Сплайн-аппроксимация дискретных значений сигналов с применением методов цифровой фильтрации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372.542

П.К.Ланге

СПЛАЙН - АППРОКСИМАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИГНАЛОВ

С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДОВ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассмотрена задача построения цифровых фильтров дискретизированных сигналов с их параболической сплайн - аппроксимацией. Определены их параметры для весовых функций, определенных на

четном и нечетном числе дискретных значений.

При сжатии измерительного сигнала во временной области часто используются различные алгоритмы аппроксимации, позволяющие на предварительном этапе преобразования сигнала определять коэффициенты его аппроксимирующих функций.

В ряде случаев эти коэффициенты являются информационными параметрами: например, коэффициенты параболической аппроксимации вибросигналов, поступающих с тензодатчиков, определяют значения виброскоростей и виброускорений.

В практике обработки сигналов весьма распространена сплайн - аппроксимация их дискретных значений, что определяется отсутствием разрывов аппроксимирующей функции по производным на границах интервалов дискретизации.

Известны выражения для определения коэффициентов параболической и кубической сплайн - аппроксимаций [1] дискретных значений сигнала на их фиксированном наборе. Такие сплайн - функции сглаживают шумы, наложенные на сигнал, однако в ряде случаев этого сглаживания бывает недостаточно.

В связи с тем, что сглаживание шумов аппроксимирующими функциями усиливается при расширении набора к - дискретных значений сигнала, актуальной является задача определения коэффициентов сплайн - функций, аппроксимирующих эти значения при произвольном к. Такая задача может быть решена на базе методов цифровой фильтрации сигнала.

Рассмотрим возможность определения коэффициентов аппроксимирующих сплайн - функций с использованием аппарата частотных характеристик цифровых фильтров. Пусть передаточная функция фильтра Е [п] имеет вид

- к I

Е [П] = Х ЬтХ [п - Н + Х ЬтХ [П + m], (1)

т=0 т=1

где х [п] - дискретные значения аппроксимируемого сигнала х (7); Ьт - коэффициенты весовой функции фильтра.

Оценим качество аппроксимации гармонического сигнала

Х = бш Ш (2)

как одного из наиболее распространенных в практике цифровой обработки сигналов.

В связи с тем, что внутри интервала дискретизации сигнала его значения могут быть определены с помощью аппроксимационных алгоритмов, выходной сигнал такого аппроксимаци-онного фильтра можно считать квазинепрерывным и для оценки эффективности фильтра использовать методы оценки погрешности аппроксимации непрерывного гармонического сигнала.

При малой погрешности аппроксимации выходной сигнал такого фильтра можно считать близким к синусоидальному:

а0 (7)» Н0 эт (Ш - р), (3)

где Н0 , р - значения амплитудно - и фазочастотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) фильтра на частоте Ш .

Тогда значение среднеквадратичной погрешности аппроксимации сигнала определяется выражением

1 Т 2 Аа = — |[этсоI -Н0 эт (оI -р) & , (4)

Т 0

где Т - период сигнала.

Используя замену переменных интегрирования в (4), получаем:

1 т

Да = — Ц^т2 аг - 2Н0 б1п а б1п ( - р) + Н02 б1п2 ( - р =

Ти

г 8т 2аг 2- 4а

2 Н о

У1г=0

т

т 81П г

'С0р ■="- 2М

2аТ-р

t '=-р

+-

Н2

Т а

t' 81п 2t'

аТ-р

лг '=-р

2л:

Преобразуя это выражение с учетом соотношения а = , окончательно определяем

Аа = 2 - Н0С0 Р + НГ =(1 Н ) + Н 0 I1 - С0Р )• (5)

Отсюда видно, что минимальное значение погрешности Да достигается при минимальных значениях ФЧХ (р(а)» 0), а также при минимальном отличии АЧХ от единицы.

В связи с тем, что выходной сигнал цифрового фильтра представляет собой в данном случае дискретные значения гармонического сигнала (2), то (5) может быть использовано и для оценки средне квадратичной погрешности аппроксимации гармонического сигнала

X [п] = п , (6)

где V = 2^^ ■ относительная угловая частота; N - число дискретных участков на периоде сигнала X[п] •

Поставим задачу определения функции цифрового фильтра с нулевой фазовой погрешностью [2]: р (V) = 0 • В связи с этим будем использовать цифровые фильтры с симметричными

весовыми функцими вида (1), графики которых изображены на рис.1,а,б. Для функции, изображенной на рис.1,а, используется четное число дискретных значений сигнала, определенных на середине интервалов его дискретизации. Для функции, изображенной на рис.1б, используется нечетное число дискретных значений сигнала, определенных на границах интервалов его дискр етизации.

