Степенные оценки для срезок несобственных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Миллер Н.В.1, Швец Ю.В.2, Пучнин Р.В.3 ©

12 3

, , Доцент, кафедра высшей математики,

Сибирский государственный университет путей сообщения

СТЕПЕННЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СРЕЗОК НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аннотация

В статье рассматриваются вопросы, связанные с оценкой четных степеней несобственных интегралов специального вида с переменной нижней границей. Важно, что квадрат изучаемой функции оценивается не через значение подынтегральной функции в некоторой фиксированной точке, а через значения функции в точке bx, где b — произвольное число из некоторого замкнутого интервала.

Ключевые слова: несобственные интегралы, интегральные неравенства, неполная гамма-функция, обобщенная функция ошибок.

Keywords: the improper integral, integral inequalities, gamma function, complementary error function.

Получению различных оценок для важных в приложениях и теоретических исследованиях определенных интегралов посвящено большое число работ. Особое внимание

при этом было сосредоточено на гамма-функции Г(k) = J tk~le~tdt, которая имеет широкое

0

применение в математическом анализе. Кроме того, через нее выражается целый ряд специальных функций, многие важные в математике несобственные интегралы, бесконечные произведения и ряды.

В 1974 году W.Gautschi [1, 280] показал, что для положительных x выполняется неравенство:

2 > 1 .

1Г (х) +1/ Г (1/х)

Важная двойная оценка была установлена G.D. Anderson и S.-L. Qiu в работе [2, 383]

х

(1-С) х—1

< Г (х) < х

;—1

где х > 1, С=0,5 7721...- постоянная Эйлера.

Целый ряд других интересных неравенств получен в работах [3-7].

Близкие результаты были получены и для неполной гамма-функции Эйлера

Г (а, х) = J ta le tdt. Так, в [8, 75] было показано, что

х

ха—'е_х < |Г(а, х)| < Вха—le~x,

В

где а > 1, В > 1, х >--(а — 1).

В — 1

В работе [9, 611] изучалась нижняя срезка плотности стандартного гауссова

1 ¥ —--

распределения Q(х) = ,— I е 2 dt. Автором было установлено, что для любого х е R и

V2p х

1 < а < S справедливо неравенство

Q (х) < Q (ах)

(1)

© Миллер Н.В., Швец Ю.В., Пучнин Р.В., 2015 г.

В работе [10, 112] показано, например, что границы интервала для параметра а в неравенстве (1), являются неулучшаемыми, т.е. правая граница не может быть увеличена, а левая не может быть меньше 1.

Цель настоящей работы заключается в том, чтобы получить степенную оценку типа (1)

3 Г -t6

для функции L(х) = —у—г-1 e dt, которую часто называют дополнительной обобщенной

Г (1 I -

6

функцией ошибок. Отметим, что Г ^ 1 j = J Сформулируем основные результаты.

t

5

6e~fdt» 5,5663....

Теорема 1.1. Для любых х е R и b е

1;V2

справедливо неравенство

L2(х) < L (bx).

(2)

Теорема 1.2. Оценка (2) в теореме 1.1 остается справедлива при 0 < b < 1 для любого х > 0.

Доказательство теоремы 1.2. Заметим, что при неотрицательном х справедливо

равенство J e

-t6 dt = 1 Г ( х6

6 I 6

3 ¥

. Поэтому при х > 0 имеем L(х) = —I e

Г | 11 х

dt ■■

Г\ -,х6

Г

1

6

1

2

х

6

6

Г (1,0

1 1 V 6 V

Отсюда L(х) < — для неотрицательных значений х и L(0) = ——у

Г

6

1

2

При наложенных в теореме 1.2 ограничениях получаем 0 < b х < х . Отсюда, так как

подынтегральная функция l(t) = e ‘ положительна и L(х) < 1, получаем L(bx) > L(х) > L2(х)

. Теорема 1.2 доказана.

Доказательство основного результата. При доказательстве теоремы 1.1 будет использоваться схема аналогичная рассмотренной в работе [9] для нижней срезки неопределенного интеграла от гауссова распределения.

Заметим, что при b = 1 оценка (2) справедлива в силу того, что для всех действительных х справедливо неравенство 0 < L(х) < 1.

3 6

Пусть b е (1;^2 . Очевидно, что функция L(х) = —-уу Je~- dt убывает, так как

Г - |х V 6,

подынтегральная функция l(t) = e-t положительна. Поэтому достаточно доказать

справедливость неравенства (2) для b = ^2 . При этом значении параметра исследуем разность

£(х) = L2(х) - L (V2 х). (3)

Заметим, что

Х(0) = -4 < 0,

lim Х(х) = 0, НптХ(х) = 0.

