Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 4. С. 48-57

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 512.54

Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два

А. И. Ковыршина

Восточно-Сибирская государственная академия образования

Аннотация. Настоящая работа посвящена нахождению всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах ранга 2 и ступени 12.

Ключевые слова: нильпотентные группы, автоморфизмы, неподвижные элементы.

Стабильными элементами называются элементы группы, которые неподвижны при всех ее автоморфизмах. Вопрос о существовании стабильных элементов в свободных нильпотентных группах был поставлен А. Мясниковым в электронном проекте MAGNUS1 (вопрос N1):

Пусть G — свободная нильпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g € G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?

В 1998 году отрицательный ответ на этот вопрос получен В.В. Блудовым в работе [1], в которой доказано, что в свободных нильпотентных группах ранга 2, ступени 4k, k ^ 2 существуют нетривиальные стабильные элементы. В 2001 году A. Папистас [6] и E. Форманек [5] привели общую классификацию свободных нильпотентных групп, в которых существуют нетривиальные стабильные элементы. Конкретные примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 2 представлены в работах [1] и [2].

В основном мы используем стандартные обозначения (см. книги [3, 4]). Элементы, неподвижные относительно внутренних автоморфизмов образуют центр группы, поэтому все рассматриваемые нами элементы

1 http://www.grouptheory.org/group-theory.org/projects-and-problems

1. Обозначения и предварительные сведения

лежат в центре. В связи с этим, для умножения элементов используем знак +, даже если умножение некоммутативно. Определение базисных коммутаторов можно найти в [4].

F2 — обозначает свободную группу ранга 2, F2,12 — свободную ниль-потентную группу ранга 2 ступени нильпотентности 12, AutF2 — группу всех автоморфизмов F2, IA(F2) — группу всех IA-автоморфизмов, т.е. автоморфизмов, которые действуют тождественно на фактор-группе F2/[F2, F2].

В нашей работе рассматривается группа F2,12 со свободными образующими a, b. Так как Aut(F2)/IA(F2) ^ Aut(F2/[F2, F2]) ^ SL2(Z), то можно ввести обозначения для следующих автоморфизмов группы F2,12:

^12 : а ^ а + Ь, Ь ^ Ь; ^ ^

^>21 : а ^ а, Ь ^ а + Ь; (

Чтобы проверить является ли элемент д Є ^2,12 стабильным, необходимо и достаточно проверить, что д неподвижен относительно автоморфизмов ^>12 и ^21-

В группе ^2,12 все базисные коммутаторы веса 12 порождают центр. Все такие базисные элементы разобьем на классы коммутаторов одного и того же вида.

Введем обозначения для расположения скобок в базисных коммутаторах (видах коммутаторов). Считаем по определению, что все левонормированные базисные коммутаторы [х1,..., хт] веса т, где х1,..., хт Є {а, Ь}, имеют вид (т). Пусть т — коммутатор вида (к), і = 1, ...,з. Тогда считаем, что коммутатор [п1,..., п3] имеет вид (Н1,..., к3). Через Ы1 обозначим множество базисных коммутаторов вида (12), Ы2 — множество базисных коммутаторов видов (й1,й2), где Н1 + к2 = 12 и Н1 > к2 > 1. Далее, рассмотрим следующие виды коммутаторов:

51 = (8, 2, 2); $2 = (5, 2, 5); £3 = (7, 2, 3); £4 = (6, 2, 4);

$5 = (6, 3, 3); 5б = (3, 3, 6); £7 = (4, 2, 6); 5з = (4, 4, 4);

5д = (6, 2, 2, 2); 510 = (4, 2, 2, 2, 2); 5П = (4, 3, 5); $12 = (3, 2, 2, 5);

513 = (5, 2, 2, 3); 5М = (3, 2, 2, 2, 3); 5x5 = (5, 3, 4); 5ха = (3, 2, 3, 4);

517 = (4, 2, 3, 3); 518 = (3, 3, 3, 3); 5ю = (4, 2, 2, 4);

520 = ((4, 2), (4, 2)); 521 = ((6,1), (3, 2)); 522 = ((4, 3), (3, 2));

523 = ((5, 2), (3, 2)); 524 = ((3, 3), (4, 2)); 525 = ((3, 3), (3, 3));

526 = ((3, 2, 2), (3, 2)).

