CC BY
39
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛУКТУИРУЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЯ
Немыкин Андрей Александрович,
старший преподаватель кафедры "Метрология, стандартизация и измерения в инфокоммуникациях", МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]
Ключевые слова: радиоэлектронная аппаратура (РЭА), подвижный объект (ПО), воздушное судно (ВС), аппаратура потребителей (АП), спутниковые радионавигационные сети (СРНС), навигационные параметры (НП).
В измерительной радиоэлектронной аппаратуре (РЭА), размещаемой на подвижном объекте (ПО), в частности на воздушном судне (ВС), возникает проблема фильтрации измеряемых параметров, флуктуирующих вследствие неравномерности движения ПО. Примером такой измерительной РЭА может служить приемовычислитель, входящий в состав аппаратуры потребителей (АП) спутниковых радионавигационных систем (СРНС) типа ГЛОНАСС (РФ) или GPS (США). При этом, поскольку производительность вычислителя ограничена и, кроме того, на него накладывается много дополнительных функций, весьма актуальна проблема выбора рационального алгоритма фильтрации навигационных параметров (НП), обеспечивающего достаточно высокую точность фильтрации и не требующего слишком больших вычислительных затрат. Описание параметров движения ПО определяется диффузионным гаусовским марковским процессом. Среди статистических методов обработки результатов измерений наибольшее распространение имеет метод наименьших квадратов (МНК).
МНК с обработкой одномоментной выборки измерений не использует априорной информации о динамических свойствах ПО. Поэтому его точностные характеристики не зависят от шага дискретизации At и параметров модели движения ПО. На практике этот метод используется в сочетании с экстраполяцией. При этом если производится линейная экстраполяция на один шаг, а динамические шумы и шумы измерения некоррелированы. Другим подходом к определению НП является построение оптимального фильтра на основе методики нелинейной фильтрации в гауссовом приближении и дискретном времени. Таким образом, использование ОЛФ и КЛФ при фильтрации НП целесообразно лишь при высокой производительности вычислителя, обеспечивающей обработку навигационной информации при малом шаге дискретизации. При этом выигрыш в точности от их применения по сравнению с МНК существенен (примерно на порядок). При низкой производительности вычислителя использование ОЛФ нецелесообразно, поскольку она обеспечивает точность фильтрации НП близкую к точности, реализуемой при существенно более простом алгоритме МНК. Тем более нецелесообразно использование в этом случае КЛФ, обеспечивающей точность, худшую чем при использовании МНК.
Для цитирования:
Немыкин А.А. Сравнительный анализ эффективности различных алгоритмов фильтрации флуктуирующих параметров в условиях ограниченной производительности вычислителя // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №4. - С. 26-30.
For citation:
Nemykin A.A. Comparative performance analysis of different filtration algorithms of fluctuating parameters in the conditions of the limited capacity of the evaluator. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.4, рр. 26-30. (in Russian)
В измерительной радиоэлектронной аппаратуре (PDA), размещаемой на подвижном объекте (ПО), в частности на воздушном судне (ВС), возникает проблема фильтрации измеряемых параметров, флуктуирующих вследствие неравномерности движения ПО [6].
Примером такой измерительной РЭА может служить прнемовыч и с л ите л ь, входящий в состав аппаратуры потребителей (All) спутниковых радионавигационных систем (СРНС) типа ГЛОНАСС (РФ) или GPS (США). При этом, поскольку производительность вычислителя ограничена и, кроме того, на него накладывается много дополнительных функций, весьма актуальна проблема выбора рационального алгоритма фильтрации навигационных параметров (НП), обеспечивающего достаточно высокую точность фильтрации и не требующего слишком больших вычислительных затрат.
Вектор 11П может быть представлен в виде: X = lxVxyVyZVzAVA\, (1)
гдех,у, Z иле Ух, Vy, Vz — соответственно координаты ПО и составляющие его скорости; Д и УА-сдвиг шкалы времени бортового опорного генератора (ОГ) относительно системного времени и скорость изменения этого сдвига.
