Сравнение качества работы обычного и адаптивного фильтров скользящего среднего и фильтра на основе вейвлета Хаара Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.371.542

И.Н. Липатов

Пермский государственный технический университет

СРАВНЕНИЕ КАЧЕСТВА РАБОТЫ ОБЫЧНОГО И АДАПТИВНОГО ФИЛЬТРОВ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО И ФИЛЬТРА НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТА ХААРА

Оценивается качество работы (среднеквадратическое значение ошибки фильтрации) обычного и адаптивного фильтров скользящего среднего (ФСС) и фильтра на основе вейвлета Хаара для случая, когда полезный сигнал скачкообразно изменяется в определенные моменты времени, а помехой является белый шум. Приводятся результаты моделирования работы обычного ФСС, адаптивного ФСС и фильтра на основе вейвлета Хаара.

Рассмотрим фильтрацию наблюдаемого сигнала, получаемого на выходе измерительного устройства (ИУ), с помощью обычного ФСС, адаптивного ФСС и фильтра на основе вейвлета Хаара.

Предположим, что на вход фильтра поступает полезный сигнал

*и = х(и), / = 1, п, и = iДt, на который накладывается погрешность ИУ у[/], так что входной наблюдаемый сигналу[Г] имеет вид

Ди есть интервал дискретности измерений.

Полезный сигнал х[Г] представляет собой сигнал, скачкообразно изменяющийся в определенные дискретные моменты времени

Помеха у[г] есть дискретный белый шум со среднеквадратическим значением оу.

Сигнал на выходе адаптивного ФСС определяется следующим образом. Первоначально вычисляется величина ^\п1 + п2 - 1 + ]\, ] = 0,1,2, ..., п - п1 - п2 + 1 по формуле

у[/\ = хИ + уЩ, i = 1,п,

(1)

(рис. 1) [1].

(2)

где

-1 1 ”1 -------------------------------------------

х = — Е У[і + А і = ° т

п *=1

-2 1

х = — Е У[і+А і =° т;

”2 *=”1

т1 = п - п1 - п2 + 1.

(3)

(4)

(5)

Рис. 1. Графики х[і], у[і] і = 1, п

Если + п2 - 1 + і] < й°, і = °, т1 то сигнал на выходе адап-

тивного ФСС вычисляется по формуле

4п1 + п2 -1 + І]:

1 п + п2 -1 ______

Е у[* + і], і = °т1. (6)

п1 + п2 -1 і=1

При с1[щ + п2 - 1 + і] > ё°, і = 0, т1, сигнал на выходе адаптивного ФСС определяется соотношением вида

4п1 + п2 -1 + і] =

1

п° + 1 і = т2

Е У[і + І], і = °ml,

где

т2 = п1 + п2 - 1 - п°.

(7)

(8)

12

Неравенство вида $\п1 + п2 - 1 + і] > ё°, і = 0, т1 означает, что обнаружен скачок полезного сигнала х[і] в дискретный момент времени: і = п1 + п2 - 1 + і.

Величина ё° является пороговым значением для величины

(Л\пх + п2 - 1 + і], і = °, т1 .

Сигнал на выходе обычного ФСС вычисляется по формуле

1 п + п2 -1 _____

т[п1 + п2 -1 + і] =-7 Е У[і + і] і = °, т1. (9)

п1 + п2 -1 *=1

Будем считать, что

Ф'] = yUl

m[i] = y[i],i = 1, n + n2 -1.1

(10)

Для частотно-временного анализа непериодических сигналов используется вейвлетное преобразование [2]. Вейвлетное преобразование применяется также для фильтрации сигналов. В вейвлетном преобразовании в качестве весовых коэффициентов значений сигнала выступают вейвлетные функции [3]. Вейвлеты характеризуются своим временным и частотными образами. Временной образ определяется некоторой функцией y(t) времени, а частотный образ определяется ее Фурье-образом y(w), который задает огибающую спектра вейвлета [4]. Фурье-образ определяется выражением

у (ю) = J y (t)e~,w‘dt. (11)

Выбираем для фильтрации сигнала y[i], i = 1, n, ортогональный вейвлет Хаара, который имеет psi-функцию вида [4]

' 1,0 < t < 12, y(t) = J-1,1/2 < t < 1, (12)

0, otherwise,

где otherwise имеет значение «в другом случае».

