CC BY
76
Выводы
Рассмотрены постановка и метод решения задачи расчета систематических ошибок результатов измерений параметров стабильного газового конденсата в замерных узлах магистрального конденсатопровода.
Научная новизна результатов настоящего исследования заключается в том, что впервые предложен метод оценивания систематических ошибок измерений массового расхода и плотности, использование которого позволило улучшить метрологические характеристики измерений параметров стабильного газового конденсата в замерных узлах магистрального трубопровода.
Практическая значимость полученных результатов исследования состоит в повышении экономической эффективности функционирования конденсатопрово -дов за счет повышения точности и достоверности результатов решения задач коммерческого учета стабильного конденсата и определения местоположений и объемов несанкционированных отборов и аварийных утечек стабильного конденсата.
Литература: 1. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 296 с. 2. Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. М: ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им.
И.М. Губкина, 2003. 336 с. 3. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем: Пер. с англ. Под ред. М. Бассвиль, А. Банвениста. М.: Мир, 1989. 278 с.
Поступила в редколлегию 30.11.2005
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Тевяшев Андрей Дмитриевич, академик УНГА, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой прикладной математики ХНУ-РЭ. Научные интересы: стохастическое моделирование. Хобби: теннис, волейбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-14-36, e-mail: [email protected].
Лукьянчик Владислав Иванович, главный метролог ДК «Укргазвидобування» НАК «Нафтогаз України». Научные интересы: метрология. Хобби: туризм. Адрес: Украина, 39430, Полтавская обл., Машевский р-н, с. Базилев-щина, ул. Полевая, 6, тел. (0532) 56-15-99, e-mail: [email protected].
Кобылинский Константин Валерьевич, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Хобби: туризм. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-14-36, email: [email protected].
Котелевцев Александр Владимирович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование. Хобби: авто. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-14-36, email: [email protected].
УДК658.012.011.56:658.512
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПЕРАТИВНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ РЕЖИМА РАБОТЫ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ПОДЗЕМНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
ТЕВЯШЕВ А.Д., ТКАЧЕНКО В.Ф., ПОПОВ А.В., СТРИЖАК Л. В.____________________________
Описывается стохастическая модель задачи оперативного планирования режима работы системы электрохимической защиты (ЭХЗ) подземных трубопроводов. Рассматривается один из методов решения, который заключается в построении детерминированного эквивалента задачи. В результате решения получены оптимальные значения силы тока СКЗ трубопровода на заданный период эксплуатации.
Актуальность
Подземные трубопроводы представляют собой сложные инженерные сооружения, практически не подвергающиеся моральному износу. Одной из основных причин отказов и аварий на трубопроводах является почвенная коррозия. Трубопроводы Украины недостаточно хорошо изолированы по причине старения изоляционных покрытий, низкого качества изоляционных материалов, а также несоблюдения нормативов по укладке трубопроводов в грунт во время строи-
тельства. Поэтому их долговечность и надежность непосредственно зависят от уровня развития средств противокоррозионной защиты.
Электрохимическая защита заключается в обеспечении в течение всего срока эксплуатации непрерывной во времени катодной поляризации трубопровода на всем его протяжении и на всей его поверхности таким образом, чтобы значения потенциалов на трубопроводе были не меньше минимального и не больше максимального.
Цель — уменьшение затрат на эксплуатацию системы ЭХЗ путем решения задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ подземного трубопровода в условиях неопределенности.
Задачи:
1) Сформулировать проблему оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ.
2) Построить детерминированный эквивалент стохастической задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ.
3) Получить решение задачи стохастического программирования для задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ.
1. Введение
Система ЭХЗ представляет собой сложный стохастический объект управления, функционирование которого осуществляется в стохастической среде под влиянием многих случайных факторов. Основными
1 3 2
BE, 2005, 1 4
величинами, влияющими на распределение защитного потенциала труба-земля, являются: переходное сопротивление изоляции и удельное сопротивление грунта по всей протяженности трубопровода. Вследствие случайного воздействия температуры окружающей среды, изменения влажности, различных химических и физических процессов, протекающих в грунте вдоль трассы трубопровода, на удельное сопротивление грунта его значение также изменяется случайным образом. Другим фактором, влияющим на значение защитного потенциала, является изменение переходного сопротивления, связанного со старением изоляционного покрытия или другими химическими процессами. Совместное влияние случайных факторов на изменение переходных сопротивлений может привести к выходу защитного потенциала за границы допустимой области, что приводит к возрастанию рисков возникновения аварийных ситуаций на участках трубопроводов.
