CC BY
104
m—1 N 2N— 1
]Т ]Т (Ah(¥h), (/))+£ (ANA(<Л) » 0.
k=1 i=1 i=N
Замечание!. Из теоремы 2 вытекает симметричность и положительная определенность оператора A.
Замечание 5. Оператор Ah аппроксимирует исходный дифференциальный оператор A с точностью h2.
Доказательства теоремы 2 и замечаний повторяет рассуждения при доказательстве теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Махинова О.А. Задача теплопереноса на графе-звезде // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). № 3. 2009. С. 17-26.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Makhinova О.A. Approximation of the one-dimensional Laplace operator on the arbitrary graph-star. Different types of approximation by finite-difference operators for Laplace operator on the graph-star are considered. The difference scheme carries the characteristic of differential operator on it finite-difference analog. The error of approximation is fixed.
Key words: the Laplace operator on the graph; finite-difference analogs.
Махинова Ольга Алексеевна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант математического факультета кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, e-mail: [email protected].
УДК 519.95:65
СПОСОБ СУММИРОВАНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ НЕЙРОННОЙ СЕТЬЮ В ТРОИЧНО-СИММЕТРИЧНОМ КОДЕ
© A.A. Маштак
Ключевые слова: архитектура нейронной сети; троично-симметричный код.
Обоснована возможность использования нейронной сети для выполнения точных арифметических операций в троичном симметричном коде для любых значений операндов. Представлена схема нейронной сети и виды нейронов, участвующих в выполнении операций сложения и вычитания.
Современный уровень развития теории нейронных сетей и практики реализации их архитектуры позволяют создавать различные по принципу построения нейро-ЭВМ:
- программное — все элементы НС реализуются программно на универсальных ЭВМ с архитектурой фон Неймана;
- аппаратно-программное — часть элементов реализуется аппаратно, а часть прог раммно;
- аппаратное — все элементы НС выполнены на аппаратном уровне, кроме специфических программ формирования синаптических коэффициентов.
Во всех трех случаях для расчета синаптических коэффициентов требуется реализация специального алгоритма, который реализуется не нейронной сетью машиной фон Неймана 11].
Цель данной работы — найти такую архитектуру нейронной сети, которая позволяла бы выполнять операции сложения и вычитания самостоятельно.
Решение данной задачи возможно, если использовать неполносвязную и неоднородную нейронную сеть, а числа представить в троично-симметричном коде.
Использование троично-симметричного кода позволяет:
- использовать более короткие коды представления чисел, что повышает быстродействие и уменьшает количество нейронов, участвующих в выполнении арифметических операций;
- избавиться от необходимости специального представления отрицательных чисел. Знак числа определяется знаком числа старшего разряда;
- повысить мощность кода (1 трит равен приблизительно 17585 бита);
- ослабить контроль на допуски и параметры кода [2].
Известно, что трит имеет три состояния (-1, 0, 1). Шесть тритов образуют троичное слово — трайт. С помощью одного трайта можно представить ряд чисел в диапазоне от -374 до 374.
Нейронная сеть, осуществляющая арифметические операции, должна включать нейроны нескольких заданных видов. Вид нейрона определяется видом функции активации. Желательно, чтобы функции активации были гладкие и имели первую производную. Выполнение этих требований приводит к унификации элементов нейронной сети и облегчает построение алгоритмов настройки весовых коэффициентов синаптических связей. Выходной сигнал нейронов, составляющих рассматриваемую нейронную сеть, не должен превышать + 1 и не должен быть меньше -1, при этом выходной сигнал нейрона должен иметь устойчивое состояние близкое к 0.
Этим требованиям удовлетворяют нейроны с функциями активации трех видов: с функцией активации гиперболический тангенс, гиперболический котангенс и гиперболический косинус.
