CC BY
63
УДК 519.216:004.9:616.12-008.331.1-08
М.С. Г аврилова, А. А. Бутов, В.И. Рузов, В. А. Разин
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТОЛИЧЕСКОГО АРТЕРИАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ В МОМЕНТЫ СТРЕССОВЫХ СИТУАЦИЙ
В настоящей работе построены математическая и имитационная модели циркадианного ритма систолического артериального давления. Построены стохастическая и имитационная модели регуляции систолического артериального давления в моменты стрессовых ситуаций.
Систолическое артериальное давление, артериальная гипертензия, стресс, циркадианный ритм, промежуток стабилизации, процесс с множественными разладками
M.S. Gavrilova, A.A. Butov, V.I. Ruzov, V.A. Razin
STOCHASTIC MODEL OF STABILIZING SYSTEM OF SYSTOLIC BLOOD PRESSURE AT THE TIME OF STRESS
In this paper mathematical and simulation models of circadian rhythm of systolic blood pressure have been developed. Stochastic and simulation models of systolic blood pressure control at the time of stress have been developed.
Systolic blood pressure, arterial hypertension, stress, circadian rhythm, period of stabilization, process with multiple discords
Введение
В настоящее время артериальная гипертензия (АГ) является одной из самых актуальных проблем кардиологии. В России около 40 млн. мужчин и женщин страдают этим заболеванием. Одной из основных причин смертности трудоспособного населения страны являются осложнения АГ (ишемические и геморрагические инсульты, инфаркт миокарда и т.д.). АГ представляет собой хроническое повышение артериального давления (АД) от 140/90 мм рт. ст. и выше. В связи с этим актуальным является построение математических и компьютерных имитационных моделей регуляции АД у пациентов, страдающих АГ.
Математическое моделирование медико-биологических объектов представляет собой аналитическое описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным [1].
Система кровообращения впервые была описана в 17 в. английским врачом и ученым Уильямом Гарвеем. Одними из первых работ в области математического моделирования системы кровообращения были работы Отто Франка [2]. В них автор сопоставил моделируемой системе ее аналог, используя электрические цепи. Данный метод явился предпосылкой к построению больших имитационных моделей кровеносной системы (о которых упоминается позже) и нашел свое применение при решении различных задач кардиологии [3-6].
В настоящее время известны различные классификации математических моделей системы кровообращения в целом и отдельных механизмов регуляции уровня АД [7, 8]. Например, согласно [7] рассмотрим следующие виды моделей гемодинамики:
1. Большие имитационные модели [3, 9, 10] системы кровообращения, в которых учитывается максимально возможное число механизмов, регулирующих работу системы. Наиболее известной является модель Артура Гайтона [9], в которой 8 основных механизмов регуляции АД образуют пропорциональную и интегральную системы или системы быстрого 150
и длительного действия. Абакумов М.В. и соавторы [10], в отличие от Гайтона, учитывают в своей модели влияние различных органов на давление в кровеносной системе и многие другие факторы, характеризующие работу системы кровообращения. В подобных моделях исследуется кровообращение в целом, вследствие чего они слишком громоздки для применения в диагностике заболеваний сердечно-сосудистой системы. Так, например, в модели Абакумова содержится более тысячи параметров, модель является чувствительной к заданию начальных условий и требует высоких затрат вычислительных ресурсов при построении.
2. Элементарные модели [7, 8, 11-14], в которых учитываются лишь наиболее важные механизмы регуляции АД. Такие модели, как правило, задаются дифференциальными или алгебраическими уравнениями (или их системами) с небольшим количеством переменных. Они просты и удобны для использования в расчетах, однако их достоинства (простота и наблюдаемость) иногда оказываются и недостатками, поскольку возникают трудности в описании работы регуляторных механизмов [7]. Построение таких моделей связано с необходимостью практического применения, например, для диагностики нарушений в деятельности механизмов саморегуляции АД.
3. Модели, учитывающие структуру изучаемой системы [15, 16]. В работе [16] предлагается математическая модель сердечно-сосудистой системы в виде 14-камерной цепи, которая отображает структуру сосудистого русла человека. Модель реализована в среде LabView и является основой разработанных автоматизированных информационных систем для диагностики и терапии сердечно-сосудистых патологий [15]. С помощью этой модели врач определяет основные гемодинамические показатели (АД, легочное АД и другие). В силу сложного математического описания таких моделей их компьютерная реализация и внедрение в клиническую практику требуют продолжительного времени.