2. Формальная постановка задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ
Математическая модель распределения защитного потенциала труба-земля описана в [2].
Защитная разность потенциалов может эффективно выполнять свое назначение только в том случае, если она не меньше определенной, минимальной защитной разности потенциалов. Смещение защитной разности потенциалов в область более отрицательных значений не оказывает существенного влияния на коррозию металла. Однако при чрезмерном увеличении потенциала по сравнению с минимальным между изоляцией и поверхностью металла скапливается водород, выделяющийся в результате катодного процесса. Это может привести к отслоению изоляции и ухудшению изоляционных свойств покрытия. Таким образом, проблема оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ заключается в том, чтобы установить такие режимы работы СКЗ на заданном участке трубопровода, при которых общие затраты электроэнергии были минимальны и обеспечивалась бы защитная разность потенциалов.
Задача оперативного планирования режима работы СКЗ предполагает нахождение таких значений тока защиты, при которых затраты на работу каждой СКЗ на заданном промежутке времени [0,T] были бы минимальны.
Затраты на работу i-й СКЗ C эксп [кВтч] определяются мощностью по постоянному току на выходе преобразователя СКЗ:
СэксЩ = РСКЗі ' ^ (1)
где мощность СКЗ Рскз [ кВт] определяется выражением:
рСКЗі = и пр Зі, (2)
здесь Uпрі = Ii -[Rлі + Rаз і + ZT] - напряжение на выходе преобразователя СКЗ [В]; Іі - величина силы
тока на выходе i-й СКЗ [А]; Rлі - сопротивление
соединительных линий і-й СКЗ [Ом]; R^ - сопротивление анодного заземления і-й СКЗ [Ом]; zt = tJRпр • Rиз • (tcD)_1 - характеристическое сопротивление трубопровода [Ом]; Rиз - вектор значений сопротивления изоляции [Омм2]; Rпр - продольное сопротивление трубопровода [Ом/м].
Как рассмотрено ранее, характеристическое сопротивление трубопровода представляет собой случайную величину zt = zt(®) , соответственно мощность преобразователя СКЗ также является случайной величиной.
Таким образом, получили задачу стохастического программирования М-типа с вероятностными ограничениями. Целевая функция данной задачи является суммой затрат по эксплуатации каждой станции катодной защиты на промежутке времени [0,T]. Регулирование мощности СКЗ определяет величину защитного потенциала труба-земля, которая должна удовлетворять критериям, определяющим область G.
Задача планирования режимов работы СКЗ в стохастической постановке будет иметь вид:
n T
М(Е J С эксп і (Іі ,t,R из (ю), Ргр (ro))dt> ^ тіп. (3)
“ і=10 IeG
Область допустимых решений G определяется системой неравенств
G: {Vx є [0,L] AVt є [0,T] лУа є Q:
P(UT-З (x, y, t, n, I,Rиз (ю), Ргр (ю)) < Umm) ^ «1 , (4) р(иТ-З (x> У,рn 3Rиз (ю). Ргр (ю)) ^ Umax ) ^ Р1, (5)
0 < I < Imax>, (6)
где п - количество станций катодной защиты;
Сэксп І(IІ,t, R из (®), Ргр (®)) — Ii * U пр і(®) затратЫ по эксплуатации і-й СКЗ [Вт]; I - вектор значений силы
тока защиты СКЗ, I = [I1,I2, —,In] [А]; t - параметр времени [с]; Rиз (ю) - случайный вектор значений сопротивления изоляции [Омм2]; Ргр (ю) - случайный вектор удельного сопротивления грунта [Ом^м];
U т_з - функция распределения потенциала труба-земля по всей протяженности заданного участка трубопровода [В]; х - расстояние от начала рассматриваемого участка трубопровода; y - параметры системы, к которым относятся:
L г - длина рассматриваемого участка трубопровода [м]; D - диаметр трубы [м]; xA- продольная координата расположения анодного поля [м]; yA - расстоя-
ВЕ, 2005, 1 4
1 3 3
ние от анодного поля до трубопровода [м]; LA-протяженность анодного поля [м];
Uc - стационарный потенциал трубопровода [В]; Imax - максимальное значение силы тока СКЗ [А]; Umin =-0.85- минимальный защитный потенциал [ В]; Umax = —1.15 — максимальный защитный потенциал
[В].