Через Дj обозначим множество базисных коммутаторов вида 5j. Таким образом, все базисные коммутаторы разбиты на 28 множеств, два из которых мы обозначили через М1 и М2, остальные через Дj, І = 1,..., 26.

Количество элементов в множестве А? обозначим через т?. Введем

(?)

обозначения для линейной комбинации элементов щ из А?. Зафиксируем набор т(?) = (т?..., т?) целочисленных коэффициентов и через и? (т(?)) обозначим линейную комбинацию всех коммутаторов и? принадлежащих А?, взятых с коэффициентами из последовательности тто есть:

и?(т(?^) = Е т^и? где и? € А?, j = 1,..., 26. (1.2)

г=1

2. Общая схема нахождения стабильных элементов

Рассмотрим автоморфизм ^>12, действующий на группе ^2,12. Под действием ^12, базисный коммутатор и переходит в сумму и + ЭД1 + ^2 + +

^4 +^5 +адв, где Wk (к = 1,..., 6) — линейная комбинация коммутаторов, полученных из и, заменой к вхождений образующего а на Ь. Коммутаторы V?, входящие в линейную комбинацию Wl, могут потерять базисный вид, поэтому их необходимо преобразовать в базисные V? = г?д +г?,2, где V?, 1 — линейная комбинация базисных коммутаторов такого же вида что и у коммутатора и, а г?,2 — линейная комбинация остальных базисных коммутаторов на которые раскладывается V?. Тогда,

6

и^21 = и + ^3 ? + Е ? + Е ^ (2.1)

? ? «=2 Если и = 5^ щ — линейная комбинация базисных коммутаторов одного вида, то подставляя в (2.1) и = и и суммируя с коэффициентами mi получим, что

и^21 = и + ^2 miVi,j,l + ^2 т^;?;2 + Е miWi,s (2.2)

i,j i,j ^5

Второе слагаемое запишем в виде

Ет^д = Е т к гк, i,j

приведя подобные. Таким образом, тк являются линейными формами от mi. Аналогичные формулы получаем для автоморфизма ^>21.

Множества коммутаторов, входящих во 2-е и 3-е слагаемые в (2.2), определены базисными коммутаторами разного вида, а значит, не пересекаются. Необходимым условием стабильности элемента является равенство нулю второго слагаемого, т.е. все коэффициенты тк равны

нулю. Если система уравнений шк = 0 относительно неизвестных шг имеет единственное нулевое решение, то элемент и является тривиальным. Если Ші = 0, то подставим их значения в третье слагаемое в (2.2). Если в результате подстановки это слагаемое обратится в ноль, то и является кандидатом на стабильный элемент. В противном случае, к и необходимо добавить линейную комбинацию всех базисных коммутаторов того же вида, что и у коммутаторов, входящих в ■г,,,2 и повторить описанную процедуру.

Заменив в базисном коммутаторе и одно вхождение какого-либо образующего на другой, мы получим сумму базисных коммутаторов различных видов, определяемых коммутатором и. Рассмотрев все возможные варианты базисных коммутаторов из Д, (; = 1,..., 26), получаем, что элементы из Д, в результате одной замены какого-либо образующего на другой переходят в сумму коммутаторов из Дг, где і зависит от ; Так, например, элементы из Ді переходят в сумму коммутаторов из Дг, і = 1, 9,12,13,19, 20, 23, что записываем в виде

Ді ^ Ді + Д9 + Д12 + Ді3 + Ді9 + Д20 + Д23.

