Спиральные пучки светановоенаправление когерентнойоптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.42

СПИРАЛЬНЫЕ ПУЧКИ СВЕТА- НОВОЕ НАПРАВЛЕНИЕ КОГЕРЕНТНОЙ ОПТИКИ

© 1999 Е. Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников Самарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Теоретически найден и экспериментально реализован новый класс лазерных пучков, названных спиральными, которые сохраняют структуру своей интенсивности при распространении и фокусировке с точностью до масштаба и вращения. Получены спиральные пучки, распределение интенсивности которых имеет форму произвольной плоской линии. Описаны методы синтеза таких пучков и приведены результаты экспериментов.

Введение

Как известно, распространение светового поля, в частности лазерного пучка, представляет собой волновое явление и, как всякий колебательный процесс, характеризуется распределением амплитуды и фазы.

Если распределения амплитуды и фазы поля заданы в некоторой плоскости, то последующая эволюция поля при распространении описывается тем или иным дифференциальным уравнением. Отсюда следует, что световое поле при распространении, вообще говоря, претерпевает количественные и качественные изменения [1].

Однако, с открытием лазеров и появлением когерентной оптики, описывающей распространение лазерных пучков, было теоретически и экспериментально показано, что лазер может излучать световые пучки, которые самосогласованы таким образом, что сохраняют свою структуру при распространении и фокусировке с точностью до масштаба [2]. Такие пучки являются собственными колебаниями лазерных резонаторов (или модами), имеют жестко заданную форму и описываются двумя семействами специальных функций с различными типами симметрии: пучки Эрмита-Г аусса и Лагерра-Г аусса, при этом низший тип колебаний в этих семействах совпадает и является известной двумерной функцией Гаусса. На рис.1 приведены примеры поперечных распределений интенсивности высших типов пучков [3]. Структура этих пучков сохраняется при распространении и фокусировке и может ассоциироваться с однородными деформациями растя-

жения-сжатия: сходящиеся и расходящиеся пучки. Закономерно поставить вопрос: имеется ли некая оптическая аналогия деформации кручения для пучков с неоднородной расходимостью? Как показано в [4], поток световой энергии состоит в общем случае из двух компонент: потенциальной и вихревой. В определенном смысле, первая компонента соответствует деформациям растяжения-сжатия, а вторая - деформациям кручения.

Принимая во внимание вихревую компоненту потока световой энергии, можно расширить понятие структурной устойчивости световых полей, а именно, поставить следующую задачу: существуют ли лазерные пучки, сохраняющие свою структуру при распространении и фокусировке с точностью до масштаба и вращения?

Спиральные пучки света

В работе [7] найден и полностью описан новый класс лазерных пучков, названных спиральными, которые сохраняют свою

Рис.1. Примеры распределений интенсивности пучка Эрмита-Гаусса (а) и пучка Лагерра-Гаусса (Ь)

структуру при распространении и фокусировке и могут иметь различные параметры вращения.

Известные упомянутые выше типы лазерных мод Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частными случаями спиральных пучков с нулевым вращением. Отличие найденных пучков от известных в том, что они обладают двумя принципиально новыми свойствами.

Во-первых, сохраняя форму при распространении и фокусировке, они могут иметь весьма разнообразную структуру распределения интенсивности. В частности, в семействе спиральных пучков теоретически найдены и на отдельных примерах реализованы экспериментально спиральные пучки в форме произвольных кривых или их совокупности [10]. Комплексная амплитуда найденных пучков в виде кривой, заданной в комплексной параметрической форме z=z(t)=x(t)+iy(t), Ю[0,Г], определяется выражением

^ё\£(0, ^[0,Г]) =

= ехр[- — ]}ехр

Z(t)Z (t) , 2г^ (0

Р

Р

} (С (г )С’(г ) - С (Г К ’(г )Уг Р 0

С ’(t)| л.

(1)

Здесь г - гауссов параметр. Кривая названа порождающей для спирального пучка (1). Примеры пучков , построенных по формуле (1), приведены на рис.2.