Критерием, определяющим область G, является ограничение вероятности выхода значения потенциала труба-земля за пределы верхней границы
Umin = -0.85 [B] с вероятностью не выше а,1 = 0.01;
нижней границы Umax =-1.15 [B] с вероятностью не
выше, чем Р1 = 0.05 .
3. Построение детерминированного эквивалента стохастической задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ
n 2
M(E Ii2 • [R л + Rаз +
“ i=1
і----------------- T 2
+ v R пр • R из (га) • (^D)_1] •-—> ^ min. (9)
Существует несколько методов получения математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения. Первый из них относится к методу статистического моделирования: вычисление оценки математического ожидания по результатам множества экспериментов вычисления функции от случайного аргумента с известным законом распределения. Второй метод предполагает использование известных зависимостей для математического ожидания функции от случайных аргументов.
Для нелинейной функции f(x,'л(ю)) и случайной величины 'л(ю) имеет место неравенство Йенсена:
Mf(x,ц(ю)) > f(Mf(x, г|(ю)))
ю ю ’
Для решения задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ применяем метод решения задач стохастического программирования, который состоит в построении детерминированного эквивалента стохастической задачи в виде общей задачи математического программирования.
Рассмотрим целевую функцию задачи: n T 2
M(£jIi(t)2 -[Rл + Rаз +
и i=10
+ J R пр • R из (га) • (^D)_1] • tdt> ^ min. (7)
Будем предполагать, что случайные величины сопротивления изоляции R из (ю) и сопротивления грунта Ргр (га) распределены по нормальному закону распределения с известными параметрами, т.е. Rиз (га) = N(Rиз, aRиз), Ргр (ю) = N(p^, ст2 ) , где
R из, Ррр - математические ожидания случайных
величин сопротивления изоляции и удельного сопро-
2 2
тивления грунта соответственно; aR , ст - дис-
персия случайных величин сопротивления изоляции и удельного сопротивления грунта соответственно. На заданном промежутке времени [0, T] параметры распределения случайных величин Rиз (ю) и Ргр (га) будем считать постоянными, значение силы тока СКЗ также будет постоянно. Выражение (7) будет иметь вид:
n T 2
M(EJ Ii2 • [R л + R аз + (8)
“ i=10
+ ijR пр • R из (га) • (^D)_1] • tdt> ^ nun .
После вычисления определенного интеграла выражение (8) можно представить в виде:
если функция f(x, ц(ю)) выпукла, и
Mf(x,ц(ю)) < f(Mf(x, ц(ю))),
ю ю
если функция f(x, ц(ю)) вогнута.
Построим график зависимости целевой функции задачи (9) от значения случайной величины R из (га) (рис. 1).
Рис. 1. График зависимости целевой функции затрат по эксплуатации СКЗ от значения случайной величины
Rиз (га)
Из графика зависимости видно, что функция, определяющая затраты при эксплуатации СКЗ, вогнута, т.е. имеет место неравенство:
n 2
M(I Ii2 • [Rл + Rаз
“ i—1
n 2
-Ё Ii '[R л + R аз
i—1
R пр R пр
T2
• Rиз (ffl) • (KD)-1] •—> ^
—^------- T 2
•Rиз • (^D)_1] (10)
1 3 4
BE, 2005, 1 4
Таким ообразом, оценка затрат при эксплуатации СКЗ, полученная в результате решения задачи стохастического программирования, будет больше реальных затрат.
