-пор, микротрещин различной ориентации происходит в соответствии с выбранной моделью материала. Объединение дефектов между собой и с распространяющейся магистральной трещиной также представляет собой процесс, протекающий на мезоуровне. Макроскопические прочностные характеристики материала будут изменяться уже по достижении магистральной трещиной определенного критического размера (в соответствии с механикой разрушения), в зависимости от объемной доли микро- и мезодефектов в материале.

Реальные свойства и количественные характеристики (размер, концентрация, форма) включений в структуре полимерного и кристаллического материала, границ зерен в поликристаллическом материале могут быть определены методами оптической, электронной туннельной и сканирующей микроскопии высокого разрешения, оптико-телевизионными и рентгеновскими диф-рактометрическими методами [12-14].

Также на основе теоретических и экспериментальных исследований явления замедленного разрушения металлов была предложена структурная схема воздействия активной среды на структуру деформации и разрушения материала, основанная на иерархическом подходе (рис. 1). Такой подход позволил объяснить ряд экспериментально наблюдаемых эффектов изменения механических свойств конструкционных материалов при замедленном разрушении под действием водорода и низких температур.

Так, было выяснено, что наиболее вероятным механизмом замедленного разрушения стали под действием водорода является изменение структуры деформации вследствие увеличения подвижности линейных дислокаций и торможения винтовых дислокаций на микроуровне [12]. Реализация этого механизма на мезоуровне возможна только путем скачкообразного распространения микротрещины, обусловленного процессами переноса дислокаций в поврежденную до некоторого определенного уровня область. Таким образом, наблюдаемое явление может быть охарактеризовано как пластификация на микроуровне и упрочнение на мезоуровне. Од-

Рис. 3. Расщепления вдоль кристаллографических плоскостей мартенсита насыщенной водородом стали 14Х2ГМР: двухмерный скан, профиль поверхности и трехмерное изображение излома

нако, в отличие от мезо- и макроуровня, до сих пор не имелось никаких фактических экспериментальных данных, указывающих на прерывистый характер продвижения микротрещин. Их удалось получить методами зон-довой микроскопии.

Необходимо отметить, что на данном этапе развития науки в области материаловедения, несмотря на обширный экспериментальный материал, отсутствуют теоретические основы, дающие возможность исследовать физическую природу хладноломкости на уровне коллективизированных электронов, величины межатомных сил, типа межатомных связей, искажений и изменений типа кристаллической решетки, в частности при создании новых конструкционных сплавов. До сих пор механики и материаловеды оперируют феноменологическими теориями, не связанными с действительным строением и структурой материала. С другой стороны, в физике твердого тела накоплен большой потенциал знаний

о внутренней структуре вещества, который остается невостребованным материаловедами.

Для реализации комплексного подхода разработана иерархическая модель, основанная на теоретическом и

экспериментальном рассмотрении всего процесса формообразования, деформирования и разрушения материала с точки зрения организации структуры на различных уровнях деформации при совместном действии силовых, температурных и коррозионных нагрузок (рис. 2).

2. Экспериментальные микроструктурные исследования

Для обоснования механизма разрушения металла при низких температурах, методами оптической и туннельной сканирующей микроскопии были исследованы поверхности разрушения элементов конструкций и модельных образцов, подверженных воздействию различного характера, включая коррозионное, силовое и температурное. Также был выполнен комплекс металлографических и микроструктурных исследований.

Так, были исследованы модельные образцы, подвергнутые наводораживанию при высокой температуре и давлении, и образцы, термоциклированные по сварочному циклу, а также элемент обода колеса большегрузного самосвала, разрушенный в естественных усло-

Рис. 4. Двумерный скан, профиль поверхности и трехмерное изображение вязкого излома малогабаритного наводороженного образца из стали 14Х2ГМР со следами ямочного отрыва

виях коррозии под напряжением.1 Для получения вероятностной оценки необходимо было определить функцию распределения микродефектов (включений, трещин, пор) по размерам, форме и их среднюю концентрацию в зависимости от вида силового или коррозионного воздействия.

Методом туннельной микроскопии исследован излом образцов стали 14Х2ГМР, насыщенных водородом при 400 °С и испытанных на замедленное разрушение. На рис. 3 микротрещины распространяются в зоне надреза по границам субструктурных блоков мартенсита. Поверхность субмикротрещины, наблюдаемая на изломе образца, показывает расщепление по плоскостям скольжения субструктурных построек. Профиль излома дает возможность измерить размеры отдельных блоков субструктуры и их разориентировку друг относительно друга. При размере исследуемой зоны 4.5х4.5 мкм2, высота микрорельефа достигает почти 0.3 мкм. Характерный размер вторичных микротрещин — глубина 0.2 мкм, ширина 0.3 мкм. На самом деле, учитывая ограничения, свойственные зондовым методам анализа, глу-

1 Экспериментальные исследования элемента обода колеса выпол-

нены с.н.с. Л.В. Москвитиной

бина микротрещин на данном участке съемки будет достигать 0.3-0.4 мкм.

Выполнен анализ поверхности разрушения наводо-роженных и разрушенных под действием статической нагрузки малогабаритных образцов. При этом получены свидетельства распространения трещины по механизму образования и слияния дефектов в виде микропор и микротрещин. На рис. 4 показана поверхность излома, схожая с ямочной поверхностью отрыва и образованная разрывом по растущим микродефектам. Размер исследуемой зоны не более 3 х3 мкм2, высота микрорельефа составляет около 30 нм.

На рис. 5 видна поверхность вторичной субмикротрещины, инициированной водородом и начинающейся от карбидного включения. Субмикротрещина распространяется по кристаллографическим плоскостям мартенсита в теле зерна. Двумерное изображение дает возможность измерить параметры субмикротрещины — глубина около 100 нм, ширина 0.2 мкм. По трехмерному изображению и профилю определен размер карбидного включения — протяженность 3 мкм, ширина — около 300 нм. Распределение подобных включений и неоднородностей на микроуровне и их характерные размеры использованы при расчетах по стохастической модели

Рис. 5. Очаговая трещина, инициированная карбидной частицей в мартенсите стали 14Х2ГМР: двухмерное изображение, профиль поверхности и трехмерное изображение. х 16384

раскрытия на микродефектах, роста по вязкопластическому закону и взаимной коалесценции мезотрещин, а также распространения макротрещины.