Нейроны объединяются в сеть, осуществляющую сложение двух разрядов троичных чисел. Схема сети представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема сети
Данная сеть является неполносвязной и неоднородной, состоящей из четырех слоев и выполняет функции троичного полусумматора. Работа троичного полусумматора на нейронах при различном сочетании значений входных тритов иллюстрируется таблицей 1.
Таблица 1
Работа троичного полусумматора на нейронах
Xi X2 Ni N1 = Рг Ni N2 N5 N4
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 -1 0 0 1
0 1 1 0 -1 0 0 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 0 -1 0 1 0 0 -1
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1
-1 1 0 0 0 0 0 0
Математическая модель, описывающая работу полусумматора имеет вид:
S, = xiwi + x2w2; S2 = x,w3 + x2w4; S3 = x,w5 + x2w6;
N1 = fi(Si), Ni = f2(S2), Ni = f3(S3);
54 = Niwg; N42 = fi(S4);
55 = N42wii + N>9; N53 = ¡2(S5);
Se = N¡w7 + N|w io + N3 wi2; N64 = f i (Se),
где Nii, N2,, N3, Ni, N53, N64 — выходные сигналы нейронов, верхний индекс есть номер
слоя, нижний номер нейрона в сети. Si — Se — выходные значения сумматоров соответствующих нейронов; w, — w,2 — значения весовых коэффициентов синаптических связей нейронов.
В случае тормозящей синаптической связи значение wij = — 1, возбуждающей
wij = —1, при отсутствии СВЯЗИ wij = 0.
Полный нейронный сумматор (рис. 2), учитывающий трит переноса из младшего разряда, включает два полусумматора SUMI и SUM2. При этом трит переноса в старший разряд формируется с помощью отдельного нейрона, имеющего функцию активации вида гиперболический тангенс.
Рис. 2. Полный нейронный сумматор
На рис. 2 обозначено: X 1[г], X2[г] — ¿-разряд чисел X1 и X2, Р[г — 1] — значение трита переноса из предыдущего разряда; Р[г] - значение трита переноса в следующий разряд; <5[г] — значение трита промежуточной суммы чисел; Р[г] и Р[г] — значение промежуточных тритов переноса; У [г] - значение трита суммы г -разрядов чисел X1 и X 2.
Представленный сумматор ( рис. 3) можно использовать для сложения чисел нейронной сетью. Сложение происходит параллельно и одновременно по всем разрядам, временная
Рис. 3. Вид ¿-разрядного троичного сумматора на нейронах
задержка при выполнении сложения отсутствует, т. к. нейронная сеть не содержит переключательных элементов и схем задержки сигнала. Таким образом, распространение сигнала по нейронной сети происходит подобно аналоговому, а обработка его осуществляется в цифровой форме. Полученная структура позволяет определять сумму двух чисел с высокой точностью и быстродействием [3J. Специального вычислительного устройства и алгоритма определения весовых коэффициентов данной сети не требуется. Величины синаптических коэффициентов сети могут хранится в запоминающем устройстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Комарцова Л.Г., Максимов А.В. Нейрокомпьютеры. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана. 2004. 400 с.
2. Брусенцов Н.П. Интеллект и диалектическая триада. //Искусственный интеллект. Донецк. 2002. № 2. С. 53-57.
3. Маштак А.А. Свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ №2010612235 от 2.02.2010. Зарегистрировано 25.03.2010.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 09-01-00798, № 11-01-00282).
Mashtak A.A. Method of summation of two numbers of the neural network in the threefold symmetric code. The possibility of using the neuron network for fulfilling the precise arithmetic operations in the ternary symmetrical code for any values of operands is substantiated. The schematic of neuron network and the forms of the neurons, which participate in the fulfillment of the operations of addition and subtraction is represented.
Key words: architecture of the neuron network; ternary-symmetric code.
Маштак Андрей Александрович, Тамбовское областное государственное образовтельное учреждение дополнительного образования детей «Центр творческого развития экологии и туризма» г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат технических наук, заведующий отделом, e-mail: [email protected].
