Сравнительный анализ реализаций генераторов логических функций на основе функционально-полных толерантных элементов и элементов 4И-НЕ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.3

С.Ф. Тюрин, О. А. Громов, А. А. Сулейманов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

А. В. Греков

Пермский военный институт внутренних войск МВД РФ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕАЛИЗАЦИЙ ГЕНЕРАТОРОВ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОПОЛНЫХ ТОЛЕРАНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЭЛЕМЕНТОВ 4И-НЕ

Анализируются и сравниваются варианты реализации генератора логических функций (мультиплексора с числом каналов 2,4,8,16,32,64) на основе функционально-полных толерантных (ФПТ) элементов и элементов 4И-НЕ. Оцениваются сложность схемы в числе элементов, а также быстродействие в виде количества элементов на пути максимальной длины со входа схемы на выход. Рассматриваются реализации с парафазными входами, без парафазных входов, а также учитывается вариант задания инверсных данных. Показывается предпочтительность реализации на основе функционально-полных толерантных (ФПТ) элементов как по сложности, так и по быстродействию.

В [1, 2] предлагается парадигма «живучих», «катастрофоустойчивых», «катастрофобезопасных» систем путем обеспечения сохранения хотя бы их базисных функций для заданной модели негативных воздействий, что позволяет реализовать хотя бы часть исходных функций за возможно большее время после соответствующей реконфигурации.

Предложена концепция функционально-полного толерантного элемента (ФПТ-элемента, элемента с избыточным логическим базисом), сохраняющего функциональную полноту при заданной модели отказов [2-7].

Такой подход позволяет обеспечить частичное восстановление отказавших каналов программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) при структурном резервировании. В случае комбинирования, например, мажоритарного резервирования и скользящего резервирования в каналах из нескольких отказавших элементов восстанавливается один работоспособный на основе остаточных базисов.

Условное графическое обозначение (УГО) функциональнополного толерантного элемента (ФПТ-элемента, элемента, реализующего функцию Тюрина С.Ф.) для модели константных однократных отказов входов [5] имеет вид, представленный на рис. 1.

Х1

Х2

Хз

Х4

& 1 г Хі — Х2 — 1 &

’ & з4 Хз Х4 1

Рис. 1. ФПТ-элемент - элемент с избыточным логическим базисом - первый вариант

Рис. 2. ФПТ-элемент - второй вариант представления

ФПТ-элемент реализует функцию Х1Х2 V Хз Х4 или, что-то же самое, функцию (х1 V х2)(х3 V х4) (рис. 2).

Все модификации /4383 = Х1 х2 V Хз Х4 для однократных кон-

стантных отказов входов: Х2 V Хз х4, Хі V Хз Х4, Хі х2 V х4, Хі Х2 V Хз представляют собой функции трех аргументов /31, /87, обладающие функциональной полнотой, и функцию Л двух аргументов - известный базис Вебба (стрелка Пирса^) Хз х4, Хі Х2.

Рассмотрим представление генератора логических функций в двух базисах - ФПТ и 4И-НЕ.

1. М3 на два канала

Функция: г = ах V Ьх .

Необходим всего один ФПТ-элемент (рис. з). Представление в ФПТ-базисе:

г = ах V Ьх.

Необходим 1 ФПТ-элемент с базисом Хі х2 V хз х4 при наличии парафазного входа х. Задержка 1т, где т - задержка на ФПТ-элементе. Иначе необходим ещё

а

Х

Х

Ь

& 1

’ &

Рис. з. Мультиплексор на два канала

г

один ФПТ-элемент для инверсирования х и два для инверсии данных: хх V хх, поэтому сложность 4 и задержка 2т. Если инверсируются данные, то сложность 2 и задержка 2т.

Представление в базисе 4И-НЕ:

г = ах V Ьх.

Выполняя закон Де Моргана, получим

г = ах • Ьх.

Необходимы 3 элемента 4И-НЕ с базисом

х4 х3 х2 х1

при наличии парафазного входа х. Задержка 2т, где т - задержка на элементе (можно считать, что она такая же, как и для ФПТ).

Иначе необходим ещё один элемент 4И-НЕ для инверсирования х: тогда сложность 4 и задержка 3т.

2. М3 на четыре канала Функция:

г = ах2 х1 V Ьх2х1 V сх2 х1 V dx2х1.

Представление в ФПТ-базисе:

г = х 2 (ах1 V Ьх1) V х2 (сх1 V dx1).

Очевидно, что

ах1 V Ьх1 = (а V х1 )(Ь V х1) = аЬ V ах1 V х1 Ь V х1 х1.

Исключая первую конъюнкцию по закону обобщённого склеивания, а последнюю по закону противоречия:

ах1 V Ьх1 = ах1 V Ьх1.

Представим этот факт в матричной форме:

аЬх 1 аЬх 1

1 - 0 0 - 0

- 11 - 01

Здесь инверсируется диагональ «а-в».