(4)

(5)

(6)

Используя формулу дифференцирования несобственного интеграла по параметру, получаем:

Г Y

L'(X) :

3

е - dt

Г f6'x

3

Аналогично выводим

^2 • 3

L (^ x )=-^i

г

-2 x6

6

Отсюда производную функции £(x) можно представить в виде

3 -2 Г6Й^ 6 - х6 . ^2 Л

3

x ( X) = -2L( x)—у—г- е" x +

г

1

г

1

’^2

г

—е~x -L(x) 2

г Г1

V 6

е~x h(x)-.

(7)

где

Очевидно, что

h( x)=~2e x - l( x)•

^2 1

h(0) =~ - 2 >0,

lim J](x) = -1 < 0 .

(8)

(9)

(10)

Заметим, что на интервале (-г;0] функция y = ex возрастает, а L(x) убывает. Отсюда, из соотношений (8) - (10) вытекает, что функция h(x) один раз меняет знак минус на плюс при отрицательных значениях аргумента. Поэтому в силу (3), (7) и (8) получаем, что Х(x) имеет один минимум при x < 0. Ближайшая цель показать, что h(x) > 0 на положительной полуоси. Дальнейшие оценки проводим при x > 0. Имеем

т/ \ 3 г _t6 3 г -16 156

L(x) = —-^т I е dt <-------^т I е -г-dt =

Г ( -1! x 6Г ( -1! x x

V 6

™dt =^* x x5 x52 Г f1

1

6

x52 Г

1

V«

Отсюда

/ 4 ^2 - x6 т, 4 V2 - x6 1

h(x) =-е x - L(x) >-е x-

22

x6 е

2 x5 Г

5-. 1

^2----1

x5 ГI 1

(11)

6

- x

е

1

6

е

е

е

6

6

6

6

x

е

е

x

6

x

е

2

6

6

Из (11) получаем, что j(x) > 0 при x >

1

. Осталось показать, что j(x) > 0 на

3-°2 5 Г

1

6

интервале

0;-

302 5 Г \1

. При данных значениях аргумента получаем

j x) = 2И x6 _ ц x) > ^ e -1 > 0.

2 2 2

Таким образом, показано, что функция XXx) = —e~ x“j(x) один раз меняет знак

Г

1

6

минус на плюс на интервале (-¥ +¥). Поэтому на всей числовой прямой функция X(x)

имеет единственный минимум. Вместе с соотношениями (6) — (8) это доказывает, что X(x) < 0 при любом х.

Теорема 1.1 доказана.

Литература

1. W.Gautschi - Some mean value inequalities for the gamma function // SIAM J. Math. Anal. - 1974. -No. 5. - P. 278 - 281.

2. G.D. Anderson, S.-L. Qiu - A monotoneity property of the gamma function// - Math. Comp. 1997. -No. 66. - P. 373 - 389.

3. H. Alzer - Inequalities for the gamma function // Proceedings of the American Mathematical Society. -1999. - Vol. 128, No. 1. - P. 141 - 147.

4. A. Alsina, M. Tomas - A geometric proof of a new inequality for the gamma function // J.Ineq Pure Appl. Math. Comp. - 2005. -No. 6.

5. R. Askey - The q-gamma and q-beta functions// Appl. Anal. -1978. - No. 8.

6. A. Sh. Shabani - Some inequalities for the gamma function // J.Ineq Pure Appl. Math. — 2005. - No.

7.

7. Yin Li and Dou-Xiangkai - On some new inequalities for the gamma function // Beizhen Middle School. Octogon Mathematical magazine. - 2009. - Vol. 17, No. 1. - P. 14 - 18.

8. P. Natalini, B. Palumbo - Inequalities for the incomplete gamma function // Mathematical Inequalities and Applications. - 2000. - Vol. 3, No. 1, P. 69 - 77.

9. Xiao-Li Hu - Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions // Journal of Mathematical Inequalities. - 2010. - Vol. 4, No. 4. - P. 609 - 613.

10. Пекельник Н.М., Миллер Н.В., Хаустова О.И., Трефилова И.А. - Об одном неравенстве для обобщенной функции ошибок: Материалы XIII Международной науч.-практ. конф., 3 - 4 июля 2015 г. - Екатеринбург, 2015. - № 6 (11). - С. 109 - 112.