CC BY
40
УДК 528.335
СПОСОБЫ УРАВНИВАНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
(в порядке обсуждения) И. А. Шлемов, А. В. Гальянов
Представлено полное решение задачи уравнивания треугольника по способу наименьших квадратов и упрощенному способу, разработанному А. В. Гальяновым.
Ключевые слова: уравнительные вычисления; решение треугольника; способ наименьших квадратов; упрощенный способ уравнивания.
В специальной и учебной литературе по уравниванию геодезических триангуляционных сетей и маркшейдерских сетей сгущения рассматриваются примеры уравнительных вычислений достаточно сложных геометрических фигур, начиная с четырехугольника и т. д. Вместе с тем основой этих сетей является треугольник, решение которого не рассматривается, а ограничивается правилом: угловая невязка «разбрасывается» на все углы поровну с обратным знаком. Если принять во внимание то, что угловая невязка есть просто некомпенсированные ошибки измерения углов [1], а не точность угловых измерений, то решение треугольника приобретает методическую целесообразность.
Геометрические основы решения треугольника. Решение треугольника в системе геодезических сетей есть нахождение «истинных» значений его элементов по результатам непосредственных измерений. У плоского треугольника имеется 6 элементов: 3 стороны и 3 угла. Для решения треугольника используются три основные теоремы: косинусов, синусов и суммы углов:
аур +Рур + Yyp =180°;
ур
ур
Sin Y ур Sin а ур Sin р ур
с, = Ja2 + b2 - 2a b cos у
o M ур ур ур ур 'у
В общем виде, для определения координат точки С достаточно измерить длину одной из сторон и ее дирекционный угол, при известной исходной стороне АВ (рис. 1).
Конечный результат вычислений по определению координат точки С через базисные пункты А и В имеет вид:
ХС (A) = XA + b cos а; УС (A) = Ya + b sin а;
XС (В) = Xb +а cos (l80° -р) YС (В) = Ys + а sin p.
(1)
Известно, что для решения треугольника необходимое и достаточное количество исходных данных равно трем, причем один из них должен быть обязательно линейным, в противном случае, решением будет бесконечное множество подобных треугольников.
Схема уравнительных вычислений по способу наименьших квадратов. Исходными данными для уравнивания треугольника по способу наименьших квадратов являются измеренные углы а, в и у, измеренные стороны a и b при известном базисе с0. Уравнять треугольник - значит привести соотношение его элементов к требованиям геометрии [2] путем решения независимых уравнений, количество которых равно: r = n - k, где r - количество независимых уравнений; n - число всех измеренных величин (включая базис); k - необходимое их количество.
Угловая невязка в треугольнике ABC
а+р + у-180о =га.
Принимая, что da, dp и dy рассматриваются как ошибки непосредственных измерений углов, будем иметь
d а + dp + d у = ю. (2)
Из теоремы косинусов после дифференцирования получаем
dср1 = da cos Р + db cos а = ср1 - с0.
Из теоремы синусов по стороне a после дифференцирования получаем
, с0 d у dср 2 = da--+ ^ctg у--
с
0
-с0с^ а— = ср2 -с0.
Р
Таким образом, имеем три независимых уравнения с пятью неизвестными параметрами.
На основе данной системы условных уравнений составляется матрица В - матрица коэффициентов линейных уравнений поправок. Она содержит частные производные от функций, вычисляемые по результатам измерений. По этим данным составляется Qw - матрица обратных весов. После обращения
получается матрица Qw1 - матрица коэффициентов уравнений коррелат.
Матрица В составляется по схеме
#1,3 = #3,1 = Ь1,1Ь3,1 + Ь1,2Ь3,2 + Ь1,3Ь3,3 + Ь1,4Ь3,4 + +Ь1,5Ь3,5 ;^2,2 = Ь2,1 + Ь2,2 + Ь1з + Ь1,4 + Ь1,Ъ; #3,2 = #2,3 = Ь2,1Ь3,1 + Ь2,2Ь3,2 + Ь2,3Ь3,3 + Ь2,4Ь3,4 +
+ь2,5Ь3,5 ; д3,3 = ь1л + Ь322 + ь323 + Ь324 + Ь325.
Для обращения Qw составляется матрица и по схеме
Ьц Ь1,2 Ь1,3 Ь1,4 Ь1,5
B = Ь2,1 Ь2,2 Ь2,3 Ь2,4 Ь2,5
Ь3,1 Ь3,2 Ь3,3 Ь3,4 Ь3,5
да да да
Ь11 = — = 1; Ь1 2 = — = 1; Ь1 3 = — = 1; да др ду
да , да дАс
Ь1,4 = —=0; Ь1,5 = —=0; Ь2,1 = я
да дЬ да
pi
= 0;
Ь2,2 = ■
дАс
pi
др
= 0;
Ь2,3 ="
дАс
pi
аЬ
ду
=-sin у; Ь2 4 = —— cos Р;
cpiP
"pi
с с
Ь25 = —°^cosа;Ь31 =- 0
Ь3,2 ="
"pi дАс
p 2
др
= 0; Ь33 =-
р tan а
AS 2 _ с0
ду р tan у
Ь =. Ь =Azi=0
¿/34 ?35 •
да sin а дЬ
Матрица Qw конструируется из матрицы B по схеме
#1,1 #1,2 #1,3
0 =
#2,1 #2,2 #2,3 #3,1 #3,2 #3,3
#1,1 = Ь1Л + Ьи + Ьи + Ьи + Ьи ; #1,2 = #2,1 =
= Ь1,1Ь2,1 + Ь1,2Ь2,2 + Ь1,3Ь2,3 + Ь1,4Ь2,4 + Ь1,5Ь2,5 ;
Ü1,1 U 1,2 Ü1,3
и = ü 2,1 и3,1 U 2,2 ü3,2 U 2,3 и3,3 ?