Рассмотрим неравенства (4) и (5), определяющие область G задачи стохастического программирования:
G : {Vx є [0,L] AVt є [0,T] AVroeQ:
P(UT-З (x, y, n, t, I,Rиз (го), Ргр (ю)) ^ umin) < aj, Р(ит-э(x,y,n, t,I,Rиз (ю), Ргр (ю)) > Umax) — Pi 5 о < I < Imax}.
Как было рассмотрено выше, на заданном промежутке времени [0,T] параметры распределения случайных величин Rиз (ю) и Ргр (ю) будем считать постоянными; таким образом, значение потенциала труба-земля рассматривается в момент времени t = tk . Выражения (4) и (5) можно представить в виде:
G :{Vx є [0,L] л t = tk лУи є Q:
P(Ut-з(x,y,n,I,Rиз(ю),Ргр(ю)) < Umin) ^ ai, (11)
р(иТ-З (x,y,n,I,R из ГГ Ргр (ю)) ^ Umax) ^ Pi, (12) 0 < I < Imax}. (13)
Для построения детерминированного эквивалента задачи необходимо нахождение функции распределения разности потенциалов труба-земля Ut-з (x).
щитного потенциала труба-земля с постоянными коэффициентами затухания предполагает наличие точек минимального значения потенциала труба-земля в точках подключения СКЗ. Минимальное значение защитного потенциала будет в точках
xmin = x^ = 3 км, xmin = x2к = 28 км, xmin = x3к = 54 км, xmin = x4к = 83 км, xmin = x5к = 108 км
от начала участка, что подтверждается графиком функции Ut-з (x). Обозначим через XmT - множество точек xmin, i = 1..n, значение защитного потенциала в которых минимально, n - количество СКЗ.
Диктующими точками для условия (12) будут те, значение потенциала труба-земля в которых максимально. Максимальное значение защитного потенци-
max max
ала будет в точках x1 = 0 м, x2 = 11912 м,
xmax = 40760 м, xmax = 69145 м, xmax = 98803 м, xmax = 110000 м, от начала участка. Обозначим через
Xmr - множество точек xmin,i = 1..(n +1), значение защитного потенциала в которых максимально.
После нахождения диктующих точек на рассматриваемом участке трубопровода неравенства, определяющие область допустимых решений G задачи (11)-(13), можно преобразовать к виду:
G :{Vx є Xmn л t є tk л VroeQ:
P(Ut-з(x,y,n,I,RизГ),РгрD) ^ Umin) ^а1 : (14)
Vx є Xgf л t є tk л VroeQ:
Учитывая то, что в рассматриваемой математической модели распределения защитного потенциала труба-земля сопротивление изоляции трубы и удельное сопротивление грунта постоянно, необходимо определить диктующие точки на участке трубопровода, в которых значение защитного потенциала труба-земля будет максимальным и минимальным. Построим график (рис. 2) распределения защитного потенциала труба-земля.
Рис. 2. График распределения потенциала труба-земля
P(Ut_3 (x, y,n, I,Rиз Г), Ргр D) > Umax) — Р1, (15)
0 < I < Imax}.
Рассмотрим функцию
(Ut-з (xmin,y,n,I,R из Г), Ргр Г)) для j-го условия из (14):
Ut-з(xmin,I,®) = -£Ii -JRпРRиз(ю)/(яО) •
i=1
• exp^DRnp/Rиз (Ю)• | xjmin -xiк |) -
2 , A2
-z-
nIi p гр (ю) (x- - ai) + ]l j - air + yi
i=1 2tcL'
A
-ln(----------- =
(xmin -bi)^1 (xmin -bi)2 + yA
2_).(16)
Рассмотрим одно из составляющих выражения (16) в точке при xmin = 3 :
Sjn1n (R из D) = il R пр R из (ffl)frD)-1 •
• exp^^DRnp /Rиз (Ю)• | xmin - Xlк |).
