Статистические методы параметрического синтеза электротехнических систем по критерию запаса работоспособности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Список литературы

1. Международная конвенция МАРПОЛ 1973 г., изм. протоколом 1978 г., МАРПОЛ 73/78 / ЦНИИМФ, ООО МОРСАР. — СПб., 2008. — 760 с.

2. International Maritime Organization (IMO). MEPC.1/Circ.684. Ref. T5/1.01 // Guidelines for voluntary use of the ship Energy Efficiency Operational Indicator. — 12 p.

3. Резолюция второй конференции МЕРС ИМО // Технический кодекс по контролю за выбросами окислов азота из судовых дизельных двигателей / Гипрорыбфлот. — СПб., 2009.

4. IMO Technical File. Hyundai-MAN B&W 7S60MC-C MK7, Certified as ‘Parent engine’ // Identification/approval number Hyundai-MAN B&W 7S60MC-C-2003-03-AA1669. — Hyundai Heavy Industries Co., LTD., Ulsan, Korea, 2003.

5. International Ship Managers Association (InterManager) // Shipping KPI. Final Report. — 2009. — Vol. 1.1.

6. Система мониторинга энергоэффективности и экологической безопасности судов (S3ES-NOVOSHIP): Роспат. 2011119025/11(028140) / Зиненко Н. Н., Пруцков А. Г., Бордунов Б. В., Букарен-ко Ю. Г., Мартынович Е. С., Яременко Е. В., Панамарев Е. В.; Патентообладатель ОАО «Новошип».

УДК 658.512 А. В. Саушев,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО КРИТЕРИЮ ЗАПАСА РАБОТОСПОСОБНОСТИ

STATISTICAL METHODS OF PARAMETRICAL SYNTHESIS OF ELECTROTECHNICAL SYSTEMS BY CRITERION OF THE OPERATIONAL CAPABILITY RESERVE

В статье получены формулы, позволяющие осуществить поиск оптимальных значений первичных параметров электротехнических систем по критерию запаса работоспособности в случае априорно известных статистических данных о законах изменения этих параметров.

In article the formulas are received, allowing to carry out search of optimum values of initial parameters of electrotechnical systems in criterion of operational capability reserve in case of a priori known statistical data about laws of change of these parameters.

Ключевые слова: параметрический синтез, электротехническая система, запас работоспособности.

Key words: parametrical synthesis, electrotechnical system, operational capability reserve.

ОБЩЕМ случае задача параметрического синтеза любой электротехнической системы (ЭТС) может быть рассмотрена с позиций управления или адаптации. Установлено [1], что практически любую ЭТС можно представить в виде систе-

мы автоматического управления, состоящей из охваченного обратной связью объекта управления (ОУ), в которую включено управляющее устройство (УУ). Входными сигналами ОУ являются управляющие воздействия от УУ и воздействия у окружающей среды, а

Выпуск 4

|Выпуск4

входными сигналами УУ являются цель управления, состояние ОУ и воздействия окружающей среды. Система параметрического синтеза ЭТС — программная, аппаратная или программно-аппаратная — также может быть представлена в виде системы управления некоторым объектом (рис. 1).

Здесь ОУ является совокупностью двух блоков — блока внутренних параметров ЭТС и собственно самой системой или ее физической (математической) моделью. Такое представление ОУ подчеркивает специфику рассматриваемой задачи, указывая на изменяемые (управляемые) в процессе синтеза внутренние параметры системы X, к которым относятся параметры комплектующих элементов системы (сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, индуктивности катушек, постоянные времени, коэффициенты усиления и т. п.). Эти параметры часто называют первичными.

В качестве модели ЭТС при решении задачи синтеза на ЭВМ выступает блок анализа, то есть программа анализа работы системы или пакет прикладных программ анализа, исходными данными для которого является век-

тор изменяющихся параметров X. Блок анализа вырабатывает значения (вектор) выходных характеристик У по схеме П-отображения [2]. Необходимым условием правильной работы системы управления является получение информации о работоспособности ЭТС, то есть о принадлежности вектора У области допустимых значений Б и о степени достижения цели синтеза. Эта информация должна вырабатываться соответствующими блоками контроля. При этом система параметрического синтеза ЭТС должна стремиться к оптимизации целевой функции при обязательном выполнении ограничений. Необходимые и достаточные условия оптимума сформулированы и приведены в работе [1].

