Стабилизация вибраций ротора искусственного желудочка сердца (ИЖС) в потоке крови на активных магнитных подшипниках (АМП) при линейно-квадратичном управлении Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 378; 62-523; 612.13; 532.5

Стабилизация вибраций ротора искусственного желудочка сердца (ИЖС) в потоке крови на активных магнитных подшипниках (АМП) при линейно-квадратичном управлении

Овсянникова Е. Е.1'*, Гуськов А. М.1 ''ееоуБуап^уап^хл

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В работе рассмотрен вопрос стабилизации ротора искусственного желудочка сердца (ИЖС). Актуальность исследований в этой области обусловлена увеличением числа больных, страдающих сердечной недостаточностью (по данным ежегодной конференции Общества специалистов по СН). Глобальным аспектом при проектировании устройств ИЖС является необходимость стабилизации ротора и управления его движением. Проблема бесконтактного подвеса ротора, а так же проблема управления, решается применением магнитных подшипников, которые позволяют осуществлять стабилизацию в заданном положении с помощью магнитных сил. Поэтому работа посвящена изучению проблемы позиционирования ротора. Суть работы заключается в решении задачи управления положением ротора с точностью 0,2 мм при скоростях вращения от 5000 до 12000 об/мин. Задача управления решается применением линейно-квадратичной оптимизации с учетом влияния внешних сил, действующих на ротор, со стороны потока крови.

Ключевые слова: механическая поддержка кровообращения, искусственный желудочек сердца, ротор на активных магнитных подшипниках, система управления, ЛК-управление, стабилизация ротора

Введение

По результатам исследований, проведенных для ежегодной конференции Общества специалистов по сердечной недостаточности было выявлено, что 9,5 млн человек в РФ страдают хронической сердечной недостаточностью. Наиболее тяжелая степень у 2,1% населения - 2,7 млн человек. Средняя продолжительность жизни после диагностирования заболевания у женщин составляет 3,1 года, а у мужчин - 1,7 года. Столь быстрое прогрес-сирование заболевания ведет к тому, что у пациентов с конечной стадией традиционные методы лечения малоэффективны. До начала XX века считалось, что единственной воз-

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 09. С. 45-59.

Б01: 10.7463/0916.0846603

Представлена в редакцию: 10.08.2016 Исправлена: 24.08.2016

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

можностью увеличить продолжительность жизни таких больных является пересадка сердца.

Главной альтернативой трансплантации может быть использование аппаратов вспомогательного кровообращения. Конструкция ИЖС разнообразна, но наилучшие показатели демонстрируют аппараты аксиального типа с ротором, находящимся в потоке крови.

Высокая точность - требование, предъявляемое ко всем аппаратам вспомогательного кровообращения, поскольку речь идет о жизнедеятельности и дальнейшей жизнеспособности пациента. В работе рассматривается проблем позиционирования ротора с точностью 0.2 мм. Задача управления ротором может быть решена с помощью различных методов управления.

Обзор литературы показывает, что моделирование движения ротора с помощью линейно-квадратичной (ЛК) оптимизации дает хорошие результаты [1].

Цель исследования. Работа посвящена решению задачи стабилизации ротора насоса искусственного желудочка сердца. Погрешность позиционирования ротора не должна превышать 0,2 мм. Было исследовано поведение ротора и реакция системы управления в рабочем диапазоне угловых скоростей от 5000 об/мин до 12000 об/мин при применении линейно-квадратической оптимизации.

Постановка задачи. Исходные данные

В табл. 1 представлены исходные данные для расчета динамики ротора на АМП.

Таблица 1. Исходные данные

№ Наименование Обозначение Значение

1. Диаметр ротора, м Б 15.610-3

2. Длина, м 1 24-10-3

3. Масса ротора, кг т 12.4240-3

4. Погрешность позиционирования ротора, мм а < 0.2

5. Заданная частота вращения ротора, об./мин. п 5000 - 12000

6 Расстояние от центра масс ротора до подшипников, м а 910-3

Ь 910-3

7 Расстояние от центра масс ротора до сенсоров, м с 10-10-3

а 10-10-3

Расчетная схема

Рассматривается симметричный однородный жесткий ротор массой т , вращающийся вдоль продольной оси с постоянной угловой скоростью й в двух радиальных активных магнитных подшипниках АМП1 и АМП2. Схема приведена на рис.1.

