Стационарная гидродинамическая дисперсия в многослойных пластах с растворимой подошвой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Куликов А.Н.1, Г орбунов А.К.2, Овчаренко И.Н.3 ®

1Доцент, кафедра общей физики, Калужский государственный университет им.

К.Э. Циолковского; 2профессор, д.ф.-м.н., кафедра физики; 3ассистент, кафедра физики, 2,3Калужский филиал Московского государственного технического университета им

Н.Э. Баумана

СТАЦИОНАРНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ С РАСТВОРИМОЙ ПОДОШВОЙ

Аннотация

В статье предложено решение краевой задачи для уравнения гидродинамической дисперсии. Предполагается, что фильтрационное течение создается одиночной совершенной нагнетательной или эксплуатационной скважиной в кусочно-однородном горизонтальном пласте. Пласт снизу ограничен растворимой протяженной подошвой и сверху - непроницаемой кровлей. Предполагается также, что процесс растворения установившийся, примесь нейтральная, то есть не изменяет гидродинамических свойств среды, скорости течения таковы, что в направлении скорости течения конвективный перенос преобладает над молекулярной диффузией. В направлении, перпендикулярном скорости течения, коэффициент гидродинамической дисперсии принимается линейно зависящим от скорости. Для описания поля концентрации в рассматриваемом многослойном пласте предложено дифференциальное уравнение, получено его решение при соответствующих условиях на границе области и условиях сопряжения, то есть равенства концентраций и потоков на границах слоев. Методом Фурье получено аналитическое решение поставленной задачи. Для частного случая однородной области из этого решения следуют результаты, совпадающие с ранее полученными данными.

Ключевые слова: гидродинамическая дисперсия, конвективная диффузия, массоперенос. Keywords: hydrodynamic dispersion, convective diffusion, mass transfer.

Для описания некоторых физико-химических процессов, таких как диффузия, хроматография, миграция нейтральных радионуклидов - широко используются математические модели массопереноса, основанные на законе Дарси, то есть модели, учитывающие пропорциональную зависимость скорости потока подвижной фазы от градиента давления [1], [2]. В этой связи постановка краевых задач для указанных выше физико-химических процессов в многослойных, отличающихся по коэффициентам переноса отдельных слоев является актуальной. Общая постановка таких задач и обзор некоторых методов их решения рассмотрены в работе [3].

Гидродинамическая дисперсия - это явление переноса растворимых примесей в фильтрационных потоках. Существуют несколько подходов к изучению этого явления. В общем случае для неоднородных фильтрационных течений предложено уравнение [4], [5], [6].

ЭС Э ( до) дс

— = — D------ - v—,

dt dxt ^ dXj J dxt

Здесь С - относительная концентрация примеси, v - абсолютная величина средней скорости течения, D - коэффициент диффузии, который различен по направлениям и поэтому является тензором второго ранга, t — время, xt - пространственные координаты с

осями, приведенными к направлениям главных осей тензора D .

В работе [8] это уравнение было записано в цилиндрической системе координат в

виде:

@ Куликов А.Н., Горбунов А.К., Овчаренко И.Н., 2015 г.

dC Г э

— = v < — dt [ dr

aj +

DM

v

dC

dr

+~2 I aJJ +‘

Dm Л d2C

эе2

-+

i

v

+i au+-

d

M

v

э 2C _ эс

dz2 dr

(1)

Здесь v - абсолютная величина средней скорости, причем если течение создается совершенной скважиной, то v = Q / 2pnBr, где Q - расход жидкости (дебит скважины), B

- мощность пласта, n - пористость среды, r, е и z - цилиндрические координаты, Dm -коэффициент молекулярной диффузии, aj и ап - продольная и поперечная дисперсионности, верхний знак при первой производной соответствует расходящемуся фильтрационному течению.

Уравнение получено при следующих предположениях: пласт коллектор плоский, горизонтальный, постоянный по мощности, однородный, изотропный по проницаемости; фильтрационный поток подчиняется закону Дарси; зависимость коэффициента дисперсии от скорости принимается линейной; примесь считается нейтральной, то есть не изменяющей свойств среды; перенос массы индикатора на поверхность твердой фазы не учитывается.

Постановка задачи.

