CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 4
Физико-математические пауки
2008
УДК 517.958:621.372.8
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
Е.М. Карчевский
Аннотация
Предложены новые постановки задач спектральной теории диэлектрических волноводов. па основе которых доказано существование собственных волн, изучены качественные свойства спектра. Построены и теоретически обоснованы новые эффективные численные методы решения этих задач.
Ключевые слова: спектральные задачи, диэлектрические волноводы, численные методы. интегральные уравнения.
Введение
В работе дастся обзор результатов, полученных на кафедре прикладной математики Казанского государственного университета в области исследования и численной реализации математических моделей спектральной теории диэлектрических волноводов. Основное внимание уделяется задачам о собственных волнах волноводов, находящихся в однородной окружающей среде.
Работа состоит из пяти разделов. Первый раздел посвящен изучению качественных свойств решений общих задач о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления путем сведения их методом потенциалов простого слоя к нелинейным спектральным задачам для фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Во втором разделе изучаются качественные свойства решений общих задач о собственных волнах волноводов с переменным показателем преломления и размытой границей. Они сводятся методом интегральных уравнений по области к нелинейным спектральным задачам для фредгольмовых голоморфных оператор-функций. Третий раздел посвящен изучению вопросов существования и качественных свойств решений задач о поверхностных собственных волнах путем сведения их методом точных нелокальных граничных условий к параметрическим задачам на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов с нелинейным вхождением спектральных параметров. В четвертом разделе изучаются свойства оператора двумерного сингулярного интегрального уравнения, к которому сводится задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой окружающей среде. Пятый раздел посвящен разработке н теоретическому исследованию численных методов решения задач спектральной теории цилиндрических диэлектрических волноводов.
1. Общие задачи о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления
1.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. Рассмотрим скалярную задачу о собственных волнах слабонаправляющего
Рис. 1. Схематическое изображение поперечного сечения диэлектрического волновода в однородной окружающей среде
волновода [1]. Ненулевая функция и £ V называется собственной функцией задачи, отвечающей собственному значению в £ Л, если
Ди + х+2и = 0, х £ П,
Ди + х^и = 0, х £ Пс ди+ ди-
ду
ду
х £ Г,
(г, ф) = аН (хтог)ехр(г/ф), |х| > До.
(1) (2)
(3)
(4)
Здесь Д - двумерный оператор Лапласа; П - область на плоскости М2, ограни-
Г
круге радиуса До (см. рис. 1), Поо = М2\П; и множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в О, и , дважды непрерывно дифференцируемых в П и Пто;
х+/с
=, к2
- в2,
где к2 = ш2е0^0, ш > 0 - заданная круговая частота электромагнитных колебаний; £0, и - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства соответственно; п+ и пто - постоянные показатели преломления волновода и окружающей среды соответственно, причем такие, что 0 < пто < п+; Н(1)(г) -функции Ханкеля первого рода порядка /; символ ом Л обозначено пересечение римановых поверхностей функций 1п х+(в) и 1п Хто(в)-
Теорема 1 (см. [1]). На пересечении Л}1 главных («физических») листов поверхностей Л+ и Лто собственные значения задачи (1)-(4) могут принадлежать лишь множеству
О = {в £ М : кпто < |в| < кп+} .
Вещественным в £ О соответствуют поверхностные волны (и экспоненциально убывает при |х| ^ то). Теорема 1 обобщает хорошо известные результаты о локализации спектра собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения, полученные на основе элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных [2].
В статье [1] задача (1) (4) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы слабосингулярных интегральных уравнений по контуру Г на основе представления функции и в областях П и в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по Гельдсру плотностями и ядрами в виде удовлетворяющих соответствующим «парциальным» условиям излучения (условиям вида (4). см.. например. [3]) фундаментальных решений уравнений Гельмгольца (1) и (2). Построенная система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида
А(в)ю = (I + В(в))т = 0 (5)
в банаховом пространстве Ж = С1'" х С°'а. Оператор В (в) вполне непрерывен при любых в € Л [1].
Сведение системы интегральных уравнений первого рода, возникающей в результате применения метода потенциалов простого слоя и содержащей непрерывно обратимые операторы Ь : С°'а ^ С1,а вида
2п
1 Г Ьр =--/ 1п
1 2тг У
°
t - т
эт-
р(т)3т, t € [0, 2п], (6)
к фредгольмовому операторному уравнению (5) проведено на основе известной процедуры регуляризации с использованием результатов Б.Г. Габдулхаева [4].