Отметим еще раз, что в отличие от световых полей с заданным распределением интенсивности, формируемых ранее известными методами, эти спиральные пучки сохраняют свою структуру в любой плоскости наблюдения и фокусировки. Таким образом, данное свойство спиральных пучков позволяет весьма гибко менять их форму при сохранении структурной устойчивости, что представляет существенный интерес для лазерной медицины и технологии.

Во-вторых, вихревой характер распространения световой энергии в пучках обуславливает то, что пучки обладают существенно ненулевым угловым моментом количества движения [8]. Это проявляется в том, что микроскопические объекты размерами в десятки микрон (например, живые клетки), помещенные в область фокусировки такого пучка могут приводиться во вращение вокруг своего центра инерции, удерживаться в заданной области пространства, подвергаться неоднородным заданным деформациям и т.п.

Эти два свойства дают возможность создания в области фокусировки заданных микрораспределений интенсивности и углового

Л о ш

в 11111

Рис.2. Примерыг спиральных пучков в виде кривых: треугольник, квадрат и спираль Архимеда (интенсивности - верхний ряд, фазыг - нижний ряд). Белыш цвет соответствует фазе 2р, черный - нулевой. Концевые точки изофазных линий показывают местоположение изолированных нулей интенсивности, называемых

также оптическими вихрями

момента, что представляет принципиально новый инструмент для бесконтактного манипулирования микрообъектами в электронике и микробиологии [5].

При исследовании свойств спиральных пучков для замкнутых порождающих кривых было установлено, что такие пучки проявляют характерные свойства квантования: во-первых, распределение интенсивности таких пучков претерпевает радикальное изменение при преобразовании подобия кривой z(t)^■nz(t) и обладает формой кривой лишь при определенных дискретных значениях пп; во-вторых, для этих же дискретных значений пп распределения интенсивности пучков для кривых п z(t+a) при различных а одинаковы; в-третьих, площадь £ под кривой z(t) связана с гауссовым параметром г такого пучка соотношением:

£==1 рг2#, где N=1,2,.... (2)

Пучки, порождающие кривые которых удовлетворяют равенству (2), названы N квантованными.

Следует кратко отметить и квантово-механический аспект полученных результатов. Он обусловлен тем, что эволюция лазерных пучков при распространении описывается параболическим дифференциальным уравнением, полностью аналогичным уравнению Шредингера, описывающим эволюцию волновых функций квантовых систем во времени. При этом структурно устойчивым лазерным пучкам соответствуют в квантовой механике стационарные решения уравнения Шредингера с некоторым гамильтонианом. В работе [10] показано, что найденным спиральным пучкам соответствуют специфические стационарные состояния квантовой частицы в однородном магнитном поле, причем для квантово-механической аналогии - состояний заряженной частицы в однородном магнитном поле - условие (2) соответствует квантованному магнитному потоку через контур z(t): Ф=(2рЙс/|е|)Ж Данная аналогия представляет интерес в приложениях к теории квантового эффекта Холла [6].

Результаты экспериментов

Эспериментальная реализация спиральных пучков осуществлялась различными ме-

Рис. 3. Экспериментальное распределение интенсивности спирального пучка в форме границы треугольника (см. теоретическое распределение на рис. 2)

тодами. Во-первых, непосредственно с помощью амплитудно-фазовых масок. Амплитудная маска и фотошаблон для фазовой маски изготавливались на фотоплоттере (разрешение 1024x1024, размер 10x10 мм2). Фотошаблон использовался для изготовления фазового элемента на дихромированной желатине. Комбинация амплитудной и фазовой масок давала требуемый амплитудно-фазовый элемент, который освещался пучком гелий-неонового лазера. Пример экспериментальной реализации пучка в виде границы треугольника показан на рис.3. Пучок сохранял свою структуру при фокусировке и поворачивался на 90° при распространении из области перетяжки в дальнюю зону.