При описании параметров движения ПО диффузионным гаусовским марковским процессом уравнение состояния ПО в дискретном времени имеет вид [2j:
= + (2) где Ф - переходная матрица, характеризующая динамические свойства ПО и динамику изменения шкалы времени ОГ и имеющая вид диагональной блочной матрицы с блоками в главной диагонали:
рк = гк + Ас, VK + (р^„ - Рмм)) / At,
Ф =
ц
-a.il
(3)
X/ - ОД), - Д/;, Дг - шаг дискретизации; ц = х, у, г; ах, аг, аг и ал - коэффициенты, численно равные эффективной ширине полосы флуктуации {динамических шумов) составляющих вектора скорости ПО Ух, Уг, К и скорости изменения сдвига шкалы времени Уй ; п^ - вектор-столбец дискретизированных гауссовских динамических шумов с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей О, имеющей вид диагональной блочной матрицы с блоками в главной диагонали
б
Уц 2
ц 2
/а I
(-а Д/ -2а„Л/ ) , -
е " + е 4 у 2а
И"
1/2а„
(6)
Л, = [(х - хку + (у - Уку + (г - ъУТ£ (7)
дальность от ПО до к-го НКА; л*к, гк - координаты к-го НКА на момент излучения сигнала, вычисленные по данным передаваемой с НКА оперативной служебной информации; с - скорость света; и,- - вектор-столбец дискретизированных независимых белых гауссовских шумов (шумов измерения) с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей Д, имеющей вид диагональной матрицы с элементами в главной диагонали - дисперсиями
ошибок измерения РНП: <jpj;
, aVhJ
К -1.....III
Минимально необходимое число НКА в рабочем созвездии т при НО в трехмерном пространстве псе в до даль-номерным методом равно четырем. При этом вектор РНП записывается:
р = |р, р2 р3 р4 У\ Уг У3 Va\- (8)
Его связь с вектором НП (1) задается соотношением:
Р=ЯХ, Н =
я„
I
о
о I я.
, Ну = Яр,
(9)
где Н - матрица направляющих косинусов, характеризующая взаимное расположение ПО и НКА рабочего созвездия;
Н =
dpjdx dp\jdy ф, ¡dz дрх / dAl
dp-, / dx ф, / ду dp-, / dz dp, / dtst
dpjdx dp^jdy dpjdz dpJdAi
dpjdx dpjdy dpjdz dpJdAl
{у-У,)!Л (z~zi)A i
{x-x2)/ri {y-y2)/rl (z-z2)/r, 1 {У-узУЪ <>- -5)At 1
(x-x4)/f] {y-yA)/n (z-z^/r,
(10)
1
(4)
где /у„ /у,., ЛГ0 АГЛ - односторонние спектральные плотности соответствующих динамических шумов.
Уравнение наблюдения в дискретном времени записывается:
р,=Н^ + п1, (5)
где р( = р(/,); р - вектор измеряемых радионавигационных параметров (РНП), составляющими которого при широко используемом в АН СРНС псевдодальномерном методе навигационных определений (НО) являются псевдодальности рк от ПО до л'-го навигационного космического аппарата (НКА) и соответствующие радиальные псевдоскорости Ук:
В результате обработки данных измерения вектора РПП р получается оценка вектора НП X", включающего в себя координаты ПО. Наиболее полную информацию о точности место о пределен и я ПО дает знание корреляционной матрицы ошибок оценки
Р = Л/[(X. - А.*) (А. - А.У], (11)
где М-символ усреднения.
Среди статистических методов обработки результатов измерений наибольшее распространение имеет метод наименьших квадратов (МПК). Рассмотрим его как основу для сравнения с другими методами. При модели измерений (5) с учетом (9) алгоритм получения оценки НП с использованием МНК записывается [3]:
к=к^Лникн>-ХникРп (12)
где К - весовая матрица, учитывающая неравноточность измерений. Если К = Я\ то оценка X] совпадает с оценкой
по методу максимального правдоподобия и принимает вид:
X) = + [я,г_, /? 1 Я,_, ] 1 И, Л 1 р,, (13)
27
а корреляционная матрица ошиоок поправок к оценке вектора НП на 1-м шаге равна
Р ^[н^я-'н^нГя^Гя-'н.Ун;]. (14) Если НО производятся по минимальной выборке одномоментных измерений, то есть матрица Н обратима и существует матрица С = Я"1, то имеем
К = +С,._1Р; , (15)
р ,=СЛСГ- (16)
МНК с обработкой одномоментной выборки измерений не использует априорной информации о динамических свойствах НО, Поэтому его точностные характеристики не зависят ог шага дискретизации &{ и параметров модели движения ПО. На практике этот метод используется в сочетании с экстраполяцией. При этом если производится линейная экстраполяция на один шаг, а динамические шумы и шумы измерения некоррелированы, то корреляционная матрица ошибок местоопределения при модели движения ПО (2) и модели измерений (5) равна
Р= р + 0 = + (17)
Не значение и целесообразно использовать при сравнении МНК с другими методами фильтрации.