4. «Гидродинамические» модели [17-20], в которых течение крови по сосудам задается с помощью уравнений Навье-Стокса. Основной проблемой при построении таких моделей является нахождение решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами [18]. Подобные модели требуют высоких вычислительных затрат и обычно используются для исследования течения крови в определенных участках кровеносной системы.
В большинстве работ математическое описание медико-биологических процессов дано в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений [2-10, 12, 15-20]. В этом случае рассматривается поведение объекта без учета случайных воздействий внутренней и внешней среды. Организм человека — это сложная система с элементами хаотичной структуры, в которой не представляется возможным со стопроцентной вероятностью предсказать её состояние в каждый момент времени. Мы не можем учесть все параметры такой системы, поэтому детерминированные математические модели не могут адекватно описать ее поведение. При изучении динамики АД особый интерес представляет имитационное моделирование на основе стохастических дифференциальных уравнений [11,
13, 14, 21, 22].
Целью настоящей работы является построение стохастической и компьютерной имитационной моделей регуляции САД в моменты стрессовых ситуаций.
Объекты и методы исследования
В исследование включены 71 женщина и 102 мужчины. По результатам суточного мониторирования АД (СМАД) пациенты были разделены на 6 групп без учета возраста: лица без АГ (25 женщин и 31 мужчина), лица с АГ без терапии (32 женщины и 56 мужчин) и лица с АГ на терапии (14 женщин и 15 мужчин, малые группы).
СМАД проводилось с использованием носимого монитора «BPLab МнСДП-3» (ООО «Петр Телегин», Нижний Новгород). Пациенты находились под наблюдением в лаборатории артериальной гипертонии Ульяновского клинического госпиталя ветеранов войн в период с 2008-2010 гг.
Для анализа суточного профиля САД использовался пакет прикладных программ BPLab v. 3.0 (ООО «Петр Телегин», Нижний Новгород). Для реализации компьютерной модели был выбран язык программирования Borland Delphi 7.0 (Borland Software Corp., USA).
Математическая модель циркадианного ритма САД
На основе имеющихся данных СМАД была сформулирована гипотеза о представлении суточного профиля САД в виде суммы медленных, устойчивых, периодических колебаний (циркадианный ритм) и резких, случайных изменений САД, которые невозможно предсказать со стопроцентной вероятностью (вариабельность).
Циркадианный (околосуточный) ритм играет важнейшую роль для организма человека. Это понятие предложил американский ученый Франц Халберг в 1959 г. Циркадианный ритм САД представляет собой двухфазные колебания «день-ночь» с периодом 24 ± 4 часа.
В идеале у лиц без АГ и лиц с АГ на терапии гомеостатические механизмы должны поддерживать значения АД в определенных границах в течение некоторого периода времени (как днем, так и ночью), который мы назовем промежутком стабилизации. У таких пациентов предполагается наличие дневного и ночного промежутков стабилизации САД, что свидетельствует об эффективной работе гомеостатических механизмов, регулирующих уровень АД. У лиц с АГ без терапии работа системы саморегуляции АД нарушена, поэтому давление совершает значительные колебания, которые приводят к структурным изменениям его суточного профиля и отсутствию промежутков стабилизации или уменьшению их длины.
Данную гипотезу о структуре суточного профиля САД у пациентов из разных групп подтвердил анализ данных СМАД, который показал, что чаще всего промежутки стабилизации наблюдались у лиц без сердечно-сосудистых заболеваний и лиц с АГ, проходящих курс антигипертензивной терапии.
Наличие промежутков стабилизации на графике суточного профиля САД является главной особенностью наших математических моделей. Предложенные модели пригодны для описания процесса регуляции САД у конкретного пациента из любой группы.
Пусть случайный процесс Y = (Yt) >0 описывает динамику САД в мм рт. ст., время t измеряется в часах. Выделим у процесса Y детерминированную и стохастическую составляющие. Циркадианный ритм САД опишем детерминированным процессом C(t), мм рт. ст. Тогда случайные изменения САД представим в виде стохастического процесса.
На практике для анализа суточного профиля САД широко используется математический метод, который заключается в аппроксимации циркадианного ритма САД синусоидой [11] или косинусоидой. Данная математическая модель проста и удобна при решении прикладных задач. Однако при обработке экспериментальных данных легко заметить, что график циркадианного ритма САД значительно отличается от графика синусоиды. В настоящей работе предложен новый метод математического моделирования циркадианных ритмов.
