Статистическая термодинамика электронно-дырочного газа в собственных полупроводниках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.75

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНОГО ГАЗА В СОБСТВЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Б.Л.Павлов, В.Н.Белко*

STATISTICAL THERMODYNAMICS OF ELECTRON-HOLE GAS IN INTRINSIC SEMICONDUCTORS

B.L.Pavlov, V.N.Belko*

Воронежский государственный университет инженерных технологий *Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, [email protected]

Теория открытых равновесных систем (систем с переменным числом частиц) применена к разделу «физика полупроводников». Найдены термодинамические характеристики электронно-дырочного газа в собственных полупроводниках. Ключевые слова: закрытые и открытые равновесные системы

The theory of equilibrium open systems (the systems with a variable number of particles) is applied to the subdicipline "semiconductor physics". Thermodynamic characteristics of electron-holt gas in intrinsic semiconductors were found. Keywords: closed and open equilibrium systems

Введение

Все термодинамические системы можно разделить на два типа: закрытые (системы с постоянным числом частиц А0) и открытые (системы с переменным числом частиц А). Теория открытых равновесных систем была развита в работах [1,2]. В них показано, что условием открытости однокомпонентной системы является равенство нулю химического потенциала ее частиц (ц = 0). Вводятся термодинамические параметры открытой системы: давление Р, абсолютная температур Т (объем V не является ее термодинамическим параметром), а также ее термодинамические характеристики, которые представляют собой плотности

F' = РУ_1, и' = иУ_1, £ ' = SV_1, N = ЫУ~\ В работе [1] показано, что все изопроцессы (изотермический, изохорический, изобарический, адиабатический), которые можно совершить в закрытых системах, осуще-

ствить в открытых системах невозможно. В открытой системе существует только один равновесный процесс Р = Р(Т), связанный с изменением числа частиц в ней при изменении ее температуры. В работе [1] выведено уравнение их состояния (равновесного процесса, происходящего в них)

dP(T)

dT

- = S (T)

(1)

в неявной форме. Вводится также понятие плотности теплоёмкости

dU '(Г)

C' (T) = -

dT

(2)

Краткий обзор применения этой теории к различным разделам физики дан в работе [3]: вырожденные идеальные бозе- и ферми-газы, равновесный с веществом фотонный газ, равновесный вырожденный фононный газ в твердых телах, двухфазная объемная и поверхностная равновесные системы.

Термодинамические характеристики электронно-дырочного газа в собственных полупроводниках

Полупроводник, в котором в результате разрыва ковалентных связей образуется равное число свободных электронов и дырок, называется собственным. Увеличение температуры полупроводника приводит к росту концентрации в нем свободных электронов и дырок. Таким образом, термодинамическая система, состоящая из электронов и дырок, представляет собой открытую систему (систему с переменным числом частиц). Электроны сосредоточены вблизи 8с, дна зоны проводимости, а дырки

— вблизи 8ц, потолка валентной зоны, следовательно, ширина запрещенной зоны гg = ес - е^. Запишем реакцию рекомбинации пары электрон-дырка: еп + ер = у, где у — фотон (у-квант), излученный электроном при переходе его из зоны проводимости в валентную зону на место, занятое дыркой. Можно показать, что для записанной выше реакции рекомбинации пары электрон-дырка не выполняются законы сохранения энергии и импульса.

Согласно теории аннигиляция пары электрон

— позитрон [4], при которой испускается только один фотон, запрещена законами сохранения импульса и энергии: должно излучаться четное число квантов (практически два). Рекомбинацию электрон — дырка в полупроводнике можно представить как аннигиляцию частицы (электрона в зоне проводимости) и античастицы (вакантного места для электрона в валентной зоне — дырки). Тогда по аналогии с аннигиляцией реакцию рекомбинации электрона и дырки следует переписать так

еп + ер = 2у. (3)

В этом случае согласно законам сохранения энергии и импульса имеем

8п + 8р = 28ус = 8g, Pу + p'у = Pn + Pp, (4)

где 8ус — средняя энергия фотона. Закон сохранения импульса в (4) выполняется, если предположить, что Pу = ^'т, и поэтому pn = Температуру образования пары электрон — дырка Тпр можно найти, полагая, что 28ус = 8^ Средняя энергия фотона согласно [5]

и л4

8 ус = и = зо С(3)—1 кТ = 2,70кТ,

(5)

где <^(3) = 1,202. Тогда Тпр = 8г(5,40к) \ Подставляя в Тпр k = 1,38-10-23Дж К-1, для кремния 8г = 1,10 эВ = = 1,76-10-19Дж [6], получим Тпр = 2,36-103 К. Учитывая, что рп = рр, можно записать

2 * —1 2 * — 1 Г * * —11 Рп(2тп) + Рр(2тр) =8п 1+тп(тр) ]. (6)

Тогда из уравнений (4) следует, что для элек-

[* * —1 "|—1 1+тп(тп) ] 8я =а8я.