Методы зондовой микроскопии применены для мик-роструктурного и фрактографического анализа образ-

цов, подвергнутых предварительной взрывной обработке и термическому циклу сварки, замедленному разрушению под действием растворенного водорода. Удалось установить механизм наследования сформированной взрывным воздействием сеточной дислокационной

Рис. 6. Двумерный скан, профиль поверхности и трехмерное изображение вторичных трещин на изломе наводороженного образца из стали 14Х2ГМР: двухмерное изображение, профиль поверхности и трехмерное изображение

б

я

Рис. 7. Субструктурные блоки мартенсита стали 14Х2ГМР на образце — имитаторе зоны термического влияния сварного соединения: трехмерное изображение (а); профиль по сечению (б); двумерное изображение с линией сечения (в). х 32768

структуры в зоне термического влияния сварных соединений [15].

Например, с помощью туннельной сканирующей микроскопии исследована структура деформации стали ободов колес большегрузных автосамосвалов М-200 американской фирмы «Юнит-Риг». Химический состав стали: С — 0.11 %, Мп — 0.38 %, Si — 0.06 %, Sr, № — 30 %. Зона перегрева сварного соединения имитировалась в высокотемпературной вакуумной камере установки ИМАШ при следующих параметрах: нагрев до 1200 °С со скоростью нагрева 70 °С/с и скоростью охлаждения в интервале 600/500 — 36 °С/с. Мартенситная структура выявлялась путем вакуумного термического травления по мере остывания до комнатной температуры и фиксировалась при оптическом увеличении. Если более темный ранний мартенсит имеет реечную структуру и довольно подробно изучен, поздний мартенсит более светлый, он выделяется из обедненного углеродом аустенита своей копьевидной морфологией. Такой пластинчатый мартенсит формируется в стесненных условиях, поэтому границы двух видов мартенситов аккумулируют микронапряжения второго рода. По всей вероятности, свойства пластинчатого мартенсита имеют определяющее значение с точки зрения стойкости сталей против холодных трещин. В связи с этим представляется

целесообразным более подробно изучить морфологию пластинчатого мартенсита с применением туннельного сканирующего микроскопа. На рис. 7, а представлено трехмерное изображение пластинчатого мартенсита. Пластинка мартенсита составлена из множества тонких параллельных пластинок. Профиль, ориентированный перпендикулярно длинной оси пластинки, выявил ступенчатый характер пластинок (рис. 7, б, в). Длина ступенек колеблется от 0.034 до 0.09 мкм, а высота ступенек от 2 до 4 нм. При увеличениях туннельного микроскопа изучены изломы образцов данной стали, испытанных на замедленное разрушение методом «Имплант». В очаговой зоне поврежденность закладывается по пластинчатому мартенситу в виде расщеплений по пластинкам, а также вдоль границ мартенситных кристаллов (рис. 8, а). На профиле излома вдоль фасетки квазискола видна ступенчатость, идентичная профилю мартенсит-ных пластинок, а также видны вторичные микротрещины длиной 10-18 мкм, шириной в устье трещины 0.040.05 мкм соответственно (рис. 8, б, в).

3. Постановка задачи

Таким образом, целью данной работы является построение стохастической модели роста трещины в гетерогенном вязкопластическом материале на основе ме-

б

Рис. 8. Расщепления мартенсита по пластинкам, а также вдоль границ мартенситных кристаллов. Микроскоп СММ-2000, туннельный режим: трехмерное изображение (а); профиль по сечению (б); двумерное изображение с линией сечения (в). х 65536

Скорость

деформации ________________________

Макроскопический

теплоперенос

Модель Структура зерен

пористости и направления

дендритов

Объемная доля пор

Стохастическая модель роста трещины

Вероятность распространения, возможная траектория трещины

Рис. 9. Схема решения задачи моделирования процесса образования горячих трещин

Поля напряжений, деформаций

ханизма образования, роста и слияния малых трещин. При этом используются экспериментальные данные, полученные на разных структурных уровнях деформирования твердого тела. В частности, в экспериментальном разделе показана возможность использования туннельной сканирующей микроскопии для получения сведений о количестве и расположении дефектов в виде включений и элементов структуры на микроуровне. На мак-ро- и мезоуровне могут быть использованы известные оптические методы анализа структуры [12, 14]. Методом рентгеновской фрактографии возможно получение интегральных по глубине сведений, из которых выделяются микро- и мезоскопические составляющие [13].

Процесс образования микродефектов в виде пор при затвердевании расплава металла моделировался с применением подхода микро-макроскопического моделирования [16]. Этот подход основан на использовании описания фундаментальных микроскопических явлений, таких как кинетика образования, переохлаждения

и роста зерен, в макроскопических расчетах процессов теплообмена с целью предсказания формирования микроструктуры в затвердевающем материале для масштаба порядка размеров детали [17]. Этот подход обеспечивает уникальную возможность расчета всего жизненного цикла детали, начинающегося с течения жидкости и роста дендритов при затвердевании материала, образования зародышей пор [18], усадки твердого тела при охлаждении и возникновении горячих трещин [19]. Дальнейшее охлаждение ведет к возникновению остаточных температурных напряжений и образованию холодных трещин.

Стохастическая модель распространения трещины в гетерогенном материале основана на механизме открытия микропор/микротрещин на дефектах под действием напряжения, их дальнейшего вязкопластичного роста и коалесценции с основной трещиной [10]. Модель формирования зерен основана на комбинированном методе клеточных автоматов - конечных элементов

(cellular automata - final element—CAFE) [20] и предполагает моделирование роста дендритов на вероятностно задаваемых зародышах твердой фазы в расплаве (по методу клеточных автоматов) и расчет теплового потока в зоне смешения (по методу конечных элементов). В данном случае получены структура зерен с направлениями дендритов в каждом из них, а также результаты решения задачи макроскопического теплопереноса, которые используются в качестве входных данных для модели распространения трещины и модели расчета пористости соответственно.