В качестве приближения циркадианного ритма САД возьмем непрерывную функцию
C (t ) = 1g(t )+P (1)
с периодом T, где T — количество часов, в течение которых проводилось СМАД, 1 > 0 — амплитуда колебаний САД, р > 0 — выборочное среднее значений САД по данным суточного мониторирования на [0, T ], мм рт. ст.
Пусть в последовательности [tt, yt }г”=01 число yt — экспериментальное значение САД в мм рт. ст., полученное в момент времени tt е [0, T] для всех i = 0, n -1. Тогда параметры р и l находим по формулам:
1 n-1
р =1Z у,
n i=0
1 = max I y. - р\.
0<i<n-1
Непрерывная функция g (t), мм рт. ст., имеет вид:
\al sin( j(t)),0 < t < t0
g (t ) =
I a2 sin (j(t)), t0 < t < T
(2)
(3)
(4)
где значение t0 е (0, T) выбирается среди точек пересечения экспериментальным графиком оси времени. Параметры at, i = 1,2 , определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) по алгоритму, подробно рассмотренному в пункте «Компьютерные имитационные модели».
Для типов ночного снижения САД «non-dipper», «dipper» и «over-dipper» at > 0, i = 1,2 ; для типа «night-peaker» a1 > 0, a2 < 0 . Непрерывная функция j(t) — фаза САД, j(t)е [0,2p] при t е [0, T].
Определим фазу САД j(t) следующим образом. Если по данным мониторирования на графике суточного профиля САД:
1) Нет промежутка стабилизации при t е [0, t0 ], то
j(t) = klt, где параметр кх = Р.
2) Есть промежуток стабилизации при t е [0, t0 ], то
(5)
j(t ) =
— ,0 < t < t1
arcsin
Cjt + dl
t1 < t < t2
V a1 У
(p-j 2 )t + —0 -p 2 12 < t < 10
t0 - t2
t0 - t2
(6)
Здесь ', 12] — дневной промежуток стабилизации САД, параметры с1, найдены с
помощью МНК,
— = arcsin
^Cjt1 + d1 ^ V a1 У
—2 = arcsin
^ c1t2 + d1 ^ V a1 У
с, I + Л, ~ 1
В случае если —--------L > 1 при t е ^ , t ], примем а, = 1.
а,
3) Нет промежутка стабилизации при t е (V0, Т], тогда:
I \ 7 7 1 Р 7 р(т - 2t0 )
(рЧ) = к2t + Ъ2, где параметры к2 = ——, Ъ2 = Т - '.
4) Есть промежуток стабилизации при t е (/0, Т], тогда:
(7)
(8)
(9)
t
j(t ) =
(j3 -p)t pt3 —3tс
t3 -10
Г
p - arcsin
t3 -10 C2t + d 2
V a2 У
(10)
(2p-—4 )t + —4T - 2p 4 14 < t < T
T -14
T -1 *
Здесь ^ , t ] — ночной промежуток стабилизации САД, параметры с2, (2 найдены с помощью МНК,
В случае если
—3 = p- arcsin сЛ + d
V
a.
j4 = p - arcsin
2У
2l ' d 2 ^ i_7 _ r^3 ^4 -
a
2У
a
< -1 при t е [t , t ],
(11)
(12)
2
примем a2 = 1 для типов ночного снижения САД «non-dipper», «dipper» и «over-dipper» или a2 = -1 для типа «night-peaker».
Таким образом, функция j(t)е [0,p] при tе [0,t0], j(t)е (p,2p] при tе (t0,T] является непрерывной на [0,T ].
При построении циркадианного ритма САД C(t) на любом промежутке времени [0, R]
gR (t):
[a! sin (—r (t^ jT < t < 10 + jT I a2 sin(—R (tU 10 + jT < t < ( j + 1)T ,
jR (t ) = —(t)+ 2P при t е [jT ,(j 1)T ], где j = 0, m , m =
(13)
(14)
Стохастическая модель регуляции сад в моменты стрессовых ситуаций
В современных условиях социальной среды человек испытывает состояние практически постоянного стресса, а именно психоэмоциональный стресс. Учитывая тот факт, что АД является параметром, зависящим от нашего психоэмоционального состояния, стресс является частой причиной повышения АД. Чем сильнее стрессовое воздействие на организм, тем большие колебания совершает АД. Чрезмерное влияние стресса на сердечно-сосудистую систему может стать пусковым механизмом для развития АГ [23].