Распределение Ферми [7] имеет следующий

вид

п} = £^хр[(8; — ц)(кТ)—1]+1}—1', (7)

где п) — среднее число частиц, а 8— энергия частицы в ]-м квантовом состоянии, ц — химический

потенциал частицы, g = 2s + 1, где 5 — спин частицы. Для открытых систем, как указано выше, ц = 0, поэтому полное число частиц в идеальном ферми-газе

N = Е п = Е ^£хр[8; (кТ)—11 ]+1}—1', (8) внутренняя энергия идеального ферми-газа

и = Е ^8; {ехр[в; (kT )1]+1}—1, (9)

большой термодинамический потенциал Гиббса

— ру = —gkTЕ; 1п{!+ехр[— 8; (kT)—1 ]}. (10) Суммирование в (8)—(10) по ] производится от 1 до Ж.

Согласно работе [8] число квантовых состояний частицы с модулем импульса р, движущейся в объеме куба периодичности У = L3 (Ь — длина ребра куба) в

квазиклассическом случае равно gУ(р^1)3. Учитывая, что 8 = р2(2т)—1, перепишем это число квантовых

состояний частицы в терминах е: gУ (2т8)3/2^3. Дифференцируя это выражение, получим элементарное число квантовых состояний частицы с энергией е, движущейся квазиклассически в объеме куба периодичности У = L3

-,1/2 3/2тЛ —3 1/2 1 /л 1Ч

3- 2 gm Уh 8 d8. (11)

Учитывая (11), запишем распределение Ферми в дифференциальной форме для электронов из зоны проводимости (8 = 8п)

М8п) = 3-21/2gmf2Уh-3 -exp[sn(kT)—1]+1}—4^.(12) Очевидно, что а8g < 8п < да. Введем новую переменную гп = (8п — а8g \кТ)—", которая изменяется уже в пределах 0 до да. Тогда (12) следует переписать так:

М^п) = 3 - 21/2 gУh^ъ(m*nkT )3/2 х

х{ехр^п +а8g(кТ)—11]+1} +а8g(кТ)—dzn. (13) Термодинамические характеристики газа из электронов проводимости в (8)—(10) с учетом (13) перепишутся так в терминах открытых систем:

N ' = У

ип=У

4|фп)Лп (2п)

(14)

(15)

Рп = 3-21/2 gh-ъ(m*nkT )3/2 кТ-£°1п{1+ехр[—8(2п )(кТ)—1]}х

х[2п + ТТ ^^п, (16)

где 8^п) = кТ\рп + Т0Т. Здесь введено обозначение а8= Т0. Ввиду сложности полученного в (13)

распределения мы ограничимся рассмотрением только двух предельных случаев: Т <<Т0 (низкие температуры) и Т >> Т0 (высокие температуры). В

случае низких температур можно сделать следующие приближения

2„ + ТТ—1 и ТТ—1,

(17)

{ехр[гп + ТТ _1]+1}—1 и ехр(—Т *Т~>)ехр(—2п). (18)

Тогда распределение в (12) принимает следующий вид

$п(2п) = А(Т )ехр(^

(19)

где

А(Т) = 3-21/2 gVк'3k 2(т*)3/2Т01/2-Т ехр(-Т *Т-1). (20) Уравнения (14)—(16) можно переписать так

к (Т) = V чА(Т)рхр(-2п )йхт (21)

П'п(Т) = V ЧА(Т )кТ * ^ехр(-2п^2т (22)

Рп(Т) = kTV -1А(Т )|ехр(-2п )йхп. (23)

Интеграл J ехр(-гп)<гп = 1, следовательно, мы

имеем следующую систему уравнений

Кп (Т) = А(Т)V-1,

I I

Пп (Т)=кТ * Кп (Т),

(24)

(25)

