CC BY
53
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21 ББК 22.171.5 Ш 96
Шумафов М.М.
Кандидат физико-матшатических наук, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-38
Стохастическая устойчивость двухмерных линейных стационарных систем
(Рецензирована)
Аннотация
В статье проведено исследование устойчивости двухмерных систем линейных стохастических дифференциальных уравнений Ито с постоянными коэффициентами. В качестве примеров рассмотрены линейные дифференциальные уравнения, один из коэффициентов которых возмущен «белым» шумом.
Ключевые слова: линейная стационарная система, стохастическая устойчивость, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом, «белый» шум.
Shumafov M.M.
Candidate of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics at Faculty of Mathematics and Computer Sciences of Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-38
Stochastic stability of two-dimensional linear stationary systems
Abstract
In the paper a stability of two-dimensional systems of Ito's linear stochastic differential equations with constant coefficients is investigated. As an example a second order linear differential equation one of the coefficients of which disturbed by «white» noise is considered.
Key words: linear stationary system, stochastic stability, exponential stability in quadratic average, «white» noise.
1. Введение
Хорошо известно, какую важную роль играют функции Ляпунова при исследовании устойчивости детерминированных динамических систем. Метод вспомогательных функций (функций Ляпунова), называемый еще прямым методом Ляпунова, предложенный А.М. Ляпуновым в своей монографии [1], оказался чрезвычайно общим и мощным не только для изучения задач устойчивости, но и для исследования многих других вопросов качественной теории дифференциальных уравнений.
Обстоятельное исследование вопросов устойчивости и связанных с ним проблем для детерминированных систем имеется в известных монографиях А.М. Ляпунова [1], Н.Г. Четаева [2], И.Г. Малкина [3], А.И. Лурье [4], В.И. Зубова [5], Н.Н. Красовского [6], В.А. Плисса [7], Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца [8], В.М. Матросова [9], Е.А. Барбаши-на [10, 11], А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, В.А. Якубовича [12] и других.
Метод функций Ляпунова нашел также широкое применение в стохастической теории дифференциальных уравнений. Первыми монографиями, посвященными вопросам изучения задач стохастической устойчивости динамических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, были монографии Г.Дж. Кушнера [13] и Р.З. Хасьминского [14]. В этих работах метод функций Ляпунова был перенесен на стохастический случай.
Основная трудность при исследовании как детерминированных, так и стохастических систем методом функций Ляпунова состоит в отыскании подходящей, «хорошей» функции Ляпунова. Общего «рецепта» для построения подходящей функции Ляпунова не существует. Имеется лишь определенный набор приемов и методов конструирования функций Ляпунова. Описание таких приемов и методов построения функций Ляпунова для детерминированных (линейных и нелинейных) систем имеется, например, в [11].
Для линейных систем теоремы о возможности построения функций Ляпунова в виде однородных форм п-го порядка были доказаны А.М. Ляпуновым в [1]. В [11] построены функции Ляпунова в виде квадратичных форм для линейных стационарных детерминированных систем. Другие, отличные от рассмотренного в [11], способы построения функций Ляпунова для линейных детерминированных систем даны в работах [15-18].
Возможность применения способа построения функций Ляпунова, использованного в [1] и [2], для изучения вопросов устойчивости линейных стохастических систем была отмечена в работе И.Я. Каца и Н.Н. Красовского [19].
В работе [14] доказана общая теорема о существовании функции Ляпунова для линейных стационарных стохастических систем в виде однородных форм четного порядка.
Следует отметить, что в [13] с использованием формулы Дынкина (стохастического аналога формулы Ньютона-Лейбница) были построены функции Ляпунова для стационарных линейных и нелинейных (степенного типа) стохастических дифференциальных уравнений второго порядка.
В настоящей статье для линейных стационарных стохастических систем второго порядка построены функции Ляпунова в виде квадратичных форм. Используя построенные функции Ляпунова, мы даем алгебраические критерии экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом двухмерных линейных стационарных стохастических систем.
Построенные нами стохастические функции Ляпунова для рассматриваемых линейных систем дают, во-первых, необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом, во-вторых, они могут быть «опорными» при построении функций Ляпунова для нелинейных систем, и, в-третьих, они служат как бы «эталонными» функциями Ляпунова, позволяющими во многих случаях усмотреть ценность построенной функции Ляпунова для сложной нелинейной системы.