Далее устанавливаем такие же связи для остальных Д,, і = 2,..., 26:

Д2 ^ Д2 + Ді2 + Д23;

Дз ^ Дз + Ді3 + Діб + Ді7 + Д22 + Д24;

Д4 ^ Д4 + Діб + Ді9; Д5 ^ Д5 + Дб + Ді7 + Дів + Д25;

Дб ^ Дб + Д24 + Д25; Д7 ^ Д7 + Д20 + Д24;

Де ^ Дв; Д9 ^ Д9 + Діо + Ді4 + Д2б; Діо ^ Діо;

Діі ^ Діі + Д22; Ді2 ^ Ді2 + Д2б; Ді3 ^ Ді3 + Ді4;

Ді4 ^ Ді4 + Д27; Ді5 ^ Ді5 + Діб; Діб ^ Діб;

Ді7 ^ Ді7 + Д24; Дів ^ Дів + Д25; Ді9 ^ Ді9;

Д20 ^ Д20; Д2і ^ Д2і + Д22 + Д23; Д22 ^ Д22;

Д23 ^ Д23 + Д2б; Д24 ^ Д24; Д25 ^ Д25; Д2б ^ Д2б.

(2.3)

Ниже (в теореме 1) будет показано что среди комбинаций коммутаторов из Д^, к = 1, 3 ..., 10,13,18, 20, 21, 25 нет стабильных элементов. Остальные множества Д8, в = 2,11,12,14,15,16,17,19, 22, 23, 24, 26 разобьем на группы в зависимости от того, какой вид базисных коммутаторов получается после замены одного вхождения образующего на другой. Каждую такую группу представим в виде ориентированного графа, вершинами которого являются множества базисных коммутаторов. Ребро і; с концами і, ; принадлежит графу, если Д, входит в правую часть (т.е. после стрелки) в выражение для Дг в (2.3). Таким образом, получим:

11. .. 22

15 . ,.16 . 14 . 19

17. ,. 24

Рис.1.

12

26

Одно из достаточных условий нестабильности элемента приведено в следующей лемме.

Лемма 1. Если в представление элемента V € ^2;12 входит линейная комбинация элементов из М1 или М2, то существует автоморфизм !£, под действием которого V^ = V.

Для классификации стабильных элементов полезна

Теорема 1. Пусть К = {1, 3,..., 10,13,18, 20, 21, 25}. Тогда для любой последовательности целых чисел т(к) и любой нетривиальной комбинации базисных коммутаторов (т(к)), к € К, существует автоморфизм под действием которого (Ц(т(к)))^ = (т(к)).

Доказательство. Рассмотрим множество Дь Базисным коммутатором с однородным вхождением образующих является единственный элемент «1^ = ((аЬЬЬЬааа)(аЬ)(аЬ)). Легко понять, что — не является стабильным, так как применив к нему автоморфизм ^>12 получим, что в разложение («11))^12 входит элемент ((аЬЬЬЬЬаа)(аЬ)(аЬ)) с коэффициентом 3т11) = 0. Подобным образом доказательство проводится и для остальных к € К. □

Теперь приведем условия, при которых существуют стабильные элементы.

Утверждение 1. Пусть К = {2,12, 23, 26}. Тогда существуют последовательности целых чисел т(к), к € К, такие что элемент

9 = Е Цк(т(к)) (2.4)

кеК

является нетривиальным стабильным элементом группы ^2>12.

Доказательство. Рассмотрим множество Д2. Определим все базисные коммутаторы «(2) вида (/(5)/(2)/(5)), имеющие по 6 вхождений образующих а и Ь:

«12) = ((аЬЬЬЬ)(аЬ)(аЬааа)), и22) = ((аЬЬЬа)(аЬ)(аЬЬаа)),

(2) (2)

«з = ((аЬЬаа)(аЬ)(аЬЬЬа)), «4 = ((аЬааа)(аЬ)(аЬЬЬЬ)).

СТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СВОБОДНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 53 Применим к элементу Ц2(т(2)) = ^ т(2)и(2) автоморфизм <^12. Рас-

г=1

смотрим линейную комбинацию всех базисных коммутаторов, полученных из и(2) заменой одного вхождения образующего а на Ь:

(2т12) + т22))((аЬЬЬЬ)(аЬ)(аЬЬаа)) + (2т22) + 2т32))((аЬЬЬа)(аЬ)(аЬЬЬа)) +

+(т32) + 3т42))((аЬЬаа)(аЬ)(аЬЬЬЬ)) + т32)((аЬЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬЬЬа)) + +т42) ((аЬа)(аЬ)(аЬ)(аЬЬЬЬ)) + т^2)(((аЬЬЬЬ)(аЬ))((аЬа)(аЬ))) +

+т22)(((аЬЬЬа)(аЬ))((аЬЬ)(аЬ))).

В данную сумму входят коммутаторы из Д2, Д12 и Д23. Запишем условия при которых линейная комбинация коммутаторов из Д2 равна нулю:

2т12) + т22) = 0, 2т22) + 2т32) =0,

(2) 22) 2 3 (2.5)

т3 + 3т42) =0.

Добавим к Ц2(т(2)) комбинации Ц8(т(в)), 8 = 12, 23.

Пусть в = 12. Все базисные коммутаторы из Д12, имеющие по 6 вхождений образующих а, Ь имеют вид:

«112) = ((аЬЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬЬаа)), и212) = ((аЬа)(аЬ)(аЬ)(аЬЬЬа)).

Подействуем ^>12 на элемент Ц12(т(12)) = т112)«112) + т212)и212). Линейная комбинация всех коммутаторов, полученных из «(12) заменой одного вхождения образующего а на Ь равна:

(2m112) + m212))((abb)(ab)(ab)(abbba)) + m212)((aba)(ab)(ab)(abbbb))+

+m(12) (((abb) (ab) (ab)) ((abb) (ab))).

В данную сумму входят коммутаторы из Д12 и Д2в- Запишем условия на коэффициенты m(12), при которых линейная комбинация базисных коммутаторов из Д12 в разложении (U2(m(2)) + U12(m( 12)))и» равна нулю:

m^2) + 2m112) + m212) = 0, m^2) + m212) = 0. (2.6)

Добавим к U2(m(2)) + U12(m(12)) линейную комбинацию U23(m(23)) всех коммутаторов из Д23, имеющих по 6 вхождений каждого из образующих a, b:

u123) = (((abbba)(ab))((aba)(ab))), u223) = (((abbaa)(ab))((abb)(ab))).

Подействуем <^12 на элемент U23(m(23)) = m123)u123) + m223)u223).

Линейная комбинация всех коммутаторов, полученных из uj23) заменой одного вхождения образующего a на b равна:

mi23)(((abbbb)(ab))((aba)(ab)))+(m(j23) +2m223))(((abbba)(ab))((abb)(ab))) +

+m223) (((abb) (ab) (ab)) ((abb) (ab))).

В данную сумму входят коммутаторы из Д23 и Д26.

Для того чтобы линейная комбинация базисных коммутаторов из Д23 в разложении (U2(m(2)) + U12(m(12)) + U23(m(23)))^12 была равна нулю, достаточно чтобы коэффициенты mj23) удовлетворяли условиям:

m12) + m123) = 0, m22) + m123) + 2m223) = 0. (2.7)

Добавим к U2(m(2)) + U^m(12)) + U23(m(23)) линейную комбинацию всех коммутаторов из Д26, имеющих по 6 вхождения каждого из образующих a, b:

u126) = (((aba)(ab)(ab))((abb)(ab))), u226) = (((abb)(ab)(ab))((aba)(ab))).