датчик А шдщипнцк А подшипник В датчик В

1 I _

1 .л *

£ Т

1 1 г а

/ г \т аШ т — Й ? / У / * *

с _ 4

Рис.1. Расчетная схема ротора на АМП

Свяжем с ротором систему осей так, что бы ось £ совпадала с его геометрической продольной осью, а поперечные оси проходили через его центр масс Б (рис.1).

Допущения, принятые при записи уравнений движения:

• Ротор симметричный и жесткий.

• В номинальном исходном положении центр масс ротора совпадает с началом отсчета системы координат.

• Отклонения от начальных размеров малы по сравнению с размерами ротора. Это позволяет линеаризовать уравнение движения и разделить радиальное и осевое движения.

• Положение ротора, включающее поступательные и угловые смещения, характеризуется положением системы координат, связанной с ротором.

• Угловая скорость ротора ^ вокруг оси 2 постоянна.

Отклонения и угловое вращение ротора вокруг оси описываются тремя карданными углами а, в, у, где у = П.

Уравнение движения

Для вывода дифференциальных уравнений движения ротора используют уравнение движения Лагранжа второго рода:

где Т - кинетическая энергия, ^ - обобщенные силы, дг - обобщенные координаты. Выражение для кинетической энергии имеет вид:

где х3, у3, ¿5 - составляющие скорости центра масс, - тензор инерции тела, который в отсутствии дисбаланса по отношению к центру масс имеет вид:

4 0 0 0

I * = 0 1у 0 0 (3)

0 0 1, 0

где 1х, I , - осевые моменты инерции относительно соответствующих осей. Для одно-

родного симметричного ротора 1х = I .

Будем считать, что перемещения ротора и параметры неуравновешенности малы, так что величины х5, у, е имеют тот же порядок малости, что и зазор в подшипниках, и что

справедлива замена При сделанных предположе-

ниях проекции вектора угловой скорости на оси даются соотношениями [43]:

Подставляя выражения (3) и (4) в уравнение (2), принимая за вектор обобщенных координат

и записав полученное уравнение в матричной форме, имеем:

Здесь М - симметричная положительно-определенная матрица инерции (6), О - кососимметричная матрица гироскопических моментов (7), Р - вектор обобщенных реакций подвеса, ^ - вектор обобщенных внешних воздействий.

Между угловыми движениями а и ¡3 имеется гироскопическая связь.

Учет активных магнитных подшипников

Выходные сигналы, т.е. измеренные смещения ротора и хзеВ объединены в вектор у, согласно следующим выражениям:

У = Сяь (8)

Здесь С - матрица перехода от смещений ротора к обобщенным координатам:

(9)

Обобщенные электромагнитные реакции подвеса Р создаются управляющими магнитными силами подшипников[2]:

РАМВ О' Чь )- {/>А ' /уА ' /хБ ' /уБ } ' (10)

которые приложены к ротору в точках управления АМП1 и АМП2 (Б). Векторы Р и ^з связаны соотношениями:

с 1 0 0" х$еА

С = й 1 0 0 , у = • х$вБ

0 0 с 1 У ¡еА

0 0 й 1 У ¡еБ,

Р - ВчFAMБ (1' Яь )'

(11)

где В - матрица преобразований, устанавливающая связь между обобщенными координатами центра масс

и смещениями ротора внутри магнитных подшипников чь — \хЪА, уЪА, хъв, уъв ] :

В предположении малости отклонений переменных от их номинальных значений или значений смещений используют линеаризованное выражение для магнитных сил (13) (линеаризуют уравнения в окрестности положения равновесия). Расчеты и эксперименты показывают, что ошибки, вносимые линеаризацией, весьма малы даже в том случае, если перемещения подвешиваемого тела сравнимы с зазором.

Линеаризация сил в подшипниках:

Вектор 1 = , , , } содержит управляющие токи, К, К " матрицы позиционных «отрицательных жесткостей» и токовых жесткостей каналов управления.