Важность получения критериев устойчивости в среднем квадратическом линейных стационарных стохастических систем обусловлена, в частности, тем, что во многих случаях исследование устойчивости нелинейной системы может быть сведено к изучению устойчивости соответствующей линеаризованной системы.
Отметим, что первая такая теорема (теорема об устойчивости по первому приближению) была получена в работе [19]: полная нелинейная система устойчива по вероятности, если линеаризованная система экспоненциально устойчива в среднем квадратическом.
К необходимости изучения условий устойчивости линейных стохастических систем приводит также и задача о поведении нормы произведения случайных матриц [14].
2. Постановка задачи
Рассмотрим двухмерную линейную (стационарную) систему стохастических дифференциальных уравнений Ито
) = (ах(!) + Ш () + ¿у^) ^0 X
\$у^) = (сх(^) + ку(Х) + (х(?) + Ьу(Х)~)й^(Х).
Здесь х^) = х(, о), у(^) = у (, о) - скалярные случайные процессы, а, Ь, с и к -
постоянные, а %(t) - винеровский процесс; dx(t), dy(t) и d£(t) - стохастические дифференциалы процессов x(t), y(t) и £(t) в смысле Ито соответственно.
В детерминированном случае, когда e = f = g = h = 0, алгебраическим критерием асимптотической устойчивости системы (2.1) является хорошо известный критерий Рауса-Г урвица.
Цель настоящей статьи - получить соответствующие необходимые и достаточные условия устойчивости (асимптотической или экспоненциальной) в среднем квадратическом стохастической системы (2.1).
Здесь мы ограничимся случаями, когда одна или две из констант e, f, g, h отличны от нуля, а остальные равны нулю.
3. Некоторые факты из теории устойчивости стохастических систем
Напомним некоторые факты из теории стохастической устойчивости, которые будут нами использованы ниже.
Пусть (Д U, P) - вероятностное пространство, где Д = {У} - пространство элементарных событий у, U - борелевское поле событий в Д, P - вероятностная мера на U.
Тогда для любых начальных данных t0, x0, y0 е R существует и единственное [14]
решение (представляющее случайный процесс) z(t,a>; t0, z0) := (x(t ,у; t0, z0), y(t,y; t0, z0)), удовлетворяющее начальному условию z(t0) = z0. Здесь z0 := (x0, y0).
В силу автономности системы (2.1) можно считать t0 = 0.
Решение z(t )=(x(t), y(t)) системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию z(0) = z0, будем обозначать так: z(t, у; z0).
Определение 1. Нулевое решение (x(t) = 0, y(t) = 0) системы (2.1) называется:
1) устойчивым в среднем квадратическом при t > 0, если
sup М||z(,у; z0 ) ^ 0 при ё^ 0;
|z0\<ёл >0
асимптотически устойчивым в среднем квадратическом, если оно устойчиво в среднем квадратическом, и, кроме того,
М|| z(, у; z0 ) ^ 0 при t ^ +<ж ;
2) экспоненциально устойчивым в среднем квадратическом, если при некоторых положительных А и а
МIz{t, у; z0)2 < ^||z^|2 exp(^- at).
Здесь М - знак математического ожидания, а Ц - знак нормы вектора.
Легко видеть, что из экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (2.1) (и вообще любой, необязательно линейной, системы n-го порядка) следует его асимптотическая устойчивость в среднем квадратическом. Обратное гарантируется лишь для линейных стационарных систем.
Сформулируем соответствующее утверждение применительно к рассматриваемой системе (2.1).
Лемма 1 [14]. Если система (2.1) асимптотически устойчива в среднем квадратическом, то она и экспоненциально устойчива в среднем квадратическом.
Таким образом, в силу леммы 1 для линейных стационарных систем оба вышеупомянутых типа устойчивости (асимптотическая и экспоненциальная) совпадают.
Приведем еще один хорошо известный факт применительно к системе (2.1), который будет использоваться нами ниже.
Лемма 2 [14]. Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (2.1) необходимо, чтобы соответствующая детерминированная система
X = ах + Ьу, у = сх + ку
была асимптотически устойчива (т.е. чтобы выполнялись условия Рауса-Гурвица).
