CC BY
180
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 519.633
М. С. Еремеева
CРАВНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ РЕТРОСПЕКТИВНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Посвящена итерационным методам численного решения обратной ретроспективной задачи для параболического уравнения. Проведено сравнение эффективности наиболее популярных в вычислительной практике итерационных методов вариационного типа. Обсуждаются результаты вычислительного эксперимента, проведенные на модельных квазиреальных задачах. Также рассмотрено решение ретроспективной задачи со случайными погрешностями в дополнительном условии.
Ключевые слова: обратная задача, ретроспективная задача, итерационные методы вариационного типа, разностная схема, сглаживание данных.
M. S. Eremeeva
Comparison of Iterative Solving Methods of Inverse Retrospective Heat-Conduction Problem
The article is devoted to iterative methods for solving inverse retrospective problem for a parabolic equation. A comparison of the effectiveness of the most popular of variational iterative methods in computational practice type is done. We discuss the results of numerical experiments conducted on simulated quasi-real problems. Also consider the solution of retrospective problem with random errors in the additional condition.
Key words: inverse problem, retrospective problem, variational iterative method, differencing scheme, data smoothing.
Во многих практических задачах требуется восстановить распределение температуры
тела в начальный момент времени ^ = 0 по измеренной температуре в финальный момент времени t = Т > 0 . Такие задачи называются ретроспективными или начально-краевыми задачами для уравнения теплопроводности с обратным временем [1-2]. Задачи такого рода являются некорректными, поскольку малым изменениям конечного условия могут соответствовать сколь угодно большие изменения решения [1]. Методы регуляризации таких
ЕРЕМЕЕВА Майя Семеновна - аспирант ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.
E-mail: [email protected]
ЕREMEEVA Maya Semenovna - Postgraduate Student of Department of applied mathematics of Institute of mathematics and informatics of the M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.
E-mail: [email protected]
задач описаны в монографиях [1, 3]. Численную реализацию методов решения обратных задач математической физики можно найти в книге [4].
В статьях [5-6] рассматриваются методы решения обратной задачи термальной эволюции земной мантии. Так, в работе [5] использован метод квазиобращения, где задача заменяется аналогичной с регуляризирую-щим параметром. Метод показал приемлемую точность восстановления для модельной и реальной задач [6]. Итерационный метод показал достаточно высокую точность восстановления начальных условий для рассмотренных задач.
Поставленная обратная задача решается общими итерационными методами, представленными разными авторами. Методы хорошо описаны в монографиях [7-8].
Аналогичная задача для уравнения теплопроводности, решенная итерационным методом, была представлена в статье [9] для задачи свободной конвекции в работах [10-11]. Применимость
итерационных методов для задач конвекции-диффузии рассмотрена в [12]. Для гиперболического уравнения в [13] был применен метод сопряженных градиентов. В [14] рассматриваются различные модификации вариационного метода для неоднородного уравнения Бюргерса. Аппроксимация негладких решений ретроспективной задачи была описана в монографии [15]. Обратные задачи восстановления внешнего воздействия для многомерных гиперболических уравнений рассмотрены в [16-18].
В данной работе проводится сравнительный анализ некоторых итерационных методов для решения обратной ретроспективной задачи теплопроводности. Также рассмотрен расчет задачи с входными данными, заданными с погрешностью, и сглаживание подобных данных.
Обратная задача.
В качестве модельной рассмотрим задачу определения решения нестационарного уравнения теплопроводности, заданной в прямоугольной области
П = {д|д = (хн,д2), 0 <ха < I, а = 1,2}
ди <п д а, 1 х ди\ _
ди-^дд" (* ««д^Ь0 (0
х = (хн,х2) е П, 0 < Л < г,
удовлетворяющее однородным граничным условиям
и(х,г) = 0,0 < г < Т, х едО. (2)
Ставится задача найти распределение температуры и (х, у,0Д при дополнительной информации в коне(ныйх)мент времени t = Т :
и(х,Т ) = (р(х), хЕ О. (3)
Неизвестном начальное условие обозначмм
и(х,0) =ону(хс),ха О. (4)
Необходимо найти такое начальное условие (4), что при этом распределение температуры в конечный момент времени будет удовлетворять условию
(5)
^ н= ШОнЧ2^ <
du dt
+ Аи = 0, х Е о,0 < I < Т, (6)
где оператор А соответствует разностному оператору
Рм = -Еаон (На(х)Мрт)Хт, X е Ш (7) заданному на равномерной сетке
(О = {(Хц,х2}) = (Н,0 < I, у < N,ЫН = L}.'