Коэффициент к^в связывает магнитную силу и перемещение тела. Как и жесткость

пружины, работающей на растяжение-сжатие, он измеряется в Н • м-1. Рассматриваемая составляющая магнитной силы направлена в сторону перемещения и, следовательно, стремится дестабилизировать систему. Поэтому коэффициент к^ в, являющийся положительным, называют «отрицательной» позиционной жесткостью магнитного подвеса.

Коэффициент км в связывает магнитную силу и ток. Он измеряется в Н • А-1 и называется токовой жесткостью подвеса.

Уравнение движение записано в координатах центра масс q . Связь между векторами q и ^ имеет вид:

qb

ХЬА а 1 0 0 Р

ХЬВ Ь 1 0 0

УЬА 0 0 а 1 -а

Уьв _ 0 0 Ь 1 _ У*

(14)

qb = вqq

(15)

Путем объединения уравнений модели ротора (5), выражения (11) и линеаризованных сил в подшипниках (13) и подставляя (15), получим следующее дифференциальное уравнение относительно координат q :

Выражение (16) включает в себя отрицательную жесткость подшипников Кк8 , записанную для координат центра масс.

Учет внешнего воздействия

Ротор воспринимает нагрузку Р в виде силы тяжести самого ротора и момента от

воздействия гидродинамической силы в потоке жидкости. Проекции момента на оси:

где ¡л - вязкость крови, ц = (3 — 4) ■ 1 0 _ 3П а ■ с при 37 оС, С - коэффициент сопротивления среды, С — 0,91- 0,85, Я - радиус ротора, I - длина ротора, й - частота вращения ротора. Запишем общее выражение для момента в ортах :

здесь

Л [ = -С>тЯ2К й- (0 - Срям-ур [г)-

(18)

В итоге:

Внешнее воздействие будет учтено в модели в виде гидродинамический моментов от влияния потока крови в следующем виде:

Представим гидродинамические моменты, действующие на ротор от потока крови, в виде вектора внешних воздействий ^ для учета их в уравнении движения. Проекция М 2 момента М не рассматривается, так как задача решается в обобщенных координатах

Влияние внешних воздействий на человека учтено в виде вибраций, выраженных гармоническими функциями, действующими по осям х и у:

где А, А - амплитуды колебаний транспорта на примере пассажирского вагона. А, А ~ 0,1 - 5 мм при частоте колебаний 1,5- 4 Гц [4].

Управление ротором

Активные магнитные подшипники обладают ограниченными ресурсами управления по силе, току и напряжению. Поэтому желательно, чтобы расходование ресурсов управления было минимальным. С другой стороны, подшипник должен удерживать ротор, находящийся под действием возмущающих сил, с заданной точностью. Очевидно, что с ростом точности позиционирования растут значения управляющих переменных. Здесь должен быть найден оптимальный компромисс, который может быть сформулированв виде экстремума некоторого функционала качества, учитывающего оба отмеченных фактора. Практика показывает, что одним из наиболее подходящих в указанном смысле для магнитных подвесов является метод линейно-квадратической (ЛК) оптимизации (линейная система управления при квадратическом функционале качества) [5, 6].

Для такого вида управления проще осуществлять контроль по координатам подшипников, поэтому в уравнении движения перейдем к координатам ^ . Выразив из формулы (15) обобщенные координаты q и подставив получившееся выражение в (16), получим уравнение движения в координатах подшипников ^ :

Приведем уравнение (21) к стандартной форме Коши:

(22)

где матрица А размерностью 8x8 имеет вид:

0

А =

Е

М^К8 - МЬС ( вq

Вектор-столбец В размерностью 8x1 имеет вид:

0

В

Вектор-столбец С размерностью 8x1 имеет вид:

0

С =

М-

(23)

(24)

(25)

Формально проблему управления можно представить так: требуется найти такой закон управления 1 (х), который минимизирует целевую функцию:

3 (у (X), 1 (X)) = \ [гт (X) Ог (х) + р1т (х) Ш (X

(26)