Следующее понятие обобщает хорошо известное в детерминистической теории понятие «производной в силу системы» на стохастический случай.
Определение 2. Производящим дифференциальным оператором системы (2.1) называется оператор
Ь = (ах + Ьу) + (сх + ку ) +1 \(ех + ¿у )2 ^ + 2(ех + ¿у )(х + ку))— + (х + ку)
дх ду 2 [ Эх ЭхЭу Эу
Сформулируем общий критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом линейных стационарных стохастических систем применительно к системе (2.1).
Лемма 3 [14]. Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом (нулевого) решения (х(^) = 0, у(^) = 0) системы (2.1) необходимо и достаточно, чтобы для какой-нибудь положительно-определенной квадратичной формы Ж (х, у) существовала положительно-определенная квадратичная форма V (х, у), удовлетворяющая условию ЬУ (х, у ) = -Ж (х, у).
4. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом
Рассмотрим систему (2.1).
4.1. Случай, когда один из коэффициентов е, /, g, к отличен от нуля, а остальные равны нулю.
Из всех четырех возможных случаев достаточно рассмотреть случаи
1) е ф 0, / = g = к = 0 и
2) / ф 0, е = g = к = 0.
Оставшиеся два случая сводятся к 1) или 2) заменой х ^ у, у ^ х.
1) Случай е ф 0, / = g = к = 0.
Система (2.1) принимает вид
[дх($) = (ах^) + Ьу(1)) + ех(1 ~)й^(1),
\dy(t) = (сх^) + ку(1)). ( )
Задав положительно определенную квадратичную форму Ж(х, у) = а(х2 + у2),
а > 0, найдем квадратичную форму
V (х, у ) = рх2 + 2оху + уу2, (4.2)
удовлетворяющую уравнению ЬУ (х, у ) = -Ж (х, у).
Обозначим А := 2е2 [к2 + (ак - Ьс)]+ 4(а + к)(ак - Ьс).
Возьмем а := -А .
Тогда после некоторых элементарных выкладок получим:
ц = 2 (с2 + к2)+ 2(ак - Ьс),
со = -2(ас + Ьк)-се2, (4.3)
V = 2 (а2 + Ь2)+ 2(ак - Ьс)+е2 (а + к).
Функцию (4.2) можно переписать так:
V(х, у ) = 2(кх - Ьу )2 + 2(сх - ау )2 + 2(ак - Ьс)2 + у2)+ е2 (а + к)у2 - с2е2ху. (4.4)
В качестве стохастической функции Ляпунова для системы (4.1) возьмем
функцию (4.4).
Используя критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы (4.4) и лемм 2 и 3 из п. 3, получим следующее утверждение.
Теорема 1. Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (4.1) необходимо и достаточно выполнения условий:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 2(а + к){рс - ак) > е2 (к2 + (ак - Ьс));
3) 4(ак - Ьс)[(а + к)2 + (Ь - с)2 ] > с2е4 + 2[_2с(ас + Ьк)-( + к)(с2 + к2 + ак - Ьс) .
Следствие. Пусть с = 0. Тогда нулевое решение системы (4.1) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом в том и только том случае, когда:
1) а < 0, к < 0 ;
2) е2 < 2(- а).
Перейдем ко второму случаю.
2) Случай / Ф 0, е = g = И = 0.
Система (2.1) принимает вид
ГйХ(ґ) = (ах(ї) + Ьу(і) ) + ]у(і }й^(і),
\ііїу(ї) = (сх(ґ) + ку(ї)).
Задав некоторую положительно-определенную форму Ж (х, у), как и в случае 1), найдем квадратичную форму V (х, у), удовлетворяющую уравнению ЬV = -Ж.
В результате получим квадратичную форму, которую можно записать в следующей «детерминантной» форме
(4.5)
V (х, у ) = -
0 х2 2 ху у2
1 2а 2с 0
0 Ь а + к с
1 12 2Ь 2к
(4.6)
Форма (4.6) удовлетворяет уравнению ЬУ = а(х2 + у2), где
А = 4( + к)ак - Ьс)+ 2с2/2.
Требуя выполнения неравенства А < 0, а также положительной определенности
формы V(х,у) из (4.6), с учетом леммы 2, на основании леммы 3 получаем следующее
утверждение.