Рп(Т) = ШТ.Кп (Т). (26)

Уравнение (26) представляет собой уравнение состояния идеального газа из электронов, находящихся в зоне проводимости при низких температурах. Это уравнение является аналогом уравнения Клапейрона—Менделеева PV =К^Т для открытой системы. Заметим, что переписать уравнение (26) в виде уравнения Клапейрона—Менделеева для закрытой системы Рп(ТV = ¥ТКп(Т) уже нельзя, так как в открытых системах объём V не является термодинамическим параметром. Для оценки плотности электронов проводимости при низких температурах по-

1

20'

ложим в (24) к = 6,62-10-34 Дж с, Т = — Тпр, g = 2, так

температуре Т =—Тпр величина Ып резко возраста-

как спин у электрона равен -2, т* и те = 0,911-10 30 кг,

где те — масса свободного электрона. Подставляя

эти данные в (24), получим Кп и 40 м . Очевидно, что при такой температуре о газе из электронов проводимости говорить не приходится. Однако уже при 1 10

ет и становится равной 4-1013м-3. Плотность энтропии газа из электронов проводимости при низких температурах можно найти из уравнения (1)

Sn (Т) и ^0Т-1Мп (Т). (27)

Плотность теплоемкости газа из электронов проводимости при низких температурах найдем из уравнения (2)

С,п (Т) и k (Т0Т-1)2 .п (Т). (28)

По физическим соображениям рассмотрение термодинамических характеристик газа из электро-

г г г г

нов проводимости Ып (Т), ип (Т), Sn (Т), Сп (Т),

Рп(Т) при высоких температурах (Т >> Т0Т-1) не имеет смысла. Действительно, при высоких температурах величина Т должна быть, крайней мере, равна 10Тпр = 2,36-104 К. Однако при такой темпера-

туре полупроводник из кремния расплавится. Очевидно, что вероятность существования электрона в зоне проводимости с энергией е равна

рп (е) = {exp[s(kT )-1]+1}- . Тогда вероятность его отсутствия в валентной зоне, т.е. существования дырки в валентной зоне [9] равна

Рр (е) = 1-Рп (е) = {ехр[-е^Т)-1]+1}-1. (29) Из сравнения рр (е) и рп (е) следует, что энергия дырки е < 0. Так как взаимодействие дырок с чем-либо мы не учитываем, то эта энергия дырки представляет собой только кинетическую энергию 2 т*рир.

Следовательно, 1трир < 0, что возможно, когда

*

тр < 0. Удобнее ввести вместо дырки в валентной

зоне некую квазичастицу с положительными массой и энергией. Физически это означает, что она, как и электрон, находится в зоне проводимости. Тогда согласно (12) для дырки с положительной энергией, находящейся в зоне проводимости, можно записать

<п(е р) = 3- 21/2 gm*l2Vк— -{ехр[е ^Щ^+^е^^е р. (30)

Для собственных полупроводников число дырок и электронов должно совпадать, поэтому Ыр = Кп. Отсюда следует, что для собственных полупроводников тр = т*. Последнее означает, что все результаты,

которые были получены выше для электронов, находящихся в зоне проводимости, также справедливы и для дырок с положительными массой и энергией, находящихся в этой же зоне, т.е. мы можем записать,

1111

что при низких температурах Пп = Пр , Sn = Sp ,

> >

Сп = Ср , Рп = Рр . Как известно [9], плотность тока ]

связана с напряженностью электрического поля Е следующим образом

] = стЕ = (Стп +стр)Е = (СТпЦпКп + стрЦрКр)Е, (31)

где Цп = е^п (т*)-1, Цр = ерХр (т*)-1. Здесь Цп и цр — подвижности электронов и дырок, стп и ст р — проводимости электронов и дырок, тп ихр — времена свободных пробегов электрона и дырки, еп = ер = е,

где е — заряд свободного электрона. Учитывая, что Кп = Кр = К, уравнение (31) можно записать так

] = е(Цп +Ц р )К (Т )Е, (32)

**

где с учетом того, что g = 2, тп = тр = те,

К(Т) = 6-21ПИ-\тет1/2к1 -Т0Т ехр(-Т V1).