Ü1,1 =, /#17 ;и1,2 = ü 2,1 II ;Ü1,3 = и3,1 =
Ü1,2Ü1,3 -
II -у/#2,2 ü1,2 ;ü2,3 II
ü 2,2
Ü3,3 = Л/ #3,3 - ü 2 - ü 2 2,3 •
Л О
Рис. 1. Схема определения координат точки С
Составляется матрица обратная матрице Q по схеме
Q'1 =
а1,1 а1,2 а1,3
а2,1 а2,2 а2,3
а3,1 а3,2 а3,3
i
2,3
°3,3 = и2 ; °3,2 = °2,3 = и и2 ; °3,1 = °1,3 = U 2,3 U 2,2u 3,3
°3,2U1,2 + a3,3U1,3
и
a2,2 =
a2,3U2,3U2,2 i ü2 :
r
°2,2U1,2 + °2,3U1,3
U
1,1
ü1,2U1,2Ul,1 + Ü1,3U1,3UU - 1
U
1,1
вид
Уравнения коррелат К принимают общий
К1 =-( «1,1Ю+ «1,2 Ас р1 + а1,3Ас р 2 ); К2=-(«2,1Ю+ «2,2Аср1 + «2,3Аср2 ) ;
К3=-( а31ю + а32Аср1 + а33Аар 2 ).
В результате уравнения поправок в измеряемые параметры треугольника определяются из выражений
ва = V = Ъ11К1 + Ъ21К2 + Ъ31К3;
8р = V, = Ъ1,2 К1 + Ъ2,2 К2 + Ъ3,2 К3;
ву = V; = Ъ13 К1 + Ъ2 3 К2 + Ъ3 3 К3; ва = = ^ + Ь2,4 + Ь3,4
sb = V5 = ¿15 K + b2 5K2 + b3 5 K3 ;
а ур = а + sa;
Р ур = P + sP;Y ур = Y + sY;
аур = a + sa ; Ьур = b + sb.
ур
вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а угол, опирающийся на диаметр -прямой. Таким образом, если построить диаметр AjC (рис. 2), то образованный треугольник AlBC будет прямоугольным, а углы BAC и BAXC - равными а, так как опираются на дугу ВС.
А1
Рис. 2. Схема доказательства следствия из теоремы синусов
По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
sin Za =
BC BC
AC 2R
В конечном результате по уравненным параметрам треугольника ABC находятся координаты точки С. Контролем правильности вычислений служит выполнение условий (1).
Приведенное развернутое решение треугольника положено в основу составления компьютерной программы для исследования влияния формы и ошибок непосредственных измерений на результат уравнительных вычислений.
Схема уравнительных вычислений по способу А. В. Гальянова. В основе данного способа уравнивания [1] лежит следствие из теоремы синусов, связывающее стороны треугольника с диаметром описанной вокруг данного треугольника окружности.
Доказательство данного следствия основано, в свою очередь, на следствии из теоремы о вписанном угле, доказывающей, что
Отсюда
2R =
BC
sin Za
Аналогично доказывается подобное равенство для других сторон треугольника.
В схеме, приведенной в [1], параметр 2R обозначен буквой U:
b
2 R =
= U.
sin a sin p sin y
Исходными данными для уравнивания треугольника по этому способу также являются измеренные углы a, Р и у, измеренные стороны a, b и известный базис С Алгоритм вычислительных операций сводится к следующей последовательности.
Находится параметр U - диаметр описанной окружности, вычисленный из различных
2
С
комбинаций сторон и противолежащих им _ у + у
у = a а
углов:
2
Ur = °0 ; Ua = —a—; Uh = ——. Вычисляются поправки в углы a и в в
sin у sin а sin у виде sa и ев:
ю
Находится среднее значение U. Вес U для расчетов принимается равным Pc = 2, V (cos p/cos a) + 1
так как содержит только одну ошибку за счет измерения угла у. Веса Ua и Ub принимается
а
Тогда
равными P = P = 1. ва = ю-вр.
2U + U + U U = —
4
Определяется уравненное значение угла
Y из соотношения
'ур
Вводя полученные поправки в измеренные углы с обратным знаком, находят уравненные углы a и в:
аур = а -ва;Рур =р-вр.
с0 с0 Контролем правильности вычисления
sin у ур = U' У ур = arcsin U • углов является сумма углов в треугольнике:
Вычисляется угловая невязка ю2 треуголь- аур +Рур +уур -180 = 0.
ника ABC с учетом уравненного угла y :
ур Находятся уравненные стороны a и b из
а + Р + Уур - 180о = ю2. выражений
Очевидно, что полученная новая невязка aw = U sin а ур; Ьур = U sin Р ур. распространяется только на углы а и в:
Контролем правильности вычисления
d а + й? р = га2. длин сторон треугольника является теорема
_ косинусов: Находится промежуточный параметр У,
также получаемый из теоремы синусов [1]: с0 = a + b -2a Ьур cosуур.
у = a. у = sn^
a ^ a sin p
По уравненным параметрам треугольника ABC находятся координаты точки С по формулам (2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Гальянов A. В. Способ уравнивания треугольника // Маркшейдерия и недропользование. 2013. № 1. С. 61-62.
2. Бахурин И. М. Курс маркшейдерского дела. М.: Высш. школа, 1962. 494 с.
Поступила в редакцию 14 июня 2013 г.
Шлемов Иван Александрович - аспирант. 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30, Уральский государственный горный университет. E-mail: [email protected] Гальянов Алексей Владимирович - доктор технических наук, профессор кафедры маркшейдерского дела. 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30, Уральский государственный горный университет. E-mail: [email protected]