Диктующими точками для условия (11) будут те, .Для нахожденияраспределенияслучайн°й величины
значение потенциала труба-земля в которых мини- Sm1n(Rиз (ю)) применили теорию проверки гипотез о
мально. Математическая модель распределения за- принадлежности выборки из конечного числа эле-BE, 2005, 1 4 1 3 5
ментов к известному распределению и с помощью критерия Пирсона приняли гипотезу о нормальном распределении случайной величины
SiX(Rиз (а)) = NCSjX,а^)
S1,1
Таким образом, можно получить распределение каждой случайной величины 8™п(Киз (ю)) в каждой точке xjnin , j = 1,..5 в зависимости от точки подключения СКЗ трубопровода хік , i = 1,..5 :
Sjj (R из (®)) =УІ R пр R из (ю)^О)-1 •
• exp(-^DRпр /Rиз(ю)• | х“іп - хік |),i = 1,..5 j = 1,..6.
Доказав, что случайная величина Smiin(Rиз (ю)) имеет нормальное распределение, можно предположить, что и случайная величина S™n(Rиз (ю)) распределена также по нормальному закону распределения с параметрами Smnin (Rиз (ю)) = N(S|“in, a2).
Г j
Условие (16) можно преобразовать к виду:
Ut-з (xmin ,I, ffl) = -Е Ii • S‘min (Rиз (ffl)) -i=1
2 , „A"
-z-
n IiPrp(ю) j -ai)^(x™ -a,r + yi
i=1 2лЬ'
A
ln(
(x"mi -bi) + J j -bi)2 + yA
2_).(17)
Так как Ut-з(xjnin,I,ю) является линейной функцией от нормально распределенных аргументов Sjjn(Rиз(ю)) и Ргр(ю), то и сама функция Ut-з (xmin, I, ю) является нормально распределенной случайной величиной, т. е.
Ut-з (xmin,I, ffl) = N(Ut_3 (xmin,I),
ut
(xmin,I)).
J
2
Определим параметры нормального распределения Ut-з(xjnin,I) и ctUt з (xmin,I).Математическое ожи-
дание Ut-з(xmin,I) равно:
Ut-з (xjmM)=Mt-z Ii • si;;1 (rиз (и)) - z
n (IiPгр (ю)
i=1
i=1
2nLA
<ln
2 , „A
(xjm - ai) + y (xjlim - air + yi
■r
(xmin - bi) + J (xmin - bi)2 + yf
2
JJ
n f Ii • M{pгр (ю)>
= -Z Ii • M{Smin(R из (®))> -z
i—1 “ i—1
2tcLA
i
x ln
(xmin - ai) + V
(xmin - ai)2 + yA2
(xmin - bi)+J(xmin - b,)2+yA
УУ
2
=-z i, • Smf -z
i=1 ’ i=1
Ii -pгр v2<
X ln
2
(xj- - ai) + y (xmin - a.)2 + yA (xmin - bi)+J(xmin - ь,)2+yA2
У)
(18)
Найдем дисперсию стЦ, з (xjriin,I) случайной величины Ut-з (xfM,ю):
*иТ_З (xfM) = D{-]L,Ii • Sinjn(Rиз (®)) -
2
т / \ /„min „ \ . /„min „ \2 . „А
“ ііРгр(юГ (xj ai) + V(xj ai) + yi
- Т . Л ln------------. =>=
i=1 2nLA
(xmin - ь,)+J (xmin - ь,)2+Уіл
nn
= z (і,)2 • D(Smin(Rиз (и))+z
ы i=1
i.