Обозначим через и" разностное решение на момент времени t = ПТ, где Т > 0 - шаг по времени, П = 0,1,...,М . Запишем неявную схему
п+1 п
и — и
Л(ип+1 ) = 0, п = 0,1,..., М — 1, (8)
и0 = У, X Е (.
(9)
Для разностной схемы (8), (9) запишем операторную форму лировку
М СМ 0
и =х Л и ,
где £ - оператор пе°ехода с одного временного слоя на слерющ ий:
5 = Е + тА.
Сопоставим обратной задаче (1)-(3) операторное уравнение
_ сМ
Лу = р, Л = 5
(10)
где 11 Гп 11 - норма невязки.
Рассмотрим соответонвующух щея^ю задачу, заданную (1)-(2) с начальным условием (4). Перейдем к дифференциально-операторному уравнению
где V - искомое начальное, ф - известное финальное условия.
В силу самосопряженности оператора А самосопряженными являются оператор перехода £ и оеератор <Л =]. Д2} чисто неявной схемы <Л является также положительным.
Итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности, сходнщей)я к точному решению поставленной задачи. Процесс построения прекращается при достижении необходимой точности, при этом получаем приближенное решение [7-8].
Канонический вид двухслойной итерационной схемы представим в виде:
Ук+1 — Ук
В—--+ ЛУк = Ц)} к = 0,1,..., (11)
Л-к+1
здесь Vk - последовательность приближенных решений V, к - номер итерации, В -предобуславливатель, при В = Е получаем явную итерационную схему.
Т
Используем обозначения: Шк = В ^ - поправка, Г - невязка, получаем
гк = Лук - <р, к = 0,1,... (12)
В зависимости от способа вычисления итерационного параметра +1 получаем тот или иной итерационный метод. Так, если Лк+1 = X не зависит от номера итерации, к метод называется методом простой итерации (Ландвебера [1]). При
К,, — --т,к — 01..., (13)
"k+1
(D^k )
+ ((-ак+i )Bvk-i + ак+A+(
к = 1,2,..., Bv1 =(B - X1 A)v0 + \q>,v0 e H,
где ак+1, хк+1 определяются формулами
(Dak, zk) К + 1 = ~-Г 5 k = 0,1 ...5
ak+1 =
(D®k У
К+i (Dak, К {Dak-i, -i)
k = 1,2,..., a1 = 1.
a
-i
(17)
удовлетворяющую уравнению (1) и дополнительным условиям (2)-(3).
Для соответствующей прямой задачи
и( = ихх,0 < х < L,0 < г < Т, (18) и (о, г) = и t) = 0,0 < г < т, (19)
u
(x,0)=v(X), X е[0, /] (20)
использована неявная разностная схема:
u
n+1
u,.
u
получаем семейство итерационных двухслойных методов вариационного типа в зависимости от выбора оператора В При Б = А имеем метод скорейшего спуска D = А А - мет од минимальных невязок. D = А В-А - метод минимальных поправок. В = (А ) В0, D = В0 - метод минимальных погрешностей. Отметим, что формула (13) получена из условия обеспечения минимума нормы погрешности zk+1 = Ук+1 — V .
Для трехслойных итерационных вариационных методов приближения вычисляются по следующей схеме
Bvk+i = ak+1 ( - \+1 +
n+l i-1
r\ n+l | n+l 2U i + U i+1
h 2
,n = 1,2,..., N.
(21)
За точное решение V (X) обратной задачи примем численное решение соответствующей прямой задачи с заданными начальными условиями (рис. 1):
с,0)
u (x,0) = v(x) = i
(14)
(15)
(16)
X /0.3, 0 < X < 0.3, (1-х)/0.7, 0.3 < х < 1.
Расчеты проводились для разных размеров сетки и для разной точности. Общее расчетное время берется + = 0.1. За это время процесс распределения температуры не уходит в стационар (еще сильно влияние начальных условий).
Общий алгоритм итерационного процесса выглядит следующим образом:
1. Выбираем для V (х) начальное приближение, (в проведенном эксперименте, например, нулевое). При использовании трехслойных методов также вычисляем невязку и первое приближение (15).