Другим подходом к определению НП является построение оптимального фильтра на основе методики нелинейной фильтрации в гауссовом приближении и дискретном времени [2]. При этом уравнения для вектора оценок и матричного коэффициента передачи фильтра имеют вид:
мг1 =[фм|_1Фт+01_1]+Н^|К-|11(_1. (19)
При =[р-' + НТК"1Н!]"1 (20)
уравнения (18) и (19) совпадают с уравнениями многомерной оптимальной линейной фильтрации (ОЛФ) — фильтрации Калмана, которые в случае фильтрации установившегося процесса, то есть, когда элементы матрицы Нменяются медленно, а динамические свойства ПО не меняются во времени (элементы матрицы 0 постоянны) записываются:
X* = Ь>-1 + Н1к|н]"1Н|к-1[р|-НФХ;_1]1 (21) р = ф[р-' + НтЯ"1н]"'фг+0. (22)
Как показано в [4], при не сильно выраженной нелинейности уравнения наблюдения, что в рассматриваемом случае обусловлено большими значениями дальностей от ПО до НКА, позволяющими использовать линеаризованную матрицу Н, ОЛФ обеспечивает результаты, близкие к результатам, получаемым при использовании оптимальной нелинейной фильтрации, будучи при этом более простой в реализации.
Как видно из (21) и (22), алгоритм ОЛФ имеет рекуррентную форму. При этом корреляционная матрица ошибок фильтрации Р в отличие от случая МНК не может быть вычислена аналитически, так как нелинейное матричное уравнение Риккати (22) не имеет аналитического решения. Это создает определенные трудности при построении рабочих алгоритмов ОЛФ в случае большой размерности фильтра п, поскольку объем вычислений Р растет, как показывает анализ, пропорционально
Промежуточное положение между МНК и ОЛФ занимает квазиоптимальная линейная фильтрация (КЛФ), при которой в каждом канале измерения псевдодальности и псевдоскорости применяется оптимальный линейный фильтр второго порядка. Затем результаты фильтрации обрабатываются с помощью МНК. При этом КЛФ требует меньшей затраты вычислительных средств по сравнению с многомерной ОЛФ.
Чтобы вычислить корреляционную матрицу ошибок фильтрации НП X сначала нужно для каждого к-го канала измерений вычислить матрицу Рк оценок вектора [ря Ук]' при условиях (2) и (5), которые в данном случае запишутся:
кЧр=Фк[рЛкГ-. +п1в(И), «=1,2,...,/», (23) I ® [р^Г+ч^к^г........ (24)
Здесь векторные случайные процессы /?>л- и пк представляют собой соответствующие составляющие векторов «х и я, а их корреляционные матрицы <2К и Ик равны соответствующим блокам размерностью 2x2 матриц £> и /?. При этом, полагая, что ПО одинаково подвижен во всех направлениях, а измерения в каналах равноточные, с учетом (3) и (4) можем записать:
я -
аД(--+ 2е_аЛ1
2
/а* (<
е-«М+е-2шй
(е-^+е"2«4*
)/2а2 (■-<
)/2а2 )/2а
Ф, =
1 (1 - е_аЛ')/ а
(25)
(26)
(27)
0 е
С учетом (22) и (25) - (27) для ОЛФ 2-го порядка в каждом из каналов измерений можно записать:
Рк^Фк-к' + ^'К+Ук (29)
Если ограничиться оценкой точности определения координат ПО, то матрица ошибок фильтрации псевдодальностей на входе блока обработки по МНК, Рю будет иметь вид диагональной матрицы с элементами в главной диагонали: Ри Р2, Рд, РА.
После обработки по МНК предварительно отфильтрованных результатов измерения РНП р на выходе КЛФ получится оценка вектора НП X , которая с учетом (15) и (16) будет иметь вид:
х^х^+ср;, (зо)
Р = СР„СТ. (31)
Представляет интерес оценить влияние шага дискретизации Аг на точность определения НП, в частности координат ПО, при использовании различных алгоритмов фильтрации, поскольку величина Д/ в значительной степени определяет требования к производительности вычислителя, осуществляющего фильтрацию.