Фильтр на основе вейвлета Хаара будем строить на базе пакета расширения системы MATLAB 7.0 Wavelet Toolbox [4]. Функция w =wden(y, tptr, sorh, seal, N, ‘wname ’) возвращает очищенный от шума сигнал w, полученный ограничением вейвлет-коэффициентов пре-

образования входного сигнала у. Строка tptr задает правило выбора

порога. Было выбрано правило «heursure», что означает эвристический вариант алгоритма Штейна несмещенной оценки риска. Параметр sorh принимал значение «s», что соответствует выбору гибкого порога для удаления шумов путем ограничения вейвлет-коэффициентов. Строка seal определяет мультипликативное пороговое пере-масштабирование (если шум вне пределов [0, 1] или не белый). Было выбрано значение «sln», что соответствует перемасштабированию с использованием единственной оценки уровня шума, основанного на коэффициентах первого уровня. Параметр «wname» задает имя вейвлета. Было выбрано значение «haar», что соответствует вейвлету Хаара. Параметр N означает уровень декомпозиции или количество коэффициентов вейвлет-преобразования. Было выбрано N = 8.

Таким образом, фильтр на основе вейвлета Хаара в системе MATLAB 7.0 реализуется программно в виде команды

w=wden(y, 'heursure', 's', 'sln', 8, 'haar');

Сигнал на выходе фильтра w[i], i = 1, n представляет собой сигнал y[i], i = 1,n на входе фильтра, очищенный от шума. Определим ошибку фильтрации для адаптивного ФСС. Имеем

где £[/] = ], = х[^ ], = iAt.

Обозначим через 6е оценку среднеквадратического значения ошибки фильтрации адаптивным ФСС. Величина 6е вычисляется по формуле

Обозначим через 6е оценку среднеквадратического значения ошибки фильтрации обычным ФСС. Величина 6е вычисляется по формуле

e[i] = z[i] - x[i],i = 1,n,

(13)

Найдем ошибку фильтрации для обычного ФСС. Получим еИ = т\1] - х[1\i = 1, п.

(15)

Определим ошибку фильтрации для фильтра на основе вейвлета Хаара. Имеем

єіИ = _ х[і], і = 1,п. (17)

Обозначим через д оценку среднеквадратического значения ошибки фильтрации для фильтра на основе вейвлета Хаара. Величина д вычисляется по формуле

Г Є1 =]1 і Єі2[і].

1 V п і=і

Величины дЕ, де и де характеризуют качество работы адаптивного ФСС, обычного ФСС и фильтра на основе вейвлета Хаара.

Блок-схема обычного и адаптивного ФСС приведена на рис. 2,

где 1 - блок вычисления т[к], к = п1 + п2 - 1 + у, у = 0,т1 по формуле (9); 2 - блок вычисления ^[к], к = п1 + п2 - 1 + у, у = 0,т1 по формулам (2), (3), (4); 3 - блок вычисления 2[к\., к = п1 + п2 - 1 + у, у = 0,т1 по формуле (7); ¥ - блок вычисления ¿[к\, к = п1 + п2 - 1 + у, у = 0, т1 по формуле (6).

Рис. 2. Блок-схема обычного и адаптивного ФСС

Обычный ФСС, адаптивный ФСС и фильтр на основе вейвлета Хаара были смоделированы на ЦВМ с помощью программного продукта МЛТЬЛБ 7.0 [5]. Были приняты следующие значения параметров: At = 1; ау = 2; щ = 12; п2 = 12; п0 = 0; ё0 = 2,5; п = 300. Результаты моделирования приведены на рис. 3, 4, 5.

На рис. 3 показаны графики х[\, т[\, I = 1, п (обычный ФСС). На рис. 4 приведены графики х[\, z[i\, I = 1, п (адаптивный ФСС). На рис. 5 показаны графики хЩ, м[\, i = 1,п (фильтр на основе вейвлета Хаара).

Рис. 3. Графики х[/'\, т[/'\ i = 1,п (обычный ФСС)

Рис. 4. Графики х[/'\, z[/'] i = 1,п (адаптивный ФСС)

Рис. 5. Графики х[/'], м/[{] I = 1,п (фильтр на основе вейвлета Хаара)

В результате моделирования работы обычного ФCC, адаптивного ФСС и фильтра на основе вейвлета Хаара получены следующие значения величин ое, о е, ое , оу/о е :

о в = 21,6384; о е = 2,1; о е = 0,604; о у/о е = 2/0,604 = 3,31.

Таким образом, в статье выполнено сравнение качества работы обычного ФСС, адаптивного ФСС и фильтра на основе вейвлета Хаара.

Библиографический список

1. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. - М.: Советское радио, 1975.

2. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. - М.: Мир, 2005.

3. Пахомов Г.И., Пахомов Ю.Г. Применение вейвлетов для обработки сигналов // Вестник ПГТУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007.

4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002.

5. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. МЛТЬЛВ 7. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

Получено 09.07.09