2. Для каждого нового приближения вычисляем невязку по формуле (12).
3. При достижении достаточной точности завершаем итерационный процесс.
4. Находим итерационные параметры
Л
к+1
а
к+1
для трехслойных схем (16)-(17), Л
к+1
В статье рассмотрены следующие методы: простых итераций (Prost), минимальных невязок (MinRes), скорейшего спуска (MSS), сопряженных градиентов (CG), сопряженных невязок (CRes).
Одномерная задача
В этом разделе применим описанные выше итерационные методы для одномерной задачи. Требуется определить функцию u Е C2 ((0, L)x(0, T)),
для двухслойных (13).
5. Подставив полученные параметры в (11) или (14), получим новое приближение искомой функции.
Результаты
На рис. 2-4 представлены сравнительные графики сходимости различных методов для размера сетки N = 50,100,200 соответственно. На левом рисунке по вертикальной оси отложена логарифмическая шкала времени, на правом - количество итераций.
Для наглядности приведем сравнение последовательных приближений начальных условий для методов сопряженных градиентов и простых итераций N = 50, £ = 10 (рис. 5).
Рис. 1. Псевдоточное решение (решение прямой задачи)
- М|пЬ:е5 100 ■МЗЭ
Ргоэ*
- С6 -СргеЕ
- М|пР{е5
-мэз
РГ05Г
- се
- П-:-:
2.1.Времявычисления, с 2.2.Количествоитераций
Рис. 2. Сравнение методов для N=50
-
- МЕЕ
р-оз: -СБ
- СРет
- М '¡Яеь
- МЕЕ РГ051
-аз
- ;:н:'
3.1.Времявычисления, с 3.2.Количествоитераций
Рис. 3. Сравнение методов для N=100
■ М|пРев
■ МББ РГОБ!
■ се
• СРев
■ М|пРеЕ
■ МББ РГОБ!
-се
■ СРеЕ:
4Л.Времявычисления, с
4.2.Количествоитераций
Рис. 4. Сравнение методов для N=200
5.1.Методсопряженных градиентов
5.2.Методпростыхитераций
Рис. 5. Восстановление начальных условий
Приведем таблицу результатов вычислительного эксперимента для разных методов, сеток и точности (табл. 1).
Здесь и далее некоторые ячейки таблиц остались незаполненными ввиду того, что решение с соответствующими параметрами занимает очень много времени и не имеет значимого влияния на результат работы.
Из приведенных результатов м ожно судить о быстрой сходимости методов вариационного типа по сравнению с методом простой итерации, также о меньшей чувствительности их к начальному приближению.
Двумерная задача
В данном разделе рассмотрим те же итерационные методы применительно к двумерной постановке.
Требуется определить распределение температуры и Е С2 ((0,L)х(0,L)x(0, Т)) , удовлетворяющее уравнению (1) и граничным условиям Дирихле (2).
Для соответствующей прямой задачи
и{ = Аи, X Е П, 0 < ^ < Т, (22) и(х,/) = 0,хе дП',0 < I < Т, (23)
и{х, 0) =у{х), х Е П
использована неявная разностная схема:
П + 1 П П+1 ГЬ П+1 I П + 1
и, + д и,т ид ,т д 2ип + + и+1 ,т
т
К
иГ, д 2иП+1 + ип+
, т+1
(24)
(25)
аналогами
с соответствующими дискретными граничных и начальных условий (23)-(24).
За точное решение V (х) обратной задачи примем численное решение соответствующей прямой задачи с заданными начальными условиями (рис. 6):
и (х,0) = v(x) = 10 g (х1 )g (х2
*(* ) =
5/0.3, 0 < 5 < 0.3, (1-5)/0.7, 0.3 < 5 < 1.
Расчеты проводились для разных размеров сетки и для разной точности. Общее расчетное время берется
Т = 0.1.
