CC BY
56
О.В. Пьянков,
кандидат технических наук
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
Известно, что при исследовании систем различного назначения часто приходится рассматривать внутренние взаимодействия её элементов, которые характеризуются либо как конфликтные отношения, либо как отношения сотрудничества, либо как нейтральные [1]. При этом последние часто не рассматриваются, так как считаются несущественными. Для характеристики системы в целом и ее отдельных элементов используются оценки сбалансированности [2]. При этом в зависимости от прикладного характера решаемой задачи считают, что наличие (отсутствие) конфликтных взаимодействий отрицательно (положительно) влияет на функционирование системы в целом, а система при этом считается несбалансированной (сбалансированной).
Однако оценки сбалансированности не дают четкого понимания процессов, происходящих в системе и изменений состояний самих элементов при внешних управляющих воздействиях. В связи с этим возникает необходимость количественного описания взаимодействий между элементами системы.
Рассмотрим способы задания весов, основанные на изменениях состояний элементов до и после управляющего воздействия. Пусть исследуемая система представлена в виде ориентированного графа 0=(Х, и), где Х — множество вершин графа, соответствующих элементам системы, и — множество дуг, соответствующих бинарным отношениям между элементами системы. Пусть в начальный момент состояние каждого элемента количественно равно х0
(весу соответствующей вершины). Пусть из вершины хг в вершину х, имеется дуга и
и ■
х иг] х]
о--------------------ю
Пусть на элемент системы х г действует управляющее воздействие такое, что изменяет его состояние до х1, что приводит к изменению вершины хдо значения х1 .
Для исследования системы немаловажным является тогда количественная характеристика дуг графа. Рассмотрим возможный способ задания веса дуги и,:
х1, х1
и, = -0 --0. 0)
х, х г
Значение веса при данном способе может быть как отрицательным, так и положительным, при этом нет возможности по весу определить, в каких отношениях находятся смежные вершины — конфликтных или отношениях сотрудничества. Но после определения весов дуг графа нахождение состояния любой вершины после подачи управляющего воздействия может производиться в соответствии со следующим утверждением.
Утверждение 1. Пусть в начальный момент вес одной из вершин графа равен
х0 и существует единственный простой путь из хг в х,, тогда вес вершины х 1 после изменения элемента х г вычисляется по следующей формуле:
Г ..1 ^
• х0 =(ЕиЫ + к)' х/, (2)
х1 =
х]
х,- /
где К = ~0, Еиы это сумма весов дуг простого пути из вершины х, в вершину х, (х г,
хг
игЬ хЬ ■■■, ulj, х,.
Другим возможным способом задания веса дуги и,, является следующий:
х1/ х,
и, = . (3)
хг/х,
При данном способе задания веса дуги значение и, всегда больше нуля, причем по его значению можно определить пропорциональность изменения смежных вершин. Если и, = 1, то изменения пропорциональны, в остальных случаях лишь по одному значению и, судить о характере связи сложно. Однако, как и в предыдущем случае, расчет весов вершин может происходить в соответствии со следующим утверждением.
Утверждение 2. Пусть в начальный момент вес одной из вершин графа равен
х0 и существует единственный простой путь из хг в х,, тогда вес вершины х 1 после изменения элемента хг вычисляется по следующей формуле:
х) =Пиы • , 0 х = х0 • К-Пик1, (4)
х,
1
х
где К =—о, Пик1 — это произведение весов дуг простого пути из вершины хг в верши-
хг
ну х, (х,, и1к, хк, ..., и,, х)
Еще один способ задания весов дуг выглядит следующим образом:
1 о х, - х,
иг, = ~1--0 . (5)
х, - хг
Значения весов при данном способе изменяются в интервале (-¥, + ¥. Характерным является то, что по знаку дуги можно легко судить о характере связи между вершинами:
- если и, > 0 , то имеет место отношение сотрудничества,
- если и, < 0 — отношение конфликта,
- если и , = 0 — нейтральное отношение,
- если и, = +¥ или и, = -¥, то имеют место отношения суперсотрудничества или суперконфликта соответственно, когда малому изменению вершины хг соответствует бесконечно большое изменение вершины х, .
Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет давать количественную характеристику весам дуг в графовой модели системы и проводить исследования с учетом оценок сбалансированности.
В соответствии с (5) расчет весов вершин может происходить в соответствии со следующим утверждением.
Утверждение 3. Пусть в начальный момент вес одной из вершин графа равен
х0 и существует единственный простой путь из хг в х,, тогда вес вершины х 1 после изменения элемента хг вычисляется по следующей формуле:
х1 = х0 + Ах,- П иг, , (6)
где Ахг = х1 - х0, Пиы — это произведение весов дуг простого пути из вершины хг в вершину х, (х г, Пгк, хк, ..., и,, х)
Следует отметить, что при условии непрерывности изменения весов вершин (если они являются некоторыми функциями, т.е. х, = /(хг)) вводимый способ задания веса
дуги может быть преобразован к следующему виду:
» ^ /(х +Ах< >- /<х > = /(х), (7)
Ахг ®0 Ах,
где Ах, = х1 - х0 — изменение веса вершины.
Данная оценка совпадает с определением производной функции. Тогда, если приращение Ахг мало по абсолютной величине, то
/(хг + Ах,) » /(х,0)+ /(хг) •Ах,. (8)
И для утверждения 3 выражение (6) примет вид
х1 = х0 + Ах, • П /,(хк), (9)
к=г
где П/(хк) — произведение производных простого пути вершины хг в вершину х, (хг,
к=г
игЬ xk, ■■■, 'ulj, х,).
Все три способа количественного описания взаимодействий элементов могут быть использованы при исследовании широкого спектра разнообразных систем. Варианты (1), (3) позволяют построить систему линейных уравнений, связывающую элементы системы, рассмотреть динамику изменения состояний элементов системы, а решив систему линейных уравнений, найти состояние равновесия. К существенному недостатку такого способа можно отнести необходимость выполнения ряда ограничений:
- отсутствие нулевых значений состояний вершин;
- рассмотрение только линейных зависимостей между элементами исследуемой системы.
Использование варианта (5) также может быть применено только лишь при рассмотрении линейных зависимостей между элементами системы.
Способ (7) приведет к построению систем дифференциальных уравнений. Однако его можно применять лишь при малых приращениях, а увеличение длины пути приведет к накоплению погрешностей при расчетах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сысоев В.В. Конфликт. Сотрудничество. Независимость. Системное взаимодействие в структурно-параметрическом представлении / В.В. Сысоев.— М.: Московская академия экономики и права, 1999.— 151 с.
2. Меньших В.В. Оценки сбалансированности графа системы и конфликтности её элементов / В.В. Меньших, О.В. Пьянков // Математическое моделирование информационных и технологических систем: сб. науч. тр.— Вып. 6 / ВГТА.— Воронеж, 2003.— С. 157—159.