Это установленное в процессе работы над статьёй правило инверсии ДНФ с развязывающей переменной (правило С.Ф. Тюрина).

Получим далее:

г = х2(ах2 V Ьхх) V х2(сх1 V ёхх).

Для окончательного преобразования нужны инверсии х:

г = х2(ах1 V Ьх1) V х2(0x1 V ёх\).

Подводим итоги: с парафазными входами нужны 3 ФПТ-элемента (рис. 4), задержка 2т. Если возможна инверсия данных (а, Ь, с, ф, то надо ещё 2 для инверсии х (5/3т). Если же нет парафазных входов, ещё нужны 4 элемента (9/3т).

Представление в базисе 4И-НЕ:

г = ах2 х1 V Ьх2 х1 V сх2 х1 V dx2 х1.

Выполняя закон Де Моргана, получим

2 = ах2 х1 • Ьх2 х1 • сх2 х1 • dx2 х1.

Необходимо 5 элементов 4И-НЕ с базисом х4х3х2х1 при наличии парафазных входов переменных х. Задержка 2т.

Инверсирования данных не требуется. При отсутствии пара-фазных входов переменных необходимо ещё 2 элемента 4И-НЕ, тогда сложность 7 и задержка 3т.

3. М3 на восемь каналов Функция:

г = ахз х 2 Х1 V Ьхз х2х1 V схз х2 Х1 V йхзх2х1 V ех3 х2 Х1 V V /х3 х 2 х1 V gx3 х2 х1 V кх3 х2 х1.

Представление в ФПТ-базисе:

г = хзх2(сх1 V ёх\) V х2(ах1 V Ьх1) V хзх2^х1 V кх 1) V х2(ех1 V /х1).

Итак, с парафазными входами нужно 7 ФПТ элементов (рис. 5), задержка 3т, если возможна инверсия данных, то надо ещё 3 элемента для инверсии переменных х (10/4т). Если же нет парафазных входов данных, ещё нужны 8 элементов (18/4т).

Представление в базисе 4И-НЕ

Будем для упрощения указывать только номера конъюнкций:

г = 0 V1V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7.

Рис. 6. Мультиплексор на 16 каналов

Выполняя закон Де Моргана, получим

г = 0 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7.

Далее

г = 0123 • 4567.

Необходимы 13 элементов 4И-НЕ с базисом х4х3х2х1 при наличии парафазных входов переменных х. Задержка 4т.

Инверсирования данных не требуется. При отсутствии парафазных входов переменных необходимы ещё 3 элемента 4И-НЕ, тогда сложность 16 и задержка 5т.

4. М3 на шестнадцать каналов

Представление в ФПТ-базисе

Рассуждая аналогично, получим: с парафазными входами нужно 15 ФПТ элементов (рис. 6), задержка 4т. Если возможна инверсия данных, то надо ещё 4 элемента для инверсии переменных х (19/5т). Если же нет парафазных входов данных, ещё нужны 16 элементов (35/5т).

Представление в базисе 4И-НЕ:

Теперь длина конъюнкций 5, что превосходит число входов 4И-НЕ.

Следовательно, помимо всего прочего на каждую конъюнкцию надо плюс 2 элемента. Необходимо: 29 + 216 = 61 элемент 4И-НЕ с базисом х4х3х2х1 при наличии парафазных входов переменных х. Задержка 8т.

Инверсирования данных не требуется. При отсутствии пара-фазных входов переменных необходимо ещё 4 элемента 4И-НЕ, тогда сложность 65 и задержка 9т. Аналогично рассчитаем сложность для 32 и 64 каналов. Результаты анализа сведём в таблицу.

Сравнительный анализ сложности и быстродействия реализации генератора функций (МБ) на основе элементов ФПТ и 4И-НЕ

№ п/п Число кана- лов МБ Сложность/ задержка ФПТ Сложность/ задержка 4И-НЕ

С парафазными переменными С инверсией данных Без парафазных переменных С пара-фазными переменными С инверсией данных Без пара-фазных переменных

1 2 1/т 2/2т 4/2т 3/2т не нужна 4/3т

2 4 3/2т 5/2т 9/3т 5/2т не нужна 7/3т

3 8 7/3т 10/4т 18/4т 13/4т не нужна 16/4т

4 16 15/4т 19/5т 35/5т 61/8т не нужна 65/9т

5 32 31/5т 36/6т 68/6т 117/8т не нужна 149/9т

6 64 63/6т 69/7т 133/7т 233/10т не нужна 297/11 т

Графики сравнения сложности в количестве элементов и быстродействия в количестве элементов на пути максимальной длины со входа на выход схемы представлены на (рис. 7-10).

Рис. 7. Сравнение сложности реализации п - канального мультиплексора в базисах ФПТ и 4И-НЕ при наличии парафазных входов: 1 - ФПТ слож. параф., 2 - 4И-НЕ слож. параф.