Общая схема моделирования процессов, происходящих при формообразовании детали из расплава металла, и связи между разработанными моделями представлены на рис. 9. Конечно-элементный расчет тепловой задачи охлаждения уже затвердевшего металла осуществляется средствами программного комплекса ABAQUS®. При этом определяется величина и скорость деформации твердой фазы в зоне смешения, которые используются в модели пористости, и поля напряжений и деформаций, задающие внешнюю нагрузку при расчете по стохастической модели распространения трещины. Результатом моделирования роста трещины является вероятность ее образования, траектория, скорость, разветвленность. Все эти характеристики оказываются зависящими от прочностных свойств, микроструктуры, структуры деформации (мезоструктуры) материала, граничных условий решения тепловой задачи (адиабатические, постоянное охлаждение).

Получены результаты, свидетельствующие о возможном адекватном количественном моделировании

последовательных процессов затвердевания металла, образования в нем дефектов, трещин и их развития до потери целостности детали.

4. Основные соотношения модели пористости

Ниже будет приведена формулировка задачи расчета пористости в зоне смешения, основные соотношения стохастической модели роста трещины.

Закон сохранения массы в общем случае запишется в виде [21]:

д

—(р) + атф*) = о, (1)

дt

где р = р^ + РщУщ, р8, р^ — плотности твердой и жидкой фаз соответственно; /, — их объемные

доли; р* = р,/* +рщ*8, — скорости твер-

дой фазы и жидкости. Для области в пределах границы Г уравнение (1) может быть переписано в следующей форме:

+ У( /8 р8*8) = Г,

■ (2) + ^ /1щ р 11Ч* 11Ч) = -Г.

В случае пористой среды для объемной доли жидкой фазы можно записать:

Ущ =1 - Л - ур’ (3)

где /р — объемная доля пор.

Уравнение (1) перепишется в форме:

Л Л

д ((Р8 - Р% Ю - (Р%/р ) + ¥ФшЛ^ ) + +^(Ріі^./ііЧ»ііЧ) = 0-

(4)

В этом уравнении первое слагаемое выражает поток массы, обусловленный фазовым переходом из жидкого состояния в твердое, второе связано с образованием в материале пор. Третье слагаемое уравнения (4) описывает движение твердой фазы, вызываемое температурной усадкой, а последнее выражает поток жидкой фазы. Предполагая, что плотности жидкой и твердой фаз при образовании пор не меняются, (4) перепишем в виде:

+ Р)у(/Л) + ) = 0, (5)

Ю д/р дґ дґ

где в — коэффициент усадки, в = р8/pliq -1 [19].

Полагая далее, что скорость температурных деформаций, испытываемых твердым телом, в двумерном случае раша V8 = ^ хі х + ^ у і у, где ^ х, vsJ у — амплитуды скоростей границы твердой фазы в зоне смешения (рис. 10, а) в направлениях х и у соответственно, іх, іу — единичные вектора, уравнение (5) в декартовых координатах запишется в виде:

Ж ’ дt

х )

ду

+_дЮл,*) +_дЮл^)=0

(6)

дх

ду

Предположим, что Уliq у = 0 (т.е. просачивание жидкости идет только в направлении роста дендритов, а в поперечном направлении им можно пренебречь) и что V, х можно пренебречь (т.е. температурное сжатие затвердевшего металла происходит главным образом в направлении, перпендикулярном росту дендритов). Тогда уравнение (6) с учетом закона Дарси [17] для поверхностной скорости жидкой фазы сквозь каркас денд-ритов:

/і

1iqV1iq

к _

= — <Ур -р^ g),

(7)

где Ур — градиент давления в зоне смешения; |Л — вязкость жидкой фазы; g — ускорение свободного падения; К — проницаемость среды, определяемая уравнением Козени-Кармана для дендритной металлической среды [22]:

К =

(1 - Л)3 d2 180Л2

где d — шаг ветвей вторичных дендритов, определяе-

мый законом укрупнения [23] (величины, использованные в расчетах, приведены ниже в таблице 1), может быть записано в виде:

в%-^ + (1 + в)

дt дt

ду

у + Л

дv„

ду

дх

- К (УР Рliq g )

Ц q

(8)

= 0.

Принимая во внимание, что объемная доля твердой фазы / зависит только от х и дих ду = еуу = ер, где е уу — ^-компонента тензора пластической деформации в зоне смешения, уравнение (8) запишется в следующей одномерной форме:

„Ц.-Ю +(1 +№ р. Гш +

д

+

дх

- К УР Рliq g)

Ц q

(9)

= 0.

В случае переменной плотности жидкой и твердой фаз (см. (4)) уравнение (9) перепишется как

дд

д ((рш _РНдЮ-~д^ (pliq /р) + Рш/Ш & р +

д

дх

- — (^Р Рliq g)

Ц q

(10)

= 0,

где р, и Рliq являются функциями х.

Скорость температурной усадки затвердевшего металла не постоянна из-за изменения объемной доли твердой фазы, и в первом приближении она будет прямо пропорциональна ей. Зависимость скорости усадки от доли твердой фазы может быть записана в виде:

&р &р0УШ(х,ґ),

(11)

где е р0 — полная деформация твердого тела (в основании дендритов, или на границе связности, где / = 1). Уравнение (10) запишется в следующей форме:

д [Рш - Ріід )Ю ]--/р +&р0/2 +

дґ

+ Ріід

дґ

- К УР - Ріідg)

(12)

= 0,

или, в случае постоянных плотностей твердой и жидкой фаз, (9) перепишется как:

+ (1 + в)&Р0 Юш2 +

дх

К ^

-----(Ур - Ріід g )

+

д

+

д

Рис. 11. Геометрия расчетной области при испытаниях в кольцевой изложнице (случай осевой симметрии)

При рассмотрении осесимметричного случая испытаний в кольцевой изложнице (рис. 11), стандартных для оценки чувствительности к горячему растрескиванию сплавов на основе алюминия [19], основное уравнение (1) запишется в виде:

^+ё1у(р*)=о.