В качестве целевой функции для большинства ЭТС следует использовать запас работоспособности системы, который необходимо максимизировать [1]. Это особенно актуально для ЭТС водного транспорта, работающих, как правило, в тяжелых и изменчивых условиях эксплуатации.

Если известны статистические данные, то задачу оптимизации на максимум минимального запаса работоспособности можно

Рис. 1. Система параметрического синтеза ЭТС

сформулировать следующим образом: требуется так выбрать в процессе оптимизации значения вектора первичных параметров X, чтобы вероятность невыхода изображающей точки Y(t) или X(t) в интервале времени t е [0, T] за границы соответственно областей D или G была максимальна, то есть P(t) = P(Y е D|r £[0, Г]) ->max или

,Р(0 = .P(XeG|f е[0, Г])—» max.

Здесь G — область работоспособности, которая определяет допустимые пределы изменения первичных параметров ЭТС [1].

Известно, что значение вероятности P(t) для j-го выходного параметра может быть вычислено по формуле

= ff...f/(Xl5 Х2,... ,Xt,..., Хп, t)dXl(iX2dXn =

Gj

= Ф[^.тах|'р7.(х),/(х,0] ^-ф^|ту(х),/(х,о]

где /(X, t) = f(X1, Х2,..., Х0 ... ,Х„, 0 — совместная плотность распределения первичных параметров; ф[.] — условная функция распределения параметра Y; Pj(t) — вероятность того, что параметр Y. находится в допустимых пределах (Y , Y ).

J ' jmm’ jmax '

По аналогии может быть записана и вероятность безотказной работы ЭТС для всей совокупности выходных параметров Y = (Y

Y2, ..., Y, ..., Y ).

2’ j m'

Система будет иметь максимальный запас работоспособности в том случае, когда при плотности распределенияf(X, t) вероятность Pj (t) будет максимальна. Поэтому задача параметрического синтеза ЭТС на максимум запаса работоспособности сводится к формированию оптимальной совместной плотности распределения ее первичных параметров.

Рассмотрим процесс трансформации совместной плотности распределения при эксплуатации ЭТС с учетом ее настройки. Для этого проанализируем изменение внутренних параметров системы при ее эксплуатации.

Все виды изменения параметров комплектующих элементов системы можно разделить на обратимые и необратимые изменения, возникающие вследствие старения или

износа параметров. Причем износ и старение параметров происходят под действием разнообразных физико-химических процессов, протекающих как в самой системе, так и в окружающей ее среде [1].

Изменение параметров в процессе старения будет некоторым случайным процессом. Закон распределения параметра в начальном сечении случайного процесса (на момент времени t = t0) определяется по данным о технологическом разбросе параметров. С течением времени в результате старения изменяются как номинальное значение параметра (математическое ожидание), так и его дисперсия. Из этого следует, что случайный процесс, описывающий изменения параметров, будет нестационарным, то есть MX (t) Ф const и DX (t) Ф const. Так как первичные параметры функционально связаны с выходными параметрами системы, то, следовательно, поведение последних также описывается нестационарным случайным процессом (MY (t) Ф const и DY (t) Ф const) в соответствии с выражениями (1) или по какому-либо другому закону:

Мх (0 = t

I |0 (

Ох(0=Ог +KJ

My (t) - My +Vyt

J Л J

<*г.(0 = <*г. +KJ

где мх (0, i = 1 ,к; Му (0, j = \,m\c5x it),

(1)

г= 1 ,к; оу (^),У=1,аи — соответственно средние значения и среднеквадратичные отклонения /-го, 1 = 1 ,к первичного и /-го, у — \,т выходного параметра, изменяющиеся в функции времени.

С увеличением продолжительности эксплуатации возрастает вероятность возникновения отказа в системе. При этом если математическое ожидание Му () или, что то же самое ту (1) процесса Y является монотонно возрастающей функцией, то вероятность появления отказа системы за время 1 е [0, Т] определяется по формуле

00

Р]т (0=т\Х] (0 > у]шл] = I

у.