2nLJA
X
X ln
(xmin - ai) + J (xmin - a,)2 + yA2
(xmin - b,)(xm,n - b,)2+y a2
nn
= z(ii)2-CT2 ■ +y
v i' cmin
i=1 Si, j i=1
2
D(Prp (Ю)) =
2^LA
2
X ln
2A
(xj11111 - a,) (xj11111 - a,) + yi
(xmin -b,) +il(xm,n -b,)2 + yA
2
Ргр. (19)
I,
2
Таким образом, условие (18) можно представить в виде:
P{Ut-3 (x™n, y, n, I, Rиз (ffl), Pгр (ffl)) < Umin> =
= P{(Ut_3(xmin,y,n,I,Rиз(ffl),Ргр (ffl)) - Umin) < 0> =
1
/„min тч CT Ut_3 (xj ,I)
0
X J e
42% ■
(Ut-з (xr,i)-UmiJ-( Ut_3 (xmin,I)-Um,„)
kT^T1)
dUT_3 (xmin,I) =
= Ф
Ut _з (xmin,I) - Um,n
^ x min тч CT Ut_3 (xj ,I)
< a,
1 3 6
BE, 2005, 1 4
Ф-1 (а) • аUt (xfln ,I) > -I Ut_з (xjm,I) - Un
j = 1..5
x3K = 54 [км], x4K = 83 [км], x5K = 108 [км] от начала участка;
- начальное значение силы тока СКЗ I; = 4.3 [А];
Проведя аналогичные рассуждения в диктующих точ- - сопротивление анодного заземления СКЗ = 1.37
ках xmax, і = R6, для условия [Ом];
P(Ut-3(x,t,y,n,I,Rиз(ю),Ргр(ю)) > Umax) — Pi 5
получим аналитическое выражение параметров случайных величин:
тт ^ max т „ \ ____хт/тт /^max Тх ^2 /^max TVv
UT-3(xi Л®) = n(UT-3(xi ДХаUt_3 (xi ,I)) •
і = 1..6.
- сопротивление соединительных линий СКЗ R л = 0.23 [Ом];
- изоляционное покрытие - заводское напыленное полимерное усиленного типа, переходное сопротивление трубопровода на начальный период эксплуатации составляет R из =104 [Омм2];
Таким образом, выражение (19) можно представить в виде:
P{Ut_з (xmax, y, n, I, Rиз (а), Ргр (ffl)) ^ Umax} =
= P(Ut_з(xmax, y, n, I, Rиз (ffl), Ргр (®)) - Umax) ^ 0 =
__________1________
“V^-aU (xmax,I)X
uT-3 j
- продольное сопротивление трубопровода R пр = 6.6 -10_6 [Ом/м];
- среднее удельное сопротивление грунта по трассе составляет р = 40 [Ом м];
- участок магистрального газопровода длиной 110 [км];
- диаметр трубы D = 1.02 [м];
0
X J e
((Ur_3(xmax,I)-Umax)-(UT_3(xmax,I)-Umax))2
2-OtU (xmax,I)
Ut-^ j ’ ’
= ф
max
иТ-З (xj ,I) _ Um
max
CT uT_3 (xj ,I)
dUT_3(xjmax,I) =
<p, і = 1..6,
ф-1 (P) -aut з (xmax, I) > Ut-з (xmax, I) - Umax . j = 1.5
Детерминированный аналог задачи (10)-(13) имеет вид
2 , --- 1 г2
ЕI
i=1
2
R л + R аз
ф-1(а)-аит з (x“in,I) >
G':
>-1 Ut-з (xj‘M) - U
т2
------> min (20)
2 IeG ,( )
і = 1..5,
Ф_1(Р) -aUt з (xjnilx,I) >
> Ut_3 (xmax,I) - Umax, j = 1..6 0 < I < Imax
(21)
- анодное заземление - несмещенное, т.е. ai = кк - 0.1 [км], bi = кк + 0.1 [км] і = 1..5 ;
- длина цепочки LA = 200 [м] і = 1..5 ;
- расстояние до анодного заземления yA = 220 [м] і = 1..5 ;
- тип СКЗ - ЗАХИСТ-0.3 р., мощностью 300 Вт, максимальная сила тока на выходе СКЗ 12.5 А;
- Umin = -0.85 - минимальный защитный потенциал [В];
- Umax = -1.15- максимальный защитный потенциал [В].