(14)

В случае пренебрежимо малых перемещений твердой фазы в радиальном направлении (V, г = 0), выражение в скобках равно р* = р^^, г/цче г + р,^, г/е г + +р8У8, е /8ее, где ^ г — скорость жидкой фазы в радиальном направлении и V, 2, V, е — скорости твердой фазы в осевом и тангенциальном направлениях соответственно (рис. 12). Уравнение (1) примет вид:

1 д 1 д

Г дг (грл> г/Ич) + г эе (рЛ’ е /я) +

Л Л

+ э7 ^ ) + э7 (Ря/я+р1;ч ) =0.

(15)

1 дvs е

С учетом (3) и принимая во внимание, что-----------—

г де

= е

К др .

ее> /1iqV1iq, г =-~-дТ’ а ТаКже что /s, г , &22 и

еее являются функциями только г, уравнение (15) перепишется в следующей форме:

д и \ -т \ д—р р1'ч д

д,((р- -р“') /;)-р"’ 17 +Т э-

+р,Л(е ее+е 22 ) = °-

дг

V V 1

др

В случае же постоянной плотности жидкой и твердой фазы:

о — -.д—р +1—

д, д, г дг

( ( кЛдрЛ

г -

V V

К

дг

(17)

+ (Р+ 1)./8(еее + &22 ) = 0.

Для численной разрешимости уравнения (12) или (16) необходимо определить граничные условия. Первое и второе слагаемые в этом уравнении становятся известными из решения задачи макроскопического теп-лопереноса (рис. 9). Задача вычисления пористости требует задания на границе зоны смешения граничных условий типа Дирихле (см. рис. 10, а).

1. Если зона смешения находится глубоко под поверхностью расплава (т.е. не касается свободной поверхности), то накладываемое по давлению условие должно соблюдаться в вершине дендрита. Пренебрегая свободной конвекцией жидкого расплава фазы, это давление задается металлостатическим давлением:

Р = Ра + Рт = Ра +

(18)

где ра, рт — атмосферное и металлостатическое давление соответственно.

Граница эвтектики у основания дендритов определяет баланс массы:

*Кя = -

(р Л

ре^ - 1 рКя

(19)

где *еи( — скорость фронта эвтектики, здесь ve]

реи( — плотность эвтектики. С учетом закона

Рис. 12. Компоненты деформации в элементарной ячейке зоны смешения при испытаниях в кольцевой изложнице

+

+

Дарси (7), уравнение (19) эквивалентно условию Ньюмана для давления:

К дР Ц дx

(Реи^ - 1^ Р1І1

еШ:, x

К

+ Ре

(20)

где gx — x-компонента вектора гравитации g.

2. Нормальная скорость жидкости на поверхности расплава равна нулю:

п = 0-

(21)

3. В случае, если вершина дендрита вырастает до касания свободной поверхности расплава, между вторичными дендритами образуется мениск (рис. 10, б), условие по давлению будет следующим:

Р = Ра + < Ра

(22)

где а — поверхностное натяжение между жидкостью и окружающим воздухом, Е — кривизна мениска. Вследствие того, что кривизна в этом случае будет отрицательной, давление в расплаве будет ниже атмосферного.

Условие (19) влечет за собой из-за *еи( необходимость использования метода передней прогонки, но возможно и использование метода осреднения путем решения уравнений (16) или (17) по всей области с назначением невязок для областей жидкой и твердой фаз. Назначение невязок для региона жидкой фазы осуществляется просто установлением высокой проницаемости. Для области твердой фазы используется метод взвешенных невязок [24]. В этом методе нормальная скорость жидкости полагается равной нулю на границе эвтектики, также как и в (20), и выполняются адаптационные вычисления коэффициента проницаемости. В этих вычислениях используется соотношение Козени-Кармана (3) вплоть до достижения / = 1 - /еиЛ и предыдущего значения К для / > 1 - /еи(. Результаты вычислений по данному методу очень близки точным граничным условиям (19) [24].

Составляющая д/р/дt в (6) и (9), связанная с процессом образования пор, не определена, и для решения задачи необходим ввод дополнительных соотношений. Для упрощения задачи используется закон сохранения массы водорода. Предполагается что водород с концентрацией [Н]0, в сс8ТР/100 г, первоначально равномерно распределен и в период затвердевания находится преимущественно в жидком расплаве, вследствие сравнительно низкой его растворимости в твердой фазе. Также используется предположение о «пренебрежимо малой макродиффузии», что означает рассмотрение только локального баланса массы, при условии закрытости системы.

Уравнение баланса массы в случае пористости в зоне смешения может быть записано в следующем виде:

[Н]0 Ріід = [Н]ш РшЛ + Инд РіідЛд + /р,

( pg ^ТР ^ ЙТР Tg

где [Н]0 — начальная и равномерная концентрация водорода в расплаве, [Н],, [Н]^ — концентрация водорода в твердой и жидкой фазах соответственно, р% и р8ТР — давление газа в порах и его значение, измеренное в стандартных условиях, Т% и Г8ТР — температура газа в порах и ее значение, измеренное в стандартных условиях. Здесь /Ич = 1 - / - /р и для концентрации водорода в сс8ТР/100г составляющая пористости будет равна 269.6( р%/ Т%) /р.

Если температура в (23) такова, что в металле образуются поры, то давление газа в порах pg отличается от такового в жидкой фазе. Внутреннее давление внутри сферической поры радиуса Я определяется поверхностным натяжением между порами и жидкостью стй-^ и дается законом Лапласа:

р8 = р + Дрс = р + 2 ст8 _Цд/R,

(24)

где Дра — избыточное давление, соответствующее поверхностному натяжению.

Водород, растворенный в твердой и жидкой фазах, находится в контакте с порами с давлением р%. Условия равновесия в этом случае определяются законом Си-вертса для этого давления в виде:

[И]Нд = 5 Нд(Г )^Р7,

[Н]„ = 5а(Г)^ = kSlщ(T, % Си)^,

(25)

где 5Н(1(Т), 58(Т) — постоянные равновесия реакции, зависящие от температуры, которые обычно неизвестны или недостаточно надежны, особенно для твердой фазы. Чаще всего значения 5,(Т) для твердой фазы в зоне смешения экстраполируются посредством введения коэффициента распределения к, измеряемого для чистого металла. В соответствии с (24) и (25), давление водорода р% отличается от атмосферного давленияр вследствие ненулевой кривизны газового пузырька. Константа Си-вертса в (25) вводится в модель как функция температуры и состава жидкой фазы.