Линейная комбинация всех коммутаторов, полученных из uj26) заменой одного вхождения образующего a на b равна:

(m(26) + m226) )(((abb)(ab)(ab))((abb)(ab))).

Запишем условие при котором линейная комбинация коммутаторов из Д26 в разложении (U2(m(2)) + U12(m(12)) + U23(m(23)) + U26(fn(26)))^12 равна нулю:

Ш1 + m2 + п&1 + m2

Для определения всех m(k), k = 2,12, 23, 26 найдем общее решение объединенной системы (2.5)—(2.8):

112) + m223) + m126) + m226) = 0. (2.8)

m12) = t1, m22) = —3t1, m32) = 3t1, m^2 = —11,

m112) = —2t1, m212) = t1,

(23) (23)

' = —11, m2 = 2t1,

m(26) = , m(26) = ,

m1 = t2, m2 = —12-

(2.9)

(к)

Используя полученные формулы для коэффициентов , к € К, при любых целых, отличных от нуля ^ 1, ^2 составляем последовательности ш(к), для которых элемент (2.4) становится кандидатом на стабильный элемент, так как равны нулю все линейные комбинации коммутаторов, полученных из коммутаторов, входящих в элемент 9, заменой одного

вхождения образующего а на Ь. Далее проверяем, что линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения а на Ь также равны нулю.

Применим к д автоморфизм ^>21 и запишем линейную комбинацию коммутаторов, полученных из коммутаторов, входящих в элемент д, заменой одного вхождения Ь на а :

(3ш^2) + т22))((аЬЬЬа)(аЬ)(аЬааа)) + (2т22) +2т32))((аЬЬаа)(аЬ)(аЬЬаа)) +

+(т32) + 3т42))((аЬааа)(аЬ)(аЬЬЬа)) + 2т12)((аЬЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬааа))+ +2т42)(((аЬааа)(аЬ))((аЬЬ)(аЬ))) + т112) ((аЬЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬааа)) + +(ш112) + 2т212))((аЬа)(аЬ)(аЬ)(аЬЬаа)) + (2ш^23) + т223) )х

(23)

х(((аЬЬаа)(аЬ))((аЬа)(аЬ))) + т2 (((аЬааа)(аЬ))((аЬЬ)(аЬ)))+

+(т126) + т226))(((аЬа)(аЬ)(аЬ))((аЬа)(аЬ))).

(к)

После приведения подобных и подстановки вместо , к € К их выражений через £1, £2 согласно формулам (2.9) получаем, что данная линейная комбинация равна нулю.

Далее проверяем, что линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения Ь на а также равны нулю. Таким образом, д — стабильный элемент и утверждение доказано. □

Утверждение 2. Пусть К = {11,14,15,16,17,19, 22, 24}. Тогда существуют последовательности целых чисел т(к), к € К, такие что элемент д = 5^(т(к)) является нетривиальным стабильным элементом группы ^2>12.

Доказательство. Проводится аналогично доказательству утверждения 1. Опуская вычисления, мы запишем все найденные базисные коммутаторы из Д^, к € К, входящие в представление стабильного элемента и укажем коэффициенты, с которыми они входят в это представление.

Д11:

и111) = ((аЬЬЬ)(аЬЬ)(аЬааа)), и211) = ((аЬЬЬ)(аЬа)(аЬЬаа)),

4П) = ((аЬЬа)(аЬЬ)(аЬЬаа)), и^11) = ((аЬЬа)(аЬа)(аЬЬЬа)), и^11) = ((аЬаа)(аЬЬ)(аЬЬЬа)), и611) = ((аЬаа)(аЬа)(аЬЬЬЬ)). т(111) = £3, т211) = —£3, т311) = —2£3, т411) = 2£3, т511) = £3, т611) = —£3.

Д14:

и114) = ((аЬЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬа)), и214) = ((аЬа)(аЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬЬ)). ш^14) = £4, т214) = —£4.

