Способ расчета скачков энергии при изменении размерности пространства и времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.111

СПОСОБ РАСЧЕТА СКАЧКОВ ЭНЕРГИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ РАЗМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА

И ВРЕМЕНИ

А.К. Гуц

Предлагается способ расчёта скачков плотности энергии при изменении размерности пространства и времени (соответственно, при изменении размерности пространства-времени).

Мы ощущаем, а физические эксперименты это подтверждают, что размерность нашего физического пространства равна 3. Это базовая размерность, и

3-мерное пространство является базовым физическим пространством, к которому привязан человеческий способ осознания (и созидания) Вселенной.

То же мы можем сказать о времени. Мы уверены, что оно одномерно. Это базовая размерность времени.

Следовательно, 4-мерное лоренцево многообразие - 4-мерное пространство-время - это базовая модель окружающей нас Реальности, частью которой являемся и мы сами.

Однако вполне допустимы локальные и глобальные изменения размерности физического пространства или времени. Размерность - это топологическая характеристика топологического пространства. С ней связан конкретный набор чисел Бетти. Для 3-мерного пространства 3-мерное число Бетти не равно нулю, а все ///-мерные числа Бетти /Зт <• /// > 1 являются нулевыми. Если вдруг

4-мерное число Бетти окажется отличным от нуля, то это говорит о том, что физическое пространство стало 4-мерным.

Ясно, что с точки зрения физики спонтанные (или искусственные) изменения размерности пространства или времени должны характеризоваться скачками (плотности) энергии.

Как оценить эти скачки плотности энергии?

Существуют различные интегральные формулы (интегралы по многообразию), связывающие скаляры, образованные из скалярной кривизны, секционных кривизн, сверток тензора Риччи и тензора кривизны с самими собой, с числами Бетти, с характеристикой Эйлера-Пуанкаре, с числами Понтрягина, с сигнатурой (формула Хинценбруха). Такие формулы называют чаще всего

Copyright © 2009 А.К. Гуц.

Омский государственный университет. E-mail: [email protected]

формулами Гауееа-Бонне-Черна, Подынтегральные выражения в этих формулах можно выразить через плотность энергии, которая входит в уравнения гравитационного поля, принимаемой к рассмотрению теории гравитации. Этой теорией может быть традиционная теория гравитации Эйнштейна или, к примеру, теория гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне.

Пишем одну формулу Гауееа-Бонне-Черна для базового пространства, а вторую - для пространства с изменённой размерностью. Обе дают оценку усреднённой плотности энергии; одна для базового пространства, а вторая для изменённого. Разница и есть искомый скачок энергии, характеризующий изменение такой топологической характеристики пространства-времени, как размерность.

Ясно, что существенные скачки плотности энергии могут быть обнаружены в астрономических наблюдениях обширных областей физического пространства, Поэтому не исключено, что размерность пространства-времени в таких областях Вселенной может быть отличной от 4, а размерность физического пространства вообще меняться с течением времени,

1. Формула Гаусса-Бонне-Черна для псевдоримановых многообразий М2к

Пусть < М2к,д > - 2/с-мерное компактное ориентированное псевдориманово многообразие сигнатуры < >■

р 2 к—р

Пусть (IV = \с1еЛ(д)\(1х1 Л ... Л йх2к - 2/с-форма объема и

где

1112--Л2к

3132---32к

+ 1, \Ъ\%2- ■■'^2к } четная перестановка, {^'1^2

— 1, {гЦ2..л2к} нечетная перестановка,

О, среди {*1*2---*2А:} или среди-^^2• • • ]2к} есть одинаковые.

Тогда [1,2]

М2к

где

2 к

характеристика Эйлера-Пуанкаре многообразия М2к.

2. Скачки размерности пространства-времени. Случай замкнутого многообразия

Из уравнений поля для 2/,-мерного пеевдориманова пространства, т,е, для 2/г-мерного пространства-времени

а также из структуры формулы для компонент тензора кривизны, получаем, что

Следовательно, с помощью формулы Гаусса-Бонне-Черна (1) получаем следующую оценку для среднего значения плотности энергии 2/с-мерной реальности:

Предположим, что базовым является 4-мерное пространство-время М4, для которого к = 2, и объем уо1(М4) ~ /4,

Предположим также: Реальность такова, что размерность проетранетва-вре-мени как модели Реальности «колеблется спонтанно» около размерности базового пространства-времени, т,е, следует наравне с ,\/1 рассматривать модели М2к. Примем, что дополнительные размерности характеризуются величиной Л, малой по сравнению с числом I, т,е, 1/\> 1, и совершенно не важно, идет ли речь о пространственном дополнительном измерении или о временном.