Таким образом, задача построения модели образования микропористости осложняется учетом формирования пор вследствие избыточного давления, зависящего от кривизны пор и их внутреннего давления, р%.

Для формулирования критерия образования поры вводится избыточное насыщение [ДН] зарождения, соответствующее избыточному давлению. В этом случае критерий запишется в виде:

[H]iiq > [H]Sq + [AH],

(26)

где [И]И(1 — действительная концентрация водорода в жидкости, задаваемая правилом, [И]^ — растворимость водорода в жидкой фазе, задаваемая законом Си-вертса.

Это условие преобразуется с учетом (23) и (25) в уравнение следующего вида:

[Н]о

1 - (1 - k )f

->

liq

(T, % Cu)^/p+"Ap

(27)

где р — давление в расплаве. После зарождения пора начинает расти. Предполагая, что некоторая плотность пор пр образуется при критическом избыточном давлении, можно определить соответствующую критическую долю пористости:

4nR0

(28)

где R0 — критический радиус поры, определенный с учетом экспериментальных данных.

Предполагая, что форма поры представляет собой сферу радиусом R(t) в любой момент времени, кинетика ее роста будет контролироваться диффузией водорода в жидкости (случай «быстрого» роста), и принимая во внимание уравнения (24), (28), радиус поры R(t) будет полностью определяться выражением (27).

5. Стохастическая модель роста пор

Стохастическая модель распространения трещины в многофазном, гетерогенном материале основана на механизме инициированного напряжениями раскрытия мезотрещин или мезопор (в дальнейшем — мезодефек-тов) на частицах или микродефектах (зародышах) материала, их вязкопластическом росте и дальнейшей коа-лесценции с основной трещиной или близлежащими ме-зодефектами. Рост трещины в дефектном материале моделируется на основе хорошо известного стохастического алгоритма, предложенного К.Б. Бробергом [25].

Предполагается, что координаты основной макро-или мезотрещины и средние величины доли пор и их размеров известны из эксперимента и, таким образом, имеют стохастическую вероятностную природу. В соответствии со схемой на рис. 9, границы зерен (зоны наиболее вероятного распределения зародышей пор) определяются расчетным путем по модели CAFE, доля пор находится согласно модели пористости, а напряжения в расчетной зоне определяются посредством конечноэлементного комплекса ABAQUS®.

Разработанная стохастическая модель роста трещины имеет ряд сходных черт с моделью, описанной в [11], исключая разупрочняющее действие водорода на мате-

риал и возможность изменения определяющих деформирование материала соотношений:

1. Реализация механизма разрушения предполагается раскрытием мезодефекта (мезопоры или мезотрещи-ны) при достижении напряжения на зародыше некоторого порогового значения:

acl = •% ао

{ , Л 1/2 _

1 + Ьо

a./

v 1 ^

(29)

где ас1 — напряжение раскрытия, ^ — коэффициент, учитывающий форму поры, Ь0 — расстояние до вершины основной трещины, где напряжение постоянно.

2. Рост пор подчиняется простому закону вязкого роста (пор либо малых трещин [26])

1 da a dt

(

- = v

-1

a > a.

0,

(30)

где а — скорость, V — вязкость материала, а — действующие напряжения, Сто — предел текучести, п — показатель степенной зависимости.

3. Слияние с основной или соседней трещиной происходит, когда выполняется условие г < 1.25(а, + а7-), где г — расстояние между мезодефектами размерами

а,- и а: соответственно.

1 ^

4. Возникновение мезодефекта происходит в момент, когда сумма локального напряжения и вызванного водородом давления достигнет значения ас1, определяемого уравнением (29).

5. Поле напряжения предполагалось скалярным, учитывающим локальное повышение напряжения вблизи каждого раскрывшегося мезодефекта, в зависимости от его размера.

6. Напряженно-деформированное состояние вблизи мезотрещины или границы мезопоры предполагается удовлетворяющим закону пластического течения Рам-берга-Осгуда для вязкоупругой упрочняющейся среды:

* г * пт

a„ =a[£p] ,

(31)

* *

где ар и ер — пластические напряжения и деформации, отнесенные к пределу прочности и соответствующей ему деформации; т — показатель упрочнения; в частности, в качестве приближения первого порядка использовалось известное решение Хатчинсона-Райса-Розенгрена (HRR-решение [27]).

7. Размеры микродефектов распределены по нормальному закону, положение мезодефектов и ориентация мезотрещин в расчетной зоне распределены равномерно.

8. Предполагается, что скорость диффузии водорода в области, прилегающей к кончику трещины, достаточ-

Рис. 13. Вычисленные и линейно аппроксимированные зависимости от радиуса зоны смешения скорости тангенциальной и осевой деформации, а также напряжения в основании дендритов

но высока (время диффузии мало) для того, чтобы можно было использовать стационарное значение для восходящей диффузии водорода.

9. Для реакции ~Н2 о Н, где Н — водород в твердом растворе, атомная концентрация С0 при равновесии с газообразным водородом при давлениир [28]:

С0 = 0.00585^]^ехр( - 3440/ Т),

(32)

где Т в К, р в МПа.

Таким образом, полученные уравнения позволяют моделировать рост трещины с целью определения вероятного пути трещины, расчета энергии диссипации [25]: dW| = (1 -V2) К 2/Е, где Ж — энергия диссипации,

Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, £ — площадь, проходимая кромкой трещины. Вычисляется также скорость трещины как усредненное дискретное продвижение вершины трещины по мезодефектам.

6. Численное решение

Как упоминалось выше, результаты расчета макро-

скопического теплопереноса, такие как, например, история изменения температуры и объемной доли твердой фазы по всей расчетной зоне, использовались в модели расчета пористости. Решение находилось по зоне ^, представляющей собой комбинации зоны расплава

^ уже затвердевшего металла ^ 8 и зоны смешения

^т. При разбиении зоны использовались одномерные р-элементы. Конечно-элементная формулировка задачи пористости в случае использования уравнения (17) и пренебрежения влиянием гравитации будет следующей:

М ]

в

дШ д{/р}

дt дt

V

+ [К ]{р} = о,

+ (в + 1){/в}(8 00 + 8 гг )

(33)

где {/ }, {/р } — вектора объемных долей твердой фазы и пор, {р} — вектор давления.