Другой, менее очевидный метод синтеза таких пучков основан на результатах работы [9], где, в частности, показано, что астигматическим воздействием можно осуществить преобразование пучков Лагерра-Га-усса в пучки Эрмита-Г аусса и наоборот. Это преобразование может быть обобщено следующим образом (см. [10]):

Лехр - і(хХ + уц) + Щт 8(Х + ІЦ,Х - і ЦіМ&п= V р

_лр

\/2

ехр

ір ху

2 2 Л

рх

где И ( ту I г )=

ехР

2 2 Р у

1} ехР

і) і(0£ (0 ^ ~2

р р

} (іі'- 'У* р 0

■уі (()-

Таким образом, задача формирования спирального пучка посредством астигматических преобразований сводится к синтезу одномерного по структуре поля И(ту|г). На рис.4 показано одномерное поле И(ту|г) для кривой в виде границы треугольника и схема синтеза соответствующего спирального пучка. Одномерная структура поля позволяет в полной мере использовать возможности микролитографии, поэтому данный способ может быть технологически более предпочтителен, чем прямой метод амплитудно-фазовой маски.

С помощью предложенного метода были экспериментально реализованы пучки различного вида, сохраняющие свою структуру

при распространении и фокусировке. На рис.5 показана экспериментальная реализация спирального пучка в виде регулярной решетки нулей, когда в качестве одномерной структуры была использована фазовая мультиплицирующая дифракционная решетка Даммана. Волновые поля такого вида (т.н. решетки вихрей) естественным образом возникают в квантово-механических задачах, связанных со сверхпроводимостью, сверхтекучестью, квантовым эффектом Холла [12].

Исследования спиральных пучков показали, что они являются собственными колебаниями специфических резонаторов с вращением поля. Был реализован аргоновый лазер с таким резонатором и впервые полу-

Рис. 4. Оптическая схема синтеза спиральных пучков посредством одномерных по структуре оптических элементов (1 - лазер, 2,3,5,6 - цилиндрические линзы, 4 - одномерный оптический элемент, 7 - экран). В верхней части рисунка показана структура амплитудно-фазового элемента для спирального пучка в форме границы треугольника. Полутоновые изображения представляют собой амплитуду и фазу распределения вхр(-г2х2/8)Ь(гу\г); графики соответствуют амплитуде и фазе одномерных распределений Ъ.(гу\г). В нижней части рисунка показана динамика изменения светового поля в промежутке между линзами 5,6. За линзой 6 пучок сохраняет свою структуру и вращается при распространении

чены экспериментально спиральные пучки с различными параметрами вращения [11]. Это показывает принципиальную возможность создания лазеров, непосредственным результатом генерации которых без дополнительной нестандартной оптики будут пучки с заданными свойствами.

Использование фазовой структуры спиральных пучков с заданным распределением интенсивности как базовой дает новый подход и к известной задаче синтеза чисто фазовых элементов для фокусировки в кривые [13]. Обычно базовые решения ищутся на основе метода стационарной фазы. Можно показать (см., например, [7]), что решения на базе спиральных пучков невозможно получить таким образом. Пример решения задачи с использованием структуры спиральных пучков показан на рис.6 (амплитудная маска для фазового элемента изготовлена на фотоплоттере в Институте систем обработки изображений РАН, фазовый элемент на желатине сделан

Н.Н.Лосевским). Характерной чертой получаемых решений является их однотипный топологический характер и наличие существенного количества фазовых сингулярностей (оптических вихрей), что указывает на их родство со спиральными пучками (ср., например, рис.6а и соответствующее фазовое распределение на рис.2).

Таким образом, создана теоретическая и экспериментальная основа принципиально новых возможностей целенаправленного “конструирования” лазерного излучения. На

Рис. 5. Экспериментальная реализация спирального пучка в форме решетки нулей: интенсивность (а) и результат интерференции между спиральным и опорным пучками (Ь)

рис.7 представлены примеры спиральных пучков сложной формы, которые, несмотря на свой «рукотворный» вид, являются такими же естественными физико-математическими объектами как и обычные лазерные пучки, являются точными решениями уравнения Шредингера, могут быть собственными колебаниями соответствующих лазерных резонаторов и сохраняют свою структуру при распространении и фокусировке.