Таким образом, при к > 2

Таким образом, мы видим, что переход к более мерному пространству-времени требует «затрат» энергии, а уменьшение размерности означает «сброс» энергии, При этом 4-мерная реальность, которую мы назвали базовой, является основным энергетическим уровнем с минимальной средней энергией.

Образно можно сказать, что реальность с размерностью большей, чем 4, -это возбужденное состояние базового состояния Реальности2,

1С учетом, например того, что М2к = Б2к и х(32к) = 2.

2Возможно, что при более точных оценках, базовой окажется не 4-мерная реальность, а,

скажем, 6-мерная. Фундаментальность 6-мерной размерности предсказывалась Бартини [3]

Поэтому

'4 \2fc-4

12к(\/1)2к~4

и поэтому

Следовательно, так как очевидно [х(М2к)\3]/14 < 1, то1

(%)) < (£(6)) < ••• < (£(2к)) < •••

3. Вероятности переходов при смене размерности

Как вычислить вероятности переходов М2к —> ,\/2/".’ Для этого воспользуемся подходом, предложенным в книге [4].

Реальность может представляться нам как псевдориманово многообразие Мп любой размерности п в зависимости от нашего способа созидания Реальности и ее осознания.

Фактически мы считаем, что переходы М2к —>• М2р, влекущие скачки размерности прстранства и времени, происходят не в силу того, что это некоторый естественный природный процесс, а в силу того, что люди вынуждают Реальность (природу) совершать это в силу скачкообразной эволюции своих представлений о том, как устроена эта Реальность, Смена представлений - это смена способа осознания Реальности, смена своих идей-фантазий о структуре Реальности [5].

Базовым является 4-мерное лоренцево многообразие < Д4,д(4) >. Обозначаем способы осознания как ¿А,¿В,.... В [4] способы осознания формализуются как гладкие кольца:

£А = С°°(Шт), £А = С°°(ВГ),...

В случае способа осознания ¿А Реальность предстает как (4 + га)-мерная среда Д4А с метрикой д^(£А):

4+т

д№\&А)и(1г1 йг3 = д^(х°,х3, а)(1хг(1хк + 2з^йхгйаа + ка/зйаайа^, (2)

1,3=1

г = (х, а), х Е Ш4, а Е И"\

Имеем для амплитуды вероятности перехода от (4 + га)-мерной среды (реальности) Д4а к (4 + п)-мерной среде (реальности) Д4Б:

9(24)(Щ

(д(?\М)\д?\еВ)) = 11\д^\£А}£В)]е^)(-^\ (3)

д[4)(Ы)

где

%(5)(М,£В)\ = Кт У ^\д^(£А,£В)\Н{5)(£А,£В)<1ъх. (4)

Для того чтобы написать эти формулы в более осмысленном виде, необходимо учесть наличие морфизма Ф : £В —> £А между способами осознания (стадиями) £А = £С'00(]11"') и £В = £С'00(]11"г), Это означает, что а = ф{Ъ), где а Е Ш™, Ь Е Жт.

Иначе говоря, вместо (3)-(4) пишем

Й24) (ж>Ь)

‘\(В))= I V^g^tЦb)]eis^!'K^ib)^, (5)

д[4)(х,ф(Ь))

где

J ^\д^(х,Ь)\Н(-5\х,Ь)(15х(ГЬ. (6)

Формулы (5)-(6) дают нам искомые амплитуды вероятности переходов вида, М2к Д М2где М2к = КАа и М2р =

4. Формула Черна-Гаусса-Бонне для псевдоримановых многообразий М2к с краем

Пусть М2к псевдориманово мнгообразие с краем дМ2к и д : Т1М2к М2к расслоение на сферы, ассоциированное с касательным расслоением ТМ2к (т.е. состоящее из векторов касательного расслоения с нормой 1), Существует дифференциальная (2к — 1)-форма о на Т1М2к.; для которой

J <7=1 для всех X Е М2к

q-1(x)

и д*РМП) = ¿а.

Всякое векторное поле Т, нормальное к дМ2к, задает несингулярное сечение г : дМ2к -> ТхМ2к.

Тогда имеет место формула Черна-Гаусса-Бонне для псевдоримановых многообразий М2к с краем [6]:

J ^/(^) = гпЛдМ2кТ + J т*а, (7)

М2к дМ2к

где тйдМ2к определяется следующим образом.

