CC BY
58
Николай Борисович Суворов
д-р биолог. наук, профессор; НИИ экспериментальной медицины РАМН, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, кафедра биотехнических систем; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой измерительных технологий и компьютерной томографии
Поступила в редакцию 01.03.11 г.
УДК 620.178
А. А. Виноградова, С. В. Трутненко
СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Дано краткое представление фрактала и мультифрактала. Рассматриваются три вида мультифрактального анализа на основе трех программ (программа, работающая под системой Linux, Fractan и Multifrac) и производится их сравнение.
Ключевые слова: анализ, фрактал, обработка сигналов, статистическая сумма, показатель Хёрста.
Введение. К фракталам относят геометрические объекты: линии, поверхности, тела, которые имеют сильно изрезанную форму и демонстрируют некоторую повторяемость в широком диапазоне масштабов. Она может быть полной (в этом случае говорят о фракталах), либо может наблюдаться некоторый элемент нерегулярности (такие фракталы называют случайными) [1]. При описании свойств фрактала используется такая характеристика, как фрактальная размерность — D [1]. Реальные физические объекты, даже обладающие признаками самоподобия, очень редко могут быть описаны с помощью лишь одной величины фрактальной размерности. Именно поэтому в последнее время получил большое распространение анализ, основанный на теории мультифракталов — неоднородных фрактальных объектов. Для характеристики мультифрактала недостаточно одной величины фрактальной размерности, а необходим их бесконечный спектр — D(q). Такими объектами, например, являются сигналы и изображения. Для определения их мультифрактальности используются программы для муль-тифрактального анализа.
Программа мультифрактального анализа, работающая под операционной системой Linux. На выходе программы реализуются скейлинговая экспонента x(q):
T(q) = lim ln(Z (q,S))
s^ü ln 8
и спектр фрактальных размерностей D(q):
D = ^ Dq q - Г
где Z(q, s ) — обобщенная статистическая сумма, q — показатель степени обобщенной статистической суммы, s — размер ячейки.
Для обработки был взяты экспериментальные данные трибологического взаимодействия, полученные на кафедре мехатроники СПбГУ ИТМО с экспериментальной установки „Трибал" (рис. 1).
Входными данными для программы является текстовый файл, содержащий две колонки чисел (время и значение данных). Для получения входного сигнала необходимо преобразовать полученные экспериментальные данные (см. рис.1) в матрицу пх2, добавив столбец с порядковым номером.
На выходе получаются скейлинговая экспонента (рис. 2) и спектр фрактальных размерностей (рис. 3).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Полученные выходные данные демонстрируют неравномерность входного сигнала, так как при изменении показателя степени обобщенной статистической суммы меняется и фрактальная размерность.
Программа ЕгаС:ап на выходе выдает несколько параметров, но основным для муль-тифрактального анализа является параметр Хёрста (Н), который характеризует степень изре-занности исследуемого графика. Эмпирический закон Хёрст открыл, занимаясь изучением
Нила [4], впоследствии оказалось, что и многие другие природные явления хорошо описываются этим законом.
Временные последовательности, для которых Н > 0,5, относятся к классу персистент-ных — сохраняющих имеющуюся тенденцию (термин образован Мандельбротом от латинского „persistere" — пребывать, оставаться [5]). Если в течение некоторого времени в прошлом происходило увеличение значений, то и впредь в среднем будет происходить увеличение. И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает в среднем продолжение уменьшения в будущем. Чем больше значение Н, тем сильнее выражена тенденция. При Н=0,5 выраженной тенденции процесса не выявлено, и нет оснований считать, что она появится в будущем.
Случай Н < 0,5 характеризуется антиперсистентностью — рост в прошлом означает уменьшение в будущем, и наоборот — чем меньше Н, тем выше эта вероятность. В процессах после возрастания переменной обычно происходит ее уменьшение, а после уменьшения — возрастание. Задача программ мультифрактальной обработки состоит в том, чтобы идентифицировать существенно нелинейную динамическую систему, и здесь уровень идентификации отличается от уровня идентификации линейных систем.