Теорема 2. Нулевое решение системы (4.5) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 2 (а + к )(^с - ак )> с2/2;
3) 4(ак - Ьс)[(а + к)2 + ( - с)2 ] > с2/4 - 2[2с(ас + Ьк)-( + к)(с2 + к2 + ак - Ьс)]/2.
Следствие. Пусть в системе (4.5) с = 0. Тогда для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (4.5) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая детерминированная система была асимптотически устойчива, т. е. а + к < 0, ак > 0.
4.2. Случай, когда два коэффициента «случайной» части системы (2.1) отличны от нуля, а остальные равны нулю.
Из шести возможных случаев достаточно рассмотреть четыре случая:
1) е ф 0, / ф 0; g = к = 0;
2) е ф 0, g ф 0; / = к = 0;
3) е ф 0, к ф 0; / = g = 0 ;
4) / ф 0, g ф 0; е = к = 0.
Оставшиеся два случая сводятся к рассматриваемым.
1) Случай е ф 0, / ф 0; g = к = 0.
Рассматриваемая система (2.1) имеет вид
ídx(t) = (ах^) + Ьу(1) ) + (ех^) + /у(1 )})^),
\ёу^) = (сх^) + ку(Х)).
Аналогично, как и в п. 4.1, строим стохастическую функцию Ляпунова для системы (4.7), представляющую собой квадратичную форму
(4.7)
V (х, у ) = -
0 х2 2 ху у2
1 2а + е 2с 0
0 Ь + е/ а + к с
1 /2 2Ь 2к
(4.8)
Функция (4.8) удовлетворяет уравнению ^ = А(х 2 + у2),
А = 4( + к)(ак - Ьс)+ 2с2/2 + 2е2 [к2 + (ак - Ьс)]-4ске/.
Требуя А < 0 и используя критерий Сильвестра положительной определенности формы (4.8), на основании леммы 3 получаем следующее утверждение об экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом системы (4.7).
Сформируем его, в целях простоты, для случая е = / .
Теорема 3. Пусть в системе (4.7) е = / . Тогда для экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (4.7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 2 (а + к )(^с - ак )> (ак - Ьс )+(с - к )2 е2;
3) (ак - Ьс)(а + к)2 + ( - с)2 > к2е4 + 2к(ас + Ьк)+ ( + с - а - к)(с2 + к2 + ак - Ьс).
Рассмотрим второй случай.
2) Случай е ф 0, g ф 0; / = к = 0.
Система (2.1) принимает вид
Г^х^) = (ах^) + Ьу(1)) + ех^ )й?^ ),
\ёу^) = (сх^) + ку(Х) ) + gx(t )й?^ ).
Аналогично, как и выше, построим стохастическую функцию Ляпунова V (х, у) в виде квадратичной формы, удовлетворяющей соотношению ЬV = а(х2 + у2) где А = 4(а + к)ак - Ьс) + 2[к2 + (ак - Ьс)]е2 + 2(^ - 2ke)Ьg.
(4.9)
0 х2 2 ху у2
1 2а + е2 2 (с + eg) g2
0 Ь а + к с
1 0 2Ь 2к
Используя функцию (4.10), на основании леммы 3 получаем следующее утверждение. В целях упрощения его формулировки положим е = g.
Теорема 4. Пусть в системе (4.9) е = g . Тогда нулевое решение системы (4.9) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом в том и только том случае, если:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 2(а + к)Ьс - ак) > [к2 + (ак - Ьс)+ 2Ь(Ь - 2к)]е2;
3) 2[с2 + к2 +(ак - Ьс)]> (а + к - 2с);
4) 4(ак - Ьс)[(а + к)2 + (Ь - с)2 ]> (Ь + с - а - к)2 е4 +
+ {4(Ь - с)ас + Ьк)- 4с[а2 + Ь2 + (ак - Ьс)]+ 4Ь[с2 + к2 +(ак - Ьс)]+
+ 2(а + к)(а2 + Ь2 - с2 - к2)2.
Следствие. Пусть в системе (4.9) е = g, Ь = с и а + к = 2Ь . Тогда для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (4.9) необ-
ходимо и достаточно, чтобы:
1) Ь < 0, ак > Ь2;
2) 4Ь(Ь2 - ак )>[(( - Ь)2 + к (а - 2Ь )2.