Таблица 1
Скорость расчета одномерной задачи для различных методов сеток и точности
Количество итераций Время счета
Метод\е 10-2 10-3 10-4 10-2 10-3 10-4
MinRes 3 3 4 0.27 0.28 0.32
о MSS 3 4 5 0.24 0.40 0.40
in II Prost 43 144 249 2.86 13.25 13.57
й CG 2 2 2 0.18 0.24 0.15
CRes 2 2 3 0.35 0.36 0.46
MinRes 3 3 4 1.97 2.20 2.88
CD MSS 3 4 5 1.98 3.51 3.75
II Prost 59 168 283 34.88 96.90 144.29
£ CG 2 2 2 1.44 1.52 1.41
CRes 2 2 3 2.84 2.98 4.36
MinRes 3 3 4 29.53 31.08 50.07
о MSS 4 4 5 45.01 47.59 64.99
<N II Prost 77 190 312 598.10 1611.25 2751.54
£ CG 2 2 2 21.82 23.56 25.12
CRes 2 2 3 47.70 43.91 45.94
Результаты
На рис. 7-9 представлены сравнительные графики сходимости различных методов для размера сетки N = 25,50,100 соответственно. На левом рисунке по вертикальной оси отложена логарифмическая шкала времени с, на правом - количество итераций.
Приведем таблицу результатов вычислительного эксперимента для разных методов, сеток и точности для двумерной модели (табл. 2).
Из таблицы видно, что трехслойные итерационные обыгрывают двухслойные количеством итераций и временем счета. Но метод сопряженных градиентов
7.1.Времявычисления, с
7.2.Количествоитераций
Рис. 7. Сравнение методов для N=25
-
■ МвБ РГ051
-се - сгеэ
- МББ Ргоз1
-СБ
- СГС5
8.1.Времявычисления, с
8.2.Количествоитераций
Рис. 8. Сравнение методов для N=50
-МЕЙ Рго5г
-се
- Сгез
- МтРег
- М55
-се
- Сгез
9.1.Времявычисления, с
9.2.Количествоитераций
Рис. 9. Сравнение методов для ^=100
сходится с меньшим количеством итераций, нежели метод сопряженных невязок. При этом время счета отличается практически в два раза. Это объясняется большим количеством операций, совершаемых в одной итерации в методе сопряженных невязок. Двухслойные методы также существенно отличаются между собой. Это более значимо для высоких точностей.
Также иногда наблюдается уменьшение числа итераций с повышением точности. Это объясняется тем, что внутри каждой итерации решается прямая
задача, точность которой зависит от точности, заданной для решения основной задачи.
Погрешность входных данных Рассмотрим аналогичную двумерную задачу с входными данными р (х), установленными с погрешностью. В отличие от предыдущих экспериментов в этом случае имеющиеся конечные условия (3) зададим с погрешностью, как в [9,12]
= у + 8о(х),
Таблица 2
Скорость расчета двумерной задачи для различных методов сеток и точности
Метод\е Количество итераций Время счета
10-2 10-3 10-4 10-2 10-3 10-4
MinRes 3 16 225 0.81 5.88 93.44
in MSS 4 172 650 1.18 68.81 298.95
<N II Prost 348 2204 11728 66.75 446.21 2628.39
Й CG 2 3 5 0.78 1.23 2.18
CRes 2 4 6 1.29 2.50 3.91
MinRes 3 42 234 13.15 302.35 1782.99
О MSS 4 136 926 19.83 1055.32 7592.82
in II Prost 488 3935 22370 1452.58 12100.89 77434.35
й CG 2 4 5 13.28 30.26 39.71
CRes 2 4 7 21.61 46.60 84.05
MinRes 20 48 207 2349.20 6123.18 28849.37
CD MSS 12 464 1687 1481.07 63574.82 368234.59
II Prost - - - - - -
£ CG 4 6 5 525.15 787.64 705.91
CRes 4 7 7 820.73 1371.64 1497.97
где С (X) - псевдослучайные величины, распределенные на интервале I —1,1 , а 5 - уровень погрешности входных данных. Здесь вычисления проводились с точностью £ = О ).
Более гладкое решение ф получали путем задания сглаживающего оператора:
V ф = -иф хх + ф.
Параметр а определяет степень сглаживания,
он подбирается в зависимости от задачи для максимального сглаживания без сильного искажения входных данных. Здесь а =
Вычислительный эксперимент проводился для уровней погрешности
5 = 10 ,5-10 ,10-3 , что соответствует 1,0.5,0.1 %%.
Приведем таблицы вычислений с различными параметрами для задач с зашумленными входными данными (табл. 3) и для задач с применением сглаживания входных данных, заданных с погрешностью (табл. 4).