Сложность 300

150

100

/ /

і і і

3 і г> 1

, / / / 1 >

і / І / / 2

і *■* *

Число каналов

Рис. 8. Сравнение сложности реализации п-канального мультиплексора в базисах ФПТ и 4И-НЕ при отсутствии парафазных входов и с учётом возможности инверсии данных для ФПТ-схемы: 1 - ФПТ слож. без параф., 2 - ФПТ слож. инверс., 3 - 4И-НЕ слож. без параф.

Рис. 9. Сравнение быстродействия реализации и-канального мультиплексора в базисах ФПТ и 4И-НЕ при наличии парафазных входов: 1 - ФПТ зад. параф., 2 - 4И-НЕ зад. параф.

Задержка 12

10

і ✓

/ ✓

/ 3 \ / / 1 ,1

/ • У‘ / у*

— 7 ✓ У ,Л

✓ .** Г ' 2

Число каналов

16

32

64

Рис. 10. Сравнение быстродействия реализации и-канального мультиплексора в базисах ФПТ и 4И-НЕ при отсутствии парафазных входов и с учётом возможности инверсии данных для ФПТ-схемы:1 - ФПТ слож. без параф.,

2 - ФПТ слож. инверс., 3 - 4И-НЕ слож. без параф.

5. Правило инверсирования двух более сложных ортогональных конъюнкций

При реализации в ФПТ-базисе, как мы видели выше, возникает необходимость инверсирования ортогональных конъюнкций. Рассмотрим пример инверсии двух ортогональных конъюнкций из трёх переменных каждая:

аЬх V сЛх = (а V Ь V х)(с V Л V х) =

= а/V аЛ V ах V Ь/V ЬЛ V Ьх V хс V хё V XX =

= ах V Ьх V хс V хё = (а V Ь)х V (с V Л)х

Таким образом, инверсия матрицы

а Ь с Л х

11 - - 0 - - 111

приводит к матрице

а Ь с Л х

0 - - - 0

- 0 - - 0

--0-1 ---01

Здесь каждая строка для данного значения развязывающей переменной преобразуется в количество строк, равное числу переменных перед х.

Усложним конъюнкции перед х:

(аЬ V с) х V (Ле V /)х.

Применяя вышедоказанное правило, получим

(аЬ V с)х V (Ле V /)х = (а V Ь )сх V (Л V е)/х,

иначе:

асх V Ьсх V Л/х V е/х.

В матричной форме: исходная матрица

a b c d e f x

1 1 - - - - 0

- - 1 - - - 0

- - - 0 0 - 1

- - - - - 0 1

Инверсная ей:

a b c d e f x

0 - 0 - - - 0

- 0 0 - - - 0

- - - 1 - 1 1

- - - - 1 1 1

Аналогично можно сформировать правила для более сложных выражений, что позволяет упростить алгоритмы автоматизированного синтеза.

Выводы

Таким образом, сравнительный анализ реализаций в ФПТ-базисе и базисе 4И-НЕ показывает, что ФПТ-реализация по сложности лучше более чем в два раза, даже при отсутствии парафазных входов, при этом имеется более чем 50 %-ное повышение быстродействия при числе каналов 16-64.

Приведенные схемы мультиплексоров на базе ФПТ-элементов обладают свойством сохранения работоспособности при одном отказе входа одного элемента (отказах всех элементов в одной половине) -можно использовать половину мультиплексора. Так, например, мультиплексор на 16 каналов модифицируется в мультиплексор на 8 каналов. Это позволяет в так называемых «крупнозернистых» ПЛИС обеспечить частичное восстановление логики после отказов и соответствующего диагностирования.

Библиографический список

1. Tyurin S., Kharchenko V. Redundant Basises for Critical Systems and Infrastructures // General Approach and Variants of ImplementationPro-ceedings of the 1st International Workshop on Critical Infrastructures Safety and Security, Kirovograd, Ukraine 11-13, May, 2011 / V. Kharchenko, V. Tagarev (edits). - 2011. - Vol. 2. - P. 300-307.

2. Тюрин С.Ф., Харченко В.С. Автоматно-базисный подход к созданию естественно надежных и безопасных систем // Системи обробки інформації. - 2010. - 9(90). - С. 115- 119.

3. Тюрин С.Ф. Функционально-полные толерантные булевы функции // Наука и технология в России. - 1998. - № 4.- С. 7-10.

4. Тюрин С.Ф. Синтез адаптируемой к отказам цифровой аппаратуры с резервированием базисных функций // Приборостроение. -1999. - № 1. - С.36-39.

5. Тюрин С.Ф. Адаптация к отказам одновыходных схем на генераторах функций с функционально-полными толерантными элементами // Приборостроение. - 1999. - № 7. - С. 32-34.

6. Тюрин С.Ф. Проблема сохранения функциональной полноты булевых функций при «отказах» аргументов // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 9. - С. 176-186.

7. Программируемое логическое устройство: пат. 2146840 Рос. Федерация / Тюрин С.Ф., Несмелов В.А., Харитонов В.А. [и др.]; опубл. БИ № 8. 2000. Бюл. № 8.

Получено 09.09.2011