где

0

- решение системы (22), матрицы Q е RSxS и R е R8x8 положительно полуопределенная и положительно определенная соответственно, полученные согласно правилу Бризона (Bryson rule) [7]:

Q = diag J-1-- -1-- -1-- -1-- 0 0 0 0

[(m3x XbA) (m3x XbB) (m3x УьА) (max Уьв) , (27)

R = diag

(max icAx ) (max icAy ) (max ^ ) (max ^ )

(28)

где

max xM = max xbB = max yM = max yfeB = 0.2 мм. (29)

max icAx = max icAy = max icBx = max icBy = 0 03 A . (30)

Элементы матрицы Q, относящиеся к скоростям, равны 0, так как в конкретном случае происходит оптимизация по положению и току. Тогда управление будет найдено в виде:

i(0 = -Kz(0. (31)

где матрица K имеет вид:

K = R-1Br X. (32)

X - матрица-решение уравнения Риккати. Тогда уравнение динамики примет вид:

qb=C*z (t), (34)

где C* - блочная матрица [E 0].

Численное моделирование

Входными параметрами являлись масса ротора, его геометрические размеры: диаметр и длина, расстояния от центра масс до подшипников АМП1 (А) и АМП2 (В) и расстояния от центра масс до сенсоров, инерционные характеристики - моменты инерции относительно осей х и у, параметры крови: вязкость, а также коэффициент сопротивления среды.

Было проведено сравнение перемещений центров сечений ротора в подшипниках и токов при различных скоростях и постоянной жесткости. Значение позиционной жестко-

сти / = 1 0 5 Н ■ м - 1, токовой жесткости /С^ = 1 0 Н ■ А- Черным цветом показана скорость 5000 об/мин, синим -10000 об/мин, красным - 12000 об/мин.

Значение позиционной жесткости К5 = 105Н , токовой жесткости / = 1 0 Н ■ А-

хЮ 3 Ш5|)1асеп1еп( оГ №е Сеоте1:пса1 Сеп1:ге о! А а не! В БесИопэ

-отеда1 -----отеда2 -------отедаЗ

I

[

О 0.05 0.1 0Л5 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

"Пте [э]

Рис.2. Перемещения центров сечений А и В ротора

а) б)

Рис.3. (а) Сравнение токов в магнитах в направлении оси х (б) сравнение токов в магнитах в направлении

оси у

Для анализа полученные результаты были сведены в таблицу (Табл. 2). Из нее можно заключить, что при увеличении скорости вращения ротора, возрастают значения управляющих токов и амплитуды колебаний сечений. Однако все полученные значения находятся в пределах заданных допустимых значений. Значения токов в магнитах, расположенных вдоль оси у, больше, чем в магнитах, расположенных вдоль оси х, это объясня-

ется тем, что помимо влияния гидродинамических моментов от потока крови, вдоль оси у действует сила тяжести ротора.

Таблица 2. Сравнение перемещений центров сечений ротора и токов в магнитах при различных скоростях

вращения ротора

Скорость вращения ротора й, об/мин Амплитуда перемещения центров сечений А и В, м Значение токов в магнитах по оси х, мА Значение токов в магнитах по оси у, мА

5000 1.5 •Ю-9 0.3 0.4

10000 5.6 •Ю-8 4.9 5.5

12000 1.1 • 10-7 8.7 12

Далее приведены результаты для перемещений и токов при изменении позиционной жесткости подшипников К при трех различных скоростях вращения ротора. Значения

К были выбраны равными 104 Н • м 1 и 105 Н • м 1.

Для скорости 5000 об/мин перемещения центров сечений А и В составили 15 •Ю-6 м для значения К = 104 Н • м-1 и 5•Ю-8 м для К = 106 Н • м-1.

а) б)

Рис.4. Перемещения центров сечений (а) колебания в течение заданного времени, (б) Токи в магнитах в направлении оси х(а) при жесткостях К = 104 Н • м-1 и К = 10б Н • м-1

Амплитудные значения токов составили 6 мА и 16 мА соответственно. На рисунке (рис.4 (а), (б)) приведены график изменения перемещений центров сечений ротора в подшипниках и изменения токов в магнитах.

