CC BY
22
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ BUILDING CONSTRUCTIONS
УДК 624.074.3: 624.046
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ КИРПИЧНОЙ КЛАДКИ
Корзон С.А., Калдар-оол А-Х.Б.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, Санкт-Петербург
STATISTICAL EVALUATION OF STRENGTH PROPERTIES BRICWORK
Korson S.A., Kaldar-ool A-H.B.
St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering,
St. Petersburg
Обследуются прочностные свойства кирпичной кладки, полученные в результате n испытаний. При определении прочности кладки в отдельных участках она не соответствует проектному значению. В результате естественного разброса прочность кладки оказывается либо больше, либо меньше проектного значения. При проведении обследований возможно два подхода к оценке прочности кладки: оценка по среднему значению прочности кладки и оценка, базирующая на статистической основе.
Ключевые слова: кирпичная кладка, прочность, статистическая оценка, распределение Гаусса, распределение Стьюдента, выборочная дисперсия, среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал.
Examined, strength masonry resulting n trials. In determining the strength of masonry in some areas it does not match the design value. As a result of natural variation strength of the masonry is either more or less than the design value. In surveys, there are two possible approaches to assessing the strength of masonry: Rating the mean strength of masonry and estimates based on a statistical basis.
Key words: masonry, strength, statistical estimation, Gaussian distribution, Student distribution, sample variance, standard deviation, confidence interval.
Для определения несущей способности кирпичной кладки были проведены обследования прочностных свойств элементов кладки. В результате n испытаний получены данные выборки R\, R2,..,Rn кирпича и раствора, из которых состоит кладка. В ряде случаев опытные данные подвергают дополнительной вероятностной обработке, имеющей целью оценить достоверность полученных результатов.
Рассматривая R\, R2,...,Rn как независимые случайные величины, можно найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического
Тувинский государственный университет_
распределения. Это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра. Для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция (среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины):
1 п Я
Ят = -(Я- + Я2 +...+Я„) = Х Я = а . п 1=- п
Для оценки неизвестного параметра недостаточно указать центр группирования случайной величины: нужно знать еще масштаб рассеивания значений около этого центра. Для этого вводят понятие дисперсии.
Если все значения Я,Я2,...,Я признака выборки объема п различны, то среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака Я от их среднего значения Ят (выборочная дисперсия):
~п 2"
X (Я1 - Ят )
1 =1
п
При выборке малого объема следует пользоваться интервальными оценками. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у. Надежность обычно задают у<1, равную 0.95, 0.98, 0.99. Для решения задачи воспользуемся распределением Гаусса, которое используют при больших выборках, и распределением Стьюдента.
Оценим истинное значение измеряемой величины с надежностью у при помощи выборочной средней Я .
Параметры распределения Ят: М(Ят ) = а, а(Ят).
Потребуется, чтобы выполнялось соотношение:
Р(\Ят - а <5 = Г ,
где 5 - точность оценки.
Воспользуемся формулой:
Р(|Я - а\ <5) = 2ф{^
Рассмотрим правую часть формулы. Для определения вероятности -Р(а<Я<в) нахождения в интервале (а, в) случайной величины Я приходится вычислять определенный интеграл вида:
Р(а < Я <Р) = | /(х)&.
Пусть случайная величина Я распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Я примет значение, принадлежащее интервалу (а, в), равна:
в
а
i р JR-a)z
Р(а< R <р) =—^ J е 2<j2 dx, о\12п а
где е - основание натуральных логарифмов, а2 - постоянная величина, называемая дисперсией распределения.
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми
x-a
таблицами. Введем новую переменную Z =-. Отсюда
а
X = az + a, dx = adz. Находим новые пределы интегрирования. Если
a-a В-a
X = а, то Z =-; если X = р, то z = --.
а а
Таким образом, имеем:
р-a р- a
i j'zJL 1 0 -(zL i J_zJL
Р(a < R <р) = —^ f е 2 (adz)=^= f е 2 dz + -,= f е 2 dz =
a-a a a
р— a a—a
.— J е 2 dz— — J е 2 dz. Л/2п 0 л/2п J0
Пользуясь функцией Гаусса:
i X _(z)2
Ф(х) = ^= J е 2 dz
\/2л;
Это распределение впервые получено французским математиком А.М. Муавром в 1733 г., затем немецким оптиком И.Г. Ламбертом в 1765 г. и детально изучено французским математиком П.С. Лапласом в 1795 г. и немецким математиком К.Ф. Гауссом в 1821 г.
Функция Гаусса - нечетная, и окончательно имеем формулу ( ), заменив
Rm через R, и с (среднеквадратическое отклонения) через с(Rm)
in
получим:
P(\R,-a\ <S) = 2Ф -— = 2ФЦ)
V у
5-л/й „ где t =- - случайная величина.