Чтобы иметь основу для сравнения эффективности алгоритмов фильтрации, рассмотрим зависимость ошибки фильтрации от Дг при решении задачи НО с помощью МНК по одномоментной выборке с линейной экстраполяцией на один шаг. В качестве величины, характеризующей точность местоонределения ПО, будем использовать радиальную среднеквадратическую ошибку (СКО) определения координат ПО стг = (/>„ + Руу + +Ра)т, где , Р,у и Ря -элементы корреляционной матрицы Р ошибок оценок вектора НП, равные дисперсиям по каждой из декартовых координат ПО х, у и;.
При расчете стг диагональные блоки корреляционной матрицы динамических шумов (4) могут быть представлены в упрощенном виде:
"д/3/3 Д/г /2 А(2/2 Дг
crt, м
е
' 2
(32)
если выполняется условие Д/ « 1. Это условие, как правило, выполняется во всех интересных для практики случаях.
При этом, полагая, как и ранее, что ПО одинаково подвижен во всех направлениях, а измерения в каналах равноточны (стР1 = ар2 = ар.д = ар4 = ар), с учетом (17) получаем
(33)
°'мнк = [(Ггар)2+Л^/2]1'2,
-.74
Jp>
П 1.2
30
2«
10
МНК
ОЛФ
где Гг = [7"Г(СС )] = с,/ <?р - геометрический фактор (ГФ) ошибки трехмерного местоопределения, Тг - след (сумма квадратов диагональных элементов) матрицы.
Первое слагаемое в квадратных скобках выражения (33) - дисперсия радиальной ошибки местоопределения ПО при отсутствии динамических шумов, не зависящая от шага дискретизации А/ и определяемая взаимным расположением ПО и НКА рабочего созвездия в момент НО. Второе слагаемое полностью определяется динамикой движения ПО и вносит основной вклад в ошибку при больших значениях А(.
На рис. 1 приведены расчетные зависимости радиальной СКО определения координат ПО иг от шага дискретизации Дг при их фильтрации с использованием МНК, многомерной ОЛФ и КЛФ дальномерным методом. При этом бортовой ОГ полагается точным (величина сдвига шкалы времени Д пренебрежимо мала), а НО производятся по 3-м НКА. ГФ был принят равным Г = 2,65; СКО измерения псевдодальностей и радиальных псевдоскоростей сгр = 6 м И О у = 0,6 м/с; эффективная ширина полосы флуктуаций скорости ПО сс = 0,02с"1; среднеквадратическое отклонение этих флуктуаций стр = 2,24 м/с, что соответствует их односторонней спектральной плотности N — 4 а =0,4 м2с~3.
На рисунке 2 приведены зависимости стг от At при фильтрации НП с использованием МНК и многомерной ОЛФ для представляющего наибольший интерес псевдо-дальномерного варианта НО с обработкой сигналов от 4-х НКА. Расчет производился при следующих значениях параметров: относительная нестабильность бортового ОГ ст// /= 10', ар = 5 м, иг" 0,1 м/с, ~ 1 м/с, а = 0,05 с .
4 S 12 Длс Рис. 2
Из кривых на рисунках 1 и 2 видно, что при малых значениях Дt использование ОЛФ обеспечивает значительный выигрыш в точности по сравнению с МНК. Он зависит, в основном, от ГФ и точности измерения сопутствующих параметров: радиальной псевдоскорости ПО и сдвига бортовой шкалы времени.
Результаты расчетов показывают также, что i ipn малых значениях Д^ ошибка при использовании КЛФ незначительно превышает ошибку ОЛФ, однако при росте Ai эта ошибка быстро расчет и даже с некоторого момента превышает ошибку, имеющую место при использовании МНК. Это можно объяснить потерей информации о корреляции ошибок измерений в разных каналах (в матрице Рю недиагональные элементы приравнены нулю).
Таким образом, использование ОЛФ и КЛФ при фильтрации НП целесообразно лишь при высокой производительности вычислителя, обеспечивающей обработку навигационной информации при малом шаге дискретизации. При этом выигрыш в точности от их применения по сравнению с MI IK существенен (примерно на порядок).
При низкой производительности вычислителя использование ОЛФ нецелесообразно, поскольку она обеспечивает точность фильтрации НП близкую к точности, реализуемой при существенно более простом алгоритме МНК. Тем более нецелесообразно использование в этом случае КЛФ, обеспечивающей точность, худшую, чем при использовании МПК.