А15:

и115) = ((аЪЪЪЪ)(аЪа)(аЪаа)), и215) = ((аЪЪЪа)(аЪЪ)(аЪаа)), и315) = ((аЪЪЪа)(аЪЪ)(аЪЪа)), и^15) = ((аЪЪаа)(аЪЪ)(аЪЪа)), и515) = ((аЪЪаа)(аЪа)(аЪЪЪ)), и^15) = ((аЪааа)(аЪЪ)(аЪЪЪ)). т115) = (5, т215) = —(5, т315) = —2^5, т415) = 2*5, т515) = *5, т^15) = —(5.

А16:

416) = ((аЪЪ)(аЪ)(аЪЪ)(аЪаа)), и216) = ((аЪЪ)(аЪ)(аЪа)(аЪЪа)), и316) = ((аЪа)(аЪ)(аЪЪ)(аЪЪа)), и416) = ((аЪа)(аЪ)(аЪа)(аЪЪЪ)). т^16) = (6, т216) = —2(5 — (6, ш^16) = —(6, ш^16) = (5 + (6.

А17:

(17) (17)

И1 = ((аЪЪЪ)(аЪ)(аЪа)(аЪа)), и2 = ((аЪЪа)(аЪ)(аЪЪ)(аЪа)),

(17)

и3 = ((аЪаа)(аЪ)(аЪЪ)(аЪЪ)).

т<17) = (7, т2‘7) = —2(7, т317) = (7.

А19:

и(19) = ((аЪЪЪ)(аЪ)(аЪ)(аЪаа)), и219) = ((аЪЪа)(аЪ)(аЪ)(аЪЪа)),

и319) = ((аЪаа)(аЪ)(аЪ)(аЪЪЪ)).

т119) = (в, т219) = —2(8, т^19) = (8.

А22:

м122) = (((аЪЪЪ)(аЪа))((аЪа)(аЪ))), и222) = (((аЪЪа)(аЪЪ))((аЪа)(аЪ))),

и322) = (((аЪЪа)(аЪа))((аЪЪ)(аЪ))), и422) = (((аЪаа)(аЪЪ))((аЪЪ)(аЪ))).

(22) (22) (22) (22) т\ = (9, т2 - —(3 — (9, т3 = (3 — (9, т4 = (3 + (9.

А24:

и124) = (((аЪа)(аЪЪ))((аЪЪа)(аЪ))), т^24) = (7.

□

Из утверждений 1 и 2 следует основной результат работы.

Теорема 2. Существует подгруппа Н ранга 9, любой элемент которой является стабильным элементом группы ^2>12.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Блудову В.В. за постановку вопросов и внимание к работе.

Список литературы

1. Блудов В. В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах / В. В. Блудов // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике : тез. докл. - Новосибирск, 1998. -Ч. 5.

2. Ковыршина А. И. Неподвижные элементы в свободных нильпотетных группах ранга три / А. И. Ковыршина // Вестн. НГУ. Сер.: Математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 8, вып. 2. - C. 85-91.

3. Линдон Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. - М. : Мир, 1980. - 477 с.

4. Магнус В. Комбинаторная теория групп / В. Магнус, А. Каррас, Д.Солитэр. - М. : Наука, 1974. - 455 с.

5. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups / E. Formanek // Communications in algebra. - 2002. - Vol. 30. - P. 1033-1038.

6. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups / A. Papistas // Communications in algebra. - 2001. - Vol. 29. - P. 4693-4699.

A. I. Kovyrshina

Stable elements of free nilpotent class 12 groups with 2 generators

Abstract. This paper contains the full description of fixed elements by all automorphisms of free nilpotent class 12 groups with two generators.

Ковыршина Анна Ивановна, старший преподаватель, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, Нижняя набережная, 6, тел.: (3952)460956 ([email protected])

Kovyrshina Anna, East Siberian State Academy of Education, 664011, Irkutsk, Lower Quay str., 6 ([email protected])