а б

Р и с. 1. Весовые функции цифровых фильтров

Цифровой фильтр, весовая функция которого изображена на рис.1а, в общем случае описывается выражением

[п]={б0х [п+12]+Ь1х [^п+32 +...}+{ь0х [п-12 + Ь1х ^п-+ ...}=

т Г Г-

=Хь {х [,

п +1 +

+ х

[ п - (/'

+

(7)

где х [п] - дискретные значения сигнала; Ьг- - коэффициенты весовой функции фильтра; т - параметр, соответствующий половине числа значений весовой функции фильтра.

Фильтр с весовой функцией, изображенной на рис.1,б, описывается выражением

а0 [п] = {Ь0х[п] + Ь1х[п +1] + ...} + {Ь1 х[п -1] + Ь2 х[п - 2] +...} =

т

= Ь0 х [п] + £ Ь1 {х [п + (/' +1)] + х [п - (/' +1) ]}.

Для оценки частотных свойств таких фильтров необходимо выполнить ъ - преобразование выражений (7), (8). Дискретное ъ - преобразование выражения (7) имеет вид

,[2 ] = х [2 ]£ Ь

1=0

(1+К

+ 2

(1 + К

(9)

Из (9) определяется дискретная передаточная функция аппроксимирующего цифрового фильтра:

Н [2] = ао[2] = Х ь

Н о [2 ]- фт "1=0Ь'

(1 + У,

+ г

(10)

Качество аппроксимации в дискретных точках может быть оценено по частотной и фазовой характеристикам цифрового фильтра, получаемым из (10) при подстановке в него г = е]т . Частотная характеристика такого фильтра имеет вид

т I /\

н 0 и®)=2 X Ьсо8Ш Iі+12) •

1=0

АЧХ этого фильтра определяется выражением

т

Н0 (V) = |н О® )| = 2ХЬ сов® (і +12) .

(11)

(12)

1=0

Аналогичным образом могут быть получены и выражения для АЧХ фильтра, весовая функция которого изображена на рис.1,б. Такой фильтр определяется выражением

, [п] = Ь0х[п] + {Ьх[п +1] + Ь2х[п + 2] + ...} + {Ьх[п-1] + Ь2х[п-2] +...}

ап

гп

=Ь0+Х Ь Xх Хп+1 ]+х [п -1 ]} •

1=1

Дискретное ъ - преобразование (13) имеет вид

а0

[2] = х[2] \Ь0 +Х

1=1

211+1)+ 2 “І1+1

Ь.

1

АЧХ такого фильтра определяется выражением

т

Н0 (® ) = Ь0 + 2XЬ. сов® 1

1 =1

Разложение АЧХ (12) или (15) в степенной ряд в окрестности точки V = 0 имеет вид

Н 0 (V)» Н 0 (0) + Н 0' (0 ) + Н 0-(0)

V

+... ,

(13)

(14)

(15)

(16)

где Н0 (0), Н0'( 0), Н0''( 0) - значения функции Н0 (V) и ее производных в точке Ш» 0. Следовательно, минимальное значение средне квадратичной погрешности А а', определяемой (5), достигается при выполнении соотношений

Н 0 (0 )=1; Н,' (0 ) = 0; Н0" (0) = 0;... (17)

Полученные выражения позволяют определить систему уравнений относительно искомых коэффициентов аппроксимирующего цифрового фильтра. Для фильтра, весовая функция которого изображена на рис.1,а, из (12) с учетом (17) получаем:

т

Н0 (0) = 2£Ь, = 1;

,=0

т т

Н0'(0) = -2Х( + >2)81п®( + >2) 02Х( + >2)т(+ >2)

,=0 ш =0 ,=0

т, ,2 / /\

н 0- (°)=-2£(+12)Ь со*ш (+12)

1=0

V = 0

1=0

= 0; (18)

V = 0

Хь (і+у2 )4 V = 0.