±]ГО№

и возрастает при увеличении времени 1. Для выполнения условия

Выпуск 4

|Выпуск4

*С ^ (*) > К е [°> Гн ]) ^ -Рудоп, где Р^) — заданная вероятность отказа, необходимо в момент времени Т пересечения кривой Р (/)

^ н ^ ^ ./откУ'

с прямой P (t) = const осуществить техничес-

.доп

кое обслуживание ЭТС. В результате настройки кривая плотности вероятностиf [Y (Т - 0)] вырождается в кривую f [Y (Тп + 0)].

Процесс трансформации совместной плотности вероятности P. (t) = const можно

.доп

записать в виде формулы

f[Yj (01 -> f\Yj(K ~ 0)] -► f\Yj(TB )] -> /17. (7; + 0)] ->

^fWjiUr- !)]->/[*} (Г„г-Щ Щ (Тиг)]—»

->Щ(Гнг + 0)], (2)

где

/[У,'(Т)] = (fH(XuT),fB(X2,T), (Х,,Т), ...,/н(Х„,Т)); Т = [>0, Гн -0, Гн, Гн +0, Ts(r-l),Tsr-0, Tsх, Гнт+ 0]. В формуле (2)

/н(х,,а/н(х,, гн +o) -

функция распределения /-го (i =1,и) параметра настраиваемого элемента в моменты времени to, Тн - 0, Тн, Тн + 0, аf(X., to), f(X, Т - 0), fX, Тн),f(X., Тн + 0) — функция распределения

/-го (г' = п + 1,&) параметра ненастраиваемого

элемента ЭТС в моменты времени t Тн - 0, Т Т + 0.

н

Если время настройки составляет малую часть по сравнению с интервалом [Г (г - 1)^Тнг], то можно считать, что рассматриваемая функция изменяется скачкообразно от значений P (Т - 0) = P до значе-

.отк н .доп

ния P (Т + 0) = P , зависящего от качества

.отк н 1

настройки. Функцию распределения параметров можно трансформировать варьированием параметров распределения.

Предположим, что закон распределения j-го выходного параметра Y. является нормальным, а его вид не меняется с течением времени. Такое предположение может привести к некоторому завышению точности оценок параметрической надежности. Рассмотрим степень влияния параметров распределения m и на вероятность P(Y < Y. < Y ) на-

rjrj jmln j jmax'

хождения выходного параметра Y. в допустимых пределах. При настройке величину mr

rj

можно варьировать путем изменения номиналов комплектующих элементов ЭТС, а вели-

чину о„ — путем изменения класса точности этих элементов, например путем замены элементов одного класса точности на элемент другого класса точности.

Для момента времени (Т + 0) при нормальном законе распределения

ґ -Шу

Р = P(Y■ < Y- < Y- )=F

г Vy mm — j — jmax /

ymax

-F

Yjrrin~mYj

где -F(*) — функция Лапласа, а в момент времени (T (r + 1) + 0):

K+i

-F

= Р(7. ■ <7. <7 )=F

Vyrran / — / max/

j max

Y■ ■ -

ymin

mv

Если при синтезе требуется, чтобы значения вероятностей Рг и Рг+1 были равны, то должно выполняться условие

Р

Gy V hr v ,

= F

7(max -mY ' у max xj(r+1) fT (v _ \ ynrin mYj<,+r)

Gy V Ij(r+l) У Gy ^ *Hr+1) у

(3)

В случае если mY = 0, Y = -3oY

J Y/r ’ jmm Y/r-,

Y = 3oY

jmax Yj

m

- , r-t = (mY - aY ) то уравнение

jr ’ Yj(r+1) JJ lJJ'

(3) примет вид F(2^) + F(4ц) ~ 2, где ц = a /

о, . Откуда находим, что ц = 1,5 или

-7(г+1)

о„ = 0,66о„ .

/Ж) Т}г

Таким образом, для нормального закона распределения /-го выходного параметра смещение математического ожидания тт относительно середины поля допуска, равного 6о,. на величину о, приводит к такому уменьше-

V

нию вероятности безотказной работы ЭТС, что для ее восстановления на прежний уровень потребуется при настройке уменьшить величину среднеквадратического отклонения в 1,5 раза.