Для скорости 10000 об/мин графики перемещений центров сечений подшипников приведены на рисунке (Рис.5). Моделирование приведено при различных позиционных жесткостях к8 = 104 Н • м-1 и к8 = 10б Н • м-1. Графики изменения управляющих токов приведены на рисунке.

а) б)

Рис.5. Сравнение перемещений центров сечений в направлении оси х(а) колебания в течение заданного

4 -1

времени, (б) Сравнение токов в магнитах в направлении оси х(а) при жесткостях к^ = 10 Н • м и

kg = 106 Н • м-1

Заключение и выводы

Выполнено моделирование динамики ротора ИЖС на активных магнитных подшипников в потоке крови. Особое внимание в работе уделено вопросу управления позиционированием и стабилизацией ротора. По заданным условиям погрешность позиционирования ротора не должна была превышать 0,2 мм. Задача стабилизации решалась для различных скоростей вращения ротора 5000 об/мин, 10000 об/мин и 12000 об/мин путем построения управляющей матрицы для ЛК-управления.

Проведенное исследование показало, что применение ЛК-управления обеспечивает наиболее быструю стабилизацию - менее 1 секунды.

Для поставленной задачи были подобраны коэффициенты усиления ksAB = 105 Н • м-1, кыв = 10 Н • А-1 ,которые можно реализовать на практике.

Было установлено, что ЛК-управление наилучшим образом обеспечивает стабилизацию системы. Перемещения центров сечений А и В ротора составляют около 10- м, что находится в пределах погрешности. Линейно-квадратичное регулирование позволяет оптимизировать работу системы управления по нескольким критериям, в данном случае, этими критериями явились положения центров сечений подшипников ротора и токи управления. В качестве максимальных регулирующих значений были выбраны: по управляющим токам max i Ав = 0.03 A, по положению max xbAB = max yMB = 0.2 мм. При

этом значения управляющих токов составили от 0.3 до 12 мА в зависимости от скорости вращения ротора.

Проведенное исследование предполагает дальнейшую реализацию на практике.

Благодарность

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-29-01085 офи_м).

Список литературы

1. Barbaraci G., VirziMariotti G. Sub-Optimal Control Law for Active Magnetic Bearings Suspension // Journal of Control Engineering and Technology (JCET). 2012. Vol. 2, no. 1. Pp. 1-10. DOI: 10.5963/JCET0201001

2. Schweizer G., Maslen E.H. Ch. 7: Dynamics of the Rigid Rotors; Ch. 10: Dynamics of Flexible Rotors. In: Magnetic Bearings. Theory, Design and Application to Rotating Machinery. Springer Berlin Heidelberg, 2009. Pp. 167-189; pp. 251-297.

3. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: теория, расчет, применение. СПб.: Политехника, 2003. 206с.

4. Фролов К.В. Защита от вибраций и ударов. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.

5. Журавлев Ю.Н., Хмылко Н.В. Динамическая оптимизация линейной системы управления активной магнитной опорой // Известия вузов. Электромеханика. 1987. № 12. С. 74-81.

6. Журавлев Ю.Н. Оптимизация силовой характеристики управляемого подвеса гироскопического ротора // Известия вузов. Приборостроение. 1991. № 10. С. 68-72.

7. Franklin G.F., Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems. PrenticeHall, UpperSaddleRiver, NJ, 4th edition, 2002.

8. Овсянникова Е.Е., Богданова Ю.В., Гуськов А.М. Исследование влияния потока крови на динамику ротора искусственного желудочка сердца (ИЖС) на активных магнитных подшипниках (АМП) // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 9. С. 298-317. DOI: 10.7463/0915.0811659

9. Богданова Ю.В., Гуськов А.М. Моделирование динамики ротора электрошпинделя на магнитных подшипниках // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 1. С. 201-220. DOI: 10.7463/0115.0753146

Science ¿Education

of the Baumail MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2016, no. 09, pp. 45-59.