Теорема 2 (см. [1]). Регулярное множество оператор-функции А(в), определенной в (5), непусто, а именно \ (В и О) с р(А). Характеристическое множество оператор-функции A(в) может состоять лишь из изолированных
А( в)
Каждое характеристическое значение в оператор-функции А(в) непрерывно зависит от параметров (ш,п+,пж) € К+3. Кроме того, с изменением параметров (ш,п+,пж) € К+3 характеристические значения оператор-функции А(в) могут появляться и исчезать только на границе Л, то есть в точках ±кп+, ±кпж и на бесконечности.
Здесь К+ = {ш € К : ш > 0}, В - множество, состоящее из мнимой
О
оси {в € К : |в| < кпж}.
Теорема 2 обобщает хорошо известные результаты о зависимости постоянных распространения собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных.
Доказательство теоремы 2 основано на применении теоремы Гохберга Крейна [5] об изолированности характеристических значений фредгольмовой голоморфной А( в)
регулярной точки и теоремы С. Стейнберга [6] о поведении характеристических
в
параметра ш в случае, если оператор-функция А(в, ш) является совместно непрерывной функцией параметров в и ш. Отметим, что теорема С. Стейнберга справедлива для частного случая, когда оператор-функция имеет вид А(в, ш) = I+В(в, ш), где В(в,ш) - вполне непрерывный оператор.
А( в)
ния относительно спектральной эквивалентности задач (1) (4) и (5). Во-первых,
установлено, что если w G W является собственной функцией оператор-функции А(в), отвечающей характеристическому значению во G ЛО"^ \D, то функция u, представленная в виде потенциалов простого слоя с плотностями, определяемыми вектором w, принадлежит множеству U и является собственной функцией задачи (1)-(4), отвечающей собственному значению во - Во-вторых, любая собственная функция u G U задачи (1)-(4), отвечающая собственному значению во G Ло^ \ D, может быть представлена в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по
w
W
функции А (в), отвечающей характеристическому значению во •
1.2. Векторная задача в полной электродинамической постановке.
Рассмотрим общую векторную задачу о собственных волнах волновода в полной электродинамической постановке [7]. Ненулевой вектор {E, H} G U6 называется собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению в G Л, если
rote E =iw^0H, rote H = - w£0n2E, x G R2 \ Г, (7)
v x E+ = v x E-, x G Г, (8)
v x H+ = v x H-, x G Г, (9)
E
1=—<ж
H¡1) (x^r) exp (i/p), |x| > Ro. (10)
Здесь символом го^д обозначена векторная операция, которая получается из обычной операции го^ ^^^^^^^ ^^изводной по хз умножением на ¿в> п ~ кусочно-постоянная функция, равная п+ в О и пто в .
Теорема 3 [7]. Мнимая и вещественная оси листа Л0Х), за исключением множества О, не содержат собственных значении задачи (7)-(10).
Вещественным в С О соответствуют поверхностные волны. Комплексным значениям в С отвечают комплексные собственные волны. Символом С01 обозначена часть листа Лд1) без мнимой и вещественной осей. Теорема 3 обобщает известные результаты о локализации спектра собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения, полученные на основе метода разделения переменных в векторном случае.
В статье [7] задача (7) (10) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы сингулярных интегральных уравнений по контуру Г. При этом использованы выражения собственных векторов {Е, Н} задачи (7)—(10) через потенциальные функции Ез, Нз, удовлетворяющие уравнениям (1), (2), и представления этих функций в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по Гельдеру плотностями н ядрами в виде фундаментальных решений уравнений Гелмгольца (1) и (2), удовлетворяющих соответствующим «парциальным» условиям излучения.
Вследствие наличия в условиях сопряжения, которым удовлетворяют функ-Ез Нз Г
нений содержит сингулярный интегральный оператор Б : С0,а ^ С0,а, определяемый равенством
2п 2п
1 Г Т — £ {Г
= — у <*Ш—р(т) р(т) с1т, * е [0, 2тг]. (И)
з
о
Этот линейный непрерывный оператор, как известно, непрерывно обратим (см.. например. [8]). Построенная система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида
A(p)w = (I + B(p))w = 0 (12)
в банаховом пространстве W = (C0'a)4. Установлено [7], что оператор В (в) вполне непрерывен при любых в е Л.
Теорема 4 [7]. Регулярное множество оператор-функции А(в), определенной в (12), непусто, а именно
Л0Х) \ (d U G U C(1)) с Р(А).
Характеристическое множество оператор-функции А(в) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции А(в) • Каждое характеристическое значение в оператор-функции А(в) непрерывно зависит от параметров (и, n+, nTO) е R+3. Кроме того, с изменением параметров (ш,п+,пх) е R+3 характеристические значения
А( в) Л
есть в точках ±kn+, ±кпж и на бесконечности.
Теорема 4 обобщает известные результаты о зависимости постоянных распространения собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате анализа характеристического уравнения метода разделения переменных в векторном случае. В ходе доказательства этой
А( в)
пая эквивалентность задач (12) и (7) (10).
2. Общие задачи о собственных волнах волноводов с размытой границей
2.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. Рассмотрим скалярную задачу в приближении слабонаправляющего волновода [9]. Ненулевая функция u е C2(R2) называется собственной функцией этой задачи, отвечающей собственному значению в е Л, если
[Д+ (k2n2 - в2)] u = 0, x е R2, (13)
СО
u(r,y)=^2, aH(1) (x<x,r)exp(ilcp), |x| > Ro. (14)
n
n = nTO = const, x / Q,
n+ = max n(x) > nTO > 0;
xen
символом Л обозначена поверхность Римана функции ln х<х>(в) ■
Всюду во втором разделе предполагается, что волновод имеет размытую границу, а именно, что n е C2(R2). Это предположение существенно используется в п. 2.2 при решении векторной задачи о собственных волнах. Результаты п. 2.1 справедливы для более общего случая [10]: n е C1(Q), граница Г области Q - лппшпцева кривая, па Г функция u е U удовлетворяет условиям сопряжения (3). Однако в целях единства изложения материала предположение n е C2(R2) делается и в п. 2.1.
Теорема 5 [9]. На главном («физическом») листе Л0 ) римановой поверхности Л собственные значения задачи (13), (14) могут принадлежать лишь множеству G.
В статье [9] задача (13). (14) сведена к нелинейной спектральной задаче для интегрального уравнения по области Q па основе представления функции и в виде интеграла по области Q с ядром в виде фундаментального решения уравнения Гелмгольца (2). удовлетворяющего «парциальным» условиям излучения. Построенное интегральное уравнение трактуется как операторное уравнение вида
A(e)v = (I — B(p))v = 0 (15)
в пространстве L2(Q). При любых в & Л оператор В (в) является вполне непрерывным, при в & G самосопряженным и положительно определенным [9].
В статье [9] доказано, что если u & C2(R2) является собственной функцией задачи (13), (14), отвечающей собственному значению во & Л, то функция v, вычисленная по явной формуле по и, принадлежит пространству ^(П) и является
A( в)
му значению в0 • С другой стороны, если v & L2(Q) является собственной функ-
A( в) во & Л
uv
ставления, принадлежит пространству C2(R2) и является собственной функцией
во
A( в)
ной в (15), непусто, а именно Л0Х) \ G с р(А). Характеристическое множество A( в)
A( в)
в A( в)
параметров (ш,пх) & R+2. Кроме того, с изменением (ш,пх) & R+2 харак-
A( в)
только на границе поверхности Л, то есть в точках ±кпж и на бесконечности.
Теорема 7 [9]. Задача (13), (14) имеет по крайней мере одно простое положительное собственное значение в, принадлежащее множеству G; ему отвечает положительная собственная функция.
2.2. Векторная задача в полной электродинамической постановке.
Рассмотрим общую векторную задачу о собственных волнах волновода с размытой границей в полной электродинамической постановке [11]. Ненулевой вектор {E, H} & [C2(R2)] называется собственным вектором задачи, отвечающим
в& Л
roteE =lw^0H, roteH = — iue0n2E, x & R2, (16)
H(1) (w) exp (ilV), |x| > Ro. (17)
Теорема 8 [11]. Мнимая и вещественная оси листа Л01), за исключением G
В статье [11] задача (16), (17) сведена к нелинейной спектральной задаче для интегрального уравнения по области Q с помощью предложенного К. Мюллером
Е
i_
(С. МШ1ег) метода сведения трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородном теле с размытой границей к интегральному уравнению Фредголь-ма второго рода по области неоднородности. Построенное интегральное уравнение трактуется как операторное уравнение вида
Л(в)¥ = (I - Б(в))Р = 0 (18)
в пространстве [Ь2(0.)]3 . При любых в & Л оператор Б (в) вполне непрерывен [11].
В статье [11] доказано, что если вектор {Е, Н} & [С2(М2)]6 является собственным вектором задачи (16), (17), отвечающим собственному значению во & Л, то Р = Е & [Ь2(0.)]3 есть собственный вектор оператор-функции Л(в), отвечающий характеристическому значению во- Если Р & [Ь2(И)]3 является собствен-
Л( в)
во & Л во
{Е, Н} Р
ставленпя, принадлежит [С2(М2)]6 и является собственным вектором задачи (16),
во
Теорема 9 [11]. Регулярное множество оператор-функции Л(в), определенной в (18), непуст,о, а именно Ло1^ \ ^О и Со1^ С р(Л). Характ,ерист,ическое
Л( в)
Л( в)
в Л( в)
висит от параметров (ш,пх) & М+2. Кроме того, с изменением параметров (ш,пх) & К+2 характеристические значения оператор-функции Л(в) моЛ
ках ±кпж и на бесконечности.
3. Задачи о поверхностных собственных волнах
3.1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода. Рассмотрим скалярную задачу о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в вариационной постановке [12]: найти все такие пары чисел (в2, k2) G Л, ПРИ которых существуют ненулевые функции u G W^R2), удовлетворяющие для любой функции v G W2X(R2) тождеству
j(Vu • Vv + e2uv)dx = k2 j n2uvdx. (19)
R2 R2
Здесь Л = {(в2,к2) : в2/п+_ < k2 < в2/п^0, в2 > 0}j n - вещественная функция, принадлежащая пространству C(Q), такая, что п = п^ > 0 в Пос,
1шп?г(ж) > пос, п+ = тахтг(ж) > ??оо-
ж 11 г о
Область Q является ограниченной, не обязательно связной, каждая связная компонента ее границы Г является липшицевой кривой.
В статье [12] задача (19) эквивалентным образом сведена к параметрической задаче па собственные значения в круге QR D О, которая формулируется следующим образом: найти все (в2, k2) G Л, при которых существуют ненулевые функции u G G W21(0r), удовлетворяющие уравнению
А(в2, k2)u = k2Bu,
(20)
Рис. 2. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн слабонаправляющего волновода с показателем преломления, изменяющимся в ограниченной области (на примере волновода кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)
где 2, k2) и B - ограниченные линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве W2 (QR); кроме того, А(в2, k2) - неотрицательный оператор для любых (в2,k2) Е Л, a B - вполне непрерывный положительный оператор. Сведение задачи (19) к задаче (20) основано на построении точного нелокального условия на границе Гд области Qr с использованием условия сопряжения на Гд и явной формулы для метагармонического продолжения искомого решения с Гд в R2 \ Qr.
В статье [12] доказано, что при любом в2 > 0 задача (20) имеет по крайней мере одно решение, а число всех ее решений увеличивается с ростом в2 и стремится к бесконечности при в2 ^ го. Для каждого конечного значения в2 существует конечное число решений (в2, k2(в2); U(в2)) задачи (20). Это число определяется решениями в2 вспомогательной линейной задачи на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов (уравнения отсечки).
В статье [12], кроме того, доказано, что функции k2 = k2(в2), определенные на (в2, го), при всex l > 1 являются локально липшицевыми, возрастающими, и k2(в2)/в2 ^ П-2 ПРИ в2 ^ го.
Приведенные выше результаты статьи [12] обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн слабонаправляющего цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления (см. рис. 2), полученные на основе метода разделения переменных.
3.2. Векторная задача в вариационной постановке. Рассмотрим векторную задачу о поверхностных собственных волнах в вариационной постановке [13]: найти все такие (в, k) Е Л, при которых существуют ненулевые векторы H Е Е [W2 (R2)]3 , удовлетворяющие для любого вектора H Е [W2 (R2)]3 тождеству
^rot/з Н • rot/з Н' + Jrdiv/3Н div/3 dx = к2 J H-Wdx. (21)
R2 R2
Здесь Л = {(в, k) : в/п+ < k < , в > 0}, символом div^ обозначена вектор-
ная операция, которая получается из обычной операции div заменой производной по x3 умножением на ¿в-
На основе метода точных нелокальных граничных условий задача (19) эквивалентным образом сводится к параметрической задаче на собственные значения
/
в круге Пд, которая формулируется следующим образом [13]: найти все (в, а) € € К+2 , при которых существуют ненулевые векторы И € [^^(Пд)]3, удовлетворяющие уравнению
А(в,о-)И= —а2ВИ, (22)
где а = у//З2 — к2п^ поперечное волновое число, А({3, а) и В ограниченные линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве [Ж21(Пд)]3, В
в>0
мере два решения: (в, а1(в);И1(в)) и (в,а2 (в);И2 (в))- Число всех решений увеличивается с ростом в и стремите к бесконечности при в ^ то. Для каждого конечного значения в существует конечное число решений (в, а (в); И;(в)) задачи (22). Это число определяется значениями точек отсечки в; > квадраты которых являются решениями уравнения отсечки, представляющего собой линейную задачу на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов.
Кроме того, в статье [13] доказано, что функции а = ст;(в)> определенные на (/3;, оо), при всех I > 1 являются локально лнпшнцевымн, неубывающими, и сг;(/3)//3 —>■ у/1 - (пос,/п+)2 при /3 то.
Приведенные выше результаты статьи [13] обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления (см. рис. 3), полученные в векторном случае на основе метода разделения переменных.
4. Задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде [14]. Предполагается, что показатель преломле-п
огранпченная область О такая, что п(х) = п00(х2) при х € 0^ = М2 \ П, где функция пто (х2) зависит только от координаты х2:
х € П1 = {х : то < Х1 < то, Х2 > !}, х € П2 = {х : то < Х1 < то, 0 < Х2 < !}, х € П3 = {х : то < х1 < то, х2 < 0}.
Предполагается, что П с П2, и п является непрерывной функцией в области П2. Другими словами, предполагается, что волновод имеет размытую границу. Ненулевой вектор {Е, И} € и6 называется собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению в € Л^ , если выполнены условия:
го^ Е = ш/л°И, х € К2 \ (Г1 и Г2), (23)
го^ И = —гше°п2Е, х € К2 \ (Г1 и Г2), (24)
V х Е+ = V х Е-, V х И+ = V х И-, х € Г, 3 = 1, 2. (25)
Здесь Л« = {в € Л^ : 1тв = 0, |в| > кп2} - множество, принадлежащее вещественной оси главного («физического») листа римановой поверхности функции 1п у/к2 п2 — в2; п+ > п2 > пз > п1 > 0; через Г1 и Г2 обозначены границы области П2; и - множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в О1, О.П и Пз, дважды непрерывно дифференцируемых в О1, О2 и Пз,
{пь п2, п3,
Рис. 3. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода с показателем преломления, изменяющимся в ограниченной области (на примере волновода кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)
экспоненциально убывающих при |х| ^ го по любому направлению, не параллельному прямым ^, и ограниченных при |х| ^ го по направлениям, параллельным прямым Гj .
В работе [14] задача (23)-(25) сведена к нелинейной спектральной задаче для двумерного сингулярного интегрального уравнения на основе представления собственных векторов в виде интегралов по области О с ядрами, выражающимися через известную тензорную функцию Грина для поляризационного потенциала. Построенное интегральное уравнение представляется в операторном виде
А(в )Р = 0 (26)
в пространстве [Ь2(О)]3. Для всех в С Л(1) ядро оператора А(в) сильно сингулярно [14].
В работе [14] доказано, что для любого в С Л(1) оператор А(в) фредгольмов. Доказательство основано на общих результатах теории многомерных сингулярных интегральных операторов, построенной в работах С.Г. Михлина (см., например, [15]).
В случае, когда показатель преломления волновода совпадает с показателем преломления того слоя, в котором он находится, направляющая структура представляет собой планарный диэлектрический волновод. Свойства постоянных распространения и собственных волн такого волновода хорошо изучены (см., например, [16]).
5. Численные методы решения задач спектральной теории диэлектрических волноводов
5.1. Метод Галеркина решения общих задач о собственных волнах.
В этом пункте предлагается и обосновывается метод Галеркина решения нелинейных спектральных задач для систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные интегралы с логарифмической особенностью ядра (6) и ядром Гильберта (11). При исследовании численного метода эти системы удобно трактовать как операторные уравнения (5) и (12) в гильбертовых пространствах х Ь2 и (Ь2)4 соответственно. В качестве базисных используются тригонометрические функции, которые являются собственными функциями, отвечающими известным собственным значениям, указанных сингулярных интегральных операторов. В соответствии с методом Галеркина приближенные значения вп постоянных распространения в
Рис. 4. Дисперсионные кривые для комплексных и поверхностных собственных волн волноводов кругового и квадратного поперечных сечений
определяются как характеристические значения соответствующих конечномерных операторов Ап (в) : Нп ^ где п - количество базисных функций.
В статье [17] обоснована сходимость метода Галеркина решения задачи (5), а в работе [18] - задачи (12), а именно: доказано, что если во £ а(А) (символом а(А) обозначено характеристическое множество оператора А), то существует такая последовательность вп £ а (Ап), что вп ^ во - Если {вп} - некоторая последовательность точек из А такая, ч то вп £ а(Ап), вп ^ в0 £ Л при п £ ж, то в0 £ а (А) при п £ ж. Если {вп} - некоторая последовательноеь точек из Л и {хп} - некоторая последовательность нормированных векторов (||хп || = 1) таких, что имеют место соотношения вп £ а(Ап), Ап(вп)хп = 0, вп ^ в0 £ Л, хп ^ х0 при п £ ж, то в0 £ а (А) и А(в0 )х0 = 0, ||х01| = 1. Исследование сходимости метода Галеркина опирается на результаты Г.М. Вайникко, О.О. Карма о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов [19].
В работе [20] приведены результаты численных экспериментов поиска собственных векторов задачи (12), отвечающих комплексным собственным значениям в £ £ Сд^. Для волновода кругового поперечного сечения результаты сопоставлены с точными решениями, полученными методом разделения переменных, и с результатами работы Т. Яблонского [21], в которой для решения задачи в исходной дифференциальной постановке применялся специальный проекционно-итерационный метод.
Результаты вычислений [20] представлены на рис. 4 слева. На этом рисунке построены дисперсионные кривые для комплексных собственных значений - зависимости вещественной и мнимой части параметра /3 = /3/ (кпоо) от V =
при фиксированном значении (п+ — п^ )/(2п^) = 30. Здесь Я - радиус волновода. Непрерывными линиями изображены точные решения, полученные как корни характеристического уравнения (верхний график - 1т 3, нижний - Ие в) • Кружочками на рис. 4 слева отмечены результаты вычислений по методу Галеркина, которые с графической точностью совпали с результатами работы Т. Яблонского. Помимо комплексных собственных волн волновода кругового поперечного сечения, для демонстрации эффективности предлагаемого метода в работе [20] разыскивались также комплексные собственные волны диэлектрического волновода квадрат-
2Я
отмечены значения 1т 3 и Ие 3). При этом использовалась аппроксимация квадрата гладкими кривыми. В [20] исследовалась скорость сходимости метода при
Рис. 5. Дисперсионные кривые для девяти собственных волн и линии уровня квадратов собственных функций волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного сечения
использовании различных кривых. На рис. 4 справа непрерывными линиями построены дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода квадратного поперечного сечения (со стороной, равной 2а), полученные методом Галеркина, в статье [22]. Квадратиками на этом рисунке обозначены результаты физических экспериментов.
5.2. Метод конечных элементов решения задач о поверхностных собственных волнах. В статье [23] описан метод конечных элементов решения задачи (20). Использованы простейшие пространства лагранжевых конечных элементов, удобные для практического применения метода. Предложен простой метод аппроксимации точного нелокального граничного условия, выписанного в явном виде на основе метода разделения переменных. Установлено, что свойства спектра конечно-элементной аппроксимации в точности соответствуют свойствам спектра исходной дифференциальной задачи. Приведены результаты численных экспериментов решения ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов. Полученные результаты сопоставлены с известными точными решениями и решениями, полученными другими авторами. Исследована скорость сходимости метода в зависимости от точности аппроксимации граничного условия и максимального размера элементов.
В качество примера, демонстрирующего возможности метода [23]. приведем результаты расчетов для новой волноведущей структуры. Область Q состояла из трех касающихся друг друга кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника со сторонами р. Показатель преломления n(x) = n+ при x £ П. Радиус R окружности Гд был выбран равным 1.3/9. На рис. 5 в левом верхнем углу построены дисперсионные кривые, показывающие зависимость U = рк^п+2 — (/3/к)2 от V = рк\/п+2 — п^ , для первых девяти собственных волн. Дисперсионные кривые для U2 и U3, U5 и Щ, U8 и U9 совпали с графической точностью. Вероятно, соответствующие собственные значения в являются кратными. На рис. 5 построены также линии уровня квадратов собственных функций и2 в расчетной области Пд для V = 3.
Summary
Е.М. Karchevskii. Spectral Problems of the Theory of Dielectric Waveguides.
New statements of spectral problems of the theory of dielectric waveguides are proposed. Existence of the eigenwaves is proved and properties of the spectrum are investigated. New effective numerical methods for calculation of the eigenwaves are constructed and theoretically grounded.
Key words: spectral problems, dielectric waveguides, numerical methods, integral equations.
Литература
1. Ка/рчевский Е.М. К исследованию спектра собственных воли диэлектрических вол-поводов // Жури, вычисл. матем. и матом, фнз. 1999. Т. 39, Л' 9. С. 1558 1563.
2. Сиайдер А., Лав Дон:. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987. 656 с.
3. Ильинский А.С., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волп. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 184 с.
4. Габдулхае.о Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. 288 с.
5. Гохбера И.Ц., Кре.йи М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах лилейных операторов // Усп. матем. паук. 1957. Т. 12, Вып. 2. С. 44 118.
6. Steinberg S. Meromorpliic families of compact operators // Arch. Rat. Mecli. Anal. 1968. V. 31, No 5. P. 372 379.
7. Карчеоский Е.М. Исследование задачи о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36, Л' 7. С. 998 999.
8. Габдулхае.о Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1995. 231 с.
9. Карчеоский Е.М., Носич А.И., Соловьев С.И. Собственные моды диэлектрических волноводов с размытой границей // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волповодпых структурах: Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казап. матем. об-ва, 2000. С. 79 114.
10. Карчеоский Е.М., Соловьев С.И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца па плоскости // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36, Л' 4. С. 563 565.
11. Kartchevski Е.М., Nusich A.I., Hanson G.W. Mathematical Analysis of the Generalized Natural Modes of an Inhomogeueous Optical Fiber // SIAM J. Appl. Math. 2005. V. 65, No 6. P. 2033 2048.
12. Даутоо P.3., Карчеоский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 8. С. 1250 1263.
13. Даутоо Р.З., Карчеоский Е.М. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов па основе нелокального краевого условия // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т 42, № 7. С. 1051 1066.
14. Kartchevski Е.М., Hanson G. Mathematical Analysis of the Guided Modes of Integrated Optical Guides // The Sixth Intern. Conf. on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Jyvaskyla, Finland, June 30 July 4, 2003: Proceedings. 2003. P. 445 450.
15. Mikhlin S.G., Prossdorf S.P. Singular integral operators. Berlin: Springer-Verlag, 1986. 528 p.
16. Плещииский Н.Б. Модели и методы волповодпой электродинамики. Казань: Казан, гос. уп-т, 2008. 104 с.
17. Карчеоский Е.М. Исследование численного метода решения спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 1999. Л*' 1. С. 10 17.
18. Karchevskii Е.М. Mathematical Analysis and Numerical Modeling of the Guided Modes of the Step-Index Optical Fibers // SIAM Proc. Appl. Math. 2000. V. 102. P. 414 419.
19. Вайиикко P.M., Карма O.O. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14, Л» 4. С. 828 837.
20. Karchevskii Е., Trifonov Е. Computing Complex Propagation Constants of Dielectric Waveguides // Intern. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 12 15 September 2000: Proceedings. 2000. P. 636 537.
21. Jablonski T.F. Complex modes in open lossless dielectric waveguides // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. V. 11, No 4. P. 1272 1282.
22. Карчеоский Е.М. Об определении постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов методами теории потенциала // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, 1. С. 132 136.
23. Даутоо Р.З., Карчеоский Е.М. Вопросы существования и численные методы в спектральной теории слабопаправляющих диэлектрических волноводов // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волповодпых структурах: Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2000. С. 55 78.
Поступила в редакцию 26.08.08
Карчевский Евгений Михайлович доктор физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского государственного университета. Е-шаП: ЕьдепП.Karch.evsk.iiQk.su. ги