Выбор первичных параметров с точки зрения максимизации вероятности Р() затруднен, так как при произвольной форме области

работоспособности С и произвольной функции распределенияД(Х) получить аналитическое решение задачи практически невозможно [1]. Кроме того, для точной оценки вероятности Р(/) требуется знание законов распределения значений всех значимых первичных параметров, которые для ЭТС водного транспорта, как правило, отсутствуют. Вместе с тем для конкретных систем, элементами которых являются активные и пассивные электронные элементы с известными законами изменения параметров, могут быть предложены специально разработанные алгоритмы параметрического синтеза, рассматриваемые ниже.

Параметрический синтез при нормальной плотности распределения отклонений параметров элементов системы

При расчетах вероятности безотказной работы технических систем широкое распространение получил метод критических сечений, в основе которого лежит следующее предположение. Характер случайного процесса считается таким, что для нахождения любой его реализации в области Б или в области С в течение заданного времени необходимо и достаточно, чтобы эта реализация удовлетворяла критерию работоспособности в ограниченном числе временных сечений, которые называются критическими. Анализ законов изменения первичных параметров [1] показал, что для большинства из них принятое предположение является справедливым и случайный процесс изменения параметров X можно считать монотонным. При этом в большинстве случаев для ЭТС можно использовать линейную аппроксимацию.

При монотонном характере изменения первичных параметров, для того чтобы реализация процесса У(/) в течение заданного времени Т находилась в допустимой области, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию безотказности в граничных сечениях, то есть в моменты времени / = 0 и / = Т. Таким образом, вероятность невыхода случайного вектора У за пределы области Б в течение заданного времени определится следующим образом:

РЪ{Т) = Р{У^ < 7(0) <У^аУ^< У(Т) < 7^ }. (4)

Как следует из выражения (4), при оценке вероятности безотказной работы ЭТС необходимо определить вероятность совместного выполнения двух событий. Используя теорему умножения вероятностей, получим

~ ^ (0) • , (5)

где Рг(0) — коэффициент готовности ЭТС в момент времени / = 0; Р/(Т) — условный коэффициент готовности в момент времени / = Т.

Плотность распределения /0У (0О) определяется усечением областью С исходного распределения /0 (20). Это объясняется тем, что распределение коэффициента Q0 в результате контроля работоспособного состояния ЭТС при / = 0 претерпевает изменение. Те реализации векторов, при которых система оказывается неработоспособной, исключаются. В результате в эксплуатацию попадают ЭТС, первичные параметры которых принадлежат области С. Таким образом, /оУ(бо) = {/оШ /^г(О), а еС; 0, е0 г С}.

Если вероятность Рг(0) достаточно высока, то можно допустить, что вновь полученная плотность распределения незначительно отличается от нормального распределения. При этом числовые характеристики закона распределения параметров к началу эксплуатации ЭТС соответственно для математического описания и дисперсии будут иметь следующий вид:

+СО

М1 = \ ШЖШ-

—00

+00

-со

Принимая коэффициенты Q0 и Q1 статистически независимыми, получим числовые характеристики для совместной плотности их распределения при / = Т. При этом: М = М1+М{Г — для математического ожидания, Б = £>0У+ДГ — для дисперсии.

Поскольку произвольные отклонения первичных параметров подчиняются нормальному закону распределения, то компоненты вектора математического ожидания определяют номинальные значения параметров X = т а компоненты матрицы средне-

Выпуск 4

|Выпуск4

62]

квадратических отклонении — независимые допуски на эти параметры 5. = 3о.0.

Таким образом, можно считать, что уравнение (5) с учетом полученных выражении для математического ожидания и дисперсии однозначно связывает вероятность безотказной работы, а следовательно, и минимальный запас работоспособности ЭТС с вектором номинальных значений первичных параметров.

Возьмем производную по 1-й компоненте вектора М в выражении (5):

в=®?(Ч(®да (6) д/% дт01

Решение уравнения (6) при условии гг$( «1Щ дает следующее условие максимума вероятности Рб (М0 ):

- Щ + рАмо)(?т? (т1 ~Щ )/°? = °.