Соответствующие элементы матриц массы [М] и жесткости [К] для осесимметричной геометрии даны ниже:

М11(ги г2 ) =|[Г1 + (г2 - Г1)5](1 - 5)2 (г2 - Г1 :

1

: —----------------I —

12

(-г2 + г1)(г2 + 3г1)>

1

М12 (г1> г2 ) =|[Г1 + (г2 - Г1)5](1 - 5)5(г2 - Г1 )Л? =

= - ^(-Г2 + Г1)(Г1 + Г2)’

К„(Г1, Г2) =|

Г1 + 5(г2 - г1) ^ = _ 1 (Г1 + г2 )

г - г о 2 1

2 (-г2 + г1)

от-

где г1 и г2 — координаты конечного элемента, 5 -носительные координаты элемента.

Для определения скорости деформации 8р в зоне смешения рассчитывалось поле напряжений и деформаций при охлаждении связанной твердой фазы в предположении, что вышеупомянутая 8 р равна скорости деформации границы фазовой когерентности. Следовательно, ее величина, также как осевые 8гг и тангенциальные 800 напряжения, является функцией х и t и может быть определена расчетом с помощью комплекса ABAQUS@. Результаты вычислений в виде зависимостей напряжений и скоростей деформаций по расчетной зоне представлены на рис. 13 [10].

Для дальнейших расчетов скорость деформации аппроксимировалась следующими расчетными зависимостями (изображены сплошными линиями на рис. 13):

Параметры, используемые при расчете пористости и распространения трещины

Таблица 1

V, Па-с ^ м РеиО кг/м3 Р ^ кг/м3 сН, см3/100 г 8, 1/с dp, мкм а 0, МПа

10-3 104 3 400 2 440 0.17 104 20 635

+

8 p =8

00

-0.492 х - 3.567

+10

-1.702 х - 3.6

(34)

Для решения задачи макроскопического теплопере-носа в зоне смешения использовалась известная модель, основанная на комбинированном методе клеточных автоматов и конечных элементов (CAFE, [20]).

Результаты расчетов полей напряжений и деформаций, полученные с использованием ABAQUS® для твердой фазы, и данные по эволюции доли твердой фазы

металла в процессе затвердевания, вычисленные по модели CAFE, используются в качестве входных данных для вычисления доли пористости, образующейся в зоне смешения.

В данной работе предполагалось, что Др£ представляет собой избыточное давление, образованное порами со средним радиусом 10 мкм. Это условие определялось экспериментальными исследованиями характерных выплавок систем на основе Al-Cu. Также предполага-

Рис. 15. Вычисленная доля пористости /р в случае осевой симметрии для реальных скоростей переноса тепла: 8р = 800+8гг = /(гГ0^) (а) различие между случаями 8 р = 0 и 10-4 с-1 (б)

1 б

і * *

ооо ч , . о о - - * О • о О ' ГГ

в

0'0*о0*'0о0‘ ■ і о - ' і » <

Рис. 16. Результаты расчета по стохастической модели распространения трещины в вязкопластическом микродефектном материале: случайное расположение мезотрещин (а); регулярное расположение мезотрещин (б); регулярное расположение дефектов в виде мезопор и мезотрещин (в)

лось, что поверхностное натяжение, действующее на поры, пропорционально междендритному давлению в жидкой фазе. Основные величины, используемые при расчете пористости, приведены в таблице 1.

Данные фазовых диаграмм, величины проводимости, температурные зависимости теплопроводности, коэффициента теплового расширения, удельной теплоем-

кости и скрытой теплоты фазового перехода, а также значения упругих модулей использовались те же, что и в работе [20]. Пример полученной структуры зерен для системы А1-Си при затвердевании расправа в кольцевой изложнице с водным охлаждением приведен на рис. 14. Оттенками серого цвета обозначены зерна с различной ориентацией дендритов (с шагом в 2 градуса, по 180

Рис. 17. Зависимости скорости трещины от коэффициента интенсивности напряжений, полученные экспериментально для железа [28] (а) и по стохастической модели для сплава А1-Си (б)

направлениям). Направленная солидификация выражается в образовании столбчатых дендритов и соответствующей структуры зерен.

На рис. 15, а представлены результаты расчетов пористости, представленные в виде зависимости объемной доли пор /р (х, t) по длине зоны смешения для модельных условий теплопереноса (направленное охлаждение) с учетом скорости механических деформаций (т.е. в условиях стесненности температурных деформаций), на рис. 15, б показано отличие от случая, когда не учитывается зависимость от скорости деформации (11).

Для сплава AlSi7Mg0.3 рядом авторов также получены данные, свидетельствующие об образовании микротрещин на частицах Si [29], при этом выявленный методами сканирующей электронной микроскопии механизм разрушения был основан на образовании, подрастании и дальнейшей взаимной коалесценции микро-и мезотрещин.

Важность учета степени регулярности структуры и формы дефектов показали результаты стохастического моделирования распространения трещины в гетерогенном вязкопластическом материале. На рис. 16 показаны результаты расчета по стохастической модели распространения трещины в вязкопластическом микродефект-ном материале при случайном однородном рассеянии микродефектов и соответствующих им мезотрещин, их регулярном расположении, а также случай регулярного расположения микродефектов в виде пор и трещин, смешанных в пропорции 1:1 и образующих соответствующие формы мезодефектов.

Во всех случаях рассматривался средний размер микродефектов 2 мкм, предел текучести 730 МПа, приложенная растягивающая нагрузка характеризуется ин-

тенсивностью напряжений в вершине основной трещины, оцениваемой К1 = 60 МПа-м05. Кроме визуальных различий в траектории движения трещины и ее ветвления, существенно отличаются также средняя скорость трещины, время разрушения и энергия диссипации. Так, если в случае стохастического расположения дефектов в виде микротрещин скорость составляла около 26 м/с, то при регулярной дефектности он выросла до 35 м/с. Ввод микродефектов различной формы в пропорции 1: 1 в случае их регулярного расположения приводил к промежуточным значениям скорости (около 29 м/с). Была также выявлена сильная зависимость скорости распространения трещины от шага решетки микродефектов.