DOI: 10.7463/0916.0846603

Received: 10.08.2016

Revised: 24.08.2016

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Stabilizing Vibration of the Active Magnetic Bearings Rotor for Artificial Ventricle Assist Device in the Blood Stream with Linear-Quadratic Optimization

E.E. Ovsiannikova1*, A.M. Guskov1

eeovsyanigyandiexju :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: mechanical heart support system, ventricular assist device, rotor on active magnetic

bearings, control system, LQR method, rotor stabilization

The paper dwells on stabilization of rotor on active magnetic bearings (AMBs) when developing a mathematical model of the axial rotor pump in ventricle assist device (VAD) and considers vibrations of hard titanium rotor with magnetic inserts.

The urgency of research follows from the increasing number of patients suffering from heart failure. A global aspect in the VAD design is that there is a need to stabilize the rotor and control its movement.

Magnetic bearings, which allow us to provide stabilization of a predetermined position through magnetic forces, solve the problem of contactless suspension of rotor and the problem of its control as well. Therefore, the paper studies the problems of rotor positioning. The essence of work is to find the solution for the rotor control with precision of 0.2 mm at a rotational speed of 5000 to 12000 rev / min. The control problem is solved using a linear-quadratic optimization taking into account the influence of external forces acting on the rotor in the blood stream.

Active magnetic bearings are limited in power, voltage and current control resources. So it is desirable to control resource consumption and minimize it. On the other hand, the bearing must hold the rotor, which is under the influence of disturbing forces, with a given accuracy. Experience shows that a method of linear-quadratic (LQ) optimization is one of the most suitable in this sense for the magnetic suspension, so the paper uses it for magnetic suspension control.

The study showed that the LQ-control provides the most rapid stabilization - at least 1 second. For this problem were selected the gains kSA,B = 105 Nm-1, kiA,B = 10 NA-1that could be realized in practice.

It was found that LQ-control system stabilizes the system in the best way. Displacements

H

of the centers of the rotor sections A and B are about 10- m, which is within the error. The LQR-method optimizes work on several criteria. In this case, these criteria were the center displacements of rotor bearings and the control currents. As the regulatory maximum values were cho-

sen: max i A B = 0.03 A for control currents, max xbA,B = max ybA,B = 0.2 mm for displacements. The values of control currents were within 0.3 - 12 mA, depending on the rotor speed. The study suggests further implementation in practice.

References

1. Barbaraci G., VirziMariotti G. Sub-Optimal Control Law for Active Magnetic Bearings Suspension. Journal of Control Engineering and Technology (JCET), 2012, vol. 2, no. 1, pp. 1-10. DOI: 10.5963/JCET0201001

2. Schweizer G., Maslen E.H. Ch. 7: Dynamics of the Rigid Rotors; Ch. 10: Dynamics of Flexible Rotors. In: Magnetic Bearings. Theory, Design and Application to Rotating Machinery. Springer Berlin Heidelberg, 2009, pp. 167-189; pp. 251-297.

3. Juravlev Yu.N. Aktivnye magnitnye podshipniki: teoriya, raschet, primenenie [Active magnetic bearings: theory, design, application]. Sankt-Petersburg, Politekhnika Publ., 2003. 206 p. (in Russian).

4. Frolov K.V. Zachita ot vibracii i ydarov [Protection against vibration and impacts]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981. 456 p. (in Russian).

5. Zhuravlev Yu.N., Khmylko N.V. Dynamic optimization of linear active magnetic bearing control system. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1987, no. 12, pp. 74-81. (in Russian).

6. Juravlev Yu.N. Optimizing power characteristics of the gyro-rotor managed suspension. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1991, no. 10, pp. 68-72. (in Russian).

7. Franklin G.F., Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems. PrenticeHall, UpperSaddleRiver, NJ, 4th edition, 2002.

8. Ovsyannikova E.E., Bogdanova Yu.V., Gouskov A.M. The Research of Influence of Blood upon the Dynamics of Artificial Ventricle Rotor on Active Magnetic Bearings. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 9, pp. 298- 317. (in Russian). DOI: 10.7463/0915.0811659

9. BogdanovaYu.V. Modeling the Rotor Dynamics of Electrospindle on Magnetic Bearings. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, № 1, pp. 201-220. (in Russian). DOI: 10.7463/0115.0753146