ст
Найдя из последнего равенства 5 = t ^^, можем написать:
4п
Р(\ЯI -а| < t СТ) = 2Ф(0 . ып
a
a
Тувинский государственный университет_
Приняв, что вероятность Р задана и равна у, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через Я ):
Р(Я -га<а<Я + ) = 2Ф(г) = у.
\т т ' \ / к
Л/п \\п
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно
утверждать, что доверительный интервал ( я - г ° Я + ) покрывает
т I ' т I
л/п л/п
- О
неизвестный параметр а, точность оценки 5 = г-.
а
Случайная величина ^ определяется из равенства 2Ф(г) = —, или
Ф( г) = —, по таблице функции Гаусса.
Оценим истинное значение измеряемой величины с надежностью у при помощи доверительных интервалов.
По данным выборки можно построить случайную величину V.
Т_Ят -а.
л[п
Закон распределения этой величины называется ^ - распределением или распределением Стьюдента с к = п — 1 степенями свободы; Я - выборочная средняя;
2
У(Я. — я )
^ _ 1 ы ' т - «исправленное» среднеквадратическое отклонение;
п -1
п - объем выборки.
Плотность вероятности величины Т имеет вид:
Э(г,п) = Вп
1 + ±-п -1
п
2
ГI п | , г
где у 2) - зависит только от к и выражается с помощью Г -
функции.
Отсюда видно, что распределение Стьюдента определяется параметром п -объемом выборки (или числом степеней свободы к=п-1). Эта особенность
п
является его большим достоинством. Поскольку s(t, п) - четная функция от t,
вероятность осуществления неравенства
определяется так:
<у
р
Л
Ят-а < г
£
V л/и
У ,п
= 21 = у
Гу,п - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора доверительной вероятности Р и числа измерений п.
Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:
ря <а<я +
Л -г
= у
Пользуясь распределением Стьюдента, нашли доверительный интервал £ £
_ Я +г_, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью у.
т / ' т /
л/п л/п
По таблице, по заданным п и у, можно найти t1.
Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (п<30), в особенности для малых значений п, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно - к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки.
Из таблицы 1 видим, что при малых выборках доверительный интервал найденный распределением Стьюдента изменяется, а распределение Гаусса дает один и тот же интервал при разных выборках, т. е. доверительный интервал в последнем случае оказывается более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.
Таблица 1
Я
а
£
п
п, при надежности у=0.95 Распределение Стьюдента Г Распределение Гаусса Г
4 2.77 1.96
12 2.23 1.96
Находим истинные значения (прочность) кирпича и раствора, пользуясь распределениям Стьюдента и Гаусса:
Число выборок п Распределение Стьюдента Распределение Гаусса
Як Яр Як Яр
4 5.603 1.636 6.283 2.115
12 6.587 2.106 6.684 2.169
Тувинский государственный университет
Из результатов видно, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал). Это вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что при малой выборке получаем меньший разброс значений и большую плотность распределения. Распределение Стьюдента в нашем случае значительно отличается от нормального распределения, если пользоваться формулой для большой выборки (в нашем примере становится весьма обманчивым).
Библиографический список
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. 1-е изд., доп. М.: «Высш. школа», 1972. 308 с.
2. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений: учебное пособие для высших технических учебных заведений/ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский - 2-ое изд., испр. и доп. М.: «Наука», 1965. 512 с.
Bibliograficheskiy spisok
1. Gmurman, V.Ye. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika: uchebnoe posobie dlya vuzov/ V.Ye. Gmurman. 1-e izd., dop. M.: «Vyssh. shkola», 1972. 308 s.
2. Smirnov, N.V. Kurs teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistiki dlya tekhnicheskikh prilozheniy: uchebnoe posobie dlya vysshikh tekhnicheskikh uchebnykh zavedeniy/ N.V. Smirnov, I.V. Dunin-Barkovskiy. 2-oe izd., ispr. i dop. M.: «Nauka», 1965. 512 s.
Корзон Сергей Александрович - кандидат технических наук, доцент кафедры Городского хозяйства, землеустройства и кадастров Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, г. Санкт-Петербург.
Калдар-оол Анай-Хаак Бугалдаевна - аспирант кафедры городского хозяйства, землеустройства и кадастров Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, г. Санкт-Петербург, E-mail: [email protected].
Korson Sergey - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Urban Development, Planning and Inventory of St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, St. Petersburg.
Kaldar-ool Апау-Наак - graduate student of Urban Development, Planning and Inventory of St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, St. Petersburg, E-mail: [email protected].