Вычисления при различных модельных условиях для стохастического расположения дефектов в виде микротрещин и микропор показали, что скорость распространения трещины и энергия диссипации зависят как от механических свойств материала (в том числе когезии матрицы и включения, зависящей от количества водорода), так и от геометрии и размера самих включений. На рис. 17, а, б представлены экспериментальная зависимость скорости трещины от К1 для железа [28] и полученная на основе расчетов по стохастической модели для А1-Си сплава.

6. Обсуждение результатов и выводы

Комплексное использование подходов микро-макро-скопического и стохастического моделирования делает возможным расчет не только хрупкого и вязкопластического разрушения в металлах и полимерах, но и получение полной картины формирования и распространения горячих и холодных трещин, начиная с процесса

затвердевания материала из расплава. При этом на основе комплекса экспериментальных и модельных исследований выявлено превалирующее влияние на процесс разрушения свойств дефектной структуры материала на различных уровнях, включая характеристики локального предельного состояния.

Таким образом, на основе полученных данных о концентрации, распределении, размерах и форме дефектов в гетерогенном материале могут быть рассчитаны вероятные траектории развития трещины и произведена оценка предельных состояний материала на различных структурных уровнях. В частности, критериями предельного состояния в разработанной стохастической модели роста трещины могут служить: на микроуровне — напряжение раскрытия мезодефекта на включении (микротрещине или микропоре) и уровень водорода на его поверхности, на мезоуровне — локальные прочностные характеристики материала, степень их деградации в ходе воздействия силовых, температурных, коррозионных факторов, а также взаимное расположение, размеры и форма этих включений, на макроуровне — ос-редненные прочностные характеристики материала с учетом истории нагружения и геометрия элемента конструкции. Более подробная формулировка критериев локальных предельных состояний материала и интегрального критерия, позволяющего оценить степень приближения элемента или всей конструкции к некоторому предельному состоянию, заслуживает отдельного изложения.

Разработана стохастическая модель возникновения и развития трещины в гетерогенной среде, учитывающая реальные размеры и концентрацию микродефектов в материале. На основе предложенного подхода становится выполнимым соединение решений, полученных на основе стохастического моделирования и методами механики сплошной среды, для получения общей картины разрушения материала и выхода из строя конструкции. Результаты численных расчетов по стохастической модели удовлетворительно согласуются с известными экспериментальными данными.

Так, применение модели для различных материалов (в плане отличия как по механическим характеристикам, так и по дефектной структуре) позволяет выявить основные закономерности разрушения в следующих случаях:

- образование и развитие сульфидного растрескивания в сварных соединениях трубопроводов, подвергаемых действию углеводородов, низкой температуры и ее суточным и сезонным колебаниям [30, 31];

- горячее растрескивание алюминиевых сплавов [10];

- замедленное разрушение элементов конструкций под действием водорода [31];

- образование и развитие крейзинга в полимерных образцах [32, 33];

- возникновение и распространение магистральных трещин в оболочечных и массивных металлоконструкциях различного назначения [12, 34];

- трещинообразование речного льда в условиях стесненной деформации и предотвращение заторов в период паводка (проект).

Предложена и реализована концепция проведения комплексных исследований и построения иерахических моделей развития неравновесных физико-химических и механических процессов, учитывающих реальные характеристики материалов на различных структурных уровнях при действии силового (статического и динамического), теплового и коррозионного нагружения. Разработанная стохастическая модель основана на данных эксперимента по развитию дефектов при деформировании на микро-, мезо- и макроуровнях материала и обеспечивает возможность проведения сквозного расчета на различных структурных уровнях под влиянием нагружения различного характера.

Проведение таких комплексных исследований, объединяющих методы стохастического, континуального, микро-макроскопического моделирования с элементами мезомеханического рассмотрения, обеспечивает уникальную возможность расчета полного времени жизни деталей, включая: процесс солидификации, образования и роста дендритов с учетом пористости; формирование зерен, усадку при охлаждении твердой фазы, процесс горячего растрескивания, возникновения остаточных температурных напряжений, оценку вероятности образования холодных трещин. При этом учитываются условия эксплуатации, включающие работу в условиях комбинированного (силового, теплового, коррозионного) нагружения, и накопление поврежденности в процессе деформирования.

7. Благодарности

Авторы признательны коллегам из департамента материалов Лозаннского Федерального технологического институте (EPFL, Швейцария), особенно проф. Мишелю Раппазу и проф. Вильфреду Курцу, за предоставленную возможность проведения численных расчетов на комплексах ABAQUS0 и CAFE, помощь в создании моделей расчета пористости и стохастического роста трещины, экспериментальные данные и обсуждение результатов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 01-01-00161-a, 00-01-96210-р98-Арктика и 00-02-96205-р98-Арктика) и Совета Федеральной программы по поддержке ведущих научных школ (грант № 00-15-99061-1), Сибирского отделения Российской академии наук (комплексный интеграционный проект № 2), программы Минобразования и Минатома РФ «Интеграция» (проект 1.53 «Атом»).

Литература

1. Атомистика разрушения. Сб. статей 1983-1985 гг. / Сост. А.Ю. Ишлинский. - М.: Мир, 1987. - 248 с.

2. Hirth J.P. Some current topics in dislocation theory // Acta Mater. -2000. - V. 48. - P. 93-104.

3. Needleman A. Computational mechanics at the mesoscale // Ibid. -P. 105-124.

4. Xia Z., Curtin W.A., Peters PW.M. Multiscale modeling of failure in metal matrix composites // Ibid. - V. 49. - P. 273-287.

5. BrobergK.B. The cell model of materials // Computational Mechanics. -

1997. - V. 19. - P. 447-452.

6. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой

// Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.

7. Hafner J. Atomic-scale computational materials science // Acta Mater. -

2000. - V. 48. - P. 71-92.

8. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974.- 640 с.

9. Йошида С. Интерпретация мезомеханических характеристик плас-

тической деформации на основе аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - №2 3. -С. 29-34.