Перейдем к третьему случаю.
3) Случай е ф 0, к ф 0; / = g = 0.
Рассматриваемая система (2.1) имеет вид
ídx(t) = (ах^) + Ьу(1 )) + ех^ ~)й^(1 ),
\dy(t) = (сх^) + ку(1 )) + ку(1 ~)й^(1). ( )
В качестве стохастической функции Ляпунова для системы (4.9) возьмем функцию
0 х2 2 ху у2
1 2а + е2 2с 0
0 Ь а + к + ек с
1 0 2Ь 2к + к
Функция (4.10) удовлетворяет соотношению ЬV = А(х 2 + у2), где А = 4(а + к)(ак - Ьс)+ еъкъ + 2ек{ак2 + ке2)+ (а + к)е2к2 + 2(ак - Ьс)(е2 + к2)+ 2(ак + ке)2.
Для простоты положим е = к. Тогда, требуя выполнения неравенства А < 0 и используя критерий Сильвестра положительной определенности формы (4.10), в силу леммы 3 получаем следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть в системе (4.9) е = к . Тогда для экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (4.9) необходимо и достаточно, чтобы:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 4 (а + к )(^с - ак) > еб + 3е4 (а + к)+2е2 [(а + к )2 +2(ак - Ьс)];
3) 2(с2 + к2)+ 2{ак - Ьс)> -е4 - е2 (а + 3к);
+ е
+ е
+
4) 4(ак - Ьс)[(а + к)2 + (Ь - с)2 ]> -е8 - 4е6 (а + к) +
(Ь + с)2 - 2(ак - Ьс)- 2(а2 + Ь2 + с2 + к2 )-(а + 3к)(( + 3а)]-
4(Ь + с)(ас + Ьк)- 8(а + к)ак - Ьс)- 2(а + 3к)(а2 + Ь2)- 2( + 3а)(с2 + к2)
Следствие. Пусть е = к, Ь = -с, а + 3к = 0. Тогда нулевое решение системы (4.9) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом в том и только том случае, когда:
1) к > 0, Ь2 > 3к2;
2) 8к( - 3к2) > еб - бке4 + 4е2 (2Ь2 - к2);
3) 1б(Ь2 - 3к2 )2 + к2) > -е8 + 8кеб - 2е4 ( - 7к2)+ 32ке2 (ь2 - к2).
Рассмотрим теперь четвертый случай.
4) Случай / ф 0, g ф 0; е = к = 0.
Система (2.1) принимает вид
ídx(t) = (ах^) + Ьу(1)) + /у(1 ~)й^(1),
\ф($) = (cx(t) + ку(Х)) + gx(t )^^ ).
(4.11)
Для простоты положим / = g.
Возьмем стохастическую функцию Ляпунова
0 х 2 1 2а
V (х, у ) = -
2 ху 2с
0 Ь а + к + /2
1 / 2 2Ь
у
/2
с
2к
(4.12)
Форма (4.12) удовлетворяет равенству ^ = а(х2 + у2 ), где
А = 4(а + к)(ак - Ьс)+ 2/2 (ь2 + с2 + 2ак)- /4 (а + к)- /б.
В силу леммы 3 получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть в системе (4.11) / = g. Тогда для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения системы (4.11) необходимо и достаточно, чтобы:
1) а + к < 0, ак - Ьс > 0;
2) 4 (а + к ){Ьс - ак )> -/6 - / 4 (а + к)+ 2 /2 (ь2 + с2 + 2ак);
3) 2{ак - Ьс)+ 2(с2 + к2 )> /4 + (а - к)/2;
4) 4(ак - Ьс)(<а + к)2 + (Ь - с)2 ] >
> -/8 + /4 [( + с)2 + 4(ак - Ьс)+ 2(а2 + Ь2 + с2 + к2 )+(а - к)2 ]+
+ /2 [4(Ь + с)(ас + Ьк)+ 2(а - к)(а2 + Ь2 - с2 - к2)
Следствие 1. Пусть / = g, а = к. Тогда нулевое решение системы (4.11) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом в том и только том случае, если:
1) а < 0, а2 > Ьс;
2) 8а(Ьс - а2) > -/6 - 2а/4 + 2/2 (2а2 + Ь2 + с2);
3) 4а2 + 2с(с - Ь)> /4;
4) 4(а2 - Ьс)[4а2 + (Ь - с)2]> - /8 + /4[10а2 + 2с2 + (Ь - с)2]+ 4а/2 (Ь + с)2.