Таблица 3
Скорость расчета с зашумленными данными
Метод\е Количество итераций Время счета
10-2 5 • 10-3 10-3 10-2 5 • 10-3 10-3
MinRes 2 3 3 0.40 0.73 0.77
in MSS 2 4 4 1.87 1.24 1.29
2 и Prost 12 49 278 1.87 8.69 53.58
Й CG 1 2 2 0.39 0.75 0.78
CRes 1 2 2 0.68 1.16 1.24
MinRes 2 3 3 13.63 27.54 29.39
о MSS 2 4 4 18.18 45.79 49.35
5 и Prost 12 38 306 68.26 248.77 980.22
Й CG 1 2 2 15.02 26.68 28.76
CRes 1 2 2 24.47 40.50 45.64
MinRes 2 3 3 124.35 254.27 262.00
о MSS 2 4 4 179.95 445.00 462.88
II Prost 13 35 309 725.02 2239.02 21468.57
£ CG 1 2 2 124.57 255.01 262.65
CRes 1 2 2 222.75 404.73 437.52
Таблица 4
Скорость расчета со сглаженными данными
Количество итераций Время счета
Метод\е 10-2 5 • 10-3 10-3 10-2 5 • 10-3 10-3
MinRes 2 3 3 0.38 1.50 1.86
in MSS 2 3 4 0.48 1.67 3.31
2 II Prost 11 35 275 1.66 13.52 118.07
й CG 1 2 2 0.38 1.58 1.95
CRes 1 2 2 0.66 2.56 2.95
MinRes 2 3 3 12.93 26.86 29.69
о MSS 2 2 4 18.49 20.26 49.91
5 II Prost 10 30 304 55.88 201.60 2189.92
й CG 1 2 2 13.21 26.32 28.68
CRes 1 2 2 24.28 41.72 46.52
MinRes 2 2 3 212.71 154.06 262.76
CD MSS 2 2 4 309.76 223.50 463.47
II Prost 10 29 304 925.80 2040.76 20975.12
£ CG 1 1 2 218.07 149.54 263.09
CRes 1 1 2 403.81 284.38 438.93
Выводы
Приведенные результаты применения различных итерационных методов показывают выгоду использования методов вариационного типа. Так как специфика задачи самосопряженность и положительность оператора A позволяет использование градиентных методов, приоритет использования последних, например, метода сопряженных градиентов, становится очевидным. Это более ощутимо для больших сеток и для получения искомого результата за минимальное число итераций. В остальных случаях может иметь смысл использование метода минимальных невязок в силу его более простой реализации и относительно хорошей сходимости.
Рассмотренные методы также подходят и для решения задач с входными данными, заданными с погрешностью. Вычислительный эксперимент показал небольшую разницу в скорости сходимости методов при сглаживании и без. Но при этом сглаживание позволяет решить задачу с точностью, с которой заданы входные данные, в отличие от зашумленных данных, где решение восстанавливается лишь с точностью порядка входных данных. Также применение сглаживающего оператора позволяет избежать подбора точности, при которой начинает сходится метод.
Л и т е р а т у р а
1. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. -Москва: Издательский центр Академия, 2008.
2. Beck J. V. Inverse heat conduction: Ill-posed problems. James Beck, 1985.
3. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. - Наука, 1989.
4. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. - М.: URSS, 2007.
5. Ismail-Zadeh A. et al. Quasi-reversibility method for data assimilation in models of mantle dynamics // Geophysical Journal International, - 2007. - Т. 170. - №. 3. - С. 1381-1398.
6. Ismail-Zadeh A. et al. Numerical techniques for solving the inverse retrospective problem of thermal evolution of the Earth interior // Computers & Structures, - 2009. - Т. 87. - № 11. -С. 802-811.
7. Saad Y.Iterative methods for sparse linear systems. -Siam, 2003.
8. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - Наука, 1978.
9. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование, - 1997. - Т. 9. - № 5. - С. 119-127.
10. Tsepelev I. A. Iterative algorithm for solving the retrospective problem of thermal convection in a viscous fluid // Fluid Dynamics, 2011. - Т. 46. - № 5. - С. 835-842.
11. Цепелев И. А. Итерационный алгоритм решения ретроспективной задачи тепловой конвекции вязкой жидкости // Вычисл. мех. сплош. Сред, 2011. - Т. 4. - № 2. - С. 119-127.
12. Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения // Материалы Десятой Международной конф. Казань: Казанский университет, 2014. - С. 162-166
13. Короткий А. И., Цепелев И. А. Решение ретроспективной обратной задачи для одной нелинейной эволюционной модели // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2003. - Т. 9. - № 2. - С. 73-86.
14. Цепелев И. А. Аппроксимация негладких решений
ретроспективной задачи для модели конвекции-диффузии // Математики и механики УрО РАН, 2012. - С. 281.
15. Павлов С. С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2010. - Т. 17. - № 1. - С. 93-99.
16. Павлов С. С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным преопределением // Математические заметки ЯГУ, 2011. - Т. 18. - № 1. - С. 81-93.
17. Павлов С. С. Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении // Вестник Челябинского государственного университета, 2011. - № 26. - С. 27-37.
R e f e r e n c e s
1. Kabanihin S. I. Obratnyie i nekorrektnyie zadachi. -Moskva: Izdatelskiy tsentr Akademiya, 2008.
2. Beck J. V. Inverse heat conduction: Ill-posed problems. James Beck, 1985.
3. Bakushinskiy A. B., Goncharskiy A. V. Iterativnyie metodyi resheniya nekorrektnyih zadach. - Nauka, 1989.
4. Samarskiy A. A., Vabischevich P. N. Chislennyie metodyi resheniya obratnyih zadach matematicheskoy fiziki. -M. : URSS, 2007.
5. Ismail-Zadeh A. et al. Quasi-reversibility method for data assimilation in models of mantle dynamics // Geophysical Journal International, - 2007. - T. 170. - №. 3. - S. 1381-1398.
6. Ismail-Zadeh A. et al. Numerical techniques for solving the inverse retrospective problem of thermal evolution of the Earth interior // Computers & Structures, 2009. - T. 87. -№ 11. - S. 802-811.
7. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. -Siam, 2003.
8. Samarskiy A. A., Nikolaev E. S. Metodyi resheniya setochnyih uravneniy. - Nauka, 1978.
9. Samarskiy A. A., Vabischevich P. N., Vasilev V. I.Iteratsionnoe reshenie retrospektivnoy obratnoy zadachi teploprovodnosti // Matematicheskoe modelirovanie. 1997. -T. 9. - № 5. - S. 119-127.
10. Tsepelev I. A. Iterative algorithm for solving the retrospective problem of thermal convection in a viscous fluid // Fluid Dynamics, 2011. - T. 46. - № 5. - S. 835-842.
11. Tsepelev I. A. Iteratsionnyiy algoritm resheniya retrospektivnoy zadachi teplovoy konvektsii vyazkoy zhidkosti // Vyichisl. meh. splosh. Sred, 2011. - T. 4. - № 2. - S. 119-127.
12. Vabischevich P. N., Vasilev V. I. Iteratsionnoe reshenie zadachi Dirihle dlya giperbolicheskogo uravneniya // Materialyi Desyatoy Mezhdunarodnoy konf. Kazan: Kazanskiy universitet, 2014. - S.162-166.
13. Korotkiy A. I., Tsepelev I. A. Reshenie retrospektivnoy obratnoy zadachi dlya odnoy nelineynoy evolyutsionnoy modeli // Trudyi Instituta matematiki i mehaniki UrO RAN, 2003. -T. 9. - № 2. - S. 73-86.
14. Tsepelev I. A. Approksimatsiya negladkih resheniy retrospektivnoy zadachi dlya modeli konvektsii-diffuzii // Matematiki i mehaniki UrO RAN, 2012. - S. 281.
15. Pavlov S. S. Issledovanie obratnoy zadachi vosstanovleniya plotnostey istochnikov odnomernogo volnovogo uravneniya // Matematicheskie zametki YaGU, 2010. - T. 17. -№ 1. - S. 93-99.
15. Pavlov S. S. Obratnaya zadacha vosstanovleniya vneshnego vozdeystviya v mnogomernom volnovom uravnenii s integralnyim preopredeleniem // Matematicheskie zametki YaGU, 2011. - T. 18. - № 1. - S. 81-93.
17. Pavlov S. S. Razreshimost obratnoy zadachi vosstanovleniya vneshnego vozdeystviya v mnogomernom volnovom uravnenii // Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta, 2011. - № 26. - S. 27-37.
^iHiMir