Литература
1. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. - М.: Советское радио, 1980.
2. Харисов ВН.. Яковлев А.И.. Глущенко А.Г. Оптимальная фильтрация координат подвижного объекта // Радиотехника и электроника, т. XXIX, № 10, 1984.
3. Шебшаевич B.C., Дмитриев П.П., Иванцееич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. - М.: Радио и связь, 1982.
4. Тихонов В.И„ Бакаев ЮН. Статистическая теория радиотехнических устройств. — М: В ВИД им. проф. Н.Е.Жуковского, 1978.
5. Рубцов В.Д. Оптимизация приемного тракта в условиях атмосферного шума // Вопросы радиоэлектроники, серия Общетехническая, 1978.
6. Строганова Е.П., Немыкин A.A. Модель атмосферных и индустриальных помех, адаптированная к условиям эксплуатации приемной радиоэлектронной аппаратуры // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2015, Т. 8. № 2, С. 48-53.
COMPARATIVE PERFORMANCE ANALYSIS OF DIFFERENT FILTRATION ALGORITHMS OF FLUCTUATING PARAMETERS IN THE CONDITIONS OF THE LIMITED CAPACITY
OF THE EVALUATOR
Nemykin Andrey Aleksandrovich,
senior lecturer of Department "Metrology, standardization and measurement in Infocommunications", MTUCI, Moscow, Russia,
Abstract
In measuring electronic equipment (REA), placed on a movable object (PO), in particular on the aircraft (aircraft), the problem of filtering of measured parameters, fluctuating due to irregularity of movement.
An example of such a measuring CEA can serve as primulifolia, part of the equipment of consumers (AP) satellite navigation systems (SNS) type GLONASS (Russia) or GPS (USA). In this case, since the performance of computations is limited to piece and, in addition, it overlaps a lot of extra features, very urgent problem of rational choice of filtering algorithm Navi navigation parameters (NP), providing high filtration accuracy and does not require too large computational cost. Description of motion parameters is determined BY the diffusion gayowski Markov process.
Among the statistical processing methods of measurement results the greatest races-distribution has the least-squares method (OLS). OLS with treatment cross-sectional sample of measurements does not use a priori information about dynamic properties. Therefore, its accuracy characteristics do not depend on the step discretization At and model parameters of the movement. In practice, this method is used in conjunction with extrapolation. Moreover, if a linear extrapolation is made one step, and the dynamic noise and measurement noise uncorrelated.
Another approach to define NP is to build an optimal filter based on method of nonlinear filtering in the Gaussian approximation and discrete time.
Thus, the use of OLF and KLF filtering NP is only appropriate when a high performance computer capable of processing navigation information at low sampling rate. The gain in precision from using them compared to OLS significant (about one order of magnitude). If you experience poor performance evaluator the use of the OLF is impractical because it ensures the filtration precision of NP is close to the precision implemented with a significantly simpler algorithm MNCs. The more impractical the use in this case, KLF, ensuring accuracy, worst than when using OLS.
Keywords: Electronic equipment (REA), The movable object (PO), Aircraft (aircraft), Equipment (AP), Satellite navigation networks (SRNS), Navigation parameters (NP).
References
1. Shortcuts M.S. Application of the Markov theory of nonlinear filtering in radio engineering. Moscow. Soviet radio, 1980. (in Russian)
2. Kharisov, V.N., Yakovlev A.I., Glushchenko A.G. Optimal filtering of coordinates of mobile object / Electronics and radio engineering, vol. XXIX, No. 10, 1984. (in Russian)
3. Shebshaevich V.S., Dmitriev P.P., Ivancevic. N.V. etc. Network satellite radionavigation system. Moscow. Radio and communication, 1982.
(in Russian)
4. Tikhonov I.V., Bakaev, Yu.N. Statistical theory of radio engineering devices. Moscow: vvia them. prof.E.Zhukovsky, 1978. (in Russian)
5. Rubtsov V.D. optimization of a reception path under conditions of atmospheric noise / Questions of radio electronics, General engineering series, 1978. (in Russian)
6. Stroganova E.P., Nemykin А.А. Model atmospheric and industrial interference, adapted to the operating conditions of the admission of electronic equipment / H&ES Research. 2015. Vol. 8. No. 2. Pp. 48-53. (in Russian)
T-Comm Tом 10. #4-2016