Следствие 2. Пусть / = g, а = к, Ь + с = 0. Тогда нулевое решение системы (4.11) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом в том и только том случае, если:
1) а < 0 ;
2) 8(- а)(а2 + Ь2) > -/6 - 2а/4 + 4/2 (а2 + Ь2);
3) 4(а2 + Ь2)> /4 ;
4) 1б(а2 + Ь2) >-/8 + 2/4 (5а2 + 3Ь2).
Замечание 1. В случае, когда в системе (2.1) отсутствует «случайная» часть (т.е. е = / = g = к = 0), условия теорем 1-6 превращаются в хорошо известные необходимые и достаточные условия Рауса-Гурвица асимптотической устойчивости соответствующей детерминированной системы.
Замечание 2. В силу леммы 1 условия теорем 1-б являются также необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости в среднем квадратическом.
5. Определение бифуркационных значений интенсивности случайных возмущений, действующих на параметры системы
Рассмотрим двухмерную линейную однородную стационарную систему дифференциальных уравнений, коэффициенты которой возмущены «белым» шумом
Г зс о) =(а+е^о )+(ь+/1&(г ^ х
|у 0) =(с+gІ(t) )х0) + (х+к & ))у^ X
где х^), у^) - скалярные функции от времени ^ а, Ь, с и к - константы, а &(1) -гауссовский «белый» шум единичной интенсивности.
Будем понимать систему (5.1) как систему стохастических дифференциальных уравнений (2.1) в форме Ито.
Представляет практический интерес задача нахождения бифуркационного значения (т. е. значения, при котором система впервые становится неустойчивой в среднем квадратическом) интенсивностей е, / g и к шумов, действующих на коэффициенты а, Ь, с и к детерминированной системы:
х = ах + Ьу, у = сх + ку . (5.2)
Для простоты ограничимся случаем, когда возмущается только один коэффициент, или два коэффициента системы (5.2).
Теоремы 1-6 из п. 4 позволяют решить поставленную задачу.
Найдем бифуркационное значение е0 для системы (4.1). Для этого введем в рассмотрение функцию
¥ (е) = Ле4 + 2Бе2 + С,
где
Л = -с2,
Б = (а + к)[с2 + к2 + (ак - Ьс)]- 2с(ас + Ьк),
С = 4(ак - Ьс)[(а + к)2 + (Ь - с)2 ]
Условие 3) теоремы 1 можно записать как ¥ (е)> 0. В силу условия 1) теоремы 1 ¥ (0) = С > 0. Найдя наименьший положительный корень уравнения ¥ (е) = 0 и учиты-
вая условие 2) теоремы 1, получаем следующее бифуркационное значение е0 интенсивности шума е&(1), действующего на коэффициент а системы (5.2) в случае с ф 0:
е1 = Ш1П
Б + >/Б2 - ЛС 2(а + к)(Ъс - ак) с4 ’ к2 + (ак - Ьс) (
0 ^4
Если с = 0, то имеем:
Л = 0, Б = к (а + к )2 < 0, С = 4ак [ь 2 + (а + к )2 ]
Поэтому в случае с = 0 получаем: е^ = 2(- а)
Заметим, что в силу условия 1) теоремы 1 а < 0, в случае с = 0.
Аналогично находятся бифуркационные значения интенсивности шумов в остальных случаях. Приведем эти значения для систем (4.5) и (4.7).
Имеем для системы (4.5):
„2 • I - Б + VБ2 - ЛС 2(а + к)(^с - ак)!
Л = Ш1П-----------4---------,^-----п
I с с
Для системы (4.7) при к ф 0 получаем:
- Б + у!Б2 + 4к 2С 2(а + к )(^с - ак)
2
2к2 ’ {ак - Ьс)+(с - к)
где
Б = 2к(ас + Ьк)- (а + к)(с2 + к2 + ак - Ьс)+ (Ь + с)(с2 + к2 + ак - Ьс),
С = 2(ак - Ьс)2 + (ак - Ьс)(а2 + Ь2 + с2 + к2).