1=0 V

относительно искомых

коэффициентов Ь1 : 136

2£ Ь = 1;

,=0

т 2

£( ^ Ь = 0; ^ (19)

т 4

£(/ + ^) ) = 0,

Аналогичным образом определяется система уравнений относительно коэффициентов весовой функции фильтра (рис.1, б), использующего нечетное число дискретных значений сигнала:

т

Ь + 2£ Ь = 1;

+1)2 Ь = 0;

,=1

т

+1)4 Ь> =0;

>

(20)

Рассмотрим несколько примеров при аппроксимации дискретных значений сигнала параболическими сплайн - функциями.

Первая и вторая производные параболической функции

_у = а2 [п]^2 + а1 [п^ + а0 [и] , (21)

аппроксимирующей сигнал на п - м дискретном интервале, определяются соответственно выражениями

Са0 (t) г , г , С2а0 (t) г ,

-----— = 2а2 [п] t + а, [п];------2^- = 2а2 [п] .

Ж 21 J 11 ^ сИ2 21 J

При t = 0 (на границах интервалов дискретизации), выражения (22) принимают вид

= а [п];

С2 а0 (t)

= 2а2 [п].

(22)

(23)

Пусть время t измеряется в относительных единицах: t [п +1] - t[п] = 1. В связи с тем, что

на границах дискретных интервалов параболическая сплайн - функция не должна иметь разрывов по нулевой и первой производным, из (22) и (23) определяются выражения

а0 [п +1]=а2 [п]+ а1 [п]+а0 [п]; а1 [п +1]=2а2 [п]+ах [п]. (24)

Дискретное ъ - преобразование (24) имеет вид:

а2 + а1 + а0 (1 - г) = 0; 2а2 -а1 (1 - г) = 0. (25)

Из (25) определяются коэффициенты а2, а1 параболического сплайна (21):

а1 [г]=27~1 р[г];а2[г]=^;+т“р[г]-2 + 1 2 + 1

Например, для четырехточечного фильтра (т = 1) система (19) принимает вид

2Ь0 + 2Ь1 = 1; Ь0 + 9Ь1 = 0.

Отсюда определяются значения коэффициентов такого фильтра:

Ь1=- /Гб; Ь0=/Гб-

В этом случае дискретные значения а0 [п] определяются выражением

(2б)

(27)

а0 [п] = - 11б х

[п - К ]+/1б х [п -X ]+/1б х [п+>г]-»б х [п+К ] •

(28)

Выражения для коэффициентов а1[п], а2[п] параболы (21) определяются с помощью (26) и для рассматриваемого четырехточечного фильтра имеют вид

а1 [п]=18 (х [ п - 32]-их [п -12 + их [п+12 ]-х [п+з2]);

а2 [п] = Пб(-х[п-32] +12 х -12]-22 х ^п +12] +12 х + 32]-х [п + 52] ).

Аналогичным образом определяются коэффициенты для сплайн - фильтров более высоких порядков. Следует отметить, что начало координат, а также узлы аппроксимации весовых функций таких фильтров расположены на середине дискретных интервалов (рис.1,а), поэтому фильтры с четным числом точек не совсем удобны для реализации в микропроцессорном исполнении.

Коэффициенты для весовой функции параболической сплайн - аппроксимации с нечетным числом дискретных точек (см. рис.1,б) определяются исходя из выражений (20). Например, коэффициенты аппроксимирующего пятиточечного параболического сплайн - фильтра определяется выражениями

а0 [п] = 116(-х[п - 2] + 4х [п -1] +10х [п] + 4х [п +1] - х [п + 2]), а1 [п] = 18 (х [п - 2] - бх [п -1] + б х [ п +1] - х [п + 2]),

1 А-х [п - 2] + 7х[п -1] - бх [п] - бх[п +1] + 7х [п + 2] - х [п + 3]).

Использование описанного подхода позволяет определить коэффициенты и кубической сплайн - аппроксимации дискретных значений сигнала на их произвольном наборе.

Таким образом, рассмотренный метод позволяет достаточно просто определять коэффициенты весовых функций цифровых аппроксимирующих сплайн - фильтров, обладающих наименьшими значениями средне квадратичной погрешности аппроксимации гармонического сигнала.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ЗавьяловЮ.С. и др. Методы сплайн - функций. М.: Наука, 1980. 352с

2. ХеммингР. Цифровые фильтры. М.: Сов. радио, 1980. 220с.

.[ п]=Хб (-

Поступила 3.03.2003 г.