Для вычисления оптимальных значений первичных параметров можно воспользоваться поисковыми методами оптимизации. Выбирая шаг поиска =Ощ/[.Рг (М0)-.РГУ(М)], получим следующее рекуррентное соотношение:

К, ]м = [>%]* +^г(м0)(°0, )2 (™? (7)

Для организации поиска оптимума по выражению (7), которое максимизирует минимальный запас работоспособности ЭТС с учетом стохастических характеристик изменения первичных параметров при производстве и эксплуатации системы, можно воспользоваться разработанным автором адаптивным алгоритмом симплексного поиска [3, с. 58-69].

Оценки вероятностей Рг(М0) и Р/ (М0), а также оценки всех числовых характеристик, входящих в уравнение (7), могут быть получены на базе имитационных моделей методом статистических испытаний. При этом по одной выборке можно оценить все входящие в выражение (7) числовые характеристики.

Параметрический синтез при произвольной плотности распределения отклонений параметров элементов системы

На практике реальный закон распределения отклонений первичных параметров ЭТС

достаточно часто отличается от нормального закона. Для решения задачи параметрического синтеза в случае произвольной плотности распределения может быть использована процедура ее разложения в ряд Эджворта.

Ограничиваясь членами ряда с центральными моментами распределения не выше четвертого порядка, то есть учитывая наиболее существенные отличия от нормальной плотности, получим одномерное разложение в виде

СХ~т)2

/(х,т,о2,у1,у2 ^=ехр ^ ' с л/ 2п

-2а2

1 + и * і 3 1 5 1 +

6 л к а ; 24 \ о )_

где у; = ц3 / о3 и у2 = [ц4 / о4) - 3] — соответственно коэффициенты асимметрии и эксцесса; т и о2 — соответственно математическое ожидание и дисперсия; Н37) = 7 - 32, И4(2) = г4 - 672 + 3 при 7 = ((X - т) / о) — полиномы Эрмита; ц3 и ц4 — центральные моменты 3-го и 4-го порядка аппроксимируемого распределения.

Разложение в ряд Эджворта удобно для случая независимых отклонений первичных параметров, так как многомерная задача синтеза распадается на ряд одномерных.

Взяв производную от плотности /(X, т, о2, У2) по математическому ожиданию т,

а также учитывая связь вероятности безотказной работы ЭТС с минимальным запасом работоспособности и плотностью /(X, /), получим

9 ч ..

Ъ

ЄР(т,о, г„Тг) 1 ,тч ^ дт а2 ' ' 2о '

- 2т ■ тну + /и2 - о2) - />н _ зт. тУн +

+ 3(т2 - о2)/Ид + За2т - т3^. (8)

Здесь введены следующие обозначения:

Р=\Г(Х, т, а2,у1, у2)<иГ; с

ту = \Х • / (х, т, а2, Уі, у2)с1Х;

Ри = \/н(х,т,а2)йХ; є

= Цх1-/я (Х, т, о2) йХ, і = 1, 2, 3;

/н (х, т, о2^=(а\1ехр[-(Х -т)2/2а2

Оптимальные значения первичных параметров ЭТС по критерию максимума минимального запаса работоспособности опреде-

ляются по выражению ГЪа

т-т1

А

р

(9)

где 01 = йг|н-2т-т1 +т -а

е2='изУн-3/и-/и2н +

+ 3 (т2 - а2) т1 + 3а2т -

т

Таким образом, при априорно известных статистических данных о характере изменения первичных параметров ЭТС получены расчетные формулы (7) и (9), позволяющие осуществить ее параметрический синтез по критерию запаса работоспособности для нормальной и произвольной плотностей распределения отклонений параметров элементов системы.

Список литературы

1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем / А. В. Сау-шев. — СПб.: СПГУВК, 2004. — 126 с.

2. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электромеханике / А. В. Саушев. — СПб.: СПГУВК, 2008. — 216 с.

3. Саушев А. В. Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2010. — Вып. 1 (5).

[63 I

Выпуск 4