Детерминированный аналог задачи (10)-(13):
n2
У Ij2 • 784.575 ^ min
i=1 IeG
Область допустимых решений G определяется системой неравенств
G:
g[j] > 0, j = 1..11,
0 < Ii < 12.5, і = 1,..n ,
где
Получили задачу математического программирования с ограничениями в виде неравенств и двусторонней ограниченностью переменных.
g[1] = 0.85 - 0.169I1 - 0.045I2
—0.014I3 -0.004I4 -0.001I5
Получим детерминированный аналог задачи (3)-(6) для таких исходных данных:
1.64 -J0.00015 • If + 6.165 -10_6 • If +
- установленні n = 5 станций катодной защиты трубопровода на расстоянии = 3 [км], x2K = 28 [км],
+1.332 • 10_6 • I32 +1.798 • 10“7 • I4 + 2.823 • 10_6 • I2 ’
DE, 2005, 1 4
1 3 7
g[2] = 0.85 - 0.046І! - 0.169I2 -
g[9] = 0.85 - 0.004I1 - 0.011I2 -
-0.043I3 - 0.012I4 -0.004I5 -1.64-tJ5.891-10“6 • I2 +1.512-10“5 • I2 +
+ 5.31-10“6 • I2 +1.029-10“6 • I4 +1.783-10“7 • I2 ’ g[3] = 0.85 -0.014Ij -0.044I2 --0.169I3 -0.038I4 -0.012I5 -
-1.64 1.335-10“6 • I? + 5.815-10“6 • Ij2 +
----------------------------------------------- ?
+1.507-10“5 • I32 + 4.819-10“6 • I4 +1.087-10“6 • I2
g[4] = 0.85 -0.0037Ij - 0.011I2 --0.038I3 -0.169I4 - 0.046I5 -
-1.64 1.796-10“7 • I2 +1.019-10“6 • I2 +
+ 4.758-10“6 • I2 +1.522-10“5 • I4 + 6.048-10“6 • I2 g[5] = 0.85 -0.0012Ij - 0.0037I2 --0.012I3 -0.045I4 - 0.169I5 -
-1.642.791-10“8 • I2 +1.785-10“7 • I2 +
+1.081-10“6 • I2 + 6.006-10“6 • I4 +1.482-10“5 • I2 ’ g[6] = 0.85 -0.169Ij -0.046I2 --0.014I3 -0.0037I4 -0.0012I5 -
-1.64-^1.501-10“5 • Ij2 + 6.173-10“6 • I2 +
+1.314 • 10“6 • I32 +1.799 • 10“7 • I2 + 2.900 • 10“8 • I2 , g[7] = 0.85 - 0.046Ij - 0.169I2 --0.044I3 -0.012I4 -0.004I5 -
-1.64-^5.744-10“6 • Ij2 +1.484-10“5 • Ij2 +
+ 5.823 -10“6 • I2 +1.010 -10“6 • I2 +1.820 -10“7 • I2 , g[8] = 0.85 -0.014Ij -0.044I2 --0.169I3 -0.038I4 -0.012I5 -
-1.641.302-10“6 • I2 + 5.590-10“6 • I2 +
+1.482 • 10“5 • I2 + 4.754 • 10“6 • I4 +1.069 • 10“6 • I2
1 3 8
-0.038I3 - 0.169I4 -0.045I5 --1.64--^1.772-10“7 • I2 + 9.956-10“7 • I2 +
+ 4.857-10“6 • I2 +1.534-10“5 • I4 + 6.129-10“6 • I2 ’ g[10] = 0.85 - 0.001I4 -0.004I2 --0.012I3 -0.046I4 - 0.169I5 -
-1.64 ^/2.753-10“8 • Ij2 +1.826-10“7 • Ij2 +
+1.085-10“6 • I2 + 6.009-10“6 • I4 +1.458-10“5 • I2 ’ g[11] = -0.85 + 0.127Ij + 0.040I2 +
+0.012I3 + 0.003I4 + 0.001I5 -
-1.64 ^/1.272-10“5 • I2 + 5.158-10“6 • I2 +
+1.085-10“6 • I2 +1.464-10“7 • I4 + 2.306-10“8 • I2
4. Численный анализ результатов решения задачи
Для получения детерминированного эквивалента задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ трубопровода использовали метод штрафных функций для решения задачи с ограничениями в форме неравенств и двусторонней ограниченностью переменных.
Результатом решения задачи является оптимальное значение силы тока СКЗ на заданный период времени.