Например, обработав данные экспериментальных данных (см. рис.1), получаем параметр Хёрста Н = 1,049 975, это означает, что сигнал персистентен.
Параметр Хёрста H выражается через размах R изменений значений исследуемого сигнала на отрезке времени At и рассчитанное для этого отрезка стандартное отклонение S [2]:
H = ln( R / S) / ln(At),
R = max Xh (t) - min Xh (t). XH — функция, описывающая сигналы с определенным значением Н [2].
Программа Multifrac. На кафедре мехатроники СПБГУ ИТМО создана программа, с помощью которой можно получить как фрактальную размерность, так и показатель Хёрста. Приложение позволяет просчитывать показатели сигнала, визуализировать данные и выводить информацию в соответствующие поля.
Данные в программе имеют следующие обозначения: HE (Энтропия) — мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов, в данном случае — мера количества информации, необходимой для определения системы в некотором положении i; H (Хёрст) — антиперсистентность сигнала; D0 — размерность данных (является локальной характеристикой данного объекта); D1 — информационная размерность (характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке, в случае многомерного ряда не рассчитывается); D2 — обобщенная фрактальная (корреляционная) размерность.
Обобщенная фрактальная размерность определяет зависимость корреляционного интеграла I:
1 (s) = *!im ТГГ £ 0(S- 1 Гп - Гт ^
ly n,m
суммирование проводится по всем парам точек фрактального множества с радиусами-векторами rn и rm, с использованием ступенчатой функции Хевисайда 0(х). Сумма в данном выражении определяет число пар точек n и m, для которых расстояние между ними меньше s . Поэтому поделенная на N , она определяет вероятность того, что две произвольные точки разделены расстоянием менее s . По этой причине величину D2 называют корреляционной размерностью.
Между значениями среднеквадратического g = Rq и среднеарифметического отклонения профиля Ra установлена следующая зависимость: о = Rq = 0,016 28Ra.
Зависимость между показателем Хёрста и величиной среднеарифметического отклонения профиля имеет вид Hz = 2,636Ra .
Программа Multifrac позволяет рассчитывать и выводить данные без использования математических моделей.
В таблице приведены значения, полученные при использовании трех программ (во второй колонке программа, работающая под системой Linux).
Параметры Fractan Linux Multifrac
HE — — 0,210 49
H 1,0499 75 — 0,179 73
D0 0,950 025 0,301 03 1,8203
D1 — 0,316 081 0,003 656 5
D2 1,118 0,331 133 0,149 13
с — — 0,011 628Ra
Hz — — 2,636Ra
Выводы. Обычно в любой программе используются разные математические модели, т.е. системы уравнений и концепций, используемых для описания и прогнозирования данного феномена или поведения объекта.
Программа Multifrac позволяет определять большее количество параметров по сравнению с программой Fractan и мультифрактальным анализом под системой Linux. Это дает возможность более точно описать характеристики обрабатываемого сигнала. В программе реализуется обработка без применения математических моделей. Планируется использование математических моделей в программе Multifrac.
список литературы
1. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.
2. Ashkenazy Y. Software for analysis of multifractal time series [Electronic resurce]: < http://physionet.ph.biu.ac.il/ physiotools/>.
3. Мусалимов В. М., Валетов В. А. Динамика фрикционного взаимодействия. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 191 с.
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.
5. Короленко П. В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. М., 2004.
6. Научно-технический словарь [Электронный ресурс]: <http://nts.sci-lib.com/article0002646.html>.
7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: Научно-издательский центр „Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
8. Павлов А. Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // УФН. 2005. Т. 177, № 8. С. 859—876.
9. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.
Сведения об авторах
Алла Алексеевна Виноградова — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатрони-ки; E-mail: [email protected] Сергей Викторович Трутненко — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
мехатроники 01.03.11 г.