Стресс приводит к активации симпатоадреналовой системы, результатом которой является выброс в кровь катехоламинов (адреналин, норадреналин) из мозгового слоя надпочечников, вследствие чего происходит повышение АД. Тогда организм запускает гомеостатические механизмы регуляции АД, которые понижают уровень катехоламинов в крови и оказывают сосудорасширяющее действие, тем самым снижая давление.
Пусть случайный процесс X = (Хг ^>0 — концентрация адреналина в крови в момент времени t, нмоль/л. Процесс выброса надпочечниками адреналина в момент стресса имеет вид Т1(Ш\, где N = )^0 — стандартный пуассоновский процесс с интенсивностью т > 0,
Г)> 0 — коэффициент роста, нмоль/л. Тогда (-a)Xt — гомеостатические механизмы,
снижающие уровень адреналина в крови после стрессовой ситуации, нмоль/л, а > 0 — коэффициент отрицательной обратной связи (коэффициент затухания).
Процесс повышения САД под действием адреналина имеет вид ЬХ( , где Ь> 0 — коэффициент роста, (мм рт. ст.)-л/нмоль. Чтобы нормализовать давление, организм запускает
процесс саморегуляции (- у)у, мм рт. ст., который частично компенсирует стрессовое воздействие, у > 0 — коэффициент отрицательной обратной связи (коэффициент затухания). Другие факторы внутренней и внешней среды, влияющие на уровень САД (гормоны и биологически активные вещества, физические нагрузки, качество питания, метеоусловия и т.д.), обозначим как оУ{ЛЖ{, мм рт. ст., где о Ф 0 — пропорциональный коэффициент, а
Ж = (ж. )^0 — стандартный винеровский процесс. Процессы N и Ж независимы.
Математическая модель регуляции САД в моменты стрессовых ситуаций представляет собой систему стохастических дифференциальных уравнений
—- = п—L -аХ.
Л Л
ЛУ- = Ьх, - У + оУ(ЛЖ+С ^) Л ж '
(15)
с начальными условиями Х0 > 0, У0 > 0.
Предполагается, что в системе (15) процесс X ненаблюдаемый, а наблюдать можно только процесс У, который содержит неполную информацию о процессе X . Такая система называется частично-наблюдаемой.
В модели (15) случайный процесс X совершает скачки в моменты времени, совпадающие с моментами скачков пуассоновского процесса N. Процесс У непрерывен, имеет множественные разладки. Разладка случайного процесса — это изменение его характеристик (как правило, математического ожидания и дисперсии), при этом процесс должен быть наблюдаемым. В настоящей работе разладкой является воздействие стресса на организм. Тогда моменты возникновения разладок — это моменты стрессовых ситуаций. У процесса У они совпадают с моментами скачков пуассоновского процесса N .
Компьютерные имитационные модели
Рассмотрим алгоритм построения компьютерной модели циркадианного ритма САД:
1. Найдем выборочное среднее значений САД {у }”=01, равное р (2), и вычтем его из
каждого у., = у. - р. Выборочное среднее значений {гг. }”=01 становится равным 0.
2. Найдем в последовательности {}г”=01 максимальное по модулю значение, его
модуль равен 1 (3), и поделим на 1 все , я. = —, я. е [-1;1] для любого .. Полученные
1
значения я. более удобны для расчетов, чем исходные значения у..
3. Для точек \tj, я. }г”=01 ( я. рассматривается в момент времени ti) строим приближение
с помощью функции g(;) (4). Для того чтобы найти ее параметры а., . = 1,2 , в качестве фазы
САД (р(.) на [0, t0] и ($0, Т] выбираем функции (5) и (9) соответственно, независимо от наличия промежутков стабилизации, и строим аппроксимацию по МНК.
4. Значения остальных параметров функции g(t) находим по формулам (5)—(14) в зависимости от данных СМАД конкретного пациента.
5. Из (1) получим искомую функцию С ^), циркадианный ритм САД.
Дальнейший переход от непрерывных моделей к дискретным разбивается на два
этапа. На первом этапе происходит замена непрерывной области 0 < t < Т на дискретную — совокупность конечного числа точек
к ■л] = ±,] = 0,1, ...,[! • Т]!, (16)
где [L • T] — целая часть числа L • T, L — натуральное число. Множество (16) представляет
собой равномерную разностную сетку с шагом дискретизации D = —. На втором этапе
L
строим дискретные аналоги непрерывных моделей.