Если Т ненулевое векторное поле на дМ2к, Т - продолжение векторного поля Т на все многообразие М2к и а\,...,ак - конечное число особых точек (нулей) поля Т на М2к [7, с,516], то

к

тс1дМ2кТ = гпЛаТ.

3 = 1

Если поле Т трасверсально (в частности, нормально) к дМ2к, то

ШдМ2кТ = х(М2к).

В общем случае для ориентированного компактного многообразия с краем:

т<1дМ2кТ = х(М2к) — ¿ед(Кт),

где с1ед(Кт) - степень отображения Кт : дМ2к —> Б2к~1 [7, с,502], Кт(х) равно точке на 82к~1, отмеченной концом вектора V = у°Т + у1и\ + ... + у2к~1и2к-1-, {«1, ...,П2к-1} ^ базис в Тх(дМ2к), х Е дМ2к, = 1 [8].

Если <32А’ - 2А:-мерная компактная область в М2к с границей д^2к, то формулу (7) можно переписать в виде

где все формы и ноля определяются как выше с заменой буквы М па букву ().

5. Скачки размерности пространства и времени. Общий случай

Пусть у пространства-времени Мп размерности п область С^п с границей (краем) д<5™ становится внутренней частью более мерной области (5”+1 (см, рис.1).

Рис. 1. а) Многообразие М’\ в котором клетка <5о с границей (краем) <9<3д становится внутренней частью клетки <3П+1 большей размерности: Ь) сглаженный вариант левого рисунка : с) вид «сбоку» на процедуру увеличения размерности многообразия в «месте» <5о-

Поскольку формула Гаусса-Бонне-Черна нетривиальна для чётномерных многообразий, то считаем, что п = 2к, и включаем область (5”+1 как часть в (п + 2)-мерную область С}п+2.

Теперь дня того чтобы оцепить скачки энергии нам нужно выписать формулы Гаусса-Бонне-Черна дня многообразия с краем (8) - одна дня пары {0п,д0п), а другая для пары ((^)п+2, д(^п+2).

Следует заметить, что получение точных оценок скачков энергии па пути, указанном в данной заметке, является весьма трудной математической задачей, поскольку сложно выразить геометрические члены, входящие в формулы тина Гаусса-Бонне-Черна, через плотность энергии, содержащуюся в уравнениях ноля.

а)

Ь)

с)

6. Расчет изменения размерности физического пространства

Физическое ирстраиство моделируется математически как риманово многообразие, i.e. как пара < Vn, g >, где Vй - гладкое многообразие, а g - положительно определенная риманова метрика.

Мы можем считать, глядя на Реальность как на Нечто, находящееся в пространстве, что это Нечто меняется с течением времени /. Таков классический, доминковианский взгляд на Реальность.

Физическое пространство может иметь размерность dim = п с базовым значением dim = 3. Предположим, что размерность в момент времени to меняется и вместо значения п принимает значение т. Какая для этого требуется энергия?

Ясно, что расчёт скачка энергии можно провести по схеме, изложенной в предыдущих параграфах, с той только разницей, что пишутся формулы Гаусса-Бонне-Черна для римановых многообразий < Vn,g^ > и < Vm)g<yrn"> > и используются пространственные компоненты уравнения поля.

Литература

1. Avez, A. Formula de Gauss-Bonnet-Chern en métrique de signature quelconque / A. Avez // C.R. Acad. Sei. Paris. - 1962. - T.255. - P.2049-2051.

2. Chern, S.S. Pseudo-Riemannian Geometry and the Gauss-Bonnet Formula / S.S. Chern // Ann. Acad. Brasil Ci. - 1963. - V.35. - P.17-26.

3. Бартини, P.O. Некоторые соотношения между физическими константами / P.O. Бартини // Доклады Академии наук СССР. - 1965. - Т.163, N.4. - С.861-864. - Режим доступа: http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Bartini/s2.htm

4. Гуц, А.К. Элементы теории времени / А.К. Гуц. - Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2004. - 364 с.

5. Гуц, А.К. Основы квантовой кибернетики: учебное пособие / А.К. Гуц. - Омск: Полиграфический центр КАН, 2008. - 204 с.

6. Pelletier, F. Quelques propriétés géométriques des variétés pseudo-riemanniennes singulières / F. Pelletier // Annales de la faculé des sciences de Toulouse 6e série.

- 1995. - T.4, N.l. - P.87-199.

7. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, Ф.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1979.

8. Alty, L.J. The Generalised Gauss-Bonnet-Chern Theorem / L.J. Altv // J.Math.Phvs.

- 1995. - Y.30. - P.3094-3105.