Заключение

В работах [6,9] приводится другое выражение для плотности числа электронов из зоны проводимости

К (Т) = 4^lh-ъ(2m*n)ъ!2^^{expi(е-ц)(kTrl][-1}'l(е-еc)l12dе =

= 4%к~ъ(2т*{Т )3/2 £°[ехр(х-§) + 1]-1х1/2<х, (33) где х = (е-ес )(kT)-1, (ц-ес )(kT)-1 Величина

Ф1/2© = £ехр(х — + Ц-1х11^х (34)

носит название интеграла Ферми—Дирака порядка 1/2, а величину называют приведенным уровнем Ферми—Дирака. Но электронно-дырочный газ в полупроводнике представляет собой открытую систему (систему с переменным числом частиц), следовательно, химический потенциал дырок и электронов равен нулю (ц р = цп = 0). Нетрудно видеть, что для открытых систем такие понятия, как приведенный уровень Ферми—Дирака и интеграл Ферми—Дирака порядка 1/2, просто не существуют. Полагая в (33) цр Ф 0,

авторы рассматривают электронный газ в полупроводниках уже как закрытую систему (систему с постоянным числом электронов N0), но тогда, очевидно, бессмысленно вводить величину N(Т), зависящую от температуры.

1. Павлов Б.Л., Белко В.Н. Уравнение состояния открытых систем. Воронеж: ВИСИ, 1993. Деп. в ВИНИТИ 29.06.93. №1792-В93.

2. Павлов Б.Л., Белко В.Н. Термодинамика открытых систем // Тезисы докл. XXXIV науч. внутривузовской конф. Воронеж, 1993. Т.3. С.34.

3. Павлов Б.Л., Белко В.Н. К теории открытых систем // Научный вестник. Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. 2012. №5. С.33 .

4. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с.

5. Павлов Б.Л., Белко В.Н. Спектральные и интегральные законы излучения. Воронеж: ВГАСУ, 2011. Деп. в ВИНИТИ 5.05.11. № 209-В2011.

6. Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа, 1969. 592 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Статистическая физика. T.V. Ч.1. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

8. Павлов Б.Л., Белко В.Н. Связь между квазиклассическим и квантовым фазовыми пространствами частицы. Воронеж: ВИСИ, 2011. Деп. В ВИНИТИ 15.01.11. №293-В2011.

9. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергия, 1976. 616 с.

References

1. Pavlov B.L., Belko V.N. Uravnenie sostoianiia otkrytykh sistem [State equation for open systems], Voronezh, Voronezh. Gos. Inzhen.-Stroit. Institut, 1993, Dep. in VINITI 29.06.93, N1792-V93.

2. Pavlov B.L., Belko V.N. Termodinamika otkrytykh sistem [Thermodynamics of open systems]. Tezisy dokladov XXXIV nauchnoi vnutrivuzovskoi konferentsii [Proc. of the 24th In-house Scient. Conf. of Voronezh State Technical Institute], vol. 3. Voronezh, 1993, p. 34.

3. Pavlov B.L., Belko V.N. K teorii otkrytykh sistem [Toward a theory of open systems]. Nauchnyi vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Seriia: Fiziko-khimicheskie problemy i vysokie tekhnologii stroitel'nogo materialovedeniia, 2012, no. 5, p. 33.

4. Kireev P.S. Fizika poluprovodnikov [Semiconductor physics]. Moscow, "Vysshaia shkola" Publ., 1969. 592 p.

5. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar' [Encyclopaedic Dictionary of Physics]. Moscow, "Sovetskaia entsiklopediia" Publ., 1983. 928 p.

6. Pavlov B.L., Belko V.N. Spektral'nye i integral'nye zakony izlucheniia [Spectral and integral laws of radiation]. Voronezh, Voronezh. Gos. Arkhit.-Stroit. Universitet, 2011, Dep. in VINITI 5.05.11, N209-V2011.

7. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaia fizika. Statis-ticheskaia fizika [Theoretical physics. Statistical physics], vol. 5, part 1. Moscow, "Fizmatlit" Publ., 2005. 616 p.

8. Pavlov B.L., Belko V.N. Sviaz' mezhdu kvaziklassicheskim i kvantovym fazovymi prostranstvami chastitsy [Relations between quasi-classical and quantum phase spaces of a particle], Voronezh, Voronezh. Gos. Arkhit.-Stroit. Universitet, 2011, Dep. in VINITI 15.01.11, N293-V2011.

9. Shalimova K.V. Fizika poluprovodnikov [Semiconductor physics]. Moscow, "Energiia" Publ., 1976. 616 p.