Для любого j значения функции C (t) аппроксимируются значениями C}.:
Cj = Ag} + p, где Cj = C(t}.), gj = g(t}). (17)
На рис. 1 представлен график функции C(t). В данном примере показатели СМАД взяты у пациента из группы женщин с АГ на терапии, тип ночного снижения САД «dipper». Имеются два промежутка стабилизации САД. Параметры модели: R = T = 19,43,
дискретность времени D = 0,01, t0 = 9,81, t1 = 0,34, t2 = 8,38, t3 = 11,88, t4 = 17,88; k = 0,32, c1 =-0,013, dl = 0,42, a, = 0,49; k2 = 0,327, b2 =-0,062, c2 =-0,01, d2 =-0,43, a2 = 0,65; 1 = 37,16, p = 156,16. Как видно из рис. 1, значения C(t) на [t1,t2] и [t3,t4] задаются с помощью линейных функций, которые интерпретируются как промежутки стабилизации САД. Наличием этих промежутков наша модель существенно отличается от классического подхода к моделированию циркадианных ритмов САД. Биологические параметры системы регуляции АД изменяются при переходе от дневного к ночному периоду суток, поэтому в нашей модели циркадианный ритм САД описывается двумя разными синусоидами, а не одной, как, например, у Санникова И.А. и соавторов в работе [11]. Данный подход позволяет более адекватно оценить кривую циркадианного ритма САД.
Для построения компьютерной имитационной модели регуляции САД в моменты стрессовых ситуаций перепишем систему (15) в виде:
\dXt = TjdNt - aXtdt
|dYt = pXtdt - fltdt + aYtdWt + C(t)dt
При переходе от системы (18) к ее дискретным аналогам воспользуемся элементами теории разностных схем. Тогда для любого j уравнения системы (18) аппроксимируются следующими разностными уравнениями:
Xlt, = Xj +пХ,-oXjA (19)
¥+,-¥, +bXlA-Y,D + oriel + CD (20)
где Xj, Yj — значения случайных процессов X , Y в точке tj.
Начальные значения X0 и Y0 устанавливаются, исходя из экспериментальных
данных. В (19) Xj — последовательность независимых случайных величин, таких, что Xj = 1
при Zj £ mD и Xj = 0 при Zj > mD, где Zj — последовательность независимых случайных
величин, равномерно распределенных на [0,1]. В (20) ej — последовательность независимых
гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной D.
На рис. 2 изображен график траектории процесса Y , построенного по тем же данным СМАД, что и функция C(t) (с теми же параметрами R, T и D). Параметры процесса N: т = 3, Т = 2. Параметры процесса X : X0 = 0, a = 10. Параметры процесса Y : Y0 = 157, b = 10, g = 1, s = 0,04. Коэффициенты m, T, a, b, g, s были найдены с помощью МНК. Поскольку функция C (t) входит в уравнение, задающее процесс Y, на графике траектории Y есть промежутки стабилизации САД, на тех же отрезках времени, что и у C(t). Из рис. 2
видно, что значения САД у пациента с АГ на терапии превышают норму, однако
156
наблюдается улучшение в работе гомеостатических механизмов поддержания АД на некотором стабильном уровне в течение дня и ночи.
^ 100 80
0 5 10 15
время, часы
Рис. 1. График функции C (t)
0 5 10 15
время, часы
Рис. 2. График траектории процесса Y
Выводы
Практическая значимость работы состоит в построении математической и компьютерной имитационной моделей регуляции САД в моменты стрессовых ситуаций. Модели могут быть усложнены в зависимости от конкретной решаемой задачи, например, при добавлении в систему новых объектов, формирующих суточный профиль САД, или функциональной зависимости параметров моделей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бегун П.И., Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике. М.: Высшая школа, 2004. 391 с.
2. Sagawa K., Lie R.K., Schaefer J. Translation of Otto Frank’s paper «Die Grundform des Arteriellen Pulses» // J. Mol. Cell. Cardiol. 1990. Vol. 22. P. 253-277.
3. Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы. М.: Мир, 1966. 254 с.
4. Dagan J. Pulsatile mechanical and mathematical model of the cardiovascular system // Medical and Biological Engineering and Computing. 1982. Vol. 20. № 5. P. 601-607.
5. Yu Y-C., Simaan M.A., Mushi S., Zorn N.V. A Nonlinear Model for Flow Estimation and Control in a Percutaneous Heart Assist System // Proceedings of the American Control Conference, 2007. P. 2018-2023.