Пусть в некотором n -слойном протяженном горизонтальном пласте с растворимым основанием создается фильтрационное поле v(r) скважиной дебитом Q . Пусть также

скважина эксплуатируется достаточно долго так, что процесс растворения вещества можно считать установившимся. Требуется определить распределение концентрации по толщине пласта. Если учесть, что в направлении скорости потока доминирует конвективный перенос вещества над молекулярной диффузией, то уравнение (1) примет вид [8]

Dm Л d 2C_ dC

ajj +-

'M

_ — = 0,

v J dz2 dr

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти общее решение уравнений

ajji +

D Mi

vi J

d2C _ dC

_ — = 0,

dzt dri

(2)

удовлетворяющих условиям на границах области фильтрации и условиям сопряжения на границах слоев:

C1 (r,0) = C0, Ci-1 (^hi-1) = C (r,0),

Произведя замену x =

dCn (r, hn) = 0 dzn ’

Ci (r0, zi ) = fi (zi )

r - r0 b (r2 - r02)

А-Г 1

dC.-i (r, hi-i) = D dQ (x,0)

ЭУм

дУг

Ci (r0,zi )= f (zi ).

+ -

a

2

2a

2

, 2mBDM z , a2i h

где b =--, y = —, kt =-^L, Ht =-i-

Q

a.

2

a

1i

a0

получим следующую краевую задачу в новых безразмерных переменных

dCi э2C 2 ) (3) dCn(XHn)

—L = —2, (i = 1,2,. .,n), (3)

dxi dy2

Ci (0 у. ) = f (У),

C1 ( x,°) = C0, ’

ЭУп

= 0,

(4)

Ci-1 (x, Hi-i ) = Ci (x,°) ^

D 3C(x,H.-1 )= D d2Cj(x,0)

Di-1 X = Di Л 2 :

ЭУм dyi2

Общее решение ищем в виде

Ci (X yi ) = j, (У, ) + V, (X yi),

Функции j, (yi) есть решения соответствующих однородных уравнений при

соответствующих условиях и в данном случае j, (yi ) = Cq. Функции у, (X, yi) есть решения уравнения вида (3) при аналогичных условиях, но условие (4) принимает вид

Vi (q yi ) = fi (yi)- с0,

Применяя метод Фурье, найдем

¥

2

Vi (X yi) = X Aihe~^kX sin (Mi + jik),

k=0

Собственные числа могут быть найдены из уравнения

Ditg (mkHi-i + ji-i,k) = Di-itg (jik),

Из граничных условий

_4k +1 jj

j1k = kp, jnk = 2 P - mkHn ’

Из условий сопряжения также следует

A'-1,k = Bi-1,k, (i = 3,4,..., n), B1k = 1,

Пsin (mA + jmk) ,

Bk = *=4--------------, (i = 2,3,...,n)’

П sin (jmk )

m=1

Произвольные постоянные Ai,k определяются из условий ортогональности

собственных функций Y'k на отрезках X H,

i=1

H,

X viBik j Vi (0, у, )sin (mkyi + jik) Ф,

i=1 0

Aik =

ViBik i=1 0

Hi

X viB'k jsin2 (mky,+jik) dy,

При n = 1 получим известное [9] решение задачи о распределении концентрации в поле фильтрации одиночной совершенной скважины в однородном по мощности пласте с растворимым основанием.

Литература

1. Вигдергауз М.С. Основные факторы, определяющие скорость хроматографической миграции. Журнал физической химии, 1994, т.68, №2, с.364-365.

2. Громов В.В., Набержнева Е.П., Акиньшин В.Д. Диффузия из источника с переменной концентрацией диффузанта. Журнал физической химии, 1994, т.68, №8, с. 1525-1527.

3. Афанасенкова Ю.В., Гладышев Ю.А., Куликов А.Н. Краевые задачи двумерной модели процессов переноса в многослойных средах. Вестник Калужского университета, 2013, №3-4, с.7-

11.

4. Scheidegger A.E. Statistical Hydrodynamics in porous media. J. Appl. Phys., 1954, v.25, №8, p.9941001.

5. Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах. Изв. АН СССР, ОТН, ПММ, 1959, т^Ш, в.6, с.1042-1050.

6. Бэр Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. Москва, Мир, 1971, 451 с.

7. Гладышев Ю.А., Куликов А.Н. Некоторые задачи гидродинамической дисперсии. В кн.: Исследования по специальным вопросам гидродинамики. Москва, МГУ, 1982, с.96-99.

8. Куликов А.Н. Стационарная радиальная дисперсия в многослойных средах. Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», Орел, 2000, с.86-87.

9. Куликов А.Н. Гришина Л.В. Стационарное распределение примеси от протяженного источника в плоско-радиальном фильтрационном поле при больших скоростях фильтрации. Теоретические основы гидродинамики, Тула, 1979, с.77-83.