10. Lepov V.V., Lepova K.Ya., Drezet J.-M., Pequet C., Rappaz M. The combined approach for the porosity and crack propagation modeling during the metal solidification // Труды междунар. конф. «Физикотехнические проблемы Севера», 10-11 июля 2000 г. - Якутск: ГУП «Полиграфист». - Ч. III. - C. 121-137.

11. СтепановВ.Е., Винокуров Г.Г. Применение методов неримановой геометрии для описания упругопластических сред с дефектными структурами // Труды междунар. конф. «Физико-технические проблемы Севера», 10-11 июля 2000 г. - Якутск: ГУП «Полиграфист».- Ч. III. - С. 27-32.

12. Михайлов В.Е., Лепов В.В., Алымов В.Т., Ларионов В.П. Замедленное разрушение металлоконструкций. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 242 c.

13. ЛеповВ.В., СивцевМ.Н., Афонин С.А., МихайловВ.Е., Сун Жинъ-тао, Тан Чанъин, Ли Ян-чун, Чен Пийен // Заводская лаборатория. - 2000. - № 3. - С. 38-46.

14. Дерюгин Е.Е., Шмаудер 3., Стороженко И.А. Мезо- и макроэффекты локализации деформации в композитах на основе Al с включениями А1203 // Труды междунар. конф. «Физико-технические проблемы Севера», 10-11 июля 2000 г. - Якутск: ГУП «Полиграфист». - Ч. I. - С. 142-155.

15. Москвитина Л.М., Сивцев М.Н., Слепцов О.И., Лепов В.В. Влияние предварительной взрывной обработки на процесс замедленного разрушения высокопрочных сталей // Труды междунар. конф. «Физико-технические проблемы Севера», 10-11 июля 2000 г. -Якутск: ГУП «Полиграфист». - Ч. I. - С. 99-118.

16. Rappaz M., Voller V Modelling of micro-macrosegregation in solidification processes // Metal. Trans. - 1990. - V. 21A. - P. 749-753.

17. Piwonka T.S., FlemmingM.C. Pore formation in solidification // Trans. AIME. - 1966. - No. 36. - P. 1157-1165.

18. Wang C.Y, Beckermann C. A multiphase micro-macroscopic model of solute diffusion in dendritic alloy solidification // Micro-Macro Scale Phenomena in Solidification, ASME. - 1992. - HTD V. 218/ AMD. V. 139. - P. 43-57.

19. Rappaz M., Drezet J.-M., Gremaud M. A new hot-tearing criterion // Metal. & Mater. Trans. A. - V. 30A. - P. 449^55.

20. Gandin Ch.-A., Desbiolles J-L., Rappaz M., SwierkoszM., ThevozPh. 3D modelling of grain structure formation during solidification // Supercomputing Rev. - 1996. - V. 8. - P. 11-15.

21. Ni J., Beckerman C. A volume-averaged two-phase model for transport phenomena during solidification // Metallurgical Transactions. -1991.- No. 228. - P. 349-361.

22. Shivkumar S., Apelian D., Zou J. Modelling of microstructure evolution and microporosity formation in cast aluminium alloys // AFS Transactions. - 1989. - No. 97. - P. 989-1000.

23. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of solidification. - Aedermanns-dorf a.o.: Trans. Tech. Publications, 1984. - 242 p. / Aedermannsdorf (etc.): Trans. Tech. Publications, 1992. - 305 p. / Fourth Rev. ed. Uetikon-Zuerich (etc.): Trans. Tech. Publications, 1998. - 305 p.

24. Ampuero J., Charbon Ch., Hoadley A.F.A., Rappaz M. Modelling of microporosity evolution during the solidification of metallic alloys // Material Processing in the Computer Age. - 1991. - P. 377.

25. Broberg K.B. Computer demonstration of crack growth // Int. J. Fracture. - 1990. - V. 42. - P. 277-285.

26. Akid R., Miller K.J. The effect of solution pH on the initiation and growth of short fatigue cracks // Proceedings of the Eight European Conference on Fracture «Fracture Behaviour and Design of Materials and Structures», ECF 8, Turin, Italy, 1-5 October, 1990. - 1990. -P. 1403-1411.

27. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир, 1986. - 334 с.

28. Hirth J.P. Effect of hydrogen on the properties of iron and steel // Metal. Trans. A. - 1980. - V. 11A. - No. 6. - P. 861-890.

29. Mishnaevsky L.L. Jr, Lippmann N., Schmauder S., Gumbsch P. In-situ observation of damage evolution and fracture in AlSi7Mg0 3 cast alloys // Eng. Fract. Mech. - 1999. - V. 63. - P. 395-411.

30. Lepov V.V. Application of stochastic modelling to the pressure vessel and pipeline design // Collection of Papers of 9th International Conference of Pressure Vessels Technology «ICPVT-9», Sydney, June 2000.- P. 203- 210.

31. Лепов В.В., Архангелъская Е.А., Алымов В.Т., Ларионов В.П. Экспериментальное и численное моделирование процесса разрушения повреждаемой среды // Материалы междунар. конф., посвященной 40-летию отдела хладостойкости ИФТПС СО РАН, 2627 ноября 2001 г. - Якутск: Изд-во СО РАН, 2001. (в печати).

32. Lepov V.V., Petrov V.N., Lepova K.Ya., Semyonov Ch.N., Larionov VP Stochastic modelling of hot and cold cracking in weld joints // Proceedings of the Int. Conf. «Welding technology and related fields 2000»,

25-27 Sept. 2000. - Vienna, Austria. - P. 5-14.

33. Петров В.Н., Лепов В.В., Семенов Х.Н., Находкин М.Г., Ларио-новВ.П. Энергетический критерий трещиностойкости: экспериментальная и теоретическая оценка // Материалы междунар. конф., посвященной 40-летию отдела хладостойкости ИФТПС СО РАН,

26-27 ноября 2001 г. - Якутск: Изд-во СО РАН, 2001. (в печати).

34. Лепов В.В., Дерюгин Е.Е., Алымов В.Т., Ларионов В.П. Предельное состояние материала и элементов конструкций: новые подходы // Материалы междунар. конф., посвященной 40-летию отдела хла-достойкости ИФТПС СО РАН, 26-27 ноября 2001 г. - Якутск: Изд-во СО РАН, 2001. (в печати).