6. Примеры
6.1. Рассмотрим уравнение упругих колебаний в среде, сила сопротивления которой пропорциональна скорости:
х + у,х + а>2 х = 0, (6.1)
где /и - коэффициент трения, со - частота колебаний.
Система, описываемая уравнением (6.1), устойчива в целом тогда и только тогда, когда и> 0 .
Предположим теперь, что коэффициент оо в (6.1) подвергается случайному возмущению - воздействию «белого» шума <7<&().
Получаем уравнение:
х + цх + (о2 + ))х = 0, (6.2)
где а - интенсивность «белого» шума.
Возникают естественные вопросы:
Каковы условия устойчивости уравнения (6.1) в том или ином вероятностном смысле?
Каково бифуркационное значение —0 интенсивности шума?
Будем понимать уравнение (6.2) как систему стохастических уравнений Ито:
\dx{t) = y(t )dt, (63)
\dy(t) = (- О x(t) - juy(t ))t - —x(t )d£ (t) , где £ (t) - винеровский процесс.
Система (6.3) - частный случай системы (2.1): a = 0, b = 1, с = -О, к = -и; e = f = Л = 0; g = -а. Имеем случай п. 4.1. Система (6.3) сводится к системе вида (4.5) заменой: x ^ y, y ^ x .
Стохастическая функция Ляпунова для (6.3) в силу (4.6) (после замены x ^ y, y ^ x ) будет иметь вид:
( (Г2 ^
V(x, y) = 2 /и2 + О (l + О )+и— x2 + 2( + г2 )y + 2(1 + О ))2. (6.4)
V 2 У
Функция (6.4) удовлетворяет равенству LV = A(x2 + y2) , где А = 2—— - 2^о2 ).
Удобно взять за стохастическую функцию для (6.3) функцию V = -V / А .
Тогда LV1 = -(x2 + y2).
Легко проверить, что условия положительной определенности функции V сводятся к неравенству
—2 < 2^о2. (6.5)
В силу леммы 3 получаем следующее утверждение.
Утверждение 1. Нулевое решение системы (6.3) (или уравнения (6.2)) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено неравенство (6.5).
Замечание 1. Для значений ц = О = 1 функция V построена в [13] методом ча-
стного интегрирования с использованием формулы Дынкина.
Замечание 2. Бифуркационное значение —2 шума в уравнении (6.2) равно
—02 = 2у,(02.
6.2. Пусть теперь случайному воздействию в уравнении (6.1) подвергается коэффициент трения и. Получаем уравнение:
x + (и + —&(t ))x + О x = 0, (6.6)
где £(t) - «белый» шум единичной интенсивности.
Уравнение (6.6) является математической моделью колебательной системы в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, когда коэффициент пропорциональности представляет собой случайный процесс с малым интервалом корреляции.
Запишем (6.7) в форме стохастических уравнений Ито:
Udx(t) = y(t )dt,
\dy(t) = (- (О2 x(t) - juy(t ))dt - —y(t )d£ (t) .
Здесь (t ) - винеровский процесс.
Система (6.6) - частный случай системы (2.1): a = 0, b = 1, с = -О, к = -и; e = f = g = 0, h = —. Следовательно, имеем случай п. 4.1. Система (6.7) сводится к системе вида (4.1) заменой: x ^ y, y ^ x .
Стохастическая функция Ляпунова для (6.7) в силу (4.4) имеет вид:
V(х, у) = 2[2о2 (1 + со2)+ ц(ц - а2 )]х2 + 2(ц - а2) + 2(1 + о2)2. (6.8)
Функция V удовлетворяет равенству ЬV = д(х2 + у2), где А = 2о2(а2 -2ц).
Взяв вместо V(х,у) функцию V =-V/А , получим ЬV1 = -(х2 + у2).
Легко проверить, что форма V (х, у) положительно определена тогда и только тогда, когда а2 < 2ц.
В силу леммы 3 получаем следующее утверждение.
Утверждение 2. Нулевое решение системы (6.7) (или уравнения (6.5)) экспоненциально устойчиво в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда а2 < 2ц.
Замечание. Значение а2^ = 2ц является бифуркационным для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения уравнения (6.6).
Примечания:
1. Ляпунов АЖ. Общая задача об устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 471 с.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 3-е изд. М.: Наука, 1965. 207 с.