Заключение

Основными результатами проведенного исследования являются следующие:

• Найдены новые лазерные пучки, названные спиральными, которые сохраняют структуру своей интенсивности при распространении и фокусировке с точностью до масштаба и вращения. Показано, что данные пучки могут быть модами специфических резо-

ШО □

а Ь с

Рис. 6. Фазовый элемент для фокусировки пучка с равномерной засветкой круговой апертуры в границу квадрата (а), теоретическое (Ь) и экспериментальное (с) распределения интенсивности в фокусе. Некоторое различие между теорией и экспериментом обусловлено погрешностями передачи контраста амплитудной маски и нелинейностями при формировании фазового рельефа слоем желатины

РОССИ9

СЛЛЛЛРЛ

Рис. 7. Спиральные пучки сложной структуры (интенсивности и фазы)

наторов с вращением поля. Экспериментально реализован лазер с таким резонатором и получены пучки с различными параметрами вращения при распространении. Выявлено соответствие спиральных пучков волновым функциям заряженной частицы в однородном магнитном поле.

• Теоретически обоснована и экспериментально показана возможность синтеза световых полей с заданными пространственными характеристиками и сохраняющих свою структуру при распространении и фокусировке. Найден класс лазерных пучков, распределение интенсивности которых имеет форму произвольной плоской линии. Разработаны основы оптики таких пучков.

• На основе полученных закономерностей преобразования пучков Лагерра-Г аусса в пучки Эрмита-Г аусса разработан метод синтеза спиральных пучков посредством одномерных амплитудно-фазовых элементов.

Данная работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-02-16513).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М.Борн, Э.Волъф. Основы оптики. М., Наука, 1973.

2. H.Kogelnik, T.Li. Laser beams and resonators // Applied Optics. 1966. Vol. 5. P. 1550.

3. Ю.А.Ананъев. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М., Наука, 1990.

4. E.Abramochkin, V. Volostnikov. Relationship between two-dimensional intensity and phase in a Fresnel diffraction zone // Optics Communications. 1989. vol. 74. P. 144.

5. M.Padgett, L.Allen. Optical tweezers and spanners // Physics World. September 1997. P.35.

6. В.А.Гейлер. Двумерный оператор Шре-дингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. Вып. 3. С. 2.

7. EAbramochkin, VVolostnikov. Spiral-type beams // Optics Communications. 1993. Vol. 102. P. 336.

8. E.Abramochkin, V.Volostnikov. Structurally stable singular wavefields // International Conference on Singular Optics. Proceedings of SPIE. 1998. Vol. 3487. P. 20.

9. E.Abramochkin, V.Volostnikov. Beam transformations and nontransformed beams // Optics Communications. 1991. Vol. 83. P. 123.

10.E.Abramochkin, V.Volostnikov. Spiral-type beams: optical and quantum aspects // Optics Communications. 1996. Vol. 125. P. 302.

11. E.Abramochkin, N.Losevsky, V.Volostnikov. Generation of spiral-type laser beams // Optics Communications. 1997. Vol. 141. P. 59.

12.1.Dana, I.Freund. Vortex-lattice wave fields // Optics Communications. 1997. Vol. 136. P. 93.

13. А.В.Гончарский, В.В.Попов, В.В.Степанов. Введение в компьютерную оптику. М., МГУ, 1991.

LIGHT BEAMS OF SPIRAL TYPE: A NEW FIELD IN COHERENT OPTICS

© 1999 E.G. Abramochkin, V.G. Volostnikov Samara Branch of Physics Institute named for P.N. Lebedev of Russian Academy of Sciences

New class of laser beams, which are called spiral type beams, was theoretically researched and realized experimentally. These expanding beams have predetermined intensity distribution structure. The structure is accurate within scale and rotation. The spiral-type beams with intensity distribution in the form of arbitrary line were obtained. Several methods of spiral-type beam synthesis are described in the paper. Experimental results of transformation of Gaussian beam into a triangle-line laser beam are also presented.