CC BY
0STANDART EMES OLIMPIADA MÁSELELERIN SHESHIW HAQQÍNDA
Satniyazova Indira Qaniyaz qizi
Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, student
Yusupov Muzaffar Alliyar uli Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, student Boranbaev Orazgali Baxtibay uli
Qaraqalpaq mámleketlik universiteti, student
ARTICLE INFO__ABSTRACT
Qabul qilindi: 05-February 2024 yil Bul maqalada standart emes olimpiadaliq xarakterdegi
Ma'qullandi: 08- February 2024 yil maseleler uyrenilgen. Nashr qilindi: 12- February 2024 yil
KEY WORDS
kvadratliq ushagzali, apiwayi san, oyinlar..
Respublikamizda matematika iliminiñ hár tárepleme rawajlaniwi menen mekteplerde matematika iliminiñ tiykarlarin úyreniwge úlken talaplar qoyilmaqta. Sonliqtan mektepte oqiwshilardiñ matematikaga qizigiwshiligin rawajlandiriw hám jas matematikaliq talantlilardi tárbiyalaw maqsetinde hár túrli klastan tis jumislar ótkerilmekte. Olardan matematikaliq hár qiyli dógerekler, kesheler hám olimpiadalar misal bola aladi. Matematika boyinsha ótkerilgen klastan tis jumislardiñ tabislarin kóriw, uliwma qizigiwshiliq tuwdiriw
hám jas matematikaliq talantlilardi aniqlap, óz waqtinda
olarga bilimlerin sinaw maqsetinde ótkeriw dástúrge aynalgan. Soniñ
respublika mektepleri arasinda hár jili olimpiadalar tiykarinda bul maqalada standart emes olimpiadaliq xarakterdegi máselelerdi úyrenemiz. Endi bir neshe standart emes olimpiada máseleleri boyinsha misallar qarastiramiz.
1-misal. Stoldiñ ústinde úsh quti ruchka bar. Birinshi qutida 5 ruchka, ekinshisinde 49 ruchka, al úshinshisinde 51 ruchka bar. Tómendegi eki operaciya- ga ruxsat etiledi:
(i) qálegen eki qutini birewine biriktiriwge boladi;
(ii) Ruchkalar sani jup bolatugin qálegen qutini eki birdey qutiga bóliwge boladi.
Tek usi operaciyalardi orinlaw arqali ruchkalardi hár qaysisinda bir ruchkadan turatugin qutilarga bóliwge boladi ma?
Sheshiliwi. Hár bir qutidagi ruchkalar sani taq bolganliqtan aldi menen eki qutidagi ruchkalardi qosamiz. Múmkin bolgan barliq jagdaylardi qarastiramiz:
1-jagday. 5 ruchkasi bar hám 49 ruchkasi bar qutilardagi ruchkalardi qosamiz. Sonda 54 ruchkasi bar hám 51 ruchkasi bar qutilar payda boladi. Hár bir eki qutidagi ruchkalar sani 3 ke bólinedi. 3 penen 2 sanlari ózara ápiwayi sanlar bolganliqtan, keyingi operaciyalardan tek 3 ke bólinetugin sanlari bar qutilar kelip shigadi. Yagniy, 3 ruchkadan turatugin qutilardi 1 ruchkadan turatugin qutilarga bóle almaymiz.
2-jagday. 5 ruchkasi bar hám 51 ruchkasi bar qutilardagi ruchkalardi qosamiz. Sonda 56 ruchkasi bar hám 49 ruchkasi bar qutilar payda boladi. Hár bir eki qutidagi ruchkalar sani 7 ke bólinedi. Yagniy joqaridagi jagday boyinsha, operaciyalardi jalgastiriw waqtinda qutilardagi ruchkalar sani 7 den kem bola almaydi. Sonliqtan bul usil menen de, ruchkalardi qutilarga birewden bóle almaymiz.
3-jagday. 49 ruchkasi bar hám 51 ruchkasi bar qutilardagi ruchkalardi qosamiz. Sonda 100 ruchkasi bar hám 5 ruchkasi bar qutilar payda boladi. Hár bir eki qutidagi ruchkalar sani 5 ke bólinedi, yagniy bul usilda da 1 ruchkadan turatugin qutilarga bóliwge bolmaydi.
Juwabi. Bolmaydi.
2-misal. natural sanlari berilgen bolsin. Qálegen eki a hám a
(i < j) sanlari ushin ai + a., afij hám at — a sanlari jazip alinadi. Jazip alingan sanlardiñ
ishinde eñ kóbi menen neshe san taq san boladi?
Sheshiliwi. sanlarimizdiñ ishinde k dana taq san bolsin, demek
2022 — k dana jup san bar. a¡ + a. hám
a;— a.
sanlari taq san boladi, eger birewi jup,
ekinshisi taq san bolganda, demek, hár usinday sanlardiñ ishinde taq sanlardiñ sani £(2022 — k) dana ekenligi kelip shigadi. Al aflj sani taq san boladi, eger hár bir san taq san
bolganda, demek, usinday sanlardiñ ishinde k{k — V) dana sanimiz taq san boladi. Demek, barligi bolip
2^(2022+ =
8087 2
k.
Bul añlatpani k
____ 8087
max
2 a
ga baylanisli kvadratliq úshagzali retinde qarastiramiz.
i ,, ... 80872
, demek, eñ úlken mánisi
Onda
2724982,04 ekenligi kelip shigadi.
6 24
Demek taq sanlardiñ sani eñ kóbi menen 2724982 boladi hám bul k = 1348 bolganda onnli boladi.
Juwabi. 2724982.
3-misal. Doskada 1,2,3,...,/? sanlari jazilgan («> 2). Hár minutta doskadan eki san
óshirilip, olardiñ ornina qosindisiniñ eñ kishi ápiwayi bóliwshisi jaziladi. Solay etip, aqirinda tek gana 97 sani qaldi. n sani eñ kemi menen neshege teñ boliwi múmkin?
Sheshiliwi. Doskada 97 sanin payda etiw ushin doskadagi sanlar qosindisi 97 saninan kishi bolmawi kerek. Demek,
1 + 2 + 3 + ... + « =
n(n +1) 2
>97 =>■ «>14.
Endi doskadagi sanlar qosindisi taq san ekenligin dálilleymiz. Eger biz tañlagan eki sanniñ qosindisi jup san bolsa, onda olardiñ ornina 2 sanin jazamiz. Eger biz tañlagan eki sanniñ qosindisi taq san bolsa, onda olardiñ taq sandi jazamiz. Yagniy biz jup sanniñ ornina jup sandi, taq sanniñ ornina taq sandi jazip atirmiz. Demek, biz doskada 97 sanin payda etiw ushin doskadagi sanlardiñ qosin-disi taq san boliwi kerek. Onday bolmasa aqirinda doskada 2 sani payda boladi.
n —14 bolmaytuginligin dálilleymiz. Meyli n —14 bolsín dep uygara-miz. Biz 97 sanin payda etiwimiz ushin qandayda bir bir taq san hám jup sanlar-dan paydalaniwimiz kerek. Yagniy hár bir qádemnen keyin ápiwayi san payda etiw arqali maqsetimizge tez erisemiz. Biraqta biz doskada eñ kóbi menen 13 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 2 + 2 + 2 = 75
payda etiwimiz múmkin tek gana. Bunda aqirgi eki sanlarin 1, 3, 5, 7, 9, 11 sanlari payda etken. Demek, n = 14 bolganda másele sheshimge iye emes.
n — 15 hám n — 16 da doskadagi sanlar qosindisi jup san boladi. Demek bul jagdaylarda 2-qádemge qayshi keledi. Demek, n > 17 .
n = \l da bolmaytuginligin dálilleymiz. n = \l bolganda 17 den kishi bolgan barliq jup sanlar qosindisi 72 ge teñ. 17 den kishi bolgan taq sanlar jubi menen tórt dana eki sanin payda etedi:
(1;3) - 2, (5;7) - 2, (9;11) - 2, (13;15) - 2.
Demek biz 17, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 2, 2, 2, 2, 2 sanlarin izbe-iz qosiw arqali 97 sanin payda etip bolmaytuginligin dálilleymiz. Process 17 saninan baslanadi hám hár bir qádemde ápiwayi san payda etiw kerek. 17 den 97 ge shekemgi bolgan ápiwayi sanlar arasinda ayirmasi 2 ge teñ bolgan ápiwayi sanlar besew hám olar tómendegi jupliqlar:
(17; 19), (29; 31), (41; 43), (59;61), (71; 73).
Demek, biz qosindimizda usi sanlardi payda etemiz hám ekilerdi usi sanlar arasina qoyamiz. Endi tómendegi sanlardi qaraymiz:
(19; 29), (31; 41), (61; 71).
Bul sanlar arasindagi ayirma 10 ga teñ. Demek, bizge qosindisi 10 ga teñ úsh san kerek. Biraq bizde tek gana eki dana 10 sam bar. Demek, n = \l bolganda da payda etip bolmaydi eken.
Meyli /7 = 18 bolsín. Dáslep (3;5), (7;9), (11;13), (15; 17) jupliqlan-nan tórt dana eki sanin payda etemiz. Bunnan soñ tómendegishe jol tutamiz: (1;2) - 3, (3;2) - 5, (5;2) - 7, (7;4) -11, (11;2) -13,
(13;6) 19,(19;10)-»• 29, (29;8) 37, (37;16)-»• 53, (53; 14) 67, (67; 12) 79, (79; 18) -»• 97. Juwabi. w = 18.
Paydalanilgan ádebiyatlar dizimi:
1. Hayk Sedrakyan, Nairi Sedrakyan. «The Stair-Step Approach in Mathematics». Springer International Publishing AG 2018.
2. Н.В.Горбачев. «Сборник олимпиадных задач по математике». Москва, 2023.
3. MayiT Ырысбек, Нарбаев Бакдэурен, К^айсарулы 9piH, брлеу Наржол. «Математика пэншен ауданды^ кезецiнiц тапсырмалар жинагы». Астана, 2018..