6. Ellwein L.M., Tran H.T., Zapata C., Novak V., Olufsen M.S. Sensitivity analysis and model assessment: mathematical models for arterial blood flow and blood pressure // Cardiovasc. Eng. 2008. Vol. 8. Iss. 2. P. 94-108.
7. Недорезов Л.В., Недорезова Б.Н. Математические модели системы быстрых механизмов регуляции артериального давления // Автометрия. 1993. № 2. С. 5-10.
8. Астраханцева Е.В., Гидаспов В.Ю., Ревизников Д.Л. Математическое моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. №8. С. 61-80.
9. Guyton A.C. Circulatory Physiology III: Arterial Pressure and Hypertension. Philadelphia, PA: Saunders, 1980. 564 p.
10. Абакумов М.В., Ашметков И.В., Есикова Н.Б. и др. Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 2. С. 106-117.
11. Санников И.А., Бутов А.А., Рузов В.И., Гимаев Р.Х. Математическая модель фазовой стабилизации артериального давления у больных артериальной гипертонией // Вестник аритмологии. 2002. № 27. С. 71.
12. McSharry P.E., McGuinness M.J., Fowler A.C. Confronting a cardiovascular system model with heart rate and blood pressure data // Computers in Cardiology. 2005. P. 587-590.
13. Чибисов С.М., Подладчикова Т.В., Рагульская М.В., Стрелков Д.Г. Оценка и прогноз результатов мониторирования среднего артериального давления у различных возрастных групп // Научные труды VIII Международного конгресса «Здоровье и образование в XXI веке. Концепции болезней цивилизации», 14-17 ноября 2007, РУДН, М. 2007. С. 731-742.
14. Подладчикова Т.В., Рагульская М.В., Чибисов С.М., Стрелков Д.Г. Долгосрочное мониторирование и математическое моделирование хронобиологических изменений среднего артериального давления у различных возрастных групп // Успехи современного естествознания. 2008. № 2. С. 14-20.
15. Лищук В.А. Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991. 256 с.
16. Фролов С.В., Маковеев С.Н., Газизова Д.Ш., Лищук В.А. Модель сердечнососудистой системы, ориентированная на интенсивную терапию // Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. №4. С. 892-902.
17. Johnston P.R., Kilpatrick D. Mathematical modelling of paired arterial stenoses // Computers in Cardiology, Proceedings. 1990. P. 229-232.
18. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Применение декартовых сеток для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами // Математическое Моделирование. 2005. Т. 17. №8. С. 15-30.
19. Labadin J., Ahmadi A. Mathematical modeling of the arterial blood flow // Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference on Mathematics, Statistics and Applications. Penang, June 13-15, 2006. URL: http://math.usm.my/research/OnlineProc/AM33.pdf.
20. Quarteroni A. What mathematics can do for the simulation of blood circulation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 2006. P. 110-144.
21. Rao R.R., Aufderheide B., Bequette B.W. Multiple Model Predictive Control of Hemodynamic Variables: An Experimental Study // Proceedings of American Control Conference. 2-4 June, 1999. Vol. 2. P. 1253-1257.
22. Ahmed S.A., Waheed M. El-S., Nermeen M.E. Multichannel Blind Deconvolution Using the Stochastic Calculus for the Estimation of the Central Arterial Pressure // Math. Probl. Eng. 2010. Article ID 602373. 21 p.
23. Дильман В.М. Четыре модели медицины. Ленинград: Медицина, 1987. 288 c.
Гаврилова Мария Сергеевна —
аспирант кафедры «Прикладная математика» Ульяновского государственного университета
Gavrilova Maria Sergeevna —
Post-graduate Student of the Department “Applied Mathematics”, Ulyanovsk State University
Бутов Александр Александрович —
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика» Ульяновского государственного университета
Рузов Виктор Иванович —
доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой «Факультетская терапия» Ульяновского государственного университета
Butov Alexander Alexandrovich —
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chairman of the Department “Applied Mathematics”, Ulyanovsk State University
Ruzov Victor Ivanovich —
Doctor of Medicine, Professor, Chairman of the Department “Departmental Therapy”, Ulyanovsk State University
Разин Владимир Александрович — Razin Vladimir Alexandrovich —
кандидат медицинских наук, доцент кафедры Candidate of Medicine, Associate Professor of «Факультетская терапия» Ульяновского the Department “Departmental Therapy”,
государственного университета Ulyanovsk State University
Статья поступила в редакцию 13.03.2011, принята к опубликованию 05.08.2011