3. Малкин ИТ. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1966. 530 с.
4. Лурье АЛ. Прямой метод Ляпунова и его применение в теории автоматического регулирования / Труды 11-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1955.
5. Зубов В.И. Методы АЖ. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 241 с.
6. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 .
7. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во ЛГУ, 1958. 180 с.
8. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.
9. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1965. Вып. I.
10. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпу-
//
международного конгресса международной федерации по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 742-751.
References:
1. Lyapunov A.M. A general problem about stability of movement. M.: Fizmatgiz, 1959. 471 p.
2. Chetaev N.G. Stability of movement. 3-rd ed. M.: Nauka, 1965. 207 p.
3. Malkin I.G. The theory of stability of movement. 2-nd ed., corrected. M.: Nauka, 1966. 530 p.
4. Lurie A.I. Lyapunov's straight line method and its application in the automatic control theory / Proc. 2nd Soviet Union meeting on the automatic control theory. Vol. 1. M.: AN of the USSR Publishing House, 1955.
5. Zubov V.I. A.M. Lyapunov's methods and their application. L.: LGU Publishing House, 1957. 241 p.
6. Krasovskiy N.N. Some problemws of the theory of movement stability. M.: Fizmatgiz, 1959. 211 p.
7. Pliss V.A. Some problems of the theory of stability of movement as a whole. L.: LGU Publishing House, 1958. 180 p.
8. La Salle J., Lefschetz S. Investigation of stability by Lyapunov's direct method. M.: Mir, 1964. 168 p.
9. Matrosov V.M. Development of Lyapunov's functions method in the stability theory // Proc. of 2nd Soviet Union congress on the theoretical and applied mechanics. M.: Nauka, 1965. Iss. I.
10. Barbashin E.A. On construction of Lyapunov’s functions for nonlinear systems // Proc. of the First International congress of the international federation on automatic control. M.: AN of the USSR Publishing House, 1961. P. 742-751.
11. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
12. Гелиг А.Х., Леонов ГА., Якубович В А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
13. Кушнер Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 199 с.
14. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях. М.: Наука, 1969. 367 с.
15. Алимов ЮЛ. К вопросу о построении функций Ляпунова для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1961. Т. 2, № 1. С. 3-6.
16. Алимов ЮЛ. Обобщение теоремы AM. Ляпунова о построении функции Ляпунова для
//
Уральского политехнического института. 1964. Т. 139, № 1.
17. Малкин ИТ. О построении функций Ляпунова для систем линейных дифференциальных
// -ника. 1952. Т. 16, вып. 2. С. 239-242.
18. Smith R.A. Matrix Calculations for Lyapunov Quadratic Forms // J. Differential Equations. 1966. Vol. 2, № 2. P. 208-217.
19. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости
// -
кладная математика и механика. 1950. Т. 27, вып. 5. С. 809-823.
11. Barbashin E.A. Lyapunov’s functions. M.: Nauka, 1970. 240 p.
12. Gelig A.H., Leonov G.A., Yakubovich V.A. Stability of nonlinear systems with a nonunique equilibrium state. M.: Nauka, 1978. 400 p.
13. Kushner J. Stochastic stability and control. M.: Mir, 1969. 199 p.
14. Khasminskiy R.Z. Stability of systems of the differential equations at casual disturbances. M.: Nauka, 1969. 367 p.
15. Alimov Yu.I. On construction of Lyapunov’s functions for systems of the linear differential equations with constant factors // Siberian Mathematical Journal. 1961. Vol. 2, No. 1. P. 3-6.
16. Alimov Yu.I. Generalization of A.M. Lyapunov's theorem on construction of Lyapunov’s function for steady linear system // Proc. of the Ural Polytechnic Institute. 1964. Vol. 139, No. 1.
17. Malkin I.G. On construction of Lyapunov’s functions for systems of the linear differential equations // The applied mathematics and mechanics. 1952. Vol. 16, iss. 2. P. 239-242.
18. Smith R.A. Matrix Calculations for Lyapunov’s Quadratic Forms // J. Differential Equations. 1966. Vol. 2, No. 2. P. 208-217.
19. Kats I.Ya., Krasovskiy N.N. About stability of systems with casual parameters // The applied mathematics and mechanics. 1950. Vol. 27, iss. 5. P. 809-823.