Для описанных исходных данных получили такие значения силы тока СКЗ: Iskz[1]=5.15815, Iskz[2]=3.81304, Iskz[3]=4.01879, Iskz[4]=4.03406, Iskz[5]=5.11556. Построим график (рис. 3) распределения защитного потенциала труба-земля для полученных значений силы тока СКЗ трубопровода.
Рис. 3. График распределения потенциала труба-земля
Найдем вероятность выхода максимального значения потенциала труба-земля за пределы Umax = -0.85 в
BE, 2005, * 1 4
точке с наибольшим значением потенциала труба-земля x“ax = 69145 (рис. 4). Для выборки объемом п = 1000 получили вероятность выхода максимального значения потенциала труба-земля за пределы Umax = -0.85 с наибольшим значением потенциала труба-земля в точке xmax = 69145, равную 0,037, что удовлетворяет условиям задачи.
Рис. 4. Реализация случайной величины
ut-з (xmax,i, ®)
Найдем вероятность выхода минимального значения потенциала труба-земля за пределы Um;n =-1.15 в точке с наименьшим значением потенциала труба-земля xmin = 83 км (рис. 5). Для выборки объемом n = 1000 получили вероятность выхода минимального значения потенциала труба земля за пределы Umin =-1.15 в точке с наименьшим значением потенциала труба-земля xmin = 83 , равную 0,024, что удовлетворяет условиям задачи.
Рис. 5. Реализация случайной величины
Ut-з (xmin,I, ®)
Выводы
В результате решения задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ были получены оптимальные значения силы тока СКЗ, при которых значение защитного потенциала труба-земля с заданной вероятностью не выходит из области допустимых значений, а затраты по эксплуатации системы СКЗ минимальны. Однако полученные таким образом значения нельзя применять, не проводя постоянного мониторинга за распределением потенциала труба-земля, так как значение случайных величин, влияющих на защитный потенциал, может существенно отли-
чаться от прогнозируемого, что приведет к необходимости корректировки значения тока защиты СКЗ.
Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке модели проектирования и функционирования системы электрохимической защиты, которая предполагает решение задач стохастического программирования при проектировании системы ЭХЗ, а также построение математической модели нахождения повреждений изоляционного покрытия по результатам коррозионного мониторинга.
Научная новизна: впервые предложен стохастический подход к постановке и решению задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ подземных трубопроводов.
Практическая ценность: полученные в результате решения задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ значения силы тока системы СКЗ позволяют улучшить качество работы и сократить затраты по эксплуатации систем ЭХЗ.
Литература: 1.ДСТУ 4219:2003 Трубопроводи сталеві магістральні. Загальні вимоги до захисту від корозії.Київ, 2003. 72 с. 2. Тевяшев А.Д., Ткаченко В.Ф., Попов А.В., Стрижак Л.В. Стохастический поход к постановке и решению задачи оперативного планирования режима работы системы ЭХЗ трубопровода // Восточно-Европейский журнал передових технологий. 2005. №15. С. 9498. 3. Бэкман В., Швенк В. Катодная защита от коррозии: Справ, изд. Пер. с нем. М.: Металлургия, 1984. 496 с. 4. СТП 320.30019801.072-2003 Магістральні газопроводи. Розрахунок електрохімічного захисту. Київ, 2003. 63 с.
Поступила в редколлегию 13.12.2005
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Тевяшев Андрей Дмитриевич, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: проблемы моделирования процессов в трубопроводных системах энергетики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-14-36, е-mail: tevj ashev@kture. kharkov. ua.
Ткаченко Владимир Филиппович, канд. техн. наук, проф., заведующий кафедрой инженерной компьютерной графики ХНУРЭ. Научные интересы: автоматизированные системы управления, геоинформационные технологии. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-18-91, е-mail: [email protected].
Попов Александр Владимирович, директор коммунального предприятия “Городской информационный центр”, соискатель кафедры инженерной компьютерной графики ХНУРЭ. Научные интересы: проблемы управления элементами инженерной инфраструктуры городского хозяйства. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-13-78,
е-mail: [email protected].
Стрижак Людмила Викторовна, инженер кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: проблемы электрохимической защиты трубопроводов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 70216-59, е-mail: [email protected].
BE, 2005, 